精品解析：浙江诸暨市浣江初级中学 2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试卷（9月 ）

2026-2027学年浙江省诸暨市浣江初级中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 2. 下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 下列点中，在二次函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A. B. C. D. 6. 已知抛物线的开口向下，关于x的方程的解，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 根的情况无法判断 7. 已知，是二次函数图象上不同的两点，则当时，二次函数的值为（ ） A. B. 0 C. 2026 D. 无法确定 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致如图（ ） A. B. C. D. 9. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为： ③菜园面积可以达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 12. 抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为______． 13. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ ． 15. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段只有个交点，则的取值范围为____． 三、解答题（8小题，共72分） 17. 已知：抛物线经过A(，0)、B(5，0)两点，顶点为P．求： （1）求抛物线的解析式； （2）求ABP的面积． 18. 已知二次函数． （1）将二次函数化成的形式__________； （2）写出该二次函数图象的对称轴是__________；顶点坐标是__________； （3）写出该函数图象与轴的交点坐标是__________，与轴的交点坐标是__________； （4）在坐标系中画出此拋物线； （5）当时，的取值范围是__________ 19. 如图，二次函数的顶点坐标为，与轴交于，与反比例函数的图象交点横坐标为． （1）求二次函数和反比例函数解析式； （2）根据图象：直接写出的解集． 20. 某兴趣小组接到美化校园一角的任务．如图，同学们计划借助直角墙角（两边足够长）围一个矩形花园，并在上留宽为的门．同学们购买了长的篱笆，设，花园的面积为．完成下列作答． （1）当时，求的值． （2）如图，点处有一棵树与墙的距离是，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 21. 二次函数，其中a为实数． （1）判断点是否在该抛物线上； （2）求该二次函数顶点的纵坐标；（用含a的代数式表示） （3）若将该二次函数的图象向下平移3个单位长度，求所得抛物线顶点纵坐标的最小值． 22. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式． （2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标； （2）若函数图象经过点，，求证：； （3）已知函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 24. 如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． （1）直接写出点C的坐标； （2）如图（1），若点F在抛物线上，当点D横坐标为时，求点F的横坐标； （3）如图（2），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙江省诸暨市浣江初级中学九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式： ，其中，，分别为二次项系数，一次项系数和常数项，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数、一次项系数和常数项分别是； 故选：A． 2. 下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键． 分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列点中，在二次函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 当时，，选项A错误． 当时，，选项B错误． 当时，，选项C正确． 当时，，选项D错误． 4. 已知点，，均在抛物线上，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，通过计算各点的纵坐标值，比较大小即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，均在抛物线上， ∴，，， ∵， ∴， 故选 B． 5. 下表是二次函数的几组对应值，根据表中数据判断，方程的一个解的范围是（ ） x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 y 0.22 0.72 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，根据表格可知二次函数值在之间由负变为正，那么对应的一元二次方程的一个解也属于这个范围，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，；当时，， ∴在之间，二次函数的函数值由负变正， ∴方程的一个解x的范围是， 故选：C． 6. 已知抛物线的开口向下，关于x的方程的解，下列说法正确的是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 根的情况无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向得到的取值范围，再判断根的判别式的符号，即可确定方程的根的情况． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∴关于x的方程是一元二次方程， ∵， ∴，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 7. 已知，是二次函数图象上不同的两点，则当时，二次函数的值为（ ） A. B. 0 C. 2026 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的对称性，由A、B纵坐标相同确定为抛物线对称轴，代入解析式求解． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ，是抛物线上纵坐标相同的两点， ，关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为直线， ， 将代入解析式， 得． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致如图（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； B、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； C、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，矛盾，该选项不符合题意； D、对于函数的图象，，，对于函数的图象，，，该选项符合题意． 9. 如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为．有下列结论： ①的长可以为； ②的长有两个不同的值满足菜园面积为： ③菜园面积可以达到． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用；设边长为，则边长为长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据矩形的面积，解方程求出的值可以判断②；设矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键． 【详解】解：设边长为，则边长为长为， 当时，， 解得：， ∵的长不能超过， ，故①不符合题意； ∵菜园面积为， ， 整理得：， 解得：或， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②符合题意； 设矩形菜园的面积为， 根据题意得：， ， ∴当时，有最大值，最大值为，故③不符合题意． ∴正确的有个， 故选：B． 10. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线的解析式求得点C、D和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型作出点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，此时EDFG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论． 【详解】解：令，则， ∴， ∵， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E， ∴， ∴， 作点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，如图， 则，，，， 此时， ∴此时四边形EDFG周长最小， 延长，它们交于点H，如图， 则， ∴， ∴四边形EDFG周长的最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点F和G的位置是解决本题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 12. 抛物线向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规则是解答的关键．根据函数图象的平移规则“左加右减”进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度，得到抛物线的解析式为， ， 故答案为：． 13. 如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 14. 如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象找到抛物线在直线下方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是. 15. 已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①③⑤ 【解析】 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段只有个交点，则的取值范围为____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的平移，先利用待定系数法求出直线的解析式，根据对称轴为直线，分抛物线在线段上方，以及点在抛物线上两种情况解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，当抛物线在线段上方，且与只有个交点时， 由，得， ∴， 解得； 将抛物线向下移动，当抛物线经过点时，把代入， 得， 解得； 继续向下移动，则与只有一个交点，当经过点时，如图， 把代入，得， 解得； 综上，抛物线与线段只有个交点，则的取值范围为或， 故答案为：或． 三、解答题（8小题，共72分） 17. 已知：抛物线经过A(，0)、B(5，0)两点，顶点为P．求： （1）求抛物线的解析式； （2）求ABP的面积． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法把A(，0)、B(5，0)两点代入求解即可； （2）首先把抛物线的解析式配方成顶点式，然后求出顶点P的坐标，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线经过A(，0)、B(5，0)两点， ∴将A(，0)、B(5，0)两点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵抛物线的解析式为， ∴， ∴顶点P的坐标为(2，9)， ∵A(，0)、B(5，0)， ∴AB=5-(-1)=6， ∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的顶点坐标，坐标系中三角形面积的求解，解题的关键是利用待定系数法求出二次函数表达式． 18. 已知二次函数． （1）将二次函数化成的形式__________； （2）写出该二次函数图象的对称轴是__________；顶点坐标是__________； （3）写出该函数图象与轴的交点坐标是__________，与轴的交点坐标是__________； （4）在坐标系中画出此拋物线； （5）当时，的取值范围是__________ 【答案】（1） （2）； （3）和； （4） 解：作函数图像如下所示： （5） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）利用配方法进行变形即可； （2）由（1）的顶点式，再根据二次函数的性质即可求解； （3）令，解方程可得x轴的交点坐标；令，可求解y轴坐标； （4）根据列表、描点、连线可画出函数图象； （5）根据二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵该二次函数的顶点式为， ∴该二次函数图象的对称轴是，顶点坐标是， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：当时， ， 解得， ∴该函数图象与轴的交点坐标是和， 当时， ， ∴该函数图象与轴的交点坐标是， 故答案为：和，； 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：∵该二次函数的顶点式为， ∴函数的抛物线开口向下，最大值为， 当时， ， 当时， ， ∵抛物线开口向下， ∴在范围内：最大值为顶点的， 最小值接近于（因不在范围内，故不取到）， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 19. 如图，二次函数的顶点坐标为，与轴交于，与反比例函数的图象交点横坐标为． （1）求二次函数和反比例函数解析式； （2）根据图象：直接写出的解集． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将点代入计算即可求解出二次函数的解析式，设反比例函数的解析式为，再求出二次函数与反比例函数的图象交点坐标，代入反比例函数解析式即可求解； （2）根据二次函数与反比例函数的图象交点坐标，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：设二次函数的解析式为，将点代入，则， 解得， ∴二次函数的解析式为； 设反比例函数的解析式为， ∵二次函数与反比例函数的图象交点横坐标为， 将代入，则， ∴二次函数与反比例函数的图象交点的坐标为， 将代入，则， 解得， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知二次函数与反比例函数的图象交点的坐标为， 当或时，反比例函数图象在二次函数图象上方， ∴的解集为或． 20. 某兴趣小组接到美化校园一角的任务．如图，同学们计划借助直角墙角（两边足够长）围一个矩形花园，并在上留宽为的门．同学们购买了长的篱笆，设，花园的面积为．完成下列作答． （1）当时，求的值． （2）如图，点处有一棵树与墙的距离是，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积的最大值． 【答案】（1）的值为12或24 （2）花园面积的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用和一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出，根据矩形面积得到，把代入得到，解方程即可； （2）将变形为，利用二次函数求最值． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴． 由题可知，， ∴． ∴． 当时，， 解得，． 答：的值为12或24． 【小问2详解】 解：将变形为． 由函数表达式可知，关于的二次函数图象开口向下，当时，随的增大而减小． ∵， ∴当时最大． 把代入得， 答：花园面积的最大值为． 21. 二次函数，其中a为实数． （1）判断点是否在该抛物线上； （2）求该二次函数顶点的纵坐标；（用含a的代数式表示） （3）若将该二次函数的图象向下平移3个单位长度，求所得抛物线顶点纵坐标的最小值． 【答案】（1）点在抛物线上； （2）． （3）． 【解析】 【分析】（1）把代入函数解析式，计算函数值，对比纵坐标判断点是否在抛物线上； （2）利用二次函数顶点纵坐标公式代入化简，求出表达式； （3）根据平移规律得到新的顶点纵坐标，再利用平方的非负性求最小值． 【小问1详解】 解：把代入， ， 当时，， 所以点在该抛物线上． 【小问2详解】 解：对于二次函数，顶点纵坐标公式为， 这里， ． 顶点纵坐标为． 【小问3详解】 解：向下平移3个单位，顶点纵坐标减少3， 平移后的顶点纵坐标：， ， ， 当时，，此时取得最小值． 所得抛物线顶点纵坐标的最小值为． 22. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分． （1）建立如图所示的平面直角坐标系． 对某只野兔一次跳跃中水平距离x（单位：m）与竖直高度y（单位：m）进行测量，得到以下数据： 水平距离x 0 1 2 竖直高度y 0 根据上述数据，回答下列问题： ①野兔本次跳跃的最大竖直高度为 m； ②求满足条件的抛物线的解析式． （2）在满足（1）的条件下，在野兔起跳点前方处有宽为的小溪，则野兔此次跳跃 （填“能”或“不能”）跃过小溪． 【答案】（1）①；② （2）能 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． （1）①根据表中数据得出结论； ②设出抛物线解析式的顶点式，用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，解方程求出x的值，即求出野兔的落地点与比较即可． 【小问1详解】 解： ①由，和，可知， 抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最大值， ∴野兔本次跳跃的最大竖直高度为米， 故答案为：； ②由题意可知，抛物线的顶点为. 设抛物线解析式为. 当时，， ，解得. 抛物线的解析式为. 【小问2详解】 能. 理由：令，则， 解得，（舍去）， ∴野兔落地点距离起跳点米， ， ∴野兔此次跳跃能跃过小溪． 故答案为：能． 23. 在平面直角坐标系中，设二次函数（是常数）． （1）若函数图象经过点，求函数图象的顶点坐标； （2）若函数图象经过点，，求证：； （3）已知函数图象经过点，，若对于任意的，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：∵函数图象经过点，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）可求出，，则； （3）可得到二次函数开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远函数值越大，则对于任意的，到对称轴的距离大于2，再分、、三种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，函数值越大，又， ∴对于任意的，到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 即到对称轴的距离的最小值大于2， 当时，离对称轴的最小值为，则，解得； 当时，离对称轴的最小值为0，不符合题意； 当时，离对称轴的最小值为，则，解得． 综上，或． 24. 如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． （1）直接写出点C的坐标； （2）如图（1），若点F在抛物线上，当点D横坐标为时，求点F的横坐标； （3）如图（2），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出点，即可求解； （2）设出点E，F的坐标，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程组求解，即可求出答案； （3）先求出点，再求出直线的解析式，然后过点E作轴交直线于点G，连接，设点，则点，可得，再由平行四边形的面积是13，可得，再根据，列出关于a的方程，求出点E的坐标，即可求解 【小问1详解】 解：当时，， 解得：， ∴点， ∵C是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵点E，F在抛物线上， ∴设点， ∵点D在抛物线上，且点D的横坐标为， ∴， 由（1）知， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 即点F的横坐标为； 【小问3详解】 解：把代入得： ， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，过点E作轴交直线于点G，连接， 设点，则点， ∴， ∵平行四边形的面积是13， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点， ∵先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点， ∴点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位到达点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $