椭圆：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

椭圆：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题专项训练 椭圆：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题专项训练 考点目录 椭圆中的定点问题 椭圆中的定值问题 椭圆中的定直线问题 考点一 椭圆中的定点问题 例1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2) (3)由（1）知．设，， 因为为直角，所以，即， 其中、均与不重合． 若与轴平行，设，则、关于轴对称， 设，， 由得，结合，解得，， 此时与重合，不合题意， 故不与轴平行，可设． 代入椭圆方程，整理得． 因为直线与椭圆交于、两个不同的点， 所以判别式，即． 所以， ，且，． 于是， 即，因式分解得，解得或． 当时，直线恒过点，而在椭圆上，所以、中恰有一点与重合，不存在，不符合题意，舍去； 当时，，判别式恒成立， 直线与椭圆恒有两个不同的交点，且直线不经过点，符合题意． 所以直线恒过定点． 【分析】（1）根据抛物线方程确定焦点坐标，再根据同焦点可得椭圆方程与离心率； （2）根据，可得为线段的中点，结合中点公式及点在椭圆上，可得解； （3）分情况讨论当与轴平行及不平行时直线的方程，联立直线与椭圆，结合韦达定理及向量垂直的坐标表示可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 因为抛物线与椭圆有相同的焦点，所以椭圆的半焦距． 又，所以， 所以椭圆方程为， 所以椭圆的离心率； （2）因为，即为线段的中点． 又，，所以． 由点在椭圆上，得，即，解得． 又，所以； （3）略. 例2．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）由右焦点得出，再根据离心率求出关系式得出，可得椭圆方程. （2）将角度相等转化为斜率之和为0，联立直线与椭圆方程，用韦达定理化简条件等式，求出关系，可得定点. 【详解】（1）由得，而， 则， 因此椭圆的方程为：. （2）设，，联立 ， 得， 则， 由韦达定理得， 由，得，即：， 代入，，整理得：， 即， 所以， 化简得：， 所以， 故直线恒过定点，且时满足，符合题意. 例3．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)直线恒过定点 【分析】（1）根据条件确定求椭圆方程； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，并利用坐标表示直线的方程，利用韦达定理表示直线与轴的交点，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，焦距为，则，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为； （2）由（1）可知，椭圆的右焦点， 设直线， 与椭圆方程联立得，设，， 则， 又，，直线的方程为， 令，得，（*） 由韦达定理可知，，即，代入（*）得 ， 所以直线恒过定点， 当直线的斜率为0时，直线，满足条件的直线为，也过点 综上可知，直线恒过定点. 变式1．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，恒过定点 【分析】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程. （2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点. 【详解】（1）因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. （2）由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 变式2．（2026·河南信阳·二模）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明：设过点的直线方程为， 与椭圆联立方程组消去得：， 整理得：， 设，，， 则有，， 再由两点式可得直线方程：， 令可得： 代入韦达定理公式得：， 所以直线过定点. 【分析】（1）根据右焦点坐标得到，结合椭圆过定点求解即可. （2）设出直线方程及交点坐标，与椭圆方程联立，得到两根之和与两根之积；求出直线方程，结合韦达定理求出与轴的交点坐标即可得证. 【详解】（1）由题意得：，解得：， 所以椭圆方程为. （2）略 变式3．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知椭圆的长轴长为，焦距为2. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，过点的直线与交于，两点，且，线段，的中点分别为，，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 证明：联立可得， 设， 则， ， 所以， 因为，所以且，又，所以的斜率存在且不等于， 以代替可得， 所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 【分析】（1）根据题意列方程组求出，从而可求出椭圆方程； （2）将直线方程与椭圆方程联立方程组化简，结合根据与系数的关系表示出点，的坐标，从而可表示出直线的方程，化简可得结论. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 所以的方程为. （2）略 考点二 椭圆中的定值问题 例1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)为定值零． 【分析】（1）由已知条件得关于的方程组，联立求解即可； （2）设、，将直线方程与椭圆联立，消元，得，由根与系数关系得：，再由斜率公式计算即可． 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）因为且直线平行于，所以可设直线的方程为． 由得 ， 设、，则 又 故， 又， 所以上式分子为 ， 故. 例2．（26-27高三上·云南德宏·开学考试）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，直线与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点. （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当A、B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）（ii）是定值 【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可得，再由离心率可得，即可得到其标准方程； （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，表示出四边形的面积，结合韦达定理代入即可得到结果； （ⅱ）由、的斜率之和为0，分别联立直线，直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设椭圆C的方程为（）， 因为抛物线的焦点为， 所以， 又由及，得， 所以椭圆C的方程为. （2）（ⅰ）由题意知：， 设直线的方程为， 联立，得 由，解得， 设，， 由根与系数的关系，得，. 所以四边形的面积为 ， 当时，四边形取得最大面积，即. （ⅱ）当，则、的斜率之和为0， 设直线的斜率为k，则的斜率为， 直线的方程为， 由，得， ， 同理直线的方程为， 可得， 所以，， ， 所以的斜率为定值. 例3．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，．求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据椭圆的离心率,以及椭圆过点，列出相应的等式，解方程组可得答案. （2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，，然后求出点P,Q的坐标，进而表示出，将，代入化简即可得结论. 【详解】（1）由题意得 解得，， 所以椭圆的方程是. （2）由题意知，直线的斜率存在． 设直线的方程为（），，， 由，得， 则，， 依题意，解得． 因为点的坐标为，所以直线的方程为． 令，得点的纵坐标为， 所以． 同理，可得． 于是 ， 所以. 变式1．（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)点为椭圆上任意一点，点为坐标原点关于直线的对称点，记点的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以为端点作射线（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点，，证明：为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)（i），且不同时为0. （ii）曲线，且不同时为0，椭圆均关于坐标轴对称， 故不妨设射线，，，，，， 由，得，所以， 所以， 由，得，所以， 所以， 所以， 若设射线，，同理可得， 因此，为定值. 【分析】（1）利用离心率条件、椭圆过点，联立求出； （2）（i）利用点关于直线对称的两个条件：中点在直线上、连线与直线垂直，消参得到的轨迹方程； （ii） 利用曲线与椭圆的对称性，设射线方程为，分别联立射线与曲线、椭圆的方程，求出两点横坐标，再表示出、，计算两者乘积得到定值. 【详解】（1）由题意，得，则，即， 因为椭圆E经过点，所以， 则，解得，则， 所以椭圆E的方程为. （2）（i）结合（1）可知，直线， 设点，由题可知点H与点O不重合，连接， ①当时，，直线l的斜率为，直线的斜率为，线段的中点坐标为， 由于点O与点H关于直线l对称，所以， 整理得，解得， 代入椭圆E的方程得， 整理得曲线的方程为； ②当时，易知此时点H坐标为或，经检验，也符合上式； ③当时，易知此时点H坐标为或，经检验，也符合上式； ④当且时，点G不在椭圆E上，不满足题意，故轨迹不包含原点. 综上所述，曲线的方程为，且不同时为0. （ii）略 变式2．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知椭圆：（）的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．求证：． 【答案】(1) (2)如图，设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故. 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证. 【详解】（1）由，可得① 由点在上，则② 联立①②得，，所以椭圆C的方程为. （2）略 变式3．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)由椭圆，得， 设，易得， 则直线的方程为， 令，可得，则得，即， 因为是椭圆上异于的一个动点，故，即， 则，为定值. (2)12 【分析】（1）设，得到，再表示出，进而求证即可； （2）设，结合（1）得到，设，可将其理解为动点与定点所在直线的斜率，而动点在以原点为圆心的单位圆上，进而分析求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，直线的方程为，令，可得， 设以为直径的圆的圆心为点，则其坐标为，设交轴于点， 连接，则 ， ， 故 ， 因，则，（*） 因点在椭圆上，则可设， 代入（*），可得 ， 不妨设，则可将其理解为动点与定点所在直线的斜率， 又动点在以原点为圆心的单位圆上， 由圆心到直线的距离 ，解得， 依题意，需使，即，从而， 即四边形面积的最小值为. 考点三 椭圆中的定直线问题 例1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，． (1)求椭圆的方程． (2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线AD与直线BE的交点在定直线上 【分析】（1）由题意表示出，，可得，再由椭圆的定义求出，即可求出椭圆的方程； （2）设，，的直线方程为，与椭圆联立，由韦达定理得，，化积为和得，表示出直线AD和直线BE的方程的方程，计算可得，即可证明直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上 【详解】（1）设椭圆的右焦点为，左焦点为，， ，解得， ∴， ∴，，， ∴椭圆的方程为． （2）由题设，直线DE斜率一定存在，设的直线方程为． 联立椭圆方程，消去得． 设，，则，． ∴， 又，， ∴直线AD的方程为，直线BE的方程为． 联立得， ∴． 又∵，∴． ∴直线AD与直线BE的交点在定直线上． 例2．（2026·广西南宁·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的上顶点为，圆，椭圆上是否存在两点使得圆内切于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线存在，且直线的方程为. 【分析】（1）根据圆椭上的点和焦点坐标求出a,b,c，即可求出椭圆方程； （2）设点的坐标，利用直线AB、AC与圆M相切，求出直线BC方程，再利用直线BC与圆M相切建立r的方程，求解即可. 【详解】（1）由题意可知椭圆的右焦点为，因为点在椭圆上， 所以 ，所以，椭圆的方程为． （2）由（1）可知椭圆的上顶点为，假设这样的存在，且设， 则直线的斜率为，直线的方程为， 因为直线与圆相切，则，所以 两边平方化简得， 整理得， 因为，消去得， 因为，两边同时除以，得， 整理得，即点在直线上， 同理点也在直线上， 因此直线的方程为， 若直线与圆相切，则， 解得（舍去）或. 因此直线存在，且直线的方程为， 即. 【点睛】关键点点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 例3．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2) 证明：图所示： 由题知直线与直线的斜率存在， 设，， 由，消去整理得： ， 解得：， 又是异于，的两点， 所以有， 同理可得：， 又，且共线， 所以， 化简得：， 由题知同号， 所以， 联立：， 所以， 将代入点的横坐标， 则， 所以点在定直线上. 【分析】（1）由题知，再利用已知条件求出的值即可； （2）由题知直线与直线的斜率存在， 分别联立直线、直线与椭圆方程解出的坐标，根据共线，找出直线与直线的斜率的关系，再联立直线与直线，得出点坐标，化简即可. 【详解】（1）由题知椭圆焦点在轴上，左、右顶点分别为，， 所以， 又过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点， 当l与x轴垂直时，， 所以将代入中，求得： ，所以， 所以椭圆的标准方程为：. （2）略 变式1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点． (1)求C的标准方程； (2)点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上． 【答案】(1) (2)证明：由题可知，， 设，， 则，设：． 联立消去x得， ∴，， 又，∴：，：， 又∵点P为直线AM'和BN的交点， ∴， 故 ， ∴，故：． 联立消去y得， 因此，点Q位于定直线上． 【分析】（1）利用离心率和点在椭圆上，建立的方程，求解椭圆方程即可； （2）设点M，N坐标，联立直线与椭圆方程，韦达定理，利用坐标关系找到点在定直线上. 【详解】（1）设椭圆C的焦距为， 由题意得，解得， ∴C的标准方程为． （2）略. 变式2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线与C交于M，N两点． (1)当m＝2时，求的值； (2)直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，根据对称关系以及韦达定理，结合弦长公式即可求解， （2）根据两点式分别求解直线的方程，联立直线的方程，求解交点坐标，进而可求解. 【详解】（1）折线为，不妨设M在F的右侧，N在F的左侧， 设，，则M，N关于x轴的对称点分别为，， 联立，得， 所以是的两根， 所以，，，（1）， 当m＝2时，． （2）由题意知，， 则直线AM的方程为， 又因为M在F的右侧，所以满足， 所以直线AM的方程为①， 由题知，，则直线BN的方程为， 又因为， 所以直线BN的方程为②， 得，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 解得x＝1， 所以定点P在直线x＝1上． 【点睛】直线与椭圆的位置关系和直线与抛物线、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；有关直线与椭圆的弦长问题，则用一般弦长公式． 解析几何简化运算的常见方法： （1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算； （2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算； （3）巧用定义，简化运算. 变式3．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于两点（异于点，)，直线，相交于点.证明：点在一条平行于轴的直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题知，进而根据原点O到直线的距离为得即可得答案； （2）设直线方程为，设，，进而与联立方程，设直线和的交点为，进而根据直线和的方程得，再结合韦达定理得，整理得即可证明. 【详解】（1）解：由题可知，，，， 为等腰直角三角形，， 又直线与圆相切，所以原点O到直线的距离为， 因为直线的方程为，即， 所以，解得， 又， 所以椭圆C的标准方程为. （2）解：由过的直线不过，， 所以，设直线方程为， 把代入，得， 所以，，即， 设，，则，， 因为直线的方程为，直线的方程为 设直线和的交点为， 所以，， 把及代入上式，得 ， 即，整理得， 故点Q在一条平行于x轴的直线上，得证. 2 学科网（北京）股份有限公司 $椭圆：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题专项训练 椭圆：椭圆中的定点问题、椭圆中的定值问题、椭圆中的定直线问题专项训练 考点目录 椭圆中的定点问题 椭圆中的定值问题 椭圆中的定直线问题 考点一 椭圆中的定点问题 例1．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知抛物线与椭圆有相同的焦点，点是椭圆的右顶点． (1)求椭圆离心率； (2)已知点，，若椭圆上存在一点，满足，求的值； (3)若直线与交于、两点，且为直角，求证：直线恒过定点． 例2．（25-26高二下·北京顺义·期中）已知椭圆右焦点，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)直线与椭圆交于不同的两点，点，若（是坐标原点），判断直线是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 例3．（25-26高二下·广西南宁·期中）已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． (1)求C的标准方程； (2)证明：直线恒过定点． 变式1．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 变式2．（2026·河南信阳·二模）已知椭圆：的右焦点为，且过点. (1)求的方程； (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点. 变式3．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知椭圆的长轴长为，焦距为2. (1)求的方程； (2)若直线与交于，两点，过点的直线与交于，两点，且，线段，的中点分别为，，证明：直线过定点. 考点二 椭圆中的定值问题 例1．（2026·吉林长春·模拟预测）已知椭圆：过点，且，为坐标原点，平行于的直线交椭圆于，两个不同的点. (1)求椭圆方程. (2)判断直线，斜率的和是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由. 例2．（26-27高三上·云南德宏·开学考试）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，直线与椭圆相交于P、Q两点，A、B是椭圆上位于直线两侧的动点. （i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值； （ii）当A、B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 例3．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知椭圆经过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，．求的值． 变式1．（26-27高三上·江苏泰州·阶段检测）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)点为椭圆上任意一点，点为坐标原点关于直线的对称点，记点的轨迹为曲线. （i）求曲线的方程； （ii）以为端点作射线（不与坐标轴重合），与曲线和椭圆分别交于点，，证明：为定值，并求出该定值． 变式2．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知椭圆：（）的左焦点为，的离心率为，且过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）．求证：． 变式3．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）在直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，点为椭圆上异于的一个动点，直线分别与直线相交于两点，以为直径的圆与轴交于两点．直线与直线斜率分别记为，． (1)求证：为定值； (2)求四边形面积的最小值． 考点三 椭圆中的定直线问题 例1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，． (1)求椭圆的方程． (2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 例2．（2026·广西南宁·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的上顶点为，圆，椭圆上是否存在两点使得圆内切于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 例3．（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程． 变式1．（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知椭圆C：的离心率为，且为C上一点． (1)求C的标准方程； (2)点A，B分别为C的左、右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О，点M关于原点О的对称点为，若直线与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上． 变式2．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，折线与C交于M，N两点． (1)当m＝2时，求的值； (2)直线AM与BN交于点P，证明：点P在定直线上． 变式3．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，下顶点为，为等腰直角三角形，且直线与圆相切. (1)求椭圆的方程； (2)过的直线交椭圆于两点（异于点，)，直线，相交于点.证明：点在一条平行于轴的直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $