专题01 有理数的混合运算（专项训练）数学新教材北京版七年级上册

的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01有理数 内容概览 目常考题型·精准突破 考点一有理数 题型1绝对值综合（重难） 题型2数轴动点问题（难） 题型3有理数规律探究（高频） 考点二有理数的运算 题型4有理数四则混合运算 题型5有理数的运算填空压轴（难） 题型6进制转换（难） 题型7有理数的新定义运算（重难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 。考点一有理数● ◆题型1绝对值综合 1.(1)c<b<0<a (2)-a-b 2.C 3.(1)4 (2)1或-9 (3)0,1,2,3 1/8 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)6(答案不唯一) 4.(1)3或-1： (2)4 (3)-2,7 ◆题型2数轴动点问题 7 5. 成 6.(1)-1或3： (2)-7≤d≤-1 (3)a-b=2 7.(1)-3 (2)点Q表示的数为3或7 (3)%和%的数量关系为%-n=-1013或h-n2=3039 8.(1)①-2.5：0.5：3②1.5x+3y-14 (2)k=b-a-2或k=b-a+2 ◆题型3有理数规律探究 9 -128/(-2)7 （-2) 10 6 1024m 11. 12.c 218 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.3n+2 ●考点二有理数的运算●— ◆题型4有理数四则混合运算 14.(1)6 (②)5 (4)-4 15.(1)6 因9 (3)-2 (4)-12 (2)-4 (3)19 两2 17.(4)9 (2)1 (3)-7 3/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (④2 18.(1)-3 (2)0.7 (4-5 (5⑤)-10 (6-26 7 0-2 (8)5.35 ◆题型5有理数的运算填空压轴 19. 2 13 20. 4 57 21. 60 C-A-B-D 22 15 -12 23 55 C→A→B→D ◆题型6进制转换 24.(1)10101,考场号：21 (2) 解：图3中第一行编码为：11101， 418 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 转化成10进制为： 1×24+1×23+1×22+0×2+1×1=29, 第一行正好符合； 图3中第二行编码为：10001， 转化成10进制为： 1×24+0×23+0×22+0×2+1×1=17, 而19-17=2， .第二行需要将从右边数第二个小正方形涂黑： 图3中第三行编码为：00000， 转化成10进制为： 0×24+0×23+0×22+0×2+0×1=0, 而2-0=2， ∴.第三行需要将从右边数第二个小正方形涂黑： 图3中第四行编码为：01101， 转化成10进制为： 0×24+1×23+1×22+0×2+1×1=13. ∴.第四行正好符合： 图3中第五行编码为：01000， 转化成10进制为： 0×24+1×23+0×22+0×2+0×1=8, 5/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10-8=2 .第五行需要将从右边数第二个小正方形涂黑；如图所示： (3)E 25.(1)21 (2)64m+8n+p,2,3,1 26.(1)22 (2)①72,648，②9-9m 27.(1)L,1):（1,0,0).() (2(1,11,0,0)或，0,1)） ◆题型7有理数的新定义运算 28.(1)-13 (2)x=2 (3)x=1 29.(1)B (2)-3≤t≤-1或1≤t≤3 3 .17 3)2≤1≤2或2 30.四1,0 (2) 是，理由： 618 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .(m,n)是“共生有理数对”， m-n=mn+l,整理得-n=mn+l-m, 把-n=mm+1-m代入-n-（-m）,得-n-（-m）=mn+l-m-(-m)=mn+1=(-nm)(-m)+l, :.（-n-m)是“共生有理数对” 综合攻坚知能拔高 一、选择题 1.B 2.A 3.B 4.D 二、解答题 5.(1)-8 (2)21 (3)-21 (4)-9 6.(1)>,<,< (2)a-2b 7.(1)①-2.5；0.5：3②1.5x+3y-14 (2)k=b-a-2或k=b-a+2 8.(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；(2)-5；(3)适用 9.(1)2,5 (2)m-2 o号 (④m=3或m=7 (⑤)2 10.(1)是 11 (2)4或5 718 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)k的最大值为g9,|a+b1的最小值g9 、1 11.(02: (2)③ (3)-6 12.(1)1 (2)3或-4 (3)-3或6 13.(1)①75；188；②1708（答案不唯一） (2)①3：②9”-9四 14.(1) |56 24的值为g (2) 化简结果为-5x+2 (3) x的值为2 15.(1)4 (2)1或-9 (3)0,1,2,3 (④)6（答案不唯一） 8/8 专题01 有理数 常考题型·精准突破 考点一 有理数 题型1 绝对值综合（重难） 题型2 数轴动点问题（难） 题型3 有理数规律探究（高频） 考点二 有理数的运算 题型4 有理数四则混合运算 题型5 有理数的运算填空压轴（难） 题型6 进制转换（难） 题型7 有理数的新定义运算（重难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数 ◆题型1绝对值综合 1．有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)用“”连接0，，，； (2)化简代数式 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数轴上右边的数大于左边的数即可求解； （2）先根据数轴得到，，然后化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】（1）略 （2）解：由于，且， ∴，， ∴． 2．如图，数轴上的点，分别表示数a，b．用点表示数，点表示数．给出下列四个结论： ①若，则； ②点一定在原点左侧； ③若点在点，之间（不与点，重合），则； ④点与点的距离一定等于点与点的距离． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【详解】解：①若，则，无法判断，故①不正确； ②根据数轴可知， ∴，点一定在原点左侧，故②正确； ③若点在点，之间（不与点，重合）， 则有， ∴，， 则，故③不正确； ④点与点的距离为：，点与点的距离为：， ∴点与点的距离一定等于点与点的距离，故④正确． 3．通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离．表示数轴上有理数a所对应的点到和4所对应的两点间的距离之和． 例如的几何意义为数轴上表示数a与2的两点间的距离，若，则a的值为1或3． (1)数轴上表示数1与的两点间的距离是______； (2)如果，那么______； (3)当代数式取最小值，且x为非负整数时，这样的非负整数x是______； (4)当代数式取最大值时，写出一个满足条件的x的值______． 【答案】(1)4 (2)1或 (3)0，1，2，3 (4)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点间距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的意义得出，然后求出x的值即可； （3）根据绝对值的几何意义，得出当时，最小，然后根据x为非负整数得出x的值即可； （4）根据绝对值的几何意义，得出当时，最大，然后写出一个x的值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数1与的两点间的距离为： ； （2）解：∵， ∴， 解得：或； （3）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示3和两个点的距离之和， ∴当时，最小， 又∵x为非负整数， ∴x的值为0，1，2，3； （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1的点的距离与表示点的距离之差， ∴当时，最大， ∴满足条件的x的值可以是．（答案不唯一） 4．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的有理数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为________； (2)当取最小值时，最小值是________； (3)当的值最小时，的取值为________，最小值是________． 【答案】(1)3或； (2)4 (3)，7 【分析】（1）因为的几何意义是数轴上表示的点到表示1的点的距离为2，所以可以直接根据数轴上的点的位置求解． （2）因为是数轴上表示的点到表示和1的点的距离之和，所以当表示的点在这两个点之间（含端点）时，距离和取最小值，最小值为两点之间的距离． （3）因为是数轴上表示的点到表示、1的三个点的距离之和，所以当取中间的那个点对应的数时，距离和取最小值，最小值为两端点之间的距离． 【详解】（1）解：的几何意义是：数轴上表示的点和表示的点距离为2． 在数轴上，到表示1的点距离为2的点有两个： 在表示1的点右侧2个单位的点表示的数为， 在表示1的点左侧2个单位的点表示的数为， ∴为3或． （2）解：先把式子变形为， 几何意义是：数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和． 当表示的点落在表示和两点之间（包含端点）时，两段距离刚好拼接成表示的点到表示的点的完整线段，距离和最小， 最小值就是两点间距：． （3）解：把式子变形为， 几何意义是：数轴上表示的点到表示、、三个点的距离之和． 对于奇数个定点的距离和，当取中间的那个定点表示的数时，总距离最小： 这里排序后的三个数是、、， 中间的数是． 代入计算得最小值：． ◆题型2 数轴动点问题 5．如图，点A，B是数轴上两点，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒． （1）点P和点Q相向运动，当t=___________时，点P和点Q重合； （2）当t=___________时，点P和点Q相距1单位长度． 【答案】 2 或 【分析】根据数轴确定点、的坐标及间的距离． （1）利用相遇问题的基本关系：时间路程速度和，列式计算即可； （2）分相遇前和相遇后两种情况，根据路程关系列方程求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为，点表示的数为2， ， （1）点和点相向运动，点的速度为1，点的速度为2， 两点相遇所需时间； （2）根据题意，点和点相向运动， ①当点和点相遇前相距1个单位长度时， 两点运动的路径和为， ； ②当点和点相遇后相距1个单位长度时， 两点运动的路径和为， ， 综上所述，当或时，点和点相距1单位长度． 6．定义：数轴上有三点，，，若，则称为，两点的二倍分点． 已知，分别对应的数是，0． (1)若是，的二倍分点，则点对应的数是________； (2)，对应的数是和，若线段上存在两点，，使得为，的二倍分点，则的取值范围是________； (3)，对应的数分别是8和12，线段和线段沿着数轴同时同向运动，每秒个单位长度，每秒个单位长度，若存在恰好时长为6.5秒的时间段内，线段上存在某一点，它是上某两点的二倍分点；同时线段上也存在一点，它也是上某两点的二倍分点，则，满足的关系是________． 【答案】(1)或3； (2) (3) 【分析】（1）设点对应的数为c，表示出和的长度，然后根据，分类讨论求得c的值； （2）分析“二倍分点”的定义可知点的运动范围，再分情况讨论，当点D、E在点A的左侧时，此时当点表示的数为d时，d取得最小值；当点D、E在点A的右侧时，此时当点表示的数为时，此时d取得最大值；两种情况分别根据列出方程，求得d的值即可； （3）设线段上点是上某两点的二倍分点，线段上存在点是上某两点的二倍分点，由（2）可知和的运动范围，两个范围在秒内有重叠则满足题意，分不同运动方向讨论，根据同向错车问题的思路求解即可． 【详解】（1）解：设点对应的数为c，则，， 根据题意，即， 当时，，解得，舍去； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上，点对应的数为或3； （2）解：根据“二倍分点”的定义可知，，则此时三点的位置关系如图所示，，此时点在线段上； 当点、在点的左侧时，如图所示，当与重合，且时，取得最小值，此时点表示的数为，点表示的数为， ，， 由于， 则， 解得； 当点、在点的右侧时，如图所示，当与重合，且时，取得最大值，此时点表示的数为，点表示的数为， ， 由于， 则， 解得； 综上，的取值范围是； （3）解：设线段上点是上某两点的二倍分点，如图，令， 由（2）可知，在范围内， 线段上存在点是上某两点的二倍分点，如图，令， 由（2）可知，在范围内； 又由题可知，在秒内与存在重合部分，如图为它们重合时的状态， 假设它们向右运动，则，存在重合状态时，相对多走了，则； 假设它们向左运动，则，存在重合状态时，相对多走了，则； 综上，． 7．在数轴上，点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动秒（，），得到点，我们称点是点关于的“变换点”． (1)点表示的数是，点是点关于的“变换点”，点表示的数是________； (2)点表示的数是，点是点关于的“变换点”，且，求点表示的数； (3)数轴上，两点间的距离为，且点在点的右侧，点是点关于的“变换点”，点是点关于的“变换点”，如果，那么直接用等式表示和的数量关系． 【答案】(1) (2)点表示的数为或 (3)和的数量关系为或． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）设点表示的数为，求得点表示的数是，再根据题意求得，据此求解即可； （3）设点表示的数为，点表示的数为，推出，，，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得点表示的数是，，， 则点表示的数是； （2）解：设点表示的数为， ∵点是点关于的“变换点”， ∴点表示的数是， ∵点表示的数是， ∴，， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 综上，点表示的数为或； （3）解：设点表示的数为，点表示的数为， ∵，两点间的距离为，且点在点的右侧， ∴， ∵点是点关于的“变换点”， ∴， ∵点是点关于的“变换点”， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 综上，和的数量关系为或． 8．甲、乙两人借助“数轴”和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上随机挑选一个点作为游戏的起点，甲选择的游戏起点记为，乙选择的游戏起点记为，然后两人进行“剪刀、石头、布”，每次“剪刀、石头、布”的结果共有三种可能：平局、甲胜、乙胜；再根据每次“剪刀、石头、布”的结果，，两点沿数轴同时移动，移动规则如表： “剪刀、石头、布”的结果 ，两点移动方式 平局 点向右移动0.5个单位长度，点向左移动0.5个单位长度 甲胜 点向右移动2个单位长度，点向右移动1个单位长度 乙胜 点向左移动1个单位长度，点向左移动2个单位长度 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数） (1)如图，起点表示的数是，起点表示的数是2． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，乙胜一次，点最终位置表示的数是___________，点最终位置表示的数是___________，此时，两点间的距离是___________； ②当时，其中平局次，甲胜次，求点最终位置表示的数（用含，的代数式表示）． (2)若起点表示的数是，起点表示的数是（，均为整数，且），当，两点最终位置相距2个单位长度时，探究的值，直接写出结论（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)①；0.5；3② (2)或 【分析】（1）①根据移动规则和两点间的距离公式即可求解； ②根据移动规则即可求解； （2）分点A在点B的左侧和点A在点B的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，其中平局一次，甲胜一次，乙胜一次，点最终位置表示的数是； 点B最终位置表示的数为； A、B两点间的距离． ②当时，其中平局x次，甲胜y次， A点最终位置表示的数为 ； （2）解：∵起点表示的数是，起点表示的数是（，均为整数，且）， ∴设平局x次，甲胜y次，乙胜z次，则：， ∴点最终表示的数是，点最终表示的数是， ∴ ， ∵，两点最终位置相距2个单位长度， ∴， ∴或， ∴或． ◆题型3 有理数规律探究 9．一行按规律排列的数：，4，，16，，…，其中第7个数是______，第n个数是______（n为正整数）． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了数字规律探索，观察数列的符号和数值规律，得出一般规律，得出答案即可． 【详解】解：∵，，，，，…， ∴第7个数为：； 第n个数为：． 故答案为：；． 10．四个有理数按顺时针排成一个圆圈，经过一次“环形合并操作”得到新的四个数，规则如图所示． （）已知分别为，，，，将经过一次“环形合并操作”后的四个数的和为_______； （）将经过第次“环形合并操作”后得到的四个数，按照相同的规则继续进行下一次“环形合并操作”，记作第次操作，以此类推，不断重复以上操作．若的和为，则经过第次操作后得到的四个数的和为_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】（）根据规则解答即可； （）根据规则找出和的变化规律，再根据规律解答即可． 【详解】解：（）根据规则，经过一次“环形合并操作”后的四个数分别为 ，，，， ∴这四个数的和为：， 当，，，时，原四个数的和 ， ∴经过一次操作后的四个数的和为 ； （）设第次操作后得到的四个数的和为， 由（）可知，每次操作后的四个数之和是操作前四个数之和的倍， ∵初始四个数，，， 的和为， ∴第次操作后的和， ∴第次操作后的和， ∴第次操作后的和， ， ∴第次操作后的和， ∴经过第次操作后得到的四个数的和为． 11．谢尔宾斯基三角形是一种奇妙的分形图形．从一块黑色正三角形图0开始进行如下操作： 第一次操作，在黑色正三角形图0的每一条边上取一点将各边平分为两份，依次连接这三个点，此三角形被分成面积都相等的四个正三角形，挖去中间的正三角形，得到镂空的新图形图1． 第二次操作，接着把图1中剩下的所有黑色正三角形按照前面的操作方法，又得到镂空的新图形图2． 以此类推得到图3，图4，……． ①经过第一次操作以后，所得图1中所有黑色正三角形的面积之和是图0面积的，则_________； ②至少经过第_________次操作以后，剩余所有的黑色正三角形面积之和小于图0面积的． 【答案】 【分析】根据题意，每一次操作后，挖去等边三角形的面积的，据此分析出黑色部分面积与上一次黑色部分面积之间的倍数关系，并建立不等式求解． 【详解】①解：根据题目描述，第一次操作是将黑色正三角形图0分成面积都相等的四个小正三角形． 设图0的面积为S， 因为分成的四个小正三角形面积相等，所以每个小正三角形的面积为， 操作规则是“挖去中间的正三角形”，即去掉了1个小正三角形，保留了3个小正三角形， 所以，图1中所有黑色正三角形的面积之和为： 所以，． ②由第①问可知，经过一次操作，黑色部分的面积变为原来的， 图1的面积是图0的， 图2是在图1的基础上进行操作的，所以图2的面积是图1的，即图0的， 以此类推，经过第x次操作后，剩余黑色正三角形的面积之和是图0面积的． 题目要求剩余面积之和小于图0面积的，即建立不等式： 我们需要通过计算来寻找满足条件的最小整数x： 当时，，而，，不满足条件； 当时，，，不满足条件； 当时，，因为，，不满足条件； 当时，，因为，，满足条件． 所以，至少经过第4次操作以后，剩余所有的黑色正三角形面积之和小于图0面积的． 12．如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要根小棒，图案②需要根小棒，图案③需要根小棒，按此规律摆下去，第个图案需要小棒的根数为（　　） A．36 B．46 C．52 D．66 【答案】C 【分析】根据图形的变化规律可知，第一个图案需要根小棒，从第二个图案开始都比前一个图案多根，可归纳出第个图案需要小棒根．本题主要考查图形的变化规律，根据图案的变化归纳出第个图案需要小棒根是解题的关键． 【详解】解：根据图形的变化规律可知， 第一个图案需要根小棒， 第二个图案需要根小棒， 第三个图案需要根小棒， ， 第个图案需要根小棒， 即第个图案需要根小棒， ∴第个图案需要小棒的根数为， 故选：C． 13．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影．按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为________（用含n的式子表示）．    【答案】 【分析】本题考查了图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形发现涂有阴影的小正方形个数依次增加是解题的关键． 根据所给图形，依次求出图形中涂有阴影的小正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为：； 所以第个图案中涂有阴影的小正方形的个数为个． 故答案为： ． 考点二 有理数的运算 ◆题型4 有理数四则混合运算 14．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）同级运算，从左往右依次进行计算；异号相加，取绝对值大的符号，并把绝对值相减； （2）有理数乘除运算，符号遵循奇负偶正的原则，除以一个数等于乘以这个数的倒数； （3）除以一个数等于乘以这个数的倒数，用乘法分配律进行计算； （4）先算乘方，再算乘除，最后算加减． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简符号，再从左往右计算即可； （2）先运用乘法分配律计算即可； （3）先计算乘除，再计算加减即可； （4）先计算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 17．计算题． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 18．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 （7）解：原式 （8）解：原式 ◆题型5 有理数的运算填空压轴 19．有三张同样的卡片各写着一个正整数，这三个互不相等的数分别是，，．（）从这三张卡片中任取两张，记录的两个数之差的绝对值为m，并将m与剩余的一张卡片上的数作差，记这个差的绝对值为k． （1）若三个数是5，4，3，且5和4先被取出，则________； （2）若，且k的最小值为6，则的最大值为________． 【答案】 2 13 【分析】（1）根据题目定义直接计算k的值； （2）根据题目定义直接计算k的值，再枚举所有取卡片的场景，化简三个k的表达式，结合k的最小值为6的约束推导a与b的关系，进而求解的最大值． 【详解】解：（1）取出5和4，则，剩余卡片为3， 故； （2）任取两张卡片共有三种取法，分别对应三个k值： ① 取a和b，剩余，则，故； ② 取a和c，剩余b，，故； ③ 取b和c，剩余a，，故； ∵，三个数为互不相等的正整数，，分情况化简： 当时，． 若，则，此时， 故k的最小值为，即或， 此时，b最小为9，对应最大值为． 若，则，此时k的最小值为6，分两种可能： 若，即， ∵， ∴， 此时，解得，与矛盾，无符合条件的解． 若，即或，需满足： 当时，，代入得，对所有正整数成立， 此时，b最小为1，对应最大值为． 当时，， ∵， ∴， 即，此时． 当时，，此时，无法满足k的最小值为6，无符合条件的解． 综上，的最大值为13． 20．某农业科技公司培育了15个农作物新品种，按其评估价值由低到高标注为1号至15号，并交由三个苗圃基地试种这些农作物新品种，每个苗圃基地种植5个．将每个苗圃基地种植的农作物新品种的最大标号与最小标号之和称为“综合培育价值指数”． （1）若其中一个苗圃基地种植农作物新品种的“综合培育价值指数”为7，则该苗圃基地可选择的不同种植方案有____种； （2）这三个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”之和的最大值是____． 【答案】 4 57 【分析】本题考查列举计数与极值优化问题，涉及对“综合培育价值指数”的理解，我们需要根据定义用“最大标号最小标号”来分析种植方案的构成和极值情况； （1）由综合培育价值指数为7，得最小标号与最大标号之和为7，且最大标号与最小标号之差至少为4，唯一满足条件的一对为1号和6号，中间需从2、3、4、5中选3个品种，有4种选法； （2）为最大化三个基地的指数之和，对于每个苗圃基地，应让最大标号尽可能大，最小标号尽可能大，据此分析即可求解． 【详解】解：（1）设该苗圃基地种植品种的最小标号为，最大标号为，则， ∵每组有5个品种，需保证至少5个品种在至之间， ∴， ∴，， 此时中间三个品种需从2、3、4、5中选择，选择方案数为种． 故答案为：4． （2）要使三个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”之和最大，则每个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”都要尽可能大， 对于每个苗圃基地，要使“综合培育价值指数”最大，应让最大标号尽可能大，最小标号尽可能大，三个苗圃基地种植情况可以为： 第一个苗圃基地：1，2，3，4，15，“综合培育价值指数”为； 第二个苗圃基地：5，6，7，8，14，“综合培育价值指数”为； 第三个苗圃基地：9，10，11，12，13，“综合培育价值指数”为； ∴“综合培育价值指数”之和的最大值是． 故答案为：57． 21．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 22．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 【答案】 【分析】（1）根据图中数据计算即可作答； （2）根据三角形的每条边上的三个数的和S都相等，且和最大，把到这个数较大的三个数放在三个顶点处即可求解； 【详解】解：（1）∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同， ∴取第一行可得，点数的和为； （2）将填入三角形的三个顶点处， 与之间填，与之间填，与之间填， 如图， 则三角形的每条边上的三个数的和都相等，且和最大， 此时，， ∴的最大值为． 23．某校科技艺术节上有A（无人机表演）、B（机器人对抗）、C（打印文创）、D（航天模型制作）四个项目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始，一个项目彩排完毕，下一个项目彩排立即开始，无换场时间．每个项目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表： 项目 A B C D 演员人数 12 3 12 2 彩排时长 25 10 20 10 已知每位演员只参演一个项目．一位演员的候场时间是指：从第一个彩排的项目开始，到这位演员参演的项目开始的时间间隔． （1）若项目按的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_____； （2）若要使这29位演员的候场时间之和最小，则四个项目应按的先后顺序为_____． 【答案】 55 【分析】（1）节目D的演员的候场时间为节目A、B、C的彩排时长之和，据此求解即可； （2）先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：（1）由题意得，节目D的演员的候场时间为； （2）由题意得节目A和C的演员人数一样，彩排时长不一样，那么彩排时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样候场时间会短一些，那么B在D前面， 当按照的顺序时，则候场时间为； 当按照的顺序时，则候场时间为； 当按照的顺序时，则候场时间； 当按照的顺序时，则候场时间为； 当按照的顺序时，则候场时间为； 当按照的顺序时，则候场时间为． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小． ◆题型6 进制转换 24．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”、“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．下图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110、111、11100、1101，转化成10进制为：14、07、、13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13； (1)若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字______，转化成10进制后可得他的考场号是多少？ (2)若本次考试中，“小杨”的准考证号是2919021310，图3是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你帮他补充完整； (3)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成语言信息，我们将英文26个字母：、、、……、Y、Z作为明码，它所对应数字：01、02、03、……、25、26作为暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应的暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的暗码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转化成十进制：，则暗码为，则对应的字母为“Ⅰ”，第二列中，则此时二维码的简易编码所对应的暗码为空格，则图2中从左到右第1列所对应的明码为：______． 【答案】(1)10101，考场号：21 (2) 解：图3中第一行编码为：11101， 转化成10进制为： ， ∴第一行正好符合； 图3中第二行编码为：10001， 转化成10进制为： ， 而， ∴第二行需要将从右边数第二个小正方形涂黑； 图3中第三行编码为：00000， 转化成10进制为： ， 而， ∴第三行需要将从右边数第二个小正方形涂黑； 图3中第四行编码为：01101， 转化成10进制为： ， ∴第四行正好符合； 图3中第五行编码为：01000， 转化成10进制为： ， ∴第五行需要将从右边数第二个小正方形涂黑；如图所示： (3) 【分析】本题主要考查了新定义运算，有理数四则混合运算的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题干信息进行解答，列式计算即可； （2）根据题干信息分别求出图3中转化为10进制后的结果，然后根据“小杨”的准考证号是2919021310，找出需要再涂黑的正方形即可； （3）先根据图2中从左到右第1列所对应的二进制的数字为10110，再求出，得出暗码数值，再得出明码即可． 【详解】（1）解：第四行代表二进制的数字为， 转化成10进制为： ， 即考场号为21； （2）略 （3）解：图2中从左到右第1列所对应的二进制的数字10110转化成十进制： ， 则暗码为，对应的字母为“E”， 即图2中从左到右第1列所对应的明码为E． 25．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，使用十个数字记数．二进制，八进制也是比较常用的进制，二进制只用0和1两个数字来记数，八进制使用八个数字记数，二进制和八进制主要应用在计算机领域．不同进位制的数之间可以进行转换：例如，是二进制数1011的简单写法，右下角的“2”表示基数．可以通过把二进制数1011表示成各数位上的数字与基数2的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数． 即（规定当时，．） (1)将二进制数转换为十进制数的结果是_________； (2)小云模仿二进制数转换成十进制数的方法，将八进制数转换成十进制数，即．接下来她又尝试将153表示成八进制数，这个八进制数的各数位上的数字从左到右依次为（为小于8的正整数，均为小于8的非负整数），她开始进行如下操作： 第一步，将先乘以8再加上； 第二步，用第一步的结果乘以8再加上，则第二步的结果用代数式可以表示为_________， 若这个代数式的值恰好为153，则_________，_________，_________． 【答案】(1)21 (2)，2，3，1 【分析】（1）根据换算规则，即可求解； （2）根据题意即可写出代数式，根据代数式的值恰好为153，且为小于8的正整数，均为小于8的非负整数，对进行分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得，代数式为， 由题意得，，且为小于8的正整数，均为小于8的非负整数， ∵，， ∴或2， 当时，，则， ∵当时，，此时，不符合题意； ∴，则， ∴， ∵，， ∴或1或2或3， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； ∴，则， ∴， 综上所述，，，． 26．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．例如，十进制数（规定当时，）． (1)请将12利用五进制表示为：________； (2)小明遇到了一个有趣的“缺数码k的数轴”（，3，…，9），“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码k．例如：时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…，记该“数轴”上表示正整数a和正整数b的两个点之间的距离为． ①当时，________；当时，________； ②若m，n为正整数，，则________（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)22 (2)①72，648；② 【分析】（1）根据题干信息求解即可； （2）①根据题意求解即可；②找出规律即可求解． 【详解】（1）解：， ∴12利用五进制表示为； （2）解：①当时，一位数中不包含数码4的数有8个，故数字10是第9个数， 两位数中，不包含数码4的个， ∴中，不含4的正整数有个， ∴数字100的是第81个数， ∴； 当时，一位数中不包含数码5的数有8个， 两位数中，不包含数码5的数有个， ∴中，不含5的正整数有个 ∴数字100是第81个数， 三位数中，不能有5的，有个 ∴中，不包含数码5的正整数有个， ∴数字1000是第729个数， ∴； ②由①知，； ， ……， ∴当为正整数，时， ∴． 27．将若干个1或0（不全为0）按一定顺序排成一列，写在括号里，组成一个简单数组．例如，数组（1）是一个一位的简单数组；数组是一个三位的简单数组，第1位是0，第2位是1，第3位是1．对于两个位数相同的简单数组与，为正整数，定义新运算“⊕”：．现有一台数组计算器，输入简单数组，计算规则如下：若的最后一位为0，则将的最后一位去掉，得到新的简单数组并输出；若的最后一位不为0，则先在的第一位的前面添加一位0，组成新的简单数组，再在的最后一位的后面添加一位1，组成新的简单数组，然后输出．例如，若输入，则输出；若输入，则，，，输出．现选定一个简单数组作为初始数组，将其输入计算器，然后将输出的结果再输入计算器，并不断重复该操作． (1)若初始数组为，则第1次计算后的输出结果为 ，第2次计算后的输出结果为 ，第2026次计算后的输出结果为 ； (2)若经过2次计算后的输出结果为，则初始数组为 ． 【答案】(1)；； (2)或 【分析】（1）根据所给定义计算出前5次计算后的输出结果，进而总结规律求解即可； （2）根据题意可得末位数字为1的数组经过一次计算后输出的数组的末位数字一定是0，那么可确定经过1次计算后的输出结果为，再分两种情况：初始数组的末位数字为0和初始数组的末位数字为1，讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，第1次计算后的输出结果为， 第2次计算时，，， ∴， ∴第2次计算后的输出结果为， ∴第3次计算后的输出结果为， ∴第4次计算后的输出结果为， 第5次计算时，，， ∴， ∴第5次计算后的输出结果为， ∴第6次计算后的输出结果为， ……， ∴从第3次计算后的输出结果开始，每2次输出为一个循环，输出的结果依次为，， ∵， ∴第2026次计算后的输出结果为； （2）解：根据题意可知末位数字为1的数组经过一次计算后输出的数组的末位数字一定是0（的末位数字为1，的末位数字为1）， ∵经过2次计算后的输出结果为， ∴经过1次计算后的输出结果的末位数字不是1， ∴经过1次计算后的输出结果的末位数字是0， ∴经过1次计算后的输出结果为， 若初始数组的末位数字为0，则初始数组为， 若初始数组的末位数字为1，设其为， 则， ∴， ∴， ∵c、d的值都为0或1， ∴， ∴初始数组为； 综上所述，初始数组为或． ◆题型7 有理数的新定义运算 28．定义一种新运算：对于任意有理数，，都有． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据新定义代入数值计算； （2）根据新定义代入后转化为一元一次方程求解； （3）根据新定义代入后转化为一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由题意得 （2）解：由题意得 ∵ ∴ 解得 （3）解：由题意得 ∵ ∴ 解得 29．对于数轴上的点A，点B，记A，B两点之间的距离为（当A，B两点重合时，），，为两个非负有理数．若满足：，则称点B是关于点A的宜居点．已知点A表示的数是． (1)已知数轴上的点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是3．若，则在，，这三个点中，_________是关于点A的宜居点； (2)若数轴上的原点恰好是关于点A的宜居点，则的取值范围是_________； (3)已知数轴上的点C表示的数是5，若数轴上存在点B，既是关于点A的宜居点，又是关于点C的宜居点，则的取值范围是_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由题意可得点A表示的数是，，，从而可得，再逐个分析即可得出结果； （2）由题意可得，，从而可得，再结合“宜居点”的定义得出，求解即可； （3）设数轴上的点表示的数为，由数轴上存在点B是关于点C的宜居点，求出，由数轴上存在点B是关于点A的宜居点，得出或，再结合题意，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是，， ∴点A表示的数是， 由题意可得，， ∴，即， 点表示的数是，则，不在范围内，故不符合题意； 点表示的数是，则，不在范围内，故不符合题意； 点表示的数是3，则，在范围内，故符合题意； 综上所述，是关于点A的宜居点； （2）解：由题意可得，， ∴，即， ∵数轴上的原点恰好是关于点A的宜居点，点A表示的数是， ∴， ∴或， 故若数轴上的原点恰好是关于点A的宜居点，则的取值范围是或； （3）解：设数轴上的点表示的数为， ∵数轴上存在点B是关于点C的宜居点， ∴， 解得， ∵数轴上存在点B是关于点A的宜居点， ∴， ∴或， ∴或， 当与有公共部分时，且， 解得， 当与有公共部分时，且， 解得； 综上所述，的取值范围是或． 30．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，，，其中是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，则 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由． 【答案】(1)， (2) 是，理由： ∵是“共生有理数对”， ，整理得， 把代入，得， ∴是“共生有理数对”． 【分析】本题考查了新定义运算，涉及有理数的混合运算： （1）根据“共生有理数对”的定义即可列式作答； （2）根据符不符合“共生有理数对”的定义，若符合就是，否则不是； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， ∵， ∴是“共生有理数对”， ∵，，且， ∴不是“共生有理数对”， ∵， ∴是“共生有理数对”， 故是“共生有理数数对”的有：，； （2）略 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．有理数 m，n，k 在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则 A， B，C，D 四个点中可能是原点的是（  ） A．A 点 B．B 点 C．C 点 D．D 点 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，分A、B、C、D分别为原点时，四种情况分别判断出的符号进行讨论求解即可． 【详解】解：若点 A 为原点，可得，则，与题意不符合，故选项 A不符合题意； 若点 B 为原点，可得，且，则，符合题意，故选项 B符合题意； 若点 C 为原点，可得，且，则，与题意不符合，故选项 C 不符合题意； 若点 D 为原点，可得，则，与题意不符合，故选项 D 不符合题意； 故选：B． 2．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数．且p≤q），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：S(n)=，例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，则S(18)==，例如35可以分解成1×35，5×7，则S(35)=，则S(128)的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由128=1×128=2×64=4×32=8×16结合最佳分解的定义即可知F（128）=． 【详解】解：∵128=1×128=2×64=4×32=8×16， ∴F（128）=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算．理解题意掌握最佳分解的定义是解题的关键． 3．对任意两个有理数如下运算：．有下列四个结论： ①；②；③；④若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，绝对值，理解新定义运算的运算方法是解题的关键． 根据新定义运算逐项计算判断即可． 【详解】解：， ①错误； ， ②错误； ，， ， ③正确； ， 若， 则或， ④错误； ∴正确结论的序号是③； 故选：B ． 4．如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第50个图形中，黑色箭头▲的个数为（    ） A．72 B．73 C．75 D．76 【答案】D 【分析】本题考查了图形类规律探索，观察图形，得出规律第（为偶数）个图形中黑色箭头▲的个数为，由此计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得： 第1个图形中黑色箭头▲的个数为， 第2个图形中黑色箭头▲的个数为， 第3个图形中黑色箭头▲的个数为， 第4个图形中黑色箭头▲的个数为， 第5个图形中黑色箭头▲的个数为， 第6个图形中黑色箭头▲的个数为， …， 故第（为偶数）个图形中黑色箭头▲的个数为； 故第50个图形中，黑色箭头▲的个数为， 故选：D． 二、解答题 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将减法统一为加法形式，按有理数加法法则计算； （2）将除法转化为乘对应倒数的形式，通过约分简化运算； （3）利用乘法分配律展开计算，减少通分带来的运算量； （4）按照先乘方、绝对值，再乘除，最后加减的顺序逐步计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．已知，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)____________0，____________0，____________0；（请用“>”“<”或“=”填空） (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）利用有理数的大小比较方法，数轴知识解答； （2）利用绝对值的定义解答． 【详解】（1）解：由数轴可得：，且， ∴，，； （2）解：∵，，， ∴ ． 7．甲、乙两人借助“数轴”和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上随机挑选一个点作为游戏的起点，甲选择的游戏起点记为，乙选择的游戏起点记为，然后两人进行“剪刀、石头、布”，每次“剪刀、石头、布”的结果共有三种可能：平局、甲胜、乙胜；再根据每次“剪刀、石头、布”的结果，，两点沿数轴同时移动，移动规则如表： “剪刀、石头、布”的结果 ，两点移动方式 平局 点向右移动0.5个单位长度，点向左移动0.5个单位长度 甲胜 点向右移动2个单位长度，点向右移动1个单位长度 乙胜 点向左移动1个单位长度，点向左移动2个单位长度 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数） (1)如图，起点表示的数是，起点表示的数是2． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，乙胜一次，点最终位置表示的数是___________，点最终位置表示的数是___________，此时，两点间的距离是___________； ②当时，其中平局次，甲胜次，求点最终位置表示的数（用含，的代数式表示）． (2)若起点表示的数是，起点表示的数是（，均为整数，且），当，两点最终位置相距2个单位长度时，探究的值，直接写出结论（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)①；0.5；3② (2)或 【分析】（1）①根据移动规则和两点间的距离公式即可求解； ②根据移动规则即可求解； （2）分点A在点B的左侧和点A在点B的右侧两种情况求解即可． 【详解】（1）解：①当时，其中平局一次，甲胜一次，乙胜一次，点最终位置表示的数是； 点B最终位置表示的数为； A、B两点间的距离． ②当时，其中平局x次，甲胜y次， A点最终位置表示的数为 ； （2）解：∵起点表示的数是，起点表示的数是（，均为整数，且）， ∴设平局x次，甲胜y次，乙胜z次，则：， ∴点最终表示的数是，点最终表示的数是， ∴ ， ∵，两点最终位置相距2个单位长度， ∴， ∴或， ∴或． 8．阅读材料： 用“☆”定义一种新运算：下列是按照“☆”运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 请你完成下列问题： （1）归纳“☆”运算的运算法则：两数进行“☆”运算时，______．特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，______． （2）计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你说明，这两种运算律在有理数的“☆”运算中是否适用． 【答案】（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；（2）；（3）适用 【分析】（1）两数进行“☆”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，都得这个数的绝对值； （2）先算括号里面的，再算括号外面的； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的“☆”运算中还适用． 【详解】解：（1）归纳“☆”运算的运算法则： 两数进行“☆”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加． 特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，都得这个数的绝对值． （2）. （3）加法交换律和加法结合律在有理数的“☆”（加乘）运算中还适用． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值；-5． 【点睛】此题主要考查新定义运算，解题的关键是根据题意理解新定义运算法则． 9．阅读下列材料： 在数学小组活动中，小明提出了一个问题：“数轴上两点间的距离与这两个点表示的数之间有什么关系？”经过小组讨论，同学们认为应该从特殊情况入手研究． 数轴上特殊的点是原点，先研究原点O与数轴上另一个点A的距离如何计算． 研究过程如下： 由于原点O把数轴分成了左右两部分，可以分两种情况讨论． 情况一：如图1 原点O表示的数是0，点A表示的数是1，点A在点O的右侧，点A与点O之间的距离 ； 情况二：如图2 原点O表示的数是0，点A表示的数是，点O在点A的右侧，点A与点O之间的距离 ； 再研究数轴上的两个点都不是原点时，这两个点之间的距离如何计算． 研究过程如下： 首先思考可以分几种情况来讨论．两个点可以都在原点的右侧、也可以都在原点的左侧、还可以是一个点在原点的左侧另一个点在原点的右侧，所以分三种情况讨论． 情况一：如图3 点A表示的数是1，点B表示的数是4，点B在点A的右侧，点A与点B之间的距离 ； 情况二：如图4 点A表示的数是，点B表示的数是，点A在点B的右侧，点A与点B之间的距离 ； 情况三：如图5 点A表示的数是，点B表示的数是4，点B在点A的右侧，点A与点B之间的距离 ； 小明归纳出如下结论： 点A和点B是数轴上的两个点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，当 时，点A与点B之间的距离 ； 当时，点A与点B之间的距离 ； 根据以上材料解答下列问题： 如图6，数轴上点C表示的数是，点D表示的数是2，点M表示的数是m． (1)___________，___________； (2)若点M在点D的右侧，则___________；（用含m的式子表示） (3)若，则___________； (4)若，求m的值； (5)数轴上点P表示的数是x，若存在x使的值最小，则x的值为___________． 【答案】(1)2，5 (2) (3) (4)或 (5)2 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据两点间的距离公式列出式子即可； （3）根据题意列出方程进行求解即可； （4）根据题意列出方程进行求解即可； （5）根据绝对值的几何意义，得到当时，距离和最小，即可. 【详解】（1）解：由题意，； （2）解：由题意，； （3）解：由题意，，解得； （4）解：由题意，，解得或； （5）解：表示数到数，，的距离之和， 当时，的值最小，为数到数的距离， 当时，，值最小， ∴当时，能够同时使的值和的值最小， ∴当时，的值最小. 10．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数． 例如，对于数组，因为，，，取为原点，为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数． 又例如，对于数组．因为，，， 取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．已知是数组的收纳系数．此时线段的端点，表示的数分别为． (1)判断________（填“是”或“不是”）数组P：，，的收纳系数； (2)对数组，在下列各数中：1，，，，可能是________； (3)已知100个连续整数组成数组，求出的最大值和相应的的最小值． 【答案】(1)是 (2)或 (3)的最大值为，的最小值 【分析】本题主要考查了数字的变形的规律，数轴，绝对值， （1）利用收纳系数的定义解答即可； （2）利用收纳系数的定义，分别用分数乘以数组各个数字，求出最大乘积与最小乘积的差，与比较判断即可； （3）利用收纳系数的定义求出的最大值，再依据值和收纳系数的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴取为示数的点，为表示数1的点．那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示， ∴是数组P：，，的收纳系数， 故答案为：是； （2）解：∵，，，， ∴不可能为1； ∵，，，， ∴可能为； ∵，，，， ∴可能为； ∵，，，， ∴不可能为； 故答案为：或； （3）解：这100个数是连续整数， 数组中的最大的数与最小数之差为99， 的最大值． 的最大值为； 当中间的数字为0时，的值最小， ， 第50个或第51个数字为0时，的值最小． 当50个数字为0时，，， ； 当51个数字为0时，，， ． 综上，的最大值为，相应的的最小值． 11．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 【答案】(1)2；； (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了定义新运算，有理数的乘除法计算．熟练掌握新定义，有理数的除法法则是解决本题的关键． （1）根据新定义和有理数的除法计算即可； （2）①分n为奇数和偶数的两种情况，计算判断；②等式两端分别计算，比较结果即可；③按新定义计算，可判断正确；④为偶数，偶数个负数相除，结果应为正． （3）先按照新定义计算，再按有理数的乘除法计算即可． 【详解】（1）解：；； 故答案为：2；； （2）解：对于任何正整数n，当n为偶数时，，当n为奇数时，，故①错误； ∵，， ∴，故②错误； ，故③正确； ∵表示的是个a相除，而， ∴根据除法计算法则可知，多个非零有理数进行除法计算时，负数的个数为偶数个数，最后的结果的符号为正，即，故④错误； 故答案为：③； （3）解： ， 故答案为：． 12．已知点P是图形M上的任意点，点Q是图形N上的任意点． 给出规定：如果P，Q两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形M—N的亲和距离；记作：d（图形M，图形N）．特别地，当P，Q两点重合时，d（图形M，图形N）＝0 举例说明：如图，数轴上的点A表示的数是1，点B，C表示的数分别是2与3，那么d（点A，线段BC）＝1 根据以上定义完成下列问题：数轴上的点D，点E表示的数分别是x，x＋1，点O为原点， (1)当x＝1时，d（原点O，线段DE）＝ ； (2)如果d（原点O，线段DE）＝3，那么 ； (3)数轴上的点F，点G表示的数分别是y，y＋4，如果d（线段DE，线段FG）＝2，直接写出的值． 【答案】(1)1 (2)3或-4 (3)或 【分析】（1）根据当x=1时，点D表示的数是1，点E表示的数是x+1=2,点O到线段DE的最短距离为OD=1即可； （2）根据d（原点O，线段DE）＝3，可得OD=3或OE=3，分类考虑当OD=3时，点D在点O的右侧，可得x-0=3，当OE=3时，点E在点O的左侧，0-（x+1）=3，解方程即可； （3）线段DE与FG的位置有两种，DE在FG的左侧，或DE在FG的右侧，当DE在FG的左侧时，d（线段DE，线段FG）＝2，即EF=2，利用两点距离公式得出，当DE在FG的右侧时，d（线段DE，线段FG）＝2，即GD=2，根据两点距离公式得出即可． 【详解】（1）解：当x=1时，点D表示的数是1，点E表示的数是x+1=2, ∴点O到线段DE的最短距离为1， d（原点O，线段DE）=1； 故答案为1； （2）解：∵d（原点O，线段DE）＝3， ∴OD=3或OE=3 当OD=3时，x-0=3，x=3， 当OE=3时，0-（x+1）=3 ∴x=-4， 故答案为-4或3； （3）解：线段DE与FG的位置有两种，DE在FG的左侧，或DE在FG的右侧， 当DE在FG的左侧时， ∵d（线段DE，线段FG）＝2，即EF=2， ∴， ∴， ∴； 当DE在FG的右侧时， ∵d（线段DE，线段FG）＝2，即GD=2， ∴， ∴， ∴d（线段DE，线段FG）＝2，=-3或6． 【点睛】本题考查新定义图形的距离，数轴上表示数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，分类思想的应用等，掌握相关知识是解题关键． 13．小明在学习历史时，想到可以用数轴上的点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示． (1)记历史事件发生的年份为，历史事件发生的年份为，并记这条“历史数轴”上表示数和数的两个点之间的距离为． ①据资料记载： 历史事件：公元前287年，阿基米德诞生； 历史事件：公元前212年，阿基米德逝世； 历史事件：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施； 历史事件：公元85年，《太初历》停止使用． 则___________；___________（均用数字填空）； ②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示： 数学家 徐光启 伽利略 牛顿 莱布尼兹 布丰 欧拉 高斯 华罗庚 生年 1562 1564 1642 1646 1707 1707 1777 1910 卒年 1633 1642 1727 1716 1788 1783 1855 1985 根据以上数据可知，在公元_________年，这8位数学家中同时在世的人数最多（填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份）； (2)小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码的数轴”（2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．记该“数轴”上表示正数和正数的两个点之间的距离为． ①若，则的值为__________； ②若为正整数，，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)①75；188；②1708（答案不唯一） (2)①3；② 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，有理数的乘方，数字类规律探索，理解题意是解题关键． （1）①根据“历史数轴”的定义求解即可； ②画出各数学家的生卒年份数轴即可得解； （2）①根据“缺数码的数轴”的定义，得出不符合题意；当或时，不符合题意；即或，再分类讨论求解即可； ②分别求出；；，即得出规律，即得出． 【详解】（1）解：（1）①，； ②由题意画出年份如图， 由图可知这8位数学家中同时在世的人数最多的为1707到1716年，为四位数学家， ∴填写1707到1716年中任一个年份即可（不包含1707年和1716年）， 故可填1708． 故答案为：1708（答案不唯一）； （2）解：①表示24的点和表示68的点在正常数轴上的距离为， 由“缺数码的数轴”的定义可知原来距离为10的两点现在距离为9， 设缺码的数为k， ∵， ∴正常数轴中若以距离10为1组，则表示24的点和表示68的点之间有4组，还余4． 若，则，与不符； ∵中有和两数， ∴当或时，，与不符； ∴或． 当时，，，，，， ∴符合题意； 当时，，，，，， ∴不符合题意． 综上可知； ②由题意可知正常数轴距离为10的，现在距离为9； 原来距离为100的，现在距离为； 原来距离为1000的，现在距离为， ……， ∴； ； ， ……， ∴当为正整数，时， ∴． 14．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是：．例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)化简：； (3)按照这个规定，当时，求的值． 【答案】(1) 的值为 (2) 化简结果为 (3) 的值为 【分析】（1）依据题干给出的行列式运算规则，将行列式转化为有理数混合运算计算即可； （2）依据行列式运算规则，将行列式转化为整式运算化简即可； （3）依据行列式运算规则，将等式转化为一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：由题意得： ． 15．通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离．表示数轴上有理数a所对应的点到和4所对应的两点间的距离之和． 例如的几何意义为数轴上表示数a与2的两点间的距离，若，则a的值为1或3． (1)数轴上表示数1与的两点间的距离是______； (2)如果，那么______； (3)当代数式取最小值，且x为非负整数时，这样的非负整数x是______； (4)当代数式取最大值时，写出一个满足条件的x的值______． 【答案】(1)4 (2)1或 (3)0，1，2，3 (4)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点间距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的意义得出，然后求出x的值即可； （3）根据绝对值的几何意义，得出当时，最小，然后根据x为非负整数得出x的值即可； （4）根据绝对值的几何意义，得出当时，最大，然后写出一个x的值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数1与的两点间的距离为： ； （2）解：∵， ∴， 解得：或； （3）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示3和两个点的距离之和， ∴当时，最小， 又∵x为非负整数， ∴x的值为0，1，2，3； （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1的点的距离与表示点的距离之差， ∴当时，最大， ∴满足条件的x的值可以是．（答案不唯一） 1 / 2 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数 常考题型·精准突破 考点一 有理数 题型1 绝对值综合（重难） 题型2 数轴动点问题（难） 题型3 有理数规律探究（高频） 考点二 有理数的运算 题型4 有理数四则混合运算 题型5 有理数的运算填空压轴（难） 题型6 进制转换（难） 题型7 有理数的新定义运算（重难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 有理数 ◆题型1绝对值综合 1．有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示． (1)用“”连接0，，，； (2)化简代数式 2．如图，数轴上的点，分别表示数a，b．用点表示数，点表示数．给出下列四个结论： ①若，则； ②点一定在原点左侧； ③若点在点，之间（不与点，重合），则； ④点与点的距离一定等于点与点的距离． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 3．通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离．表示数轴上有理数a所对应的点到和4所对应的两点间的距离之和． 例如的几何意义为数轴上表示数a与2的两点间的距离，若，则a的值为1或3． (1)数轴上表示数1与的两点间的距离是______； (2)如果，那么______； (3)当代数式取最小值，且x为非负整数时，这样的非负整数x是______； (4)当代数式取最大值时，写出一个满足条件的x的值______． 4．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离，若点表示的有理数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为________； (2)当取最小值时，最小值是________； (3)当的值最小时，的取值为________，最小值是________． ◆题型2 数轴动点问题 5．如图，点A，B是数轴上两点，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A出发，以1个单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B出发，以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒． （1）点P和点Q相向运动，当t=___________时，点P和点Q重合； （2）当t=___________时，点P和点Q相距1单位长度． 6．定义：数轴上有三点，，，若，则称为，两点的二倍分点． 已知，分别对应的数是，0． (1)若是，的二倍分点，则点对应的数是________； (2)，对应的数是和，若线段上存在两点，，使得为，的二倍分点，则的取值范围是________； (3)，对应的数分别是8和12，线段和线段沿着数轴同时同向运动，每秒个单位长度，每秒个单位长度，若存在恰好时长为6.5秒的时间段内，线段上存在某一点，它是上某两点的二倍分点；同时线段上也存在一点，它也是上某两点的二倍分点，则，满足的关系是________． 7．在数轴上，点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向匀速运动秒（，），得到点，我们称点是点关于的“变换点”． (1)点表示的数是，点是点关于的“变换点”，点表示的数是________； (2)点表示的数是，点是点关于的“变换点”，且，求点表示的数； (3)数轴上，两点间的距离为，且点在点的右侧，点是点关于的“变换点”，点是点关于的“变换点”，如果，那么直接用等式表示和的数量关系． 8．甲、乙两人借助“数轴”和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上随机挑选一个点作为游戏的起点，甲选择的游戏起点记为，乙选择的游戏起点记为，然后两人进行“剪刀、石头、布”，每次“剪刀、石头、布”的结果共有三种可能：平局、甲胜、乙胜；再根据每次“剪刀、石头、布”的结果，，两点沿数轴同时移动，移动规则如表： “剪刀、石头、布”的结果 ，两点移动方式 平局 点向右移动0.5个单位长度，点向左移动0.5个单位长度 甲胜 点向右移动2个单位长度，点向右移动1个单位长度 乙胜 点向左移动1个单位长度，点向左移动2个单位长度 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数） (1)如图，起点表示的数是，起点表示的数是2． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，乙胜一次，点最终位置表示的数是___________，点最终位置表示的数是___________，此时，两点间的距离是___________； ②当时，其中平局次，甲胜次，求点最终位置表示的数（用含，的代数式表示）． (2)若起点表示的数是，起点表示的数是（，均为整数，且），当，两点最终位置相距2个单位长度时，探究的值，直接写出结论（用含，的代数式表示）． ◆题型3 有理数规律探究 9．一行按规律排列的数：，4，，16，，…，其中第7个数是______，第n个数是______（n为正整数）． 10．四个有理数按顺时针排成一个圆圈，经过一次“环形合并操作”得到新的四个数，规则如图所示． （）已知分别为，，，，将经过一次“环形合并操作”后的四个数的和为_______； （）将经过第次“环形合并操作”后得到的四个数，按照相同的规则继续进行下一次“环形合并操作”，记作第次操作，以此类推，不断重复以上操作．若的和为，则经过第次操作后得到的四个数的和为_______（用含的代数式表示）． 11．谢尔宾斯基三角形是一种奇妙的分形图形．从一块黑色正三角形图0开始进行如下操作： 第一次操作，在黑色正三角形图0的每一条边上取一点将各边平分为两份，依次连接这三个点，此三角形被分成面积都相等的四个正三角形，挖去中间的正三角形，得到镂空的新图形图1． 第二次操作，接着把图1中剩下的所有黑色正三角形按照前面的操作方法，又得到镂空的新图形图2． 以此类推得到图3，图4，……． ①经过第一次操作以后，所得图1中所有黑色正三角形的面积之和是图0面积的，则_________； ②至少经过第_________次操作以后，剩余所有的黑色正三角形面积之和小于图0面积的． 12．如图，用规格相同的小棒摆成一组图案，图案①需要根小棒，图案②需要根小棒，图案③需要根小棒，按此规律摆下去，第个图案需要小棒的根数为（　　） A．36 B．46 C．52 D．66 13．如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影．按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的个数为________（用含n的式子表示）．    考点二 有理数的运算 ◆题型4 有理数四则混合运算 14．计算： (1) (2) (3) (4) 15．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 16．计算： (1) (2) (3) (4) 17．计算题． (1) (2) (3) (4) 18．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) ◆题型5 有理数的运算填空压轴 19．有三张同样的卡片各写着一个正整数，这三个互不相等的数分别是，，．（）从这三张卡片中任取两张，记录的两个数之差的绝对值为m，并将m与剩余的一张卡片上的数作差，记这个差的绝对值为k． （1）若三个数是5，4，3，且5和4先被取出，则________； （2）若，且k的最小值为6，则的最大值为________． 20．某农业科技公司培育了15个农作物新品种，按其评估价值由低到高标注为1号至15号，并交由三个苗圃基地试种这些农作物新品种，每个苗圃基地种植5个．将每个苗圃基地种植的农作物新品种的最大标号与最小标号之和称为“综合培育价值指数”． （1）若其中一个苗圃基地种植农作物新品种的“综合培育价值指数”为7，则该苗圃基地可选择的不同种植方案有____种； （2）这三个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”之和的最大值是____． 21．联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为____________min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按___________的先后顺序彩排 22．有人建议向火星发射如图1所示的图案，它叫作幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都相同．如果火星上有智慧生物，那么他们可以从这种“数学语言”了解到地球上也有智能生物（人）． （1）如图1，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是______； （2）如图2，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把到这6个连续整数分别填入圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，请直接写出S的最大值是______． 23．某校科技艺术节上有A（无人机表演）、B（机器人对抗）、C（打印文创）、D（航天模型制作）四个项目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始，一个项目彩排完毕，下一个项目彩排立即开始，无换场时间．每个项目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表： 项目 A B C D 演员人数 12 3 12 2 彩排时长 25 10 20 10 已知每位演员只参演一个项目．一位演员的候场时间是指：从第一个彩排的项目开始，到这位演员参演的项目开始的时间间隔． （1）若项目按的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_____； （2）若要使这29位演员的候场时间之和最小，则四个项目应按的先后顺序为_____． ◆题型6 进制转换 24．二维码在我们日常生活中应用越来越广泛，它是用某种特定的几何图形按照一定的规律在平面分布的、黑白相间的、记录数据符号信息的图形；在代码编制上巧妙利用构成计算机内部逻辑基础的“0”、“1”，使用若干个与二进制相对应的几何图形来表示数值（黑色代表1，白色代表0）．下图是某次考试中三位同学的准考证号的二维码的简易编码，如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000，转化成10进制为：，同理，第二行至第五行代表二进制的数字分别为1110、111、11100、1101，转化成10进制为：14、07、、13，将五行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号2414072813，其中第一行编码“24”和第二行编码“14”表示区域和学校，第三行编码“07”表示班级为07班，第四行编码“28”表示考场号为28，第五行编码“13”表示座位号是13； (1)若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，其中第四行代表二进制的数字______，转化成10进制后可得他的考场号是多少？ (2)若本次考试中，“小杨”的准考证号是2919021310，图3是“小杨”自己绘制的二维码的简易编码，但少涂黑了几个小正方形，请你帮他补充完整； (3)二维码不仅能储存数字信息，还能通过代码将数字信息转换成语言信息，我们将英文26个字母：、、、……、Y、Z作为明码，它所对应数字：01、02、03、……、25、26作为暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m小于27，则设的值为二维码的简易编码所对应的暗码，若二维码的简易编码所对应的数值m大于或等于27，则二维码的简易编码所对应的暗码为空格，如图1中第一列所对应的二进制的数字10010转化成十进制：，则暗码为，则对应的字母为“Ⅰ”，第二列中，则此时二维码的简易编码所对应的暗码为空格，则图2中从左到右第1列所对应的明码为：______． 25．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．在日常生活中，我们最熟悉、最常用的是十进制，使用十个数字记数．二进制，八进制也是比较常用的进制，二进制只用0和1两个数字来记数，八进制使用八个数字记数，二进制和八进制主要应用在计算机领域．不同进位制的数之间可以进行转换：例如，是二进制数1011的简单写法，右下角的“2”表示基数．可以通过把二进制数1011表示成各数位上的数字与基数2的幂的乘积之和的形式，从而转换成十进制数． 即（规定当时，．） (1)将二进制数转换为十进制数的结果是_________； (2)小云模仿二进制数转换成十进制数的方法，将八进制数转换成十进制数，即．接下来她又尝试将153表示成八进制数，这个八进制数的各数位上的数字从左到右依次为（为小于8的正整数，均为小于8的非负整数），她开始进行如下操作： 第一步，将先乘以8再加上； 第二步，用第一步的结果乘以8再加上，则第二步的结果用代数式可以表示为_________， 若这个代数式的值恰好为153，则_________，_________，_________． 26．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．例如，十进制数（规定当时，）． (1)请将12利用五进制表示为：________； (2)小明遇到了一个有趣的“缺数码k的数轴”（，3，…，9），“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码k．例如：时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…，记该“数轴”上表示正整数a和正整数b的两个点之间的距离为． ①当时，________；当时，________； ②若m，n为正整数，，则________（用含m，n的式子表示）． 27．将若干个1或0（不全为0）按一定顺序排成一列，写在括号里，组成一个简单数组．例如，数组（1）是一个一位的简单数组；数组是一个三位的简单数组，第1位是0，第2位是1，第3位是1．对于两个位数相同的简单数组与，为正整数，定义新运算“⊕”：．现有一台数组计算器，输入简单数组，计算规则如下：若的最后一位为0，则将的最后一位去掉，得到新的简单数组并输出；若的最后一位不为0，则先在的第一位的前面添加一位0，组成新的简单数组，再在的最后一位的后面添加一位1，组成新的简单数组，然后输出．例如，若输入，则输出；若输入，则，，，输出．现选定一个简单数组作为初始数组，将其输入计算器，然后将输出的结果再输入计算器，并不断重复该操作． (1)若初始数组为，则第1次计算后的输出结果为 ，第2次计算后的输出结果为 ，第2026次计算后的输出结果为 ； (2)若经过2次计算后的输出结果为，则初始数组为 ． ◆题型7 有理数的新定义运算 28．定义一种新运算：对于任意有理数，，都有． (1)计算：； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 29．对于数轴上的点A，点B，记A，B两点之间的距离为（当A，B两点重合时，），，为两个非负有理数．若满足：，则称点B是关于点A的宜居点．已知点A表示的数是． (1)已知数轴上的点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是3．若，则在，，这三个点中，_________是关于点A的宜居点； (2)若数轴上的原点恰好是关于点A的宜居点，则的取值范围是_________； (3)已知数轴上的点C表示的数是5，若数轴上存在点B，既是关于点A的宜居点，又是关于点C的宜居点，则的取值范围是_________． 30．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对”． (1)数对，，，其中是“共生有理数对”的是 ； (2)若是“共生有理数对”，则 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”，说明你的理由． 综合攻坚·知能拔高 一、选择题 1．有理数 m，n，k 在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则 A， B，C，D 四个点中可能是原点的是（  ） A．A 点 B．B 点 C．C 点 D．D 点 2．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p、q是正整数．且p≤q），如果p×q在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解，并规定：S(n)=，例如18可以分解成1×18，2×9或3×6，则S(18)==，例如35可以分解成1×35，5×7，则S(35)=，则S(128)的值是（    ） A． B． C． D． 3．对任意两个有理数如下运算：．有下列四个结论： ①；②；③；④若，则． 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．③ C．①③ D．③④ 4．如图，是用两种类型的黑色箭头摆成的有规律图形，则第50个图形中，黑色箭头▲的个数为（    ） A．72 B．73 C．75 D．76 二、解答题 5．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．已知，，在数轴上的位置如图所示，且． (1)____________0，____________0，____________0；（请用“>”“<”或“=”填空） (2)化简：． 7．甲、乙两人借助“数轴”和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上随机挑选一个点作为游戏的起点，甲选择的游戏起点记为，乙选择的游戏起点记为，然后两人进行“剪刀、石头、布”，每次“剪刀、石头、布”的结果共有三种可能：平局、甲胜、乙胜；再根据每次“剪刀、石头、布”的结果，，两点沿数轴同时移动，移动规则如表： “剪刀、石头、布”的结果 ，两点移动方式 平局 点向右移动0.5个单位长度，点向左移动0.5个单位长度 甲胜 点向右移动2个单位长度，点向右移动1个单位长度 乙胜 点向左移动1个单位长度，点向左移动2个单位长度 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数） (1)如图，起点表示的数是，起点表示的数是2． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，乙胜一次，点最终位置表示的数是___________，点最终位置表示的数是___________，此时，两点间的距离是___________； ②当时，其中平局次，甲胜次，求点最终位置表示的数（用含，的代数式表示）． (2)若起点表示的数是，起点表示的数是（，均为整数，且），当，两点最终位置相距2个单位长度时，探究的值，直接写出结论（用含，的代数式表示）． 8．阅读材料： 用“☆”定义一种新运算：下列是按照“☆”运算的运算法则进行运算的算式： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ． 请你完成下列问题： （1）归纳“☆”运算的运算法则：两数进行“☆”运算时，______．特别地，0与任何数进行“☆”运算，或任何数与0进行“☆”运算时，______． （2）计算：______．（括号的作用与它在有理数运算中的一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，请你说明，这两种运算律在有理数的“☆”运算中是否适用． 9．阅读下列材料： 在数学小组活动中，小明提出了一个问题：“数轴上两点间的距离与这两个点表示的数之间有什么关系？”经过小组讨论，同学们认为应该从特殊情况入手研究． 数轴上特殊的点是原点，先研究原点O与数轴上另一个点A的距离如何计算． 研究过程如下： 由于原点O把数轴分成了左右两部分，可以分两种情况讨论． 情况一：如图1 原点O表示的数是0，点A表示的数是1，点A在点O的右侧，点A与点O之间的距离 ； 情况二：如图2 原点O表示的数是0，点A表示的数是，点O在点A的右侧，点A与点O之间的距离 ； 再研究数轴上的两个点都不是原点时，这两个点之间的距离如何计算． 研究过程如下： 首先思考可以分几种情况来讨论．两个点可以都在原点的右侧、也可以都在原点的左侧、还可以是一个点在原点的左侧另一个点在原点的右侧，所以分三种情况讨论． 情况一：如图3 点A表示的数是1，点B表示的数是4，点B在点A的右侧，点A与点B之间的距离 ； 情况二：如图4 点A表示的数是，点B表示的数是，点A在点B的右侧，点A与点B之间的距离 ； 情况三：如图5 点A表示的数是，点B表示的数是4，点B在点A的右侧，点A与点B之间的距离 ； 小明归纳出如下结论： 点A和点B是数轴上的两个点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，当 时，点A与点B之间的距离 ； 当时，点A与点B之间的距离 ； 根据以上材料解答下列问题： 如图6，数轴上点C表示的数是，点D表示的数是2，点M表示的数是m． (1)___________，___________； (2)若点M在点D的右侧，则___________；（用含m的式子表示） (3)若，则___________； (4)若，求m的值； (5)数轴上点P表示的数是x，若存在x使的值最小，则x的值为___________． 10．对于由若干不相等的整数组成的数组和有理数．给出如下定义：如果在数轴上存在一条长为1个单位长度的线段，使得将数组中的每一个数乘以之后，计算的结果都能够用线段上的某个点来表示，就称为数组的收纳系数． 例如，对于数组，因为，，，取为原点，为表示数1的点． 那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数． 又例如，对于数组．因为，，， 取为原点，为表示数的点，那么这三个数都可以用线段上的某个点来表示，可以判断是的收纳系数．已知是数组的收纳系数．此时线段的端点，表示的数分别为． (1)判断________（填“是”或“不是”）数组P：，，的收纳系数； (2)对数组，在下列各数中：1，，，，可能是________； (3)已知100个连续整数组成数组，求出的最大值和相应的的最小值． 11．小明是一个聪明而又富有想象力的孩子． 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念． 于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如 等，类比有理数的乘方．小明把记作， 记作． (1)直接写出计算结果： ； ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数n，都有； ②； ③； ④对于任何正整数n，都有； (3)计算： （直接写答案） 12．已知点P是图形M上的任意点，点Q是图形N上的任意点． 给出规定：如果P，Q两点的距离有最小值，那么我们称这个最小值为图形M—N的亲和距离；记作：d（图形M，图形N）．特别地，当P，Q两点重合时，d（图形M，图形N）＝0 举例说明：如图，数轴上的点A表示的数是1，点B，C表示的数分别是2与3，那么d（点A，线段BC）＝1 根据以上定义完成下列问题：数轴上的点D，点E表示的数分别是x，x＋1，点O为原点， (1)当x＝1时，d（原点O，线段DE）＝ ； (2)如果d（原点O，线段DE）＝3，那么 ； (3)数轴上的点F，点G表示的数分别是y，y＋4，如果d（线段DE，线段FG）＝2，直接写出的值． 13．小明在学习历史时，想到可以用数轴上的点表示年份．由于历史上只有公元1年和公元前1年，没有公元0年，所以他制作了一条没有数0的“历史数轴”，其中公元前的年份表示为负数，如图所示． (1)记历史事件发生的年份为，历史事件发生的年份为，并记这条“历史数轴”上表示数和数的两个点之间的距离为． ①据资料记载： 历史事件：公元前287年，阿基米德诞生； 历史事件：公元前212年，阿基米德逝世； 历史事件：公元前104年，我国古代第一部完整的历法《太初历》颁布实施； 历史事件：公元85年，《太初历》停止使用． 则___________；___________（均用数字填空）； ②小明查阅了某初中数学教材中出现过的8位数学家的生卒年份，如下表所示： 数学家 徐光启 伽利略 牛顿 莱布尼兹 布丰 欧拉 高斯 华罗庚 生年 1562 1564 1642 1646 1707 1707 1777 1910 卒年 1633 1642 1727 1716 1788 1783 1855 1985 根据以上数据可知，在公元_________年，这8位数学家中同时在世的人数最多（填写一个年份即可，且不能填写表中已出现过的年份）； (2)小亮受“历史数轴”启发，也制作了一个有趣的“缺数码的数轴”（2，3，…，9）：“数轴”上仍有原点和单位长度，自原点向右，距离原点1，2，3，4，…个单位长度的点表示的数仍为从小到大依次排列的正整数，但每个数中都不包含数码．例如，当时，自原点向右，距离原点1，2，3，…，20，…个单位长度的点表示的数依次为1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，14，15，16，17，18，19，30，31，33，…．记该“数轴”上表示正数和正数的两个点之间的距离为． ①若，则的值为__________； ②若为正整数，，则__________（用含的式子表示）． 14．阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是：．例如：． (1)按照这个规定，请你计算的值； (2)化简：； (3)按照这个规定，当时，求的值． 15．通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离．表示数轴上有理数a所对应的点到和4所对应的两点间的距离之和． 例如的几何意义为数轴上表示数a与2的两点间的距离，若，则a的值为1或3． (1)数轴上表示数1与的两点间的距离是______； (2)如果，那么______； (3)当代数式取最小值，且x为非负整数时，这样的非负整数x是______； (4)当代数式取最大值时，写出一个满足条件的x的值______． 2 / 2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $