精品解析：浙江省绍兴市诸暨市暨阳初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

暨阳初中教育共同体2025学年第一学期10月阶段性测试试卷 九年级数学卷 分值：120分 时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小即可判断求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，的半径，且， ∴点在外， 故选：． 2. 二次函数 的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数y＝−（x＋2）2−1的顶点坐标为（−2，−1）． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标的方法是解题的关键． 3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的确定，根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，进行判断即可． 【详解】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任作两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而确定圆即可． 故选：A． 4. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由“左加右减”的原则可知，向右平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向下平移3个单位长度所得的抛物线的解析式为：．故选A． 考点：二次函数图象与几何变换． 5. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，根据解析可得对称轴和离对称轴越远，函数值越小，据此求出三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵点，，）都在该抛物线上，且， ∴， 故选：B． 6. 三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆与外心、勾股定理的逆定理等知识点，掌握直角三角形的外心就是斜边中点是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，可以判断这个三角形是直角三角形，且斜边就是外接圆的直径，据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴这个三角形的外接圆的直径的长就是斜边的长为10， ∴此三角形的外接圆半径是5． 故选：C 7. 如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集为（　　） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象，找出抛物线在直线上方所对应的自变量的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解．数形结合思想的应用是解决问题的关键． 【详解】解：∵直线与抛物线交于两点， ∴当时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：B． 8. 如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___． 【答案】1 【解析】 【分析】连接OD，根据勾股定理求出CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据垂径定理计算即可． 【详解】连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD＝＝， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CB＝AB＝×2＝1， 即CD的最大值为1， 故答案为1． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想解题，是解题的关键．根据抛物线的开口方向、对称轴、与轴的交点，即可判断、、的大小，从而即可判断①，根据对称轴和经过，得到，代入进行求解即可判断②④，根据当时二次函数取得最大值，即可判断③． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵抛物线交轴正半轴， ， ∴，故①正确， ∵抛物线的对称轴为直线， ， ∵图象过点， ， ， ， ∴，故②错误， 当时，函数有最大值， ， ∴（为常数），故③正确， ， ∴，故④正确， 正确的个数有3个， 故选：C． 10. 定义：抛物线（，，为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用表示的点的坐标．把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得和的值，易得，则可得用表示的值及的值，进而可得用表示的的式子，把用表示的代入抛物线解析式，可得的值． 【详解】解：， ，． 抛物线的“相对深度”为6， ， ． ， ． ． ， ． ． 故选：B． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如图，在中，，的度数是_____． 【答案】##112度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，理解并掌握圆周角定理是解题关键．圆周角定理：同弧所对圆心角等于所对圆周角的两倍．据此即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，将绕点逆时针旋转得到，已知，则__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质．由旋转可得，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 13. 二次函数的图象与坐标轴的交点个数是____个． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线与坐标轴的交点是解题的关键． 利用根与系数的关系求出图象与x轴交点的个数，再求出函数图象与y轴的交点，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象与x轴有2个交点， 当时，， ∴函数图象与y轴交于点， ∴图象与坐标轴的交点个数是3． 故答案为：3 14. 如图，已知的弦垂直平分半径，连接并延长交于点，连接，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆的综合问题，解题的关键是掌握垂径定理，还涉及到勾股定理和三角形中位线定理，综合运用所学知识． 首先连接，由的半径弦于点，根据垂径定理可求得，然后设，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得的长，又由是直径，可得，继而求得答案． 【详解】解：连接， ∵的半径弦于点， ， 设， ∵弦垂直平分半径， ， 在中，， ， 解得：， ∴， ∵， ， ∵是直径， ， ， 故答案为：． 15. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换．明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答是解题的关键． 先求出坐标，然后利用旋转的性质得出的坐标，依此规律得到的坐标，再根据抛物线开口向上，利用交点式求出的解析式，最后确定此拋物线的顶点坐标即可解答． 【详解】解：当时，，解得， ， ∵将绕旋转得到，交轴于，将绕旋转得到，交轴于， ， ．．． ， 即， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵拋物线的开口向上， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 16. 二次函数，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为____________ 【答案】0.5 【解析】 【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向下，大致图象如下： 且， ， 分两种情况讨论： 第种情况：当时，此时， ∴当时，y随x增大而增大， 当时，y取最小值2m，即， 解之得：舍去． 当时，y取最大值2n，即，    这两个根都与相矛盾， 故全部舍去． 第情况：当时，此时， 根据图象： 当时，y的最小值为2m，即：， 解之得：舍去， 当时，y取最大值为2n，即： 解之得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键． 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分） 17. 已知二次函数的图像经过点． （1）求的值； （2）求此二次函数的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质． （1）将代入计算即可； （2）将二次函数化为顶点式，进而作答即可． 【小问1详解】 解：将代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴此二次函数的顶点坐标． 18. 如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， （1）求圆的半径； （2）求弦的长． 【答案】（1）5 （2）8 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据即可求解． （2）根据勾股定理及垂径定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ； 【小问2详解】 解：∵，， ， ， ， ． 19. 已知二次函数中的x，y满足如表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）直接写出该函数图象的开口方向； （2）当时，求自变量x的值； （3）直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）开口向上 （2）或5 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是根据表格分析二次函数的图象和性质． （1）根据表格中对称点，可求图象对称轴，由图象对称轴右侧的y随x增大而增大可得抛物线开口向上； （2）根据二次函数的对称性求表格中的对称点即可求得； （3）根据函数的图象经过，，以及开口方向即可确定． 【小问1详解】 解：∵图象经过，， ∴图象对称轴为直线， 由表格可得，时，y随x增大而增大， ∴抛物线图象开口向上； 【小问2详解】 ∵关于直线的对称点是， ∴当时，求自变量x的值为或5； 【小问3详解】 ∵函数图象经过，，开口向上， ∴当时，x的取值范围为：． 20. 如图，是的直径，是的弦，如果． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． （1）根据圆周角定理得到，利用互余可计算出，再利用圆周角定理即可求解； （2）利用圆周角定理结合含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理求解即可 【小问1详解】 解：是的直径， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 21. 如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． （1）若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积． 【答案】（1）S＝－2x2＋20x(1≤x＜10) （2）当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米 【解析】 【分析】（1）先求出矩形的另一边，然后由矩形的面积公式，即可得到答案； （2）运用二次函数的性质进行解题，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米，则另一边为米， ∴； ∵， 解得：； ∴S与x之间的函数关系式为： ，（）； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ∴； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为50； ∴当矩形苗圃园垂直于墙的边长为5米时，这个苗圃园的面积最大，最大面积为50平方米； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系是解题关键． 22. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （3）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】（1）（，x为正整数） （2）每件衬衫的售价90 元 （3）每件衬衫的售价定为 100 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润 7200 元 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润每件的利润销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）根据题意可得，整理出一般式，最后再求出x取值范围即可； （2）根据题意列出方程，即可求解； （3）由结合二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元， 由题意得：， ∵每件售价不能高于105元， ∴， 解得：， 又∵x为正整数， ∴y与x的函数关系式为（，x为正整数）． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：（舍弃）， ， 答：每件衬衫的售价90 元． 【小问3详解】 解：由（1）知， ∴，开口向下， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为 100 元时，每个月可获得最大利润，最大月利润 7200 元． 23. 我们知道：抛出的物体在空中运动的路线可视为二次函数的图象．如图1，为了研究羽毛球的发球与接球问题，现以一个单位长度代表1米，以地面为x轴，以甲同学站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，甲同学在点处发出的羽毛球看成点，羽毛球运动路线为二次函数的图象的一部分，如图2． （1）求的值，并求羽毛球到最高点时的坐标（用含有的代数式表示）； （2）若乙同学准备在点处接球． ①乙同学观察到甲同学发过来的球，决定由点向正前方前进1米，再竖直向上跳米去接球，结果刚好接到羽毛球，求出此时的值； ②乙同学观察发现：在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过米的范围内都可以接到羽毛球．若甲同学发出的球，乙同学可以接到，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把点A坐标代入解析式可求出m的坐标，再利用顶点计算公式求出顶点坐标即可； （2）①根据题意可得乙同学接球点的坐标为，据此把代入解析式中计算求解即可；②根据题意接球点在由点和点组成的线段上，据此把代入解析式求出n的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入中得， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①由题意得，乙同学接球点的坐标为，即， 把代入到中得，解得； ②当抛物线恰好经过点，即时， 则，解得， ∴若甲同学发出的球，乙同学可以接到，则． 24. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】（1）， （2）面积的最大值为， （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的性质、待定系数法求二次函数的表达式，等腰直角三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，然后将与抛物线的解析式联立方程组并求解即可； （2）过点作轴，交直线与点，设，则，则，然后依据，列出的面积与的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可； （3）设直线与轴相交于点，则，设点坐标为，点点坐标为，先证明为等腰直角三角形，然后根据和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴的交点坐标是、， 设该抛物线解析式为， 将点代入函数解析式代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为：， 联立方程组：， 解得或， ∵， ∴点的坐标是； 【小问2详解】 解：如图所示： 过点作轴，交于点， 设，则， ， ， 当时，的面积的最大，最大值为，此时； 【小问3详解】 解：设直线与轴相交于点，则， ∵过点Q作轴于点F，交抛物线于点G， ∴设点坐标为，则点点坐标为， ， ， ， 轴， ， 若为直角三角形，则是等腰直角三角形， ①当时，过点作于， ，，， ，解得：（舍去）或， ； ②当，则， ， 解得（舍去）或， ； 综上所述，当为直角三角形时，点Q的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 暨阳初中教育共同体2025学年第一学期10月阶段性测试试卷 九年级数学卷 分值：120分 时间：120分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在所在平面内有一点P，，半径为，则点与位置关系是（ ） A. 在上 B. 在外 C. 在内 D. 不能确定 2. 二次函数 的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 设抛物线C1：向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C2，则抛物线C2对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 三边长为6，8，10的三角形，它的外接圆半径长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集为（　　） A. 或 B. C. D. 8. 如图，在⊙O中，弦AB＝2，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___． 9. 二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，对称轴为直线，给出下列结论：①；②；③（为常数）；④． 其中正确的个数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 定义：抛物线（，，为常数，）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线的“相对深度”为6，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 1 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 如图，在中，，的度数是_____． 12. 如图，将绕点逆时针旋转得到，已知，则__________． 13. 二次函数的图象与坐标轴的交点个数是____个． 14. 如图，已知的弦垂直平分半径，连接并延长交于点，连接，若，则_____． 15. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点，，将绕旋转得到，交轴于点，将绕旋转得到，交轴于点，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是______． 16. 二次函数，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为____________ 三、解答题（本大题共有8个小题，共72分） 17. 已知二次函数的图像经过点． （1）求的值； （2）求此二次函数的顶点坐标． 18. 如图，为的直径，是弦，且于点E，连接，若，， （1）求圆的半径； （2）求弦的长． 19. 已知二次函数中的x，y满足如表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 3 0 0 3 8 … （1）直接写出该函数图象的开口方向； （2）当时，求自变量x的值； （3）直接写出当时，x的取值范围． 20. 如图，是的直径，是的弦，如果． （1）求的度数． （2）若，求的长． 21. 如图，某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为20米的篱笆围成．已知墙长为18米，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． （1）若这个苗圃园的面积为S平方米，求出S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大面积． 22. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． （1）求y关于x的函数关系式； （2）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （3）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 23. 我们知道：抛出的物体在空中运动的路线可视为二次函数的图象．如图1，为了研究羽毛球的发球与接球问题，现以一个单位长度代表1米，以地面为x轴，以甲同学站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，甲同学在点处发出的羽毛球看成点，羽毛球运动路线为二次函数的图象的一部分，如图2． （1）求的值，并求羽毛球到最高点时的坐标（用含有的代数式表示）； （2）若乙同学准备在点处接球． ①乙同学观察到甲同学发过来的球，决定由点向正前方前进1米，再竖直向上跳米去接球，结果刚好接到羽毛球，求出此时的值； ②乙同学观察发现：在与点正前方1米处，且竖直方向的距离上下均不超过米的范围内都可以接到羽毛球．若甲同学发出的球，乙同学可以接到，求的取值范围． 24. 如图所示，已知抛物线经过点、、，与直线交于B，D两点． （1）求抛物线的解析式并直接写出D点的坐标； （2）点P为直线下方抛物线上的一个动点，试求出面积的最大值及此时点P的坐标； （3）点Q是线段上异于B，D的动点，过点Q作轴于点F，交抛物线于点G，当为直角三角形时，直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $