椭圆的焦点、焦距问题专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆的焦点、焦距问题专题训练 一、单选题 1．椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程的性质即可求解. 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得 ， 所以椭圆焦点在轴，，坐标为. 2．若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 【答案】D 【详解】已知椭圆的焦距是2，因为 当焦点在轴上，，，所以，， 当焦点在轴上，，所以，， 综上或. 3．已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则. 因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即. 所以.解得. 因为，所以. 4．已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程求出点的坐标，进而求得，代回椭圆方程并求得焦点坐标. 【详解】因为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则， 令，得，故，令，得，故， 又的中点坐标为，所以，解得， 所以椭圆方程为，所以，则， 所以椭圆的焦点坐标为. 故选：B. 5．若椭圆C的焦距是短轴长的倍，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，得到，即. 6．已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆方程为， 得，. 所以，故. 由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为， 即， 又因为两焦点间距离为， 因此，的周长为. 7．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，设椭圆方程为，且，将点代入即可求解. 【详解】解：椭圆化成标准形式为， 焦点坐标为：，，， 所求椭圆的焦点与椭圆有相同的焦点， 设椭圆方程为，且， 由题意得： 解得：，， 所求椭圆的标准方程为. 故选：A 8．当时，曲线与曲线（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】由题得曲线表示焦点在轴上的椭圆，曲线，表示焦点在轴上的椭圆，再依次讨论各选项即可. 【详解】因为，故曲线表示焦点在轴上的椭圆，且， 所以，其长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为. 因为曲线，表示焦点在轴上的椭圆，所以其长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为. 故当时，曲线与曲线焦距相等. 故选：D. 【点睛】本题考查共焦点的椭圆，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于根据题意得曲线与曲线均表示焦点在轴上的椭圆，进而求解. 二、多选题 9．已知，为椭圆C：的左、右焦点，点M在C上，则错误的是（   ） A．C的焦距为3 B．的最小值为2 C．的周长为10 D．的面积的最大值为20 【答案】ACD 【分析】对A，根据焦距定义即可判断；对B，根据范围即可判断；对C，根据焦点三角形周长公式即可判断；对D，根据面积表达式即可求出最大值. 【详解】对A，得，则，则，， 则焦距为，故A错误； 对B，因为点M在C上，则，即，则的最小值为2，故B正确； 对C，的周长为，故C错误； 对D，，故D错误. 故选：ACD. 三、填空题 10．已知椭圆：的右焦点，则________； 【答案】 【分析】根据椭圆中的的关系求解即可. 【详解】由题意可知， 所以， 又， 解得 11．椭圆的焦距为______． 【答案】 【详解】由椭圆，即， 则，即，则， 所以椭圆的焦距为. 12．椭圆的焦距为，则__________． 【答案】 【分析】根据椭圆焦距求出半焦距，结合椭圆中的基本关系计算的值. 【详解】由，焦点在轴上，其中短半轴的平方； 由椭圆焦距为，可得，解得， 又，则，结合已知， 故. 13．已知椭圆方程，求两焦点坐标为___________ 【答案】和 【详解】由，得，所以方程表示焦点在轴上的椭圆，且， 所以，所以，所以两焦点坐标和. 14．若椭圆的方程为，且椭圆的一个焦点为，则实数______ 【答案】4 【分析】先由椭圆方程表示出焦距，再由题意列出方程，求解即可. 【详解】因为是焦点在轴上的椭圆的方程，所以 ，所以， 由椭圆的方程可得，又， 所以，解得，符合. 故答案为:4. 四、解答题 15．求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 【答案】椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率. 【分析】椭圆方程化为标准方程，求出几何量，根据椭圆性质即可得出结论． 【详解】由已知得， 因为，所以， 所以椭圆的焦点在轴上，并且长半轴长，短半轴长，半焦距， 所以椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标为， 顶点坐标为， 离心率. 16．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为，且经过点 (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得，将代入到方程，结合求出即可； （2）设方程为将两个点的坐标代入求出的值即可； （3）设所求椭圆方程，将代入求得的值即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为， 依题可得，将代入方程中得， 又，， 故， 所以椭圆的标准方程为． （2）设方程为 则，解得，则所求椭圆方程为 （3）由方程可知，其焦点的坐标为，即． 则， 设所求椭圆方程， 因为椭圆过点，代入方程得， 解得（舍去），， 故椭圆的标准方程为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 椭圆的焦点、焦距问题专题训练 一、单选题 1．椭圆的一个焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．若椭圆的焦距是2，则实数的值为（  ） A． B．5 C．3 D．3或5 3．已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 4．已知A，B 分别为椭圆的右、上顶点，若的中点坐标为，则 C 的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 5．若椭圆C的焦距是短轴长的倍，则椭圆C的离心率是（    ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆上任意一点，是它的两个焦点，则的周长是（   ） A． B． C． D． 7．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是（    ） A． B． C． D． 8．当时，曲线与曲线（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 二、多选题 9．已知，为椭圆C：的左、右焦点，点M在C上，则错误的是（   ） A．C的焦距为3 B．的最小值为2 C．的周长为10 D．的面积的最大值为20 三、填空题 10．已知椭圆：的右焦点，则________； 11．椭圆的焦距为______． 12．椭圆的焦距为，则__________． 13．已知椭圆方程，求两焦点坐标为___________ 14．若椭圆的方程为，且椭圆的一个焦点为，则实数______ 四、解答题 15．求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 16．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，焦距为，且经过点 (2)经过点两点． (3)过且与有相同的焦点； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $