第一章 有理数全章高频重点题型突破（高频重难题型，专项训练）数学新教材北京版七年级上册

第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴 题型4 相反数、有理数大小比较 题型5 绝对值基础 题型6 乘方概念 题型7 科学记数法、近似数、精确度 题型8 有理数加减运算 题型9 有理数四则混合运算 题型10 有理数实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 结合数轴化简绝对值 题型2 绝对值的非负性 题型3 绝对值几何意义综合 题型4 数轴动点问题 题型5 有理数规律探究 题型6 新定义运算 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 正数与负数 1．如果温度上升记作，那么温度下降记作______． 2．在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 3．下列说法正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的正数 C．一定是负数 D．若规定收入为正，则支出元应记作元 ◆题型2 有理数的分类 4．在下列各数，，，2，，13，0，，，中，整数有__________，负分数有____________________． 5．把下列各数填在相应的大括号内： ，0，，4， 负分数集合___________…； 正数集合___________…； 非负整数集合___________… 6．在，6，，，，，，0中，______是非负有理数；______是整数． ◆题型3 数轴 7．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 8．对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（   ） A． B． C． D． 9．在数轴上表示出有理数：，，，，并将它们按从小到大的顺序排列，用“”连接． ◆题型4 相反数、有理数的大小比较 10．的相反数为（   ） A．5 B． C． D． 11．比较两个数的大小：①_____10；②______（填“”或“”）． ◆题型5 绝对值基础 12．已知，，并且，求______，______． 13．计算：______． 14．绝对值小于的整数有______． 15．下列说法：①若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；②若，则；③一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是负数；④是二次三项式；⑤几个有理数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正数；⑥字母是单项式，数字0不是单项式，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ◆题型6 乘方概念 16．计算的结果用含的代数式表示为________． 17．下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 18．对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 ◆题型7 科学记数法、近似数、精确度 19．在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000千克的煤所产生的能量．下面用科学记数法表示这个数正确的是（     ） A． B． C． D． 20．仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 21．据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 22．圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 23．用四舍五入法对取近似数（精确到）是______． 24．用四舍五入法将2.695精确到0.01，所得到的近似数为______． 25．下列说法正确的是（   ）． A．保留了三位小数 B．万精确到个位 C．近似数千和精确度相同 D．精确到千分位 26．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（   ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001） 27．下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 ◆题型8 有理数加减运算 28．（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行五个科目的测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 道法 相对分数 m 已知该产品的物理测试分数为分． (1)请写出表中m的值； (2)在本次测试的五个科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中五个科目的总分． 29．计算：． 30．某班级规定每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，如下表是小明本周每天完成的情况（以10题为标准，超出记为正，少做记为负）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 增减情况（道） 该班级奖励积分有两种方式： 方式A：实行周积分制，每完成1道题奖励10积分； 方式B：实行日积分制，每完成1道题奖励9积分．若一天超出10道，则超出部分每道额外加12积分；若一天不足10道，则每少1道扣5积分． (1)本周小明实际完成计算题共多少道？ (2)请判断哪种积分方式对小明更有利，通过计算说明． ◆题型9 有理数四则混合运算 31．计算： (1)； (2) (3) (4) 32．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ◆题型10 有理数实际应用 34．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 35．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 36．今年3月，某校开展一年一度的“节”数学文化活动，设置了丰富多彩的数学游戏．其中有一个“T字之谜”的游戏，由5位同学组队参加，每位同学每人只能选择五个不同难度级别中的一个级别参加游戏，每个级别的单次游玩时长如下表： 级别 A级 B级 C级 D级 E级 时长（分钟） 1 3 4 5 5 活动当天，该游戏共有3个摊位同时开放．且满足以下规则： ①每个摊位同一时间只能有1位同学游玩，前一位同学游戏结束后，后一位同学才能上场，换场时间忽略不计； ②一组的5位同学全部完成游戏，视为这一组的游戏结束． 引导员将一组的5位同学分配至3个摊位进行游戏（即每个摊位依次安排同学游玩）． 回答下列问题： （1）若某一次分配方案为：选A级和C级的同学到1号摊位，选B级和E级的同学到2号摊位，选D级的同学到3号摊位，进行游戏．则这一方案的总游戏时长为_________分钟． （2）在所有可行的分配方案中，一组游戏总时长最短为_________分钟． ◆题型1 结合数轴、绝对值比较有理数大小 1．有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ）    A． B． C． D． 2．数轴上表示数的点如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． ◆题型2 绝对值的非负性 5．若，则的值为（    ） A． B．16 C． D．8 6．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 7．已知，求的值． ◆题型3 绝对值几何意义综合 8．数轴上点的位置如图所示，点表示的数是的相反数． (1)点表示的数是________________，点表示的数是_______________； (2)请在数轴上标出点的位置； (3)如果该数轴上点与点之间的距离是2，那么点表示的数是______________． 9．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如，在下图中，线段；线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和，则线段___________； (2)数轴上点代表的数为，且线段，则点表示的数为___________； (3)数轴上有两个点之间的距离为5，其中一个点表示绝对值为2的数，另一个点表示的数为，求的值． 10．通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离．表示数轴上有理数a所对应的点到和4所对应的两点间的距离之和． 例如的几何意义为数轴上表示数a与2的两点间的距离，若，则a的值为1或3． (1)数轴上表示数1与的两点间的距离是______； (2)如果，那么______； (3)当代数式取最小值，且x为非负整数时，这样的非负整数x是______； (4)当代数式取最大值时，写出一个满足条件的x的值______． ◆题型4 数轴动点问题 11．已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点，则点对应的数______； (2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，求此时点对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”如图，原点是点，的倍点． 现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“倍点”，请直接写出此时的值． 12．在数轴上，已知点M和点P，若点N与点M分别位于点P的两侧，且点N和点M到点P的距离相等，就把点N叫做点M的“P对称点”．特别地，若点M与点P重合，那么点M的“P对称点”就是它本身．已知数轴上点A，点B对应的数分别为a，b．解决下面的问题： (1)当，时， ①点A的“B对称点”对应的数是 ； ②若点A是点B的“P对称点”，那么点P对应的数是 ； (2)已知点，，对应的数分别为0，3，，记点A的“P1对称点”为，点的“对称点”为，点的“对称点”为． ①在线段，，中，长度为定值的是 ，它的长度是 ； ②若对于任意a的值，有下面两种说法： 第一种说法：存在定点Q，使得点A的“Q对称点”是点； 第二种说法：存在定点Q，使得点A的“Q对称点”是点． 请判断这两个说法哪一个是正确的，并求出相应的定点Q所对应的数． 13．已知数轴上点、对应的数分别为、，点为数轴上任意一点，其表示的数为． (1)当，时，点到点，点的距离之和最小，那么的取值范围是______； (2)有如下的规定：如果点在点，点之间（点不与、重合），并且点到点的距离是点到点的距离倍，那么我们就称点是的奇点．当，时，当的值为何值时，、、中恰有一个点为其余两点的奇点． 小珊同学求出了其中的一种情况，她的解答如下： 答：当点是的奇点时，； 请你仿照小珊同学的解答方式，把其余的情况写出来． ◆题型5 有理数规律探究 14．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．计算机利用的是二进制数，它共有0，1两个数码．将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个之和，依次写出系数1或0即可，例如十进制数19可以写为二进制数10011，因为，所以19写成二进制数10011是五位数，则十进制数60写成二进制数是（    ） A．六位数 B．七位数 C．八位数 D．九位数 16．对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 ◆题型6 新定义运算 17．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 19．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 20．小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 一、选择题 1．人工智能（）正在改变我们的生活，随着技术的不断突破，产品用户数量也呈现出爆发式增长，其中有一款国产应用表现突出，在2026年春节期间，日用户峰值达到145000000人，其中145000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 2．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，月份的泰山，山脚平均气温为零上，记作，山顶平均气温为零下，记作（    ）． A． B． C． D． 3．在，，0，，，11，中，负分数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 6．下列说法正确的是（   ） A．有理数就是正数和负数的统称 B．最小的有理数是 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 7．已知，．若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．下列各数中互为相反数的是（   ） A．和0.3 B．和 C．和 D．和 9．有理数在数轴上对应的点如图所示，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 10．若有理数，且，则的值为（） A．5 B．5或 C．5或1 D．或 11．下列说法：0是最小的整数；没有最大的负整数：正有理数和负有理数统称有理数；一个有理数的绝对值总是正数．其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约亿人．用科学记数法表示亿是（     ） A． B． C． D． 13．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 14．在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 15．如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是______． 16．比较大小： ______（填“”“”或“”） 17．写出一个绝对值大于1的数：________． 18．2025年是“十四五”规划收官之年，我国经济稳步前行，体现了高质量发展的成效．下表记录了年我国全员劳动生产率的数据． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 全员劳动生产率（万元/人） 用趋势图描述我国年全员劳动生产率的发展趋势，如图所示： 预测2026年我国全员劳动生产率约为___________万元/人（结果精确到）． 19．已知博物馆有四个展厅，分别为A、B、C、D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 20．社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 三、解答题 21．将，，0，2，，在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． 22．已知一组数：，，，， (1)画一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来； (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）：__________． 23．将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②3.14，③，④0，⑤，⑥． 整数集合：{                …} 分数集合：{                …} 负数集合：{                …} 在以上已知的数中，最大的有理数是___________，最小的有理数是___________． 24．计算： (1)； (2) 25．计算： (1)； (2)． 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．计算：． 28．计算： (1)； (2)． 29．为筹备校庆活动，某同学用2小时制作了纪念手环和帆布包若干个．制作一个纪念手环需4分钟，制作一个帆布包需20分钟．最终制作的手环总数比帆布包总数的2倍多2个． (1)设制作了个帆布包，分析如下：（其中，制作时长制作个数制作一个的时间） 制作个数（个） 制作一个的时间（分钟/个） 制作时长（分钟） 帆布包 20 手环 4 ①请用含有的式子，完成表格填写； ②求制作了多少个帆布包； (2)已知制作每个帆布包需要15元材料费，每个手环需要4元材料费．若该同学的预算为100元，判断预算能否支付材料总费用，并说明理由． 30．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值 0 1 2 3 袋数 1 3 2 1 1 2 若每袋标准质量为，求抽样检测的总质量． 31．列方程解决实际问题：某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则_______天后完成；在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用均是1000元．则该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和为_______元． 32．当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． (1)类比十进制的计数原理：把一个二进制数转化为十进制数的方法为：． 请你将二进制数转化为十进制数：则________； (2)把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数37转化为二进制数： 余1 余0 余1 余0 余0 余1 所以 请你将十进制数15转化为二进制数，则（    ） (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：，，，． 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①（    ） ②（    ） 33．点均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点的距离为，若，则称点是点关于点的“倍关联点”．例如：当点表示数1，点表示数2．点表示数3时，则称点是点关于点的“2倍关联点”． (1)数轴上点表示数，点表示数． ①若点表示数，且点是点关于点的“倍关联点”，则______； ②若点是点关于点的“2倍关联点”，在，，，0四个数中，点可以表示的数是_____； (2)数轴上点表示数，点表示数2，点表示数6． 对点作如下操作：点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；点沿数轴移动到点，点表示数，满足；点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；点沿数轴移动到点，点表示数，满足；按照此方式继续操作，得到点，，，， 对点作如下操作：点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点，表示数；点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；按照此方式继续操作，得到点 ①点是点关于点的“_____倍关联点”； ②当为最小正整数时，是否存在正整数，使得点是点关于点的“倍关联点”．如果存在，直接写出点表示的数的值；如果不存在，说明理由． 34．定义：已知点、是数轴上两点．点是数轴上一点（点不与点、重合），若点到点或点N的距离的最大值等于距离的最小值的倍，我们就称点是线段MN的关联点． (1)若点、表示的数分别为，2，若点表示的数为正整数，且为正整数，则点P表示的数为______． (2)若点表示的数为，点在点的右侧，，点表示的数是的3倍，点是线段的5关联点，求m的值． 35．如图，点、、在同一直线上，线段长为，长为，且满足． (1)的值为______，的值为______； (2)如图2，线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，即长度为2，若点为线段中点，点为线段中点，求线段的长； (3)如图1，点从点开始以每秒2个单位长度的速度向左边运动，同时点从点以每秒1个单位速度向左运动，设运动的时间为秒， ①若，求的值； ②若的值与无关，求的值． 36．如图是一个400米长的圆形跑道，从点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米． 已知跑道上的两点对应的有理数分别为，且满足：， 定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点为跑道上两点之间较短圆弧上的一点，且到两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称为两点的“友谊点”． (1)直接写出两点的弧距________； (2)给出下列跑道上对应的有理数：，，10，350，其中______所对应的点是两点的“友谊点”； (3)点以每秒40米的速度从点出发，沿跑道逆时针运动，当点第一次经过两点的“友谊点”时，此时运动的时间为__________秒，若设点从出发到经过两点的“友谊点”的时间为秒，请直接写出当点第次（为正整数）经过两点的“友谊点”时，与的关系（用含的代数式表示）． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章有理数全章高频重点题型突破 内容概览 目基础拿分：高频题型归纳 题型1正数与负数 题型2有理数的分类 题型3数轴 题型4相反数、有理数大小比较 题型5绝对值基础 题型6乘方概念 题型7科学记数法、近似数、精确度 题型8有理数加减运算 题型9有理数四则混合运算 题型10有理数实际应用 目核心提升：重难题型归纳 题型1结合数轴化筒绝对值 题型2绝对值的非负性 题型3绝对值几何意义综合 题型4数轴动点问题 题型5有理数规律探究 题型6新定义运算 目题型专练：高频重难特训 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1正数与负数 【答案】-4 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 【答案】-150 3. 【答案】D ◆题型2有理数的分类 4. 【答案】 -1,2,13,0 -3.141559,-5% 5. 【答案】 0.6,-42 3,4 0,4 6. 【答案】 5,6,3.1415926,0.23,06,-110 ◆题型3数轴 7. 【答案】A 8. 【答案】D 9. 【答案】 把数字表示在数轴上，如图所示， 5 -之0241<3 -1 23 ◆题型4相反数、有理数的大小比较 10. 【答案】A 11. 【答案】 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5绝对值基础 12. 【答案】 -2 13. 【答案】1 14. 【答案】-1,0,1 15. 【答案】A ◆题型6乘方概念 16. 【答案】 3m-4" 17. 【答案】D 18. 【答案】C ◆题型7科学记数法、近似数、精确度 19. 【答案】A 20 【答案】B 21. 【答案】C 22. 【答案】3.142 23. 【答案】3.53 24. 【答案】2.70 25. 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 26. 【答案】C 27. 【答案】B ◆题型8有理数加减运算 28. 【答案】(1)-6 (2)98,66 (3)425 29. 【答案】6 30. 【答案】(1)53道 (2)方式B更有利 ◆题型9有理数四则混合运算 31. 【答案】(1)-10 (2)-13 (3)0 (4)6999 10 32. 【答案】(1)-2 (2)15 3)-31 (4)-1 33. 【答案】(1)15 (2)-8 (3)-6 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)7 ◆题型10有理数实际应用 34. 【答案】 20 1→2→3 35. 【答案】 225 200 36. 【答案】 8 7 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1结合数轴、绝对值比较有理数大小 1. 【答案】B 2. 【答案】C 3 【答案】D x 【答案】B ◆题型2绝对值的非负性 5. 【答案】B 6 【答案】A 7. 【答案】-1 ◆题型3绝对值几何意义综合 8 【答案】(1)-1,3 (2) 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数轴表示如下： c A B -5-432.52-1012345→ ● 3)0.5或-4.5 9. 【答案】(1)3 (2)1或-9 3)-3或7或3或-7 10. 【答案】(1)4 (21或-9 (3)0,1,2,3 (4)-6(答案不唯一) ◆题型4数轴动点问题 11. 【答案】(1)1 (2)点P对应的数xn的值是-3或5 3 3)5或1.3或6 12. 【答案】(1)①-5：②1 (2)①A4,6:②第一种说法正确，定点卫所对应的数为-4 13. 【答案】(1) -8≤x≤4： (2) 解：当P点是A→B的奇点时， 可得：x-0=3(9-x), 27 解得：x= 4 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当P点是B→A的奇点时， 可得：9-x=3(x-0), 9 解得：x=4 当A点是P→B的奇点时， 可得：0-x=3×(9-0), 解得：x=-27: 当A点是B→P的奇点时， 可得：(9-0)=3(0-x), 解得：x=-3: 当B点是A→P的奇点时， 可得：9-0=3(x-9), 解得：x=12: 当B点是P→A的奇点时， 可得：x-9=3(9-0), 解得：x=36 ◆题型5有理数规律探究 14. 【答案】B 15. 【答案】A 16. 【答案】C ◆题型6新定义运算 17. 【答案】B 18. 【答案】A 19. 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加：结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4)m⑧n=2mn 20. 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2) 两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 同号，正→并用较大的绝对值减去较小的绝对值 一a与b的绝对值不相等 a⑧b- 异号，负→并用较大的绝对值减去较小的绝对值 a与b的绝对值相等 》结果为0 a=0,结果为b ab b=0,结果为a 题型专练 高频重难特训 一、选择题 1. 【答案】C 2. 【答案】A 3. 【答案】B 4. 【答案】A 5. 【答案】B 6. 【答案】D 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个 【答案】B 8. 【答案】C 9. 【答案】C 10 【答案】D 11. 【答案】A 12. 【答案】C 13. 【答案】B 二、填空题 14. 【答案】9或-1 15 44 【答案】3或5 16. 【答案】> 17. 【答案】2（答案不唯一） 18 【答案】19.4 19 【答案】 60 20 【答案】 0 284 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题 21 【答案】各数表示在数轴上如图 221502 5-4-32102345 -2.5<--2<+(-1.5)<0<-（-1)<2 22. 【答案】(1) 将各数在数轴上表示如下： -2 1 2.53 02 -5-4-3-2-10 1 2 2)-2.5<-25<0< 1 <3 3 2 23 【答案】③④⑤：①②⑥：①⑤⑥：③：⑤ 24. 【答案】(1)0 (2)15 25 【答案】(1)-13 (2)-1 26. 【答案】(1)7 (2)20 3)-5 (4)-2 27. 【答案】4 28. 【答案】(1)-7 (2)0 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 29. 【答案】(1) ①手环个数：2x+2,制作时长：②8x+8制作了4个帆布包 (2) 能支付，理由如下： 由(1)可知，制作4个帆布包，手环制作个数为2x+2=10个， 则总费用为4×15+10×4=100（元）， 故预算为100元能支付材料总费用 30. 【答案】3002g 31. 【答案】(1)这批纪念品共有3600件 (2)6:168000 32. 【答案】(1)19 (2)1111 (3)①100011，②11 33 【答案】(1)①2：②-3，-1 (2)①2：②存在，4或5或8 34. 【答案】(1)1或3或5 3 515 2m的值为8或4或4或8· 35. 【答案】(1)6：4： (25 12 01=12或1=5时，B即=3B0:②当0<1<4时，m=3当，>4时，m 3 36. 【答案】(1)120米 (2)-50,10,350 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 31 411 3 B)4:当n为奇数时，1=5n+4:当n为偶数时，1=5n- 12/12 第一章 有理数全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 正数与负数 题型2 有理数的分类 题型3 数轴 题型4 相反数、有理数大小比较 题型5 绝对值基础 题型6 乘方概念 题型7 科学记数法、近似数、精确度 题型8 有理数加减运算 题型9 有理数四则混合运算 题型10 有理数实际应用 核心提升：重难题型归纳 题型1 结合数轴化简绝对值 题型2 绝对值的非负性 题型3 绝对值几何意义综合 题型4 数轴动点问题 题型5 有理数规律探究 题型6 新定义运算 题型专练：高频重难特训 ◆题型1 正数与负数 1．如果温度上升记作，那么温度下降记作______． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数表示相反意义的量，温度上升记为正，则下降记为负，由此即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵温度上升记作， ∴温度下降记作， 故答案为：． 2．在空间站某次舱外作业中，航天员的宇航服表面温度显示：向阳面为零上，背阴面为零下．若零上记作，则零下记作___________． 【答案】 【分析】该题考查了正负数的意义，根据正负数的意义，零上温度记为正数，零下温度记为负数 【详解】解：由题意，零上记作，则零下应记作负数，即， 故答案为：． 3．下列说法正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．是最小的正数 C．一定是负数 D．若规定收入为正，则支出元应记作元 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类、正负数的定义和实际意义，正确理解正负数的定义和相反数的概念是解题关键． 依据“有理数包含正数、、负数”，“既不是正数也不是负数”，“正负数的实际应用”，逐一分析选项的正误． 【详解】解：∵既不是正数也不是负数，∴错误； ∵不是正数，∴错误； ∵的符号未知，不一定是负数，∴错误； ∵ 收入为正，则支出为负，∴支出元记作元正确，∴正确． 故选：． ◆题型2 有理数的分类 4．在下列各数，，，2，，13，0，，，中，整数有__________，负分数有____________________． 【答案】 ，2，13，0 ， 【分析】本题主要考查整数和负分数的定义；根据整数和负分数的定义，整数包括正整数、负整数和零；负分数是负的有理数且不是整数．逐个判断给定数即可得出答案． 【详解】解：在给定的数中，是负整数，属于整数； 是负小数，属于负分数； 2是正整数，属于整数； 是正分数，既不是整数也不是负分数； 13是正整数，属于整数； 0是整数，既不是正数也不是负数； 是正分数，既不是整数也不是负分数； 转化为，是负分数； 是正分数，既不是整数也不是负分数． 因此，整数有，2，13，0；负分数有，． 故答案为：，2，13，0；，． 5．把下列各数填在相应的大括号内： ，0，，4， 负分数集合___________…； 正数集合___________…； 非负整数集合___________… 【答案】 ，4 0，4 【分析】本题主要考查了有理数的分类：根据有理数的分类标准：负分数是小于0的分数；正数是大于0的数；非负整数是0和正整数． 【详解】解：负分数集合包括所有小于0的分数，其中和是负分数， 故负分数集合为{，…}． 正数集合包括所有大于0的数，其中和4是正数， 故正数集合为{，4… }． 非负整数集合包括0和正整数，其中0和4是非负整数， 故非负整数集合为{ 0，4… }． 故答案为：①；②，4；③0，4． 6．在，6，，，，，，0中，______是非负有理数；______是整数． 【答案】 ，6，，，0 6，，0 【分析】本题主要考查非负有理数的定义和整数的知识，解决本题的关键是要熟练掌握非负有理数的定义； 非负有理数是指0和正有理数，正有理数分为：正整数和正分数，正有限小数和正无限循环小数属于正有理数，整数包括正整数、负整数和0；根据非负有理数的定义即可求解； 【详解】解：根据非负有理数的定义可得：，6，，，0是非负有理数； 根据整数的定义可得：6，，0是整数， 故答案为：，6，，，0；6，，0； ◆题型3 数轴 7．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 8．对于数轴上不同的三点，给出如下定义：若其中一个点到其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“赋能点”．例如数轴上点所表示的数分别为，此时点B是点的“赋能点”．若点D表示数为，点E表示数为3，下列各数所对应的点分别为，其中与点能组成的“赋能点”的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离，新定义运算，解题的关键是理解题意．根据“赋能点”定义，分别检查点与点D、E组成的三点中是否存在一点到其他两点距离相等． 【详解】解：∵点D表示，点E表示3， 对于， ∵，，， ∴不存在其中一个点到另外两个点的距离相等， ∴点与点不能组成“赋能点”； 对于， ∵，， ∴到D、E的距离相等， ∴点与点能组成“赋能点”； 对于， ∵，， ∴到D、的距离相等， ∴点与点能组成“赋能点”； 综上，和符合． 故选：D． 9．在数轴上表示出有理数：，，，，并将它们按从小到大的顺序排列，用“”连接． 【答案】 把数字表示在数轴上，如图所示， 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，数轴比较大小． 根据数轴上的点与有理数的对应关系把数字表示在数轴上，再根据数轴从左往右，数字依次增大即可求解． 【详解】略 ◆题型4 相反数、有理数的大小比较 10．的相反数为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的概念，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行分析，即可作答． 【详解】解：的相反数为5， 故选：A． 11．比较两个数的大小：①_____10；②______（填“”或“”）． 【答案】 < > 【分析】本题考查了有理数大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则． 有理数大小比较法则：正数大于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小． 【详解】①解∶因为是负数，是正数， 所以； 故答案为∶<． ②解∶因为和都是负数，，，， 所以． 故答案为∶>． ◆题型5 绝对值基础 12．已知，，并且，求______，______． 【答案】 5 【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的性质求出a、b的可能值，再结合条件确定a和b的值． 【详解】解：∵，， ∴或，或5， ∵， ∴，． 故答案为：，5． 13．计算：______． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的减法，求绝对值，利用有理数的减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数，再结合绝对值的性质计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为 1． 14．绝对值小于的整数有______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的概念及整数的范围确定，解题的关键是根据绝对值的定义列出不等式，再找出符合条件的整数． 根据绝对值的意义列出不等式，确定整数的取值范围，进而找出符合条件的整数． 【详解】解：因为绝对值的定义为， 所以可得不等式， 又因为是整数， 所以满足条件的整数为． 故答案为：． 15．下列说法：①若两个数互为相反数，则它们相除的商等于；②若，则；③一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是负数；④是二次三项式；⑤几个有理数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正数；⑥字母是单项式，数字0不是单项式，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查相反数、绝对值、多项式、有理数乘法和单项式等概念，需注意定义完整性和特殊情况（如零的处理）．逐一分析每个说法的正确性，考虑特殊情况或定义，判断是否成立． 【详解】①∵若两个数均为0（互为相反数），则相除无意义，∴①错误； ②∵，，不一定为，∴②错误； ③∵绝对值等于相反数的数包括负数和0，但0不是负数，∴③错误； ④∵当时，不是二次三项式，∴④错误； ⑤∵若有理数中包含0，则积为0，不是正数，∴⑤错误； ⑥∵数字0是单项式，∴⑥错误． 综上，所有说法均错误，正确个数为0． 故选：A． ◆题型6 乘方概念 16．计算的结果用含的代数式表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数乘方的计算，理解题意是关键． 第一个部分表示m个3相加，根据有理数乘法意义，等于3与m的乘积；第二个部分表示n个4相乘，根据乘方意义，等于4的n次幂；因此结果为两者之差． 【详解】解： ，， ∴原式． 故答案为：． 17．下列各组数中，相等的一组是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，绝对值，相反数，掌握相应的运算法则是关键．根据有理数的乘方运算法则，绝对值的意义分别计算出每一项，判断结果是否相等即可． 【详解】解：选项A、，，，结果不相等，不符合题意； 选项B、，，，结果不相等，不符合题意； 选项C、，，，结果不相等，不符合题意； 选项D、，，，计算结果相等，符合题意． 18．对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究．操作规则是每次将数的各位数字的立方和作为新数，计算发现形成的数字序列以3为周期循环：． 第次操作相当于循环中的第一次操作，结果为． 【详解】∵第一次操作： 第二次操作： 第三次操作： ∴运算结果每3次为一个循环 ∵余1 ∴第次操作后的数与第一次操作后的数相同，为 故选：C． ◆题型7 科学记数法、近似数、精确度 19．在我国，平均每平方千米的陆地一年从太阳得到的能量，相当于燃烧130000000千克的煤所产生的能量．下面用科学记数法表示这个数正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定和的值即可得到结果． 【详解】解：． 20．仲夏端阳，楚韵悠长．这个端午假期，长沙文旅市场热度攀升．据手机信令大数据建模分析，长沙3天共接待游客约为4810000人次，将数据4810000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 21．据报道，2026年春节五一假期，泰安市文旅市场供需两旺，累计接待游客人次，比去年同期增长．数据用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需确定和的值即可求解； 【详解】解：将写成科学记数法的形式，先确定，满足. 原数的小数点向左共移动了位，故，故； 22．圆周率是无限不循环小数，因此在进行计算时往往会取它的近似值，按四舍五入法对圆周率π精确到0.001取近似值为__________． 【答案】3.142 【分析】精确到0.001即看万分位的数字，将万分位的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：对圆周率π精确到0.001取近似值为3.142． 23．用四舍五入法对取近似数（精确到）是______． 【答案】 【分析】本题考查近似数的求法，根据四舍五入法精确到，需看千分位数字满5，向前一位进1，把后面的位数去掉即可． 【详解】解：数字的千分位是6，， 因此向百分位进一，百分位2变为3， 故答案为：． 24．用四舍五入法将2.695精确到0.01，所得到的近似数为______． 【答案】2.70 【分析】本题考查四舍五入法取近似数，解题的关键是明确精确到0.01需关注千分位数字，并按进位规则操作． 明确精确到0.01对应的数位，根据千分位数字并按进位，逐步完成进位得到近似数． 【详解】解：因为2.695的千分位数字是5，根据四舍五入规则，所以需向百分位进1， 因为百分位原有数字是9，加1后变为10，所以需向十分位进1，同时百分位写0， 因为十分位原有数字是6，加1后变为7，整数部分保持不变，所以得到近似数2.70． 故答案为：2.70． 25．下列说法正确的是（   ）． A．保留了三位小数 B．万精确到个位 C．近似数千和精确度相同 D．精确到千分位 【答案】D 【分析】本题考查近似数的精确度概念，需根据各选项的数字判断其保留的小数位数或精确到的数位． 【详解】解：A、保留了四位小数，故A错误； B、万，其中数字在千位上，它精确到千位，而非个位，故B错误； C、 近似数“千”表示，但精确到千位（误差范围），而“”作为近似数时通常精确到个位（误差范围）， 精确度不同，故C错误； D、精确到千分位，故D正确； 故选：D． 26．用四舍五入法按要求对0.05019分别取近似值，其中错误的是（   ） A．0.1（精确到0.1） B．0.05（精确到百分位） C．0.05（精确到十分位） D．0.0502（精确到0.0001） 【答案】C 【分析】本题主要考查了近似数，根据四舍五入近似法则判断：对于精确到的数位的后一位四舍五入，是解决问题的关键． 【详解】解：A、精确到为，本选项正确，不符合题意； B、精确到百分位为0.05，本选项正确，不符合题意； C、精确到十分位为0.1，本选项不正确，符合题意； D、精确到0.0001为0.0502，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 27．下列说法错误的是（    ） A．精确到十位 B．4.6093万是精确到千分位 C．用科学记数法表示的数精确到千位 D．近似数0.6和0.60表示的意义不同 【答案】B 【分析】本题考查了近似数和科学记数法，熟练掌握近似数的相关知识是解题的关键； 根据近似数和科学记数法的相关知识逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，4在十位，故选项说法正确； B、4.6093万，精确到个位，故选项说法错误； C、用科学记数法表示的数精确到千位，故选项说法正确； D、近似数0.6精确到十分位，0.60精确到百分位，故近似数0.6和0.60表示的意义不同，故选项说法正确； 故选：B. ◆题型8 有理数加减运算 28．（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行五个科目的测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 道法 相对分数 m 已知该产品的物理测试分数为分． (1)请写出表中m的值； (2)在本次测试的五个科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中五个科目的总分． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据“少于基准的分数记为负数”可求解物理的相对分数； （2）用基准分数加上最高的相对分数可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上最低的相对分数可求出该产品所得的最低分； （3）先求出所有相对分数的和，再用基准分数科目数相对分数的和，即可求解． 【详解】（1）解：∵该产品的物理测试分数为分， ∴物理的相对分数为：， ∴m的值为； （2）解：该产品所得最高分为：（分）， 该产品所得最低分为：（分）， 故答案为：，； （3）解：∵本次测试中五个科目的相对分数之和为：（分）， ∴该产品在本次测试中五个科目的总分为：（分）． 29．计算：． 【答案】6 【分析】本题考查了有理数的加减运算，化简绝对值，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 根据有理数的加减运算法则和绝对值的性质求解即可． 【详解】解： ． 30．某班级规定每人每天需完成10道计算题，小明每天实际完成的题量与规定数量有出入，如下表是小明本周每天完成的情况（以10题为标准，超出记为正，少做记为负）． 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 增减情况（道） 该班级奖励积分有两种方式： 方式A：实行周积分制，每完成1道题奖励10积分； 方式B：实行日积分制，每完成1道题奖励9积分．若一天超出10道，则超出部分每道额外加12积分；若一天不足10道，则每少1道扣5积分． (1)本周小明实际完成计算题共多少道？ (2)请判断哪种积分方式对小明更有利，通过计算说明． 【答案】(1)53道 (2)方式B更有利 【分析】本题考查运用正负数的意义解决实际问题，有理数的混合运算，关键是能根据实际问题，结合正负数正确列出算式并计算； （1）按每天完成10道的标准，五天一共会完成道，再与将表格中数据相加即可得出实际完成的数量； （2）根据题意分别求得两种方式所得积分后比较大小即可． 【详解】（1）解：（道） 答：本周小明实际完成计算题共53道． （2）解：方式A：（分）， 方式B：（分）， ∵， ∴选择方式B对小明更有利． ◆题型9 有理数四则混合运算 31．计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】（1）直接进行正负数的计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可； （3）先将带分数转换为假分数，计算平方，再进行混合运算即可； （4）利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 32．计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟知相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则求解即可； （2）根据有理数的乘除运算法则求解即可； （3）根据乘法分配律求解即可； （4）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 33．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)15 (2) (3) (4)7 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数乘法运算律，含乘方的有理数混合运算，有理数乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先写成省略加号的和，再计算； （2）先计算、将除法转化为乘法、求出绝对值，再接着运算； （3）先计算乘方和后面的乘法，再计算除法，最后计算加减； （4）先计算乘方，再用分配律计算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： ◆题型10 有理数实际应用 34．焦庄户地道战遗址纪念馆是爱国主义教育示范基地，场馆内开放了可以实地穿行的真实地道，工作人员定期对地道路线进行维护、甲、乙两人合作完成其中三条路线的维护，维护要求：每条路线的维护需要先由甲进行检查，结束后再由乙进行清洁；每人同一时间只能维护一条路线．每人完成各自工序需要的时间（单位：）如下： 路线1 路线2 路线3 甲 2 5 6 乙 5 4 3 （1）若按照路线3→路线2→路线1的维护顺序，总时长为________； （2）若要求维护三条路线的总时长不超过，请写出一种满足条件的维护顺序________． 【答案】 【分析】（1）根据题目所给的顺序，计算总时长即可； （2）根据题意，列出所有的情况，分别计算总时长，再与比较大小即可得出结论． 【详解】解：（1）按照的顺序维护，总时长最少为． （2）由（1）得，按照的顺序维护，总时长最少为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 按照的顺序维护，总时长为； 要求三条路线维护完成的总时长不超过，满足条件的维护顺序为或或（写出一种即可）． 35．某家纺公司生产四种针织产品，每种产品货源充足，各产品重量及价格如表： 产品 重量（千克） 价格（元） 在某次展销活动中，根据客户需求，现在想将部分产品做成套装礼盒销售，每个礼盒总重量不超过千克． （1）若每个礼盒中只装同一种产品，则一个礼盒的总价值最高是________元； （2）若每个礼盒中同一种产品最多装件，则一个礼盒的总价值最高是________元． 【答案】 【分析】（1）分别计算只装同一种产品时，每个礼盒最多可装的包数，计算对应总价值，比较得到最大值； （2）根据每种产品最多装2件的限制，列举所有符合总重量要求的组合，计算总价值后比较得到最大值． 【详解】解：（1）分别计算每种产品的总价值： 产品A：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品B：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品C：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 产品D：每件重千克，最多装件，总价值（元）， 比较得，一个礼盒的总价值最高是元； （2）计算单位重量价值（优先选单价高的）： 、（元）， 、（元）， 、（元）， 、（元）， ∵， 即按照单位重量价值从大到小排序为：， 故优先级为． 按照每种最多件：最多件（），最多件（），最多件（），最多件（）， 先装满优先级高的产品，再用剩余重量搭配次优产品： ①件：，价值（元）， 件：，价值（元）， 已用重量：，剩余重量：， 剩余恰好装件，且只装件，符合限制条件， 此时件件件，总重量：（千克），总价值：（元）； ②件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ③件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ④件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； ⑤件件件，总重量：（千克），总价值：（元）元； 其余符合重量限制的组合总价均低于元，因此最高总价值是元． 36．今年3月，某校开展一年一度的“节”数学文化活动，设置了丰富多彩的数学游戏．其中有一个“T字之谜”的游戏，由5位同学组队参加，每位同学每人只能选择五个不同难度级别中的一个级别参加游戏，每个级别的单次游玩时长如下表： 级别 A级 B级 C级 D级 E级 时长（分钟） 1 3 4 5 5 活动当天，该游戏共有3个摊位同时开放．且满足以下规则： ①每个摊位同一时间只能有1位同学游玩，前一位同学游戏结束后，后一位同学才能上场，换场时间忽略不计； ②一组的5位同学全部完成游戏，视为这一组的游戏结束． 引导员将一组的5位同学分配至3个摊位进行游戏（即每个摊位依次安排同学游玩）． 回答下列问题： （1）若某一次分配方案为：选A级和C级的同学到1号摊位，选B级和E级的同学到2号摊位，选D级的同学到3号摊位，进行游戏．则这一方案的总游戏时长为_________分钟． （2）在所有可行的分配方案中，一组游戏总时长最短为_________分钟． 【答案】 8 7 【分析】根据游戏规则，总游戏时长为三个摊位游玩总时长的最大值． 第一问直接计算给定分配方案各摊位的总时长，取最大值即可． 第二问需要将五个不同时长分组，得到所有分组中最大值的最小值即可． 【详解】解：(1) 分别计算三个摊位的游玩总时长∶ 号摊位∶ （分钟）， 号摊位∶ （分钟）， 号摊位∶ （分钟）． 根据规则，五位同学全部完成游戏游戏结束，因此总游戏时长为三个总时长的最大值，即该方案总游戏时长为分钟． (2) 五个时长的总和为 ． 若要总游戏时长最短，需使三个摊位总时长的最大值最小． 若最大值为，则三个摊位总时长之和最大为，恰好等于总时长，要求每个摊位总时长均为． 两个时长为的组都需要搭配才能使和为，但仅有个，无法完成分配，因此最大值不可能为． 当分配为 时，三个摊位的总时长分别为，最大值为，符合分配要求，因此总时长最短为分钟． ◆题型1 结合数轴、绝对值比较有理数大小 1．有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子符号，有理数的加减计算，根据a，b在数轴上对应的点结合绝对值的意义、有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，，，，， 故选：B． 2．数轴上表示数的点如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴及有理数的大小比较，由数轴可得，，据此即可求得答案． 【详解】解：由数轴可得，， ∴． 故选：C． 3．已知，，且，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数比较大小、绝对值，根据已知条件可得，即可得出答案． 【详解】解：∵，，且， 画数轴如下： ∴， 故选：D． 4．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，根据数轴得出是解题的关键． 根据数轴得到，再逐项判断即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得：，故A选项错误，B选项正确， ，， ，故C选项错误， ， ，故D选项错误， 故选：B． ◆题型2 绝对值的非负性 5．若，则的值为（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是非负数的性质，求解代数式的值，根据非负数的性质，平方项和绝对值项均非负，它们的和为零，则每个部分必须为零，再进一步求解即可． 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴ 且 ， ∴ ，， 解得：，， ∴ ． 故选：B 6．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（    ） A．2023 B．4046 C．20 D．0 【答案】A 【分析】根据绝对值的非负性，可知，得出式子存在最大值，即可选出答案． 【详解】解：∵绝对值具有非负性 ∴， ∵有最大值， ∴当时，式子有最大值，此时的值是2023，故A正确． 故选：A. 【点睛】本题考查的是绝对值的意义，掌握绝对值具有非负性是解题的关键． 7．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值和完全平方公式的非负性， 先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，再代入代数式求值即可. 【详解】解：因为， 所以， 解得， 所以代数式. ◆题型3 绝对值几何意义综合 8．数轴上点的位置如图所示，点表示的数是的相反数． (1)点表示的数是________________，点表示的数是_______________； (2)请在数轴上标出点的位置； (3)如果该数轴上点与点之间的距离是2，那么点表示的数是______________． 【答案】(1)，3 (2) 数轴表示如下： ． (3)或 【分析】本题主要考查了数轴，相反数，两点间的距离，熟知数轴上的点所表示数的特征及相反数的定义是解题的关键． （1）根据所给数轴即可得到答案； （2）根据相反数的定义，确定点表示的数后在数轴上表示出来即可； （3）根据数轴上两点间的距离意义即可解决问题． 【详解】（1）解：根据数轴可知，点A表示的数是，点B表示的数是3， 故答案为：，3． （2）解：∵的相反数是， ∴点表示的数是； （3）解：设点D表示的数为，点表示的数是， 根据题意，得， 故或， 解得或， 故答案为：或． 9．数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如，在下图中，线段；线段；线段． 问题： (1)数轴上点M、N代表的数分别为和，则线段___________； (2)数轴上点代表的数为，且线段，则点表示的数为___________； (3)数轴上有两个点之间的距离为5，其中一个点表示绝对值为2的数，另一个点表示的数为，求的值． 【答案】(1)3 (2)1或 (3)或7或3或 【分析】本题考查了数轴，有理数的减法，理解题意是解题的关键． （1）根据题意得出计算即可； （2）根据数轴上点代表的数为，且线段，得出点表示的数为或即可； （3）根据题意列出或，计算即可． 【详解】（1）解： 数轴上点、代表的数分别为和， 线段， 故答案为：3； （2）解： 数轴上点代表的数为，且线段， 点表示的数为或， 故答案为：1或； （3）解： 其中一个点表示绝对值为2的数， 这个点表示的数是， 由题意，得或， 即或， 解得或7或3或． 10．通过学习我们知道，的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离．由于可以看作，那么的几何意义为数轴上表示数a与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的几何意义为数轴上表示数a与b的两点间的距离．表示数轴上有理数a所对应的点到和4所对应的两点间的距离之和． 例如的几何意义为数轴上表示数a与2的两点间的距离，若，则a的值为1或3． (1)数轴上表示数1与的两点间的距离是______； (2)如果，那么______； (3)当代数式取最小值，且x为非负整数时，这样的非负整数x是______； (4)当代数式取最大值时，写出一个满足条件的x的值______． 【答案】(1)4 (2)1或 (3)0，1，2，3 (4)（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，数轴上两点间距离，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义． （1）根据数轴上两点间距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的意义得出，然后求出x的值即可； （3）根据绝对值的几何意义，得出当时，最小，然后根据x为非负整数得出x的值即可； （4）根据绝对值的几何意义，得出当时，最大，然后写出一个x的值即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数1与的两点间的距离为： ； （2）解：∵， ∴， 解得：或； （3）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示3和两个点的距离之和， ∴当时，最小， 又∵x为非负整数， ∴x的值为0，1，2，3； （4）解：∵表示在数轴上表示x的点到表示1的点的距离与表示点的距离之差， ∴当时，最大， ∴满足条件的x的值可以是．（答案不唯一） ◆题型4 数轴动点问题 11．已知数轴上两点，对应的数分别为，，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点为线段的中点，则点对应的数______； (2)点在移动的过程中，其到点、点的距离之和为，求此时点对应的数的值； (3)对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足倍关系时，则称该点是其他两个点的“倍点”如图，原点是点，的倍点． 现在，点、点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，同时点以每秒个单位长度的速度从表示数的点向左运动．设出发秒后，点恰好是点，的“倍点”，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)点对应的数的值是或 (3)或或 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，线段的中点，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）根据及求解即可； （2）分两种情况讨论：点P在点左侧或点右侧，根据两点间的距离公式列方程求解即可； （3）由点恰好是点，的“倍点”，列出方程可求解． 【详解】（1）解：点为线段的中点， ， ，即， 两点，对应的数分别为，， ， 故答案为：1； （2）解：由，若存在点到点、点的距离之和为，不可能在线段上，只能在点左侧，或点右侧． 在点左侧，，， 依题意，得， 解得：． 在点右侧，，， 依题意，得， 解得：． 综上所述，点对应的数的值是或； （3）解：秒后，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 因为点恰好是点，的“倍点”， 所以， 或， 解得：不合题意，舍去，或，或，或， 所以的值为或或． 12．在数轴上，已知点M和点P，若点N与点M分别位于点P的两侧，且点N和点M到点P的距离相等，就把点N叫做点M的“P对称点”．特别地，若点M与点P重合，那么点M的“P对称点”就是它本身．已知数轴上点A，点B对应的数分别为a，b．解决下面的问题： (1)当，时， ①点A的“B对称点”对应的数是 ； ②若点A是点B的“P对称点”，那么点P对应的数是 ； (2)已知点，，对应的数分别为0，3，，记点A的“P1对称点”为，点的“对称点”为，点的“对称点”为． ①在线段，，中，长度为定值的是 ，它的长度是 ； ②若对于任意a的值，有下面两种说法： 第一种说法：存在定点Q，使得点A的“Q对称点”是点； 第二种说法：存在定点Q，使得点A的“Q对称点”是点． 请判断这两个说法哪一个是正确的，并求出相应的定点Q所对应的数． 【答案】(1)①；② (2)①，6；②第一种说法正确，定点所对应的数为 【分析】本题考查了数轴上两点距离，新定义，整式的加减； （1）①依题意，，根据新定义可得是与对应点的中点，即可求解； ②根据定义可得，是的中点，根据两点距离，即可求解． （2）①设分别对应的数为，根据新定义，即线段中点的定义，分别求得的长，即可求解； ②设点表示数为，根据①的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点的“对称点”对应的数是 故答案为：． ②根据定义可得，是的中点，设点表示的数为， ∴ ∴ 故答案为：． （2）解：①依题意，，，为线段的中点， 设分别对应的数为， ∵点对应的数分别为，3， 为线段的中点，则， 则， 为线段的中点，则，则， 为线段的中点，则，则， ∴不为定值， 为定值， 不为定值， 故答案为：，6． ②设点表示数为， 若第一个说法正确，则 ∴，故第一个选项正确， 若第二个说法正确，则， 则（不为定值），故第二个选项错误． 第一种说法正确，定点所对应的数为． 13．已知数轴上点、对应的数分别为、，点为数轴上任意一点，其表示的数为． (1)当，时，点到点，点的距离之和最小，那么的取值范围是______； (2)有如下的规定：如果点在点，点之间（点不与、重合），并且点到点的距离是点到点的距离倍，那么我们就称点是的奇点．当，时，当的值为何值时，、、中恰有一个点为其余两点的奇点． 小珊同学求出了其中的一种情况，她的解答如下： 答：当点是的奇点时，； 请你仿照小珊同学的解答方式，把其余的情况写出来． 【答案】(1) ； (2) 解：当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：； 当点是的奇点时， 可得：， 解得：． 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据数轴上两点之间的距离公式列方程． 点到点，点的距离之和为，分情况求出即可得到结果； 根据奇点的定义分三种情况：当点是的奇点时，当点是的奇点时，当点是的奇点时．根据不同情况列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：点到点，点的距离之和为， 当时， ， ， ； 当时， 可得：； 当时，， ， ， 当时，有最小值； 当时，点到点，点的距离之和最小； 故答案为：； （2）略 ◆题型5 有理数规律探究 14．2025年5月，基于三进制逻辑的芯片研制成功，与传统的二进制芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．三进制是逢三进一，常用数字0，1，2记数，三进制数可以转换为十进制数．例如，三进制数1022记为，由，可得转换为十进制数是35（注：规定当时，）． 给出下面三个结论： ①将三进制数转换为十进制数为19； ②如果一个三进制数的末位数字能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除； ③如果一个三进制数的所有数位上的数字之和能被2整除，那么这个三进制数转换为十进制数就能被2整除． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，能熟练将三进制转化为十进制是解答本题的关键． 结论①通过直接计算验证正确；结论②通过反例证明错误；结论③通过设三进制数为，然后展开计算证明． 【详解】解：①，故①正确； ②取三进制数，末位数字0能被2整除，但转换为十进制数，不能被2整除，故②错误； ③设三进制数为（为正整数），则 ， ∵，，，能被2整除，且能被2整除， ∴能被2整除， ∴能被整除， 故③正确， 故选：B． 15．计算机利用的是二进制数，它共有0，1两个数码．将一个十进制数转化为二进制数，只需将该数写为若干个之和，依次写出系数1或0即可，例如十进制数19可以写为二进制数10011，因为，所以19写成二进制数10011是五位数，则十进制数60写成二进制数是（    ） A．六位数 B．七位数 C．八位数 D．九位数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的运算．将60写成，继而即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴二进制数为111100，是六位数． 故选：A 16．对于数，规定第一次操作为，第二次操作为，如此反复操作，则第次操作后得到的数是(    ) A．25 B．250 C．55 D．133 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究．操作规则是每次将数的各位数字的立方和作为新数，计算发现形成的数字序列以3为周期循环：． 第次操作相当于循环中的第一次操作，结果为． 【详解】∵第一次操作： 第二次操作： 第三次操作： ∴运算结果每3次为一个循环 ∵余1 ∴第次操作后的数与第一次操作后的数相同，为 故选：C． ◆题型6 新定义运算 17．小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：定义运算☆为：a☆b= ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据规定的运算要求直接套用公式即可求得结果． 【详解】∵，， ∴． 18．新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 故选：A 19．探究并解决问题： 定义一种新的运算，叫做“”运算．按照“”运算的运算法则进行计算： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧ (1)观察上面的算式，请类比有理数的运算法则的学习，归纳“”运算的运算法则： 两数进行“⊕”运算时，______； 一个数与0进行“⊕”运算时，______． (2)计算：； (3)有理数加法有结合律，结合律在有理数的“”运算中还适用吗？请你判断并举例验证（注：如果不适用，举出一个反例即可）． (4)对于任意有理数，请你重新定义一种运算“”，使得，写出你定义的运算：______（用含的式子表示）． 【答案】(1)同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加；结果等于这个数的绝对值 (2)9 (3)不适用，反例看解析 (4) 【分析】本题考查定义新运算，熟练掌握新运算的法则是解题的关键： （1）由给出的算式，得到两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）根据新运算的法则，进行计算即可； （3）不适用，举出一个反例即可； （4）根据，定义一种新运算即可． 【详解】（1）解：两数进行“⊕”运算时，同号为正，异号为负，再把两数的绝对值相加，一个数与0进行“⊕”运算时，结果等于这个数的绝对值； （2）解：； （3）不适用，例如：，，， 故结合律在有理数的“”运算中不适用； （4）∵，， 故可以定义． 20．小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2) 两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）略 一、选择题 1．人工智能（）正在改变我们的生活，随着技术的不断突破，产品用户数量也呈现出爆发式增长，其中有一款国产应用表现突出，在2026年春节期间，日用户峰值达到145000000人，其中145000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 2．徐志摩的《泰山日出》一文描写了“泰山佛光”壮丽景象，月份的泰山，山脚平均气温为零上，记作，山顶平均气温为零下，记作（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．根据正负数的表示方法，零上温度记为正，那么零下温度就记为负，从而确定山顶气温的记法． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下记作 故选：A． 3．在，，0，，，11，中，负分数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．根据负分数的定义：“既为负数又为分数”，判断每个数即可． 【详解】解：∵负分数是既为负数又为分数的数， ∴在，，0，，，11，中负分数有：，，共2个． 故选：B． 4．已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数轴上的点表示的数，解题的关键是右边的点表示的数总比左边的点表示的数大． 根据数在数轴上的位置关系判断即可． 【详解】根据题意，， A. ，选项A正确； B．，则，故，选项B错误； C．，则，选项C错误； D．，则，选项D错误． 故选：A． 5．数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B，若点B到原点的距离为6，点C到点A和点B距离相等，则点C表示的数是（   ） A．或 B．或10 C．2或10 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数，结合点C到点A和点B距离相等，列式计算，即可作答．即可． 【详解】解：∵点B到原点的距离为6， ∴点B表示的数是：和6， ∵数轴上一点A沿数轴向左移动8个单位后到达点B， ∴或 ∴点A表示的数是2或， ∵点C到点A和点B距离相等， ∴或， ∴点C表示的数是或10 故选：B． 6．下列说法正确的是（   ） A．有理数就是正数和负数的统称 B．最小的有理数是 C．数轴上原点两侧的数互为相反数 D．绝对值等于它本身的数是非负数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的分类、有理数的性质、数轴与相反数的定义、绝对值的性质，掌握有理数的分类、相反数和绝对值的性质是解题的关键． 依据“有理数的概念”、“有理数无最小、最大值”、“相反数的定义”、“绝对值的性质”，逐一分析每个选项． 【详解】解：∵有理数包括正有理数、负有理数和零，∴错误； ∵有理数没有最小值，例如存在负有理数比小，∴错误； ∵相反数要求符号相反且绝对值相等，数轴上原点两侧的数不一定满足该条件，∴错误； ∵绝对值的定义：（当），（当），∴时，，即非负数，∴正确． 故选：． 7．已知，．若与互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了互为相反数的意义，解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． 与互为相反数，得，代入a和b的表达式后解方程求m． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 代入得： 通分后乘以 4： 简化： 展开： 合并同类项： ∴ ∴的值为， 故选：B． 8．下列各数中互为相反数的是（   ） A．和0.3 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 分别计算各选项的数值并判断是否满足相反数的定义即可． 【详解】解：选项A：，绝对值不相等，不是互为相反数． 选项B：，，两数相等，不是互为相反数． 选项C：，，绝对值相等符号相反，是互为相反数． 选项D：，，两数相等，不是互为相反数． 故选C． 9．有理数在数轴上对应的点如图所示，则、、的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相反数、有理数的大小比较，掌握相反数的定义及“数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大”是关键． 在数轴上找到、、对应的点，再根据数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大解答即可． 【详解】解：由数轴可得，， 所以， 所以． 故选：C． 10．若有理数，且，则的值为（） A．5 B．5或 C．5或1 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查绝对值，根据绝对值的定义，a和b各有两种取值可能，但需满足的条件，筛选后只有两种情况，计算和即可． 【详解】解：∵， ∴或； ∵， ∴或． 又∵， ∴，或，， ∴当，时，； 当，时，， ∴的值为或， 故选：D． 11．下列说法：0是最小的整数；没有最大的负整数：正有理数和负有理数统称有理数；一个有理数的绝对值总是正数．其中正确结论的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整数的概念、负整数的性质、有理数的定义以及绝对值的性质． 根据定义逐一判断各说法的正误，即可解题． 【详解】解∵ 整数包括正整数、负整数和0，负整数均小于0，故0不是最小的整数．①错误． ∵ 负整数中最大，故存在最大的负整数，②错误． ∵ 有理数包括正有理数、负有理数和0，③中未包括0，故③错误． ∵ 有理数的绝对值是非负数，当有理数为0时，绝对值为0，不是正数，故④错误． ∴ 所有说法均错误，正确结论的个数为0． 故选：A． 12．2022年2月4日，北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行，中国大陆地区观看人数约亿人．用科学记数法表示亿是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的一般形式为，满足，n为整数，根据科学记数法的规则确定a和n的值即可． 【详解】解：亿． 13．实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴得到的范围：，，逐个判断选项． 【详解】解：A、数轴上在左侧，因此，故此选项错误； B、由得，，因此，故此选项正确； C、，，因此，故此选项错误； D、，因此，故此选项错误． 二、填空题 14．在数轴上，点M表示的数是4，从M点出发，沿着数轴向某个方向移动5个单位长度到达点N，则点N表示的数是__________． 【答案】9或 【分析】本题考查数轴上点的移动．根据题意分两种情况求解即可． 【详解】解：点M表示的数是4，向右移动5个单位长度，点N表示的数为； 向左移动5个单位长度，点N表示的数为． 故答案为：9或． 15．如图，点，，在数轴上表示的数分别是，，．动点，同时出发，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿A→B匀速运动．动点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点匀速运动，设点的运动时间为()．当点，到点的距离相等时，的值是______． 【答案】或 【分析】本题主要考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题．设运动时间为，则表示的数为，表示的数为，可得，，再进一步求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， ∴，， ∵点，到点的距离相等， ∴， ∴或， 解得：或． 故答案为：或 16．比较大小： ______（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据负数比较大小的规则，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：∵，，且， ∴． 故答案为：． 17．写出一个绝对值大于1的数：________． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，根据绝对值的定义，绝对值大于1的数可以是正数或负数，只要其绝对值大于1即可． 【详解】解：取数2，其绝对值为，由于，因此满足条件． 故答案为：2（答案不唯一） 18．2025年是“十四五”规划收官之年，我国经济稳步前行，体现了高质量发展的成效．下表记录了年我国全员劳动生产率的数据． 年份 2021 2022 2023 2024 2025 全员劳动生产率（万元/人） 用趋势图描述我国年全员劳动生产率的发展趋势，如图所示： 预测2026年我国全员劳动生产率约为___________万元/人（结果精确到）． 【答案】 【分析】先计算这5年我国全员劳动生产率的平均增长值，再预测即可． 【详解】解：根据题意，得年增量为：； 年增量为：；年增量为：； 年增量为：； 平均增量为：， 故预测2026年我国全员劳动生产率约为：万元/人； 19．已知博物馆有四个展厅，分别为A、B、C、D，四个展厅的参观时长分别为：15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，学校组织学生分队伍参观，要求同一展厅同一时间仅1支队伍参观，若展厅被占用则需排队等候，每支队伍需按顺序参观完所有展厅． （1）若要使每支队伍在参观过程中均无需等待，则最多可将学生分成__________支队伍； （2）若将学生分成4支队伍，则4支队伍都完成参观至少需要__________分钟． 【答案】 3 60 【分析】（1）要使每支队伍参观过程无需等待，相邻队伍进入首个展厅的间隔不小于最长展厅参观时长，结合第一支队伍参观完所有展厅的总时长，即可计算最多队伍数； （2）计算四个队伍参观所有展厅的总耗时，结合每个展厅的总占用时间，得到最少总完成时间． 【详解】解：（1）四个展厅参观时长分别为15分钟、15分钟、10分钟、5分钟，最长参观时长为15分钟， 要使每支队伍无需等待，相邻两支队伍进入第一个展厅的间隔至少为15分钟，否则会出现展厅占用等待， 一支队伍参观完所有展厅总时长为 （分钟）， ， 因此最多可分为3支队伍，第4支队伍进入时必然产生等待， 故最多3支； （2）若分为4支队伍，每个展厅总占用时间为：A展厅（分钟），B展厅（分钟），C展厅（分钟），D展厅 （分钟）， 每个队伍同一时间只能参观一个展厅，所有展厅中总占用时间最长为60分钟， 可以合理安排参观顺序，可以让所有队伍都完成参观的总时间为60分钟， 如：队伍一：A展厅，D展厅，C展厅，B展厅， 队伍二：B展厅，C展厅，D展厅，A展厅， 队伍三：C展厅，D展厅，B展厅，A展厅， 队伍四：D展厅，A展厅，B展厅，C展厅， 因此最少需要60分钟． 20．社区超市使用统一规格纸箱打包日用品，单个纸箱最大承重为20kg，所有商品均为独立包装、不可拆分．四种日用品单件重量与单件价值如下表： 商品类型 卷纸 洗衣液 洗洁精 香皂 单件重量（kg） 1.2 3.5 1.8 0.3 单件价值（元） 18 49 26 6 （1）现有卷纸4件、洗衣液4件、洗洁精3件、香皂5件，需将所有商品全部分装至两个纸箱中，每箱均不超重，两个纸箱的商品总价值之差的最小值为________元； （2）若要求整箱商品总件数恰好为8件，在不超重的前提下，这箱商品的总价值最高为________元． 【答案】 0 284 【分析】（1）先算出商品总价值，目标是让两箱价值尽可能接近总价值的一半，同时满足单箱重量不超过，验证存在两箱价值相等的合规分装方案，即可得最小差值为； （2）属于限定件数的最值问题，优先选择单件价值高的商品，按价值从高到低枚举高价值商品的数量，结合重量不超过搭配剩余件数，对比计算即可得出最高总价值． 【详解】解：（1）所有商品的总重量为， 总价值为元， 要让两个纸箱的商品总价值之差最小，需尽量让两箱价值接近总价值的一半元，同时每箱重量不超过， 存在可行分装方案：第一箱装件洗衣液、件洗洁精和件香皂， 重量为， 价值为元； 第二箱装件洗衣液、件卷纸和件香皂， 重量为， 价值为元； 两箱价值相等，差值最小为元； （2）要求整箱总件数恰好件且不超重，求总价值最高值，优先选择单件价值更高的商品，按洗衣液、洗洁精、卷纸、香皂的价值从高到低枚举验证， 当选择件洗衣液时重量为，剩余件总重量需不超过，选择件洗洁精和件卷纸，总重量为，刚好符合不超过， 此时总价值为元； 若选择件洗衣液重量为，剩余件最高价值组合为件洗洁精加件香皂，总价值为元，低于元， 其余数量组合的总价值均更低，因此这箱商品总价值最高为元． 三、解答题 21．将，，0，2，，在数轴上表示出来，并用“”把它们连接起来． 【答案】各数表示在数轴上如图，， 【分析】本题考查了数轴，相反数，绝对值，有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键．先化简各数，然后根据正负数、0的定义把各数表示在数轴上，最后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果即可． 【详解】解：略． 22．已知一组数：，，，， (1)画一条数轴，并把这些数用数轴上的点表示出来； (2)请将这些数按从小到大的顺序排列（用“”连接）：__________． 【答案】(1) 将各数在数轴上表示如下： (2) 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据数轴的定义解答即可； （2）根据数轴右边上的点表示数总比左边上的点表示的数大解答即可． 【详解】（1）略 （2）这些数按从小到大的顺序排列为， 故答案为：． 23．将下列各数的序号填在相应的集合里． ①，②3.14，③，④0，⑤，⑥． 整数集合：{                …} 分数集合：{                …} 负数集合：{                …} 在以上已知的数中，最大的有理数是___________，最小的有理数是___________． 【答案】③④⑤；①②⑥；①⑤⑥；③；⑤ 【分析】本题考查了有理数的定义和有理数的大小比较法则的应用，能理解有理数的定义是解此题的关键，注意：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数．根据有理数的分类，即可解答． 【详解】解：，， 整数集合：； 分数集合：； 负数集合：； 因为， 所以在以上已知的数中，最大的有理数是③，最小的有理数是⑤． 故答案为：③④⑤；①②⑥；①⑤⑥；③；⑤． 24．计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)15 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 25．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，有理数的乘方，有理数的混合运算，求一个数的绝对值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数的乘方，求一个数的绝对值，有理数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ． 26．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)7 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）先去括号，再进行加减运算即可； （2）根据乘除混合运算从左往右计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）先进行乘方运算、计算绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 27．计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律是解题的关键．这道题可以利用乘法分配律简化计算，将括号内的每一项分别与12相乘，再将所得结果进行加减运算． 【详解】解： ． 28．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，含乘方的有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用有理数的乘法运算律进行简便运算，即可作答． （2）先运算乘方以及化简绝对值，再运算除法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．为筹备校庆活动，某同学用2小时制作了纪念手环和帆布包若干个．制作一个纪念手环需4分钟，制作一个帆布包需20分钟．最终制作的手环总数比帆布包总数的2倍多2个． (1)设制作了个帆布包，分析如下：（其中，制作时长制作个数制作一个的时间） 制作个数（个） 制作一个的时间（分钟/个） 制作时长（分钟） 帆布包 20 手环 4 ①请用含有的式子，完成表格填写； ②求制作了多少个帆布包； (2)已知制作每个帆布包需要15元材料费，每个手环需要4元材料费．若该同学的预算为100元，判断预算能否支付材料总费用，并说明理由． 【答案】(1) ①手环个数：，制作时长：②制作了4个帆布包 (2) 能支付，理由如下： 由（1）可知，制作4个帆布包，手环制作个数为个， 则总费用为（元）， 故预算为100元能支付材料总费用 【分析】本题考查列代数式和一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． （1）①根据题意，用含x的式子表示出制作手环的个数和制作时长，②根据总时间为2小时，列出方程即可求解； （2）在（1）的基础上，计算出需要的总费用，与100元比较即可． 【详解】（1）解：①制作个帆布包，则手环制作个数为个，制作时长为分钟， ②根据题意可得，， 解得， 则制作4个帆布包； （2）略 30．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品10袋，检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足的部分用正数或负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值 0 1 2 3 袋数 1 3 2 1 1 2 若每袋标准质量为，求抽样检测的总质量． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的乘法应用，计算与标准质量的差值的总和，然后加上标准总质量即可得到抽样检测的总质量，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解： ∴与标准质量的差值的和为 依题意，标准总质量为 ∴抽样检测的总质量为 答：抽样检测的总质量是3002克． 31．列方程解决实际问题：某外贸公司为庆祝共建“一带一路”十周年，计划采购一批纪念品．现有甲、乙两个工厂可以生产这批纪念品，若这两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成．已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件． (1)求这批纪念品共有多少件？ (2)若该外贸公司请甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则_______天后完成；在纪念品生产过程中，该外贸公司每天支付给甲工厂的费用是11000元，每天支付给乙工厂的费用是16000元，且每天的其它支出费用均是1000元．则该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和为_______元． 【答案】(1)这批纪念品共有3600件 (2)6；168000 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用： （1）设这批纪念品共有件，根据两个工厂单独生产这批纪念品，则甲工厂比乙工厂多用 5 天完成列方程，解方程求出的值即可； （2）设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要天完成，先求出两个工厂共同生产的天数，再计算总费用即可． 【详解】（1）解：设这批纪念品共有件， 依题意，得：， 解这个方程，得， 答：这批纪念品共有3600件． （2）解：设甲、乙工厂共同生产这批纪念品需要天完成， 依题意，得：， 解这个方程，得， 即甲、乙两个工厂同时生产这批纪念品，则6天后完成； 元， 答：该外贸公司为这批纪念品的生产所支出的费用总和是168000元． 32．当前计算机常用的数据形式是二进制，二进制数与十进制数之间的转化问题，二进制数的计算问题十分常见．为了区分二进制与十进制的数，我们一般在二进制数的右下角标注2，例如． (1)类比十进制的计数原理：把一个二进制数转化为十进制数的方法为：． 请你将二进制数转化为十进制数：则________； (2)把一个十进制数转化为二进制数，一般按照“除以2取余数”的方法，将余数从下向上倒序写，就是结果．例如将十进制数37转化为二进制数： 余1 余0 余1 余0 余0 余1 所以 请你将十进制数15转化为二进制数，则（    ） (3)二进制的四则运算与十进制的四则运算原理相同，不同的是十进制的数位有十个数码0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一． 二进制的四则运算口诀如下： 加法：，，，． 减法：，，，（同一数位不够减时，向高一位借1当2）． 请根据以上信息和所学的竖式计算相关知识，填空： ①（    ） ②（    ） 【答案】(1)19 (2)1111 (3)①100011，②11 【分析】本题是材料阅读题，考查了有理数的运算，读懂材料中两种进制互化的例子及二进制的四则运算法则是关键． （1）按照例子进行计算即可； （2）按照例子进行计算即可； （3）①根据二进制的加法运算口诀进行求解即可； ②根据二进制的减法运算口诀进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：19； （2）解：余1 余1 余1 余1 所以， 故答案为：1111； （3）解：①； ②； 故答案为：100011，11． 33．点均是数轴上的点，给出如下定义：设点到点的距离为，点到点的距离为，若，则称点是点关于点的“倍关联点”．例如：当点表示数1，点表示数2．点表示数3时，则称点是点关于点的“2倍关联点”． (1)数轴上点表示数，点表示数． ①若点表示数，且点是点关于点的“倍关联点”，则______； ②若点是点关于点的“2倍关联点”，在，，，0四个数中，点可以表示的数是_____； (2)数轴上点表示数，点表示数2，点表示数6． 对点作如下操作：点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；点沿数轴移动到点，点表示数，满足；点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；点沿数轴移动到点，点表示数，满足；按照此方式继续操作，得到点，，，， 对点作如下操作：点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点，表示数；点沿数轴正方向移动一个单位长度得到点，点表示数；按照此方式继续操作，得到点 ①点是点关于点的“_____倍关联点”； ②当为最小正整数时，是否存在正整数，使得点是点关于点的“倍关联点”．如果存在，直接写出点表示的数的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1)①；②， (2)①2；②存在，4或5或8 【分析】本题主要考查数字规律，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据操作步骤得到变化规律，再根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：①点表示数，点表示数，点表示数， ，， 又点是点关于点的“倍关联点”， ， 即， ； ②设点表示数为， 则，， 点是点关于点的“2倍关联点”， ， 即， 解得，或， 因此，在，，，0四个数中，点可以表示的数是，． 故答案为：；，． （2）解：先分析点的变化规律： 点系列： ，且， ， ，且， ， ， 按照0，4，5，的顺序循环，周期为4； 点系列： ，，， ． ①，，点表示数6， ，， 由得，， 解得，． 故答案为：2； ②存在，理由如下： 为最小正整数， ， 若点是点关于点的“倍关联点”， 则， 当为奇数时，或， 解得，或5（舍去非正整数以及偶数的值）， 此时，； 当为偶数时，或， 解得，或6（已舍去非正整数以及奇数的值）， 此时，或， 综上，的值为4或5． 答：存在，点表示的数的值为4或5或8． 34．定义：已知点、是数轴上两点．点是数轴上一点（点不与点、重合），若点到点或点N的距离的最大值等于距离的最小值的倍，我们就称点是线段MN的关联点． (1)若点、表示的数分别为，2，若点表示的数为正整数，且为正整数，则点P表示的数为______． (2)若点表示的数为，点在点的右侧，，点表示的数是的3倍，点是线段的5关联点，求m的值． 【答案】(1)1或3或5 (2)m的值为或或或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解新定义是解题的关键． （1）设点表示的正整数为，则，然后分类讨论求解即可； （2）先确定点表示的数为，点表示的数为，再分四种情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：设点表示的正整数为，则， 当时，，此时， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴或， ∴或； 当时，由于为正整数， ∴， 此时， 则，符合题意， 综上：P表示的数为1或3或5； 故答案为：1或3或5； （2）解：∵点表示的数为，点在点的右侧，， ∴点表示的数为， ∵点表示的数是的3倍， ∴点表示的数为， ∴共四种情况： 情况①，解得． 情况②，解得． 情况③，解得． 情况④，解得． ∴综上：m的值为或或或． 35．如图，点、、在同一直线上，线段长为，长为，且满足． (1)的值为______，的值为______； (2)如图2，线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段，即长度为2，若点为线段中点，点为线段中点，求线段的长； (3)如图1，点从点开始以每秒2个单位长度的速度向左边运动，同时点从点以每秒1个单位速度向左运动，设运动的时间为秒， ①若，求的值； ②若的值与无关，求的值． 【答案】(1)6；4； (2)5 (3)①或时，；②当时，，当时，． 【分析】题目主要考查绝对值的平方的非负性，线段的和差，动点问题，一元一次方程的应用等，理解题意，进行分情况分析是解题关键． （1）根据绝对值和平方的非负性求解即可； （2）根据题意得出，确定，得出，然后结合线段中点的性质及图形求解即可； （3）①根据题意得：，分两种情况分析：当点Q在之间时，即时；当点Q在左侧时，即时，分别计算求解即可； ②同①类似，分两种情况分析：当点Q在之间时，即时；当点Q在左侧时，即时，分别表示出相应的线段，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6；4； （2）由（1）得， ∵线段沿着射线方向向右运动2个单位长度得到线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为线段中点，点为线段中点， ∴， ∴； （3）①根据题意得：， 当点Q在之间时，即时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在左侧时，即时， ， ∵， ∴， 解得：； 综上可得：或时，； ②由①得：当点Q在之间时，即时， ，， ∴，， ∴， ∵的值与无关， 设，整理得：， ∴，解得： 当点Q在左侧时，即时， ，，，， ∴， ∵的值与无关， ∴设，整理得：， ∴，解得： 综上可得：当时，，当时，． 36．如图是一个400米长的圆形跑道，从点出发，沿跑道顺时针跑出52米的距离记作米，逆时针跑出60米记作米． 已知跑道上的两点对应的有理数分别为，且满足：， 定义1：跑道上任意两点之间较短圆弧的长度叫做这两点的弧距． 定义2：若点为跑道上两点之间较短圆弧上的一点，且到两点的弧距满足：其中一个弧距是另一个弧距的3倍，则称为两点的“友谊点”． (1)直接写出两点的弧距________； (2)给出下列跑道上对应的有理数：，，10，350，其中______所对应的点是两点的“友谊点”； (3)点以每秒40米的速度从点出发，沿跑道逆时针运动，当点第一次经过两点的“友谊点”时，此时运动的时间为__________秒，若设点从出发到经过两点的“友谊点”的时间为秒，请直接写出当点第次（为正整数）经过两点的“友谊点”时，与的关系（用含的代数式表示）． 【答案】(1)120米 (2)，10，350 (3)；当为奇数时，；当为偶数时， 【分析】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，一元一次方程的应用，列代数式，解题的关键是掌握分类讨论和数形结合的数学思想． （1）利用绝对值和平方的非负性进行求解即可； （2）根据“友谊点”的定义，逐个分析判断给出的有理数即可得出答案； （3）设两点的“友谊点”对应的数为，其中，根据题意列出方程，求出或，记10在跑道上对应的点为，在跑道上对应的点为，结合点的运动方向和速度求出点第一次经过的运动时间；根据题意分别求出前6次经过两点的“友谊点”时的值，归纳总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴两点的弧距为（米）； 故答案为：120米； （2）解：当点在跑道上对应的有理数为时， 则，， ∴， ∴所对应的点是两点的“友谊点”； 当点在跑道上对应的有理数为， 则，， ∴， ∴所对应的点不是两点的“友谊点”； 当点在跑道上对应的有理数为10， 则，， ∴， ∴10所对应的点是两点的“友谊点”； 当点在跑道上对应的有理数为350， 则，， ∴， ∴350所对应的点是两点的“友谊点”； ∴综上所述，，10，350所对应的点是两点的“友谊点”； 故答案为：，10，350； （3）解：设两点的“友谊点”对应的数为，其中， 由题意得，或， 解得或， 记10在跑道上对应的点为，在跑道上对应的点为， 点从点出发，沿跑道逆时针运动，第一次经过两点的“友谊点”为点， 此时运动的路程为（米）， ∴运动的时间为（秒）； 点从点逆时针运动到所需时间为（秒）， 点从点逆时针运动到所需时间为（秒）， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， …… 依此类推，当为奇数时，；当为偶数时，； ∴当为奇数时，；当为偶数时，． 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $