专题01 旋转综合压轴题（压轴题专项训练） 数学新教材沪科版九年级下册

专题01 旋转综合压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、旋转中的全等与“手拉手”模型 题型二、旋转与坐标（坐标系中的旋转） 题型三、旋转中的最值问题 题型四、旋转与函数结合（反比例函数与二次函数旋转） 题型五、旋转中的分类讨论 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第1步：定中心、定角度、定方向 从题干中圈出“绕点、旋转、度”，明确旋转中心是顶点、中点还是坐标系原点；注意旋转方向（顺时针/逆时针）与旋转角是否为变量。 第2步：标对应、找全等 把旋转前后的对应点用同色标记，写出全等三角形（或全等线段组），把“旋转”翻译成“边等+角等”。 第3步：构造辅助线，转化条件 旋转题的核心是“转化”。常用辅助线构造思路： 见等腰→旋转：以等腰三角形顶角顶点为旋转中心，旋转顶角，构造手拉手模型； 见等边→转60°：以等边三角形顶点为心旋转60°； 见正方形→转90°：以正方形顶点为心旋转90°； 见中点→转180°：绕中点旋转180°得中心对称，构造平行四边形； 见分散线段→集中：通过旋转把两条分散线段拼到同一三角形中，用三角形三边关系求最值。 第4步：设元建式，回归方程/函数 涉及长度、面积、最值时，设旋转角为 α 或设动点坐标为 (x, y)，用勾股定理、相似比、三角函数建立方程或函数，最后回到“定义域”检验（旋转角的取值范围、动点运动区间）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、旋转中的全等与“手拉手”模型 【典例1】．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)______°； (2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ， 证明：如下图所示，延长至点，使，连接， ∵为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴． 【知识点】全等三角形综合问题、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，即可得到答案； （2）延长至点，使，连接，根据是的中位线得到，通过证明得到，从而得到． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查旋转和全等三角形的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，构造全等三角形． 题型模版 1.识别特征：两个共顶点的等腰三角形（等边三角形、正方形、等腰直角三角形）绕公共顶点旋转。 2.结论模板：若 △OAB 与 △OCD 均为等腰三角形且顶角相等，则 AC = BD，且 AC 与 BD 的夹角等于顶角。 【变式1】．（24-25九年级·安徽蚌埠·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2) 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3)或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三线合一、用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； （2）略 （3）解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 【变式2】．（2024·安徽安庆·一模）如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)取的中点，连接，求证：； (3)若，求的长． 【答案】(1) 证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处， ， ， ， ， ， 平分； (2) 证明：过点作于，如图： 平分，，， ， ， ，，， ≌， ，即点是中点， 点是中点， 是的中位线， ∴； (3)的长为 【知识点】根据旋转的性质求解、角度问题(旋转综合题) 【分析】（1）通过旋转的性质得到，再利用矩形的性质证明即可． （2）过点作于，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再利用旋转及矩形的性质得到≌，得到点是中点，利用中位线的性质解题即可． （3）过点作于，过作于，利用含的直角三角形的性质及勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作于，过作于，如图： ， ， ， ， ， ， ，， 在中， ， 的长为． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，涉及到三角形全等的判定及性质，矩形的性质，勾股定理，能够熟练运用旋转的性质并结合其他几何性质添加辅助线和证明是解题关键． 【变式3】．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 【答案】（1）； （2）解：； 理由：如图2，和是等腰直角三角形， ∴ ∴即 ∵， ∴， 即， 又∵ ∴ ∴， ∴ （3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合、线段问题(旋转综合题) 【分析】（1）根据题意证明出，然后求解即可； （2）根据题意证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可； （3）过点作，使，连接，，，．首先证明出，然后得到点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆，当在的延长线上时，的值最大，进而求解即可． 【详解】解：（1）∵和是等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）略 （3）如图3，过点作，使，连接，，，． ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径的圆． ∴当在的延长线上时，的值最大， 最大值为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判断，相似三角形的性质和判断，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型二、旋转与坐标（坐标系中的旋转） 【典例2】．（2026·安徽宣城·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点A，B，C的坐标分别为，和． (1)画出关于y轴对称所得的 (2)画出以点O为旋转中心，将逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)点的坐标为，图见解析 【知识点】画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可，再结合图形写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解：如图，即为所求， 由图可得：点的坐标为． 题型模版 1.识别特征：在平面直角坐标系中，图形绕原点或某点旋转 90°、180°。 2.易错点：旋转方向判断错误；忘记“先平移再旋转”导致坐标算错。 【变式1】．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出先把向左平移个单位，再向下平移个单位后的； (2)绕点逆时针旋转后得到． (3)请使用无刻度直尺作的边的高． 【答案】(1)如图为． (2)如图为． (3)如图为边上的高． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合）、平移(作图)、求绕原点旋转90度的点的坐标、格点作图题 【分析】（1）根据平移的性质画图即可； （2）一点绕点逆时针旋转后，原来的点的纵坐标取相反数，作为新点的横坐标，原来的点的横坐标变为新点的纵坐标，据此找到旋转后的对应点，再依次连接即可． （3）取格点，，，连接交于点，通过证明全等三角形可推出，进而求出边上的高． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，取格点，，，连接交于点, 据图可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ，即， 为边上的高． 【变式2】．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)画出关于原点对称的图形； (2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的； (3)利用格点图，画出边上的高，并写出直线上的一个横纵坐标都是整数的点的坐标：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析， 【知识点】画三角形的高、画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形、求关于原点对称的点的坐标 【分析】（1）关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，则可得到点的对应点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出点的对应点，顺次连接即可； （3）利用证明得到，则可证明，进而可证明，从而可得是边上的高，且符合题意． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，和点即为所求． 【变式3】．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后，点，分别落在点，处． (1)直接写出点的坐标______； (2)画出旋转后的； (3)连接，请利用格点（网格的交点）作出边上的高． 【答案】(1) (2) 如图所示． (3) 如图所示． 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、格点作图题 【分析】（1）画出旋转后的图形，根据图形写出点的坐标； （2）利用网格结构找出点，的对应点，的位置，然后顺次连接即可得解； （3）根据等腰三角形三线合一，取的中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点． （2）解：略； （3）解：略． 题型三、旋转中的最值问题 【典例3】．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图1，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，取的中点，连接． (1)求证：； (2)①若，在点运动的过程中，求的最小值； ②如图2，求点运动到使得时，求的值． 【答案】(1) 证明：由旋转得：，， ，， ， ，即． 在和中， ， ； (2)①；② 【知识点】利用二次根式的性质化简、垂线段最短、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解 【分析】（1）由旋转得：，，即可得到，减去公共角得到，即可利用证明； （2）①过作于，连接交于，由等腰三角形得到为中点，，，则，，由得到，，再根据是的中位线，得到，，即可得到，，设，则，在中求出，根据垂线段最短可得当取最小值． ②先求出，根据平行得，则在中，，，得到，在中，，得到，即可得到． 【详解】（1）略 （2）解：①过作于，连接交于， ∵，，， ∴为中点，，， ∴，，． 由（1）知 ∴，， ， 为中点，为中点， ∴是的中位线， 且， ∴， ∴， ∵， ， 设，则， 在中，，， ， ∴根据垂线段最短可得当时取最小值． ②由旋转可得，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ． ， 即． 【典例4】．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知正方形的边长为4，是对角线，点E在线段上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，点G在线段上运动． （ⅰ）当点G为线段的中点时，求的最大值； （ⅱ）如图3，当时，求的最小值． 【答案】(1) 证明：四边形为正方形， ， 为正方形的对角线， ，， ，， 为等腰直角三角形， ，， ， ，，， ， ； (2)（ⅰ）的最大值为； （ⅱ）的最小值为4 【知识点】根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质求得，，据此即可证明； （2）（ⅰ）延长至点H，使，连接，求得为定值，得到点P始终在线段上运动，则的最大值为，连接，作交于点F，据此求解即可； （ⅱ）过点G作，，连接，证明四边形为平行四边形，推出点Q在射线上运动，据此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：（ⅰ）如图1，延长至点H，使，连接， 四边形为正方形， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 为定值， 点P始终在线段上运动，则的最大值为， 连接，作交于点F， ，， ， ， G为线段的中点， ， F为的中点， ，，且， ，即的最大值为； （ⅱ）如图2，过点G作，，连接， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在射线上运动， 则的最小值为，即的最小值为4． 题型模版 1.识别特征：求线段长度的最大值/最小值、面积最值、路径长。 2.示例思路：正方形 ABCD 边长为 4，点 E 在 BC 上，将 △ABE 绕 B 旋转得 △CBF，求 AE + CF 的最小值——通过旋转把 CF 转化为 AE 的对应线段，集中到同一三角形中讨论。 【变式1】．（2026·安徽阜阳·二模）在中，，，，点O是边的中点，将绕点O顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为，），点不在直线上，连接． (1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，，求线段的长； (3)在旋转过程中，点G为的中点，连接，的最大值是________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)7 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、证明四边形是矩形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据中点和旋转的性质可得，以此可证明四边形是平行四边形，再由其对角线相等即可证明； （2）根据同角的余角相等得，由等边对等角得，进而得到，，于是，利用勾股定理求得，则，易证明，利用相似三角形的性质求出，再利用线段之间的关系计算即可； （3）连接，，由勾股定理求出，由是的中位线，得到，根据，得到，即可求出的最大值是． 【详解】（1）证明：∵在中，，点O是边的中点， ∴， ∵绕点O顺时针旋转得到， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：连接，， ∵点O是边的中点，， ∴， ∴， 由旋转可得点O是边的中点，， ∵点G为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵中，当、、三点共线时取等号， ∴， ∴，即， ∴的最大值是． 【变式2】．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）已知三角形纸片和中，． (1)如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，当不重合且不共线时，证明：． (2)如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． (3)在纸片绕点A旋转过程中，若为直角三角形，求直角三角形面积的最小值． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理得到，则，，即可证； （2）连接，延长交于点Q，根据（1）得，，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，证得四边形为矩形，再利用勾股定理求得，设，则，，证明，在中，求得，再证明，三角形相似的判定和性质计算即可； （3）在纸片绕点A旋转过程中，当C，D，E三点能构成直角三角形时，分四种情况：①当在上时，，此时是直角三角形；②当在的延长线上时，，此时是直角三角形；③当时，是直角三角形；④当时，是直角三角形；分类作图，求出相关线段长，由三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，延长交于点Q，连接交于P，延长交于N，如图2： 同（1）得，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∵是中线， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得； ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：分四种情况： ①当在上时，，此时是直角三角形，如图3， ∴； ②当在的延长线上时，，此时是直角三角形，如图4： ∴； ③当时，是直角三角形，过点A作于点Q，如图5， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴，则， 解得， ∴； ④当时，是直角三角形，过点A作于点Q，交于点，如图6， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是的中位线， ∴，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， 在中，由勾股定理可得，则， 解得， ∴，， ∴， ∴； ∵， ∴直角三角形面积的最小值为． 【点睛】本题主要考查三角形相似的综合应用，涉及旋转的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【变式3】．（25-26九年级·安徽六安·期末）在中，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，连接，点F为中点，连接，过点C作，垂足为G．过点B作的垂线交直线于点H，猜想与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接，点F为中点，点E是的中点，连接，点P是直线上一动点，连接．当取最大值时，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．若，，直接写出此条件下的最小值． 【答案】(1) (2) 在上取一点，使得，连接， 由题可知,, ∴ 在和中， ∴, , ∵点F为中点， ∴, , , , ∵， , 在和中， ∴, , (3) 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）过点作，通过勾股定理可知，由直角三角形可知，进而可求解； （2）在上取一点，使得，证明，，可根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据三角形的中位线，可以推断出取最大值时，,,三点共线，可知，根据勾股定理可知的长度，当，，三点共线的时候，取得最小值． 【详解】（1）解：过点作， 由题可知：,, 则根据勾股定理：, 得：, , ∵，，, ∴, ∴, 则根据勾股定理:, , 故答案为： （2）略 （3）解：根据题意可得，，, ∴,， 取的中点,连接,, ∴为的中位线， ∴, ∴为的中位线， ∴, 在，, 当,,三点共线时，取最大值，， 如图所示， 此时，, , , 过点作的延长线交于点，过点作,过点作, , , , , , , 在中， , , ∵点F为中点， . , , 由题可知， 和全等， 当，，三点共线的时候，取得最小值， 则． 题型四、旋转与函数结合（反比例函数与二次函数旋转） 【典例5】．（2025·安徽·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等腰三角形的定义 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 题型模版 识别特征：抛物线上的点绕某点旋转后仍在抛物线上，或旋转后的图形与抛物线有交点。 【变式1】．（24-25九年级·安徽安庆·期末）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点E坐标为． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查反比例函数性质，一元二次方程的解法，熟知求解反比例函数解析式是解题的关键． （1）由平移的性质可得点B的坐标为，结合点、B都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可； （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意点B的坐标为， ∵点、B都在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵点A坐标为，点E坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数图象上， ∴， 解得，， 因为点A坐标为， 所以舍去，所以点E坐标为． 【变式2】．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)设的周长为，的周长为，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)的最小值为 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）把代入可得，进而根据抛物线解析式求得的坐标，最后运用待定系数法即可求解直线的解析式； （2）先证明，，根据周长比可得，；再根据，，即，从而由勾股定理求得，进而代入比例式表示出，接着根据解析式表示出点P和点N的坐标，从而表示出，再代入得到方程求解即可； （3）如图2，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得，先根据两边对应成比例且夹角相等证得，得到，即，则当，，三点共线时，，此时最小，再利用勾股定理求得即可解答． 【详解】（1）解：把代入，得 ，解得， ， 令，则，即， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得， 直线的解析式为． （2）解：如图1，，， ，， ， ， ， ， ， ∴ ， ∵，， ∴，，即 ∴ ， ， ， ， ， ， 解得（舍去），， 经检验，是原方程的根， ． （3）解：如图2，在轴上取一点使得，连接，在上取一点使得． 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 当，，三点共线时，， 此时最小，最小值为， 即的最小值为． 【变式3】．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 【答案】(1) (2) (3)面积的最大值为，此时P点坐标为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据旋转的性质求解、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得二次函数的顶点坐标为，过点E作轴于点F，过点D作轴于点G，可证明，可得，，则可得点D坐标为，再利用待定系数法即可求得直线的表达式； （3）设，过点P作轴于点，交于点H，先求得的表达式，则可得，则，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴设二次函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴，即． （2）解：由（1）可知二次函数表达式为， ∴对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴， 过点E作轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点D作轴于点G，则， 由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为2， ∴点D的坐标为， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得． ∴经过A，D两点的直线表达式为． （3）解：设， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， 过P作轴于点，交于点H， ∴， ∴， 过点作于点， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为， 当时，， ∴点P的坐标为． 题型五、旋转中的分类讨论 【典例6】．（2024·安徽安庆·三模）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且A、C、D三点共线，，连接，G是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时， ； ； 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度，请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将绕点A逆时针旋转β度，当时，请直接写出旋转角β的度数为 ． 【答案】（1），； （2）依然成立； 证明：如图2，延长至F，使，分别连接、、，过B作，交于M，交于N，与交于Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴且； （3）或 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）过B作交的延长线于F，依题意，，由勾股定理求得，证明四边形是正方形，在中，勾股定理求得，即可得解； （2）根据模型的方法，作出辅助线，延长至F，使，分别连接、、，过B作，交于M，交于N，与交于Q，证明，，得出，根据等腰三角形的性质，即可得出且； （3）取的中点O，连接，则是的中位线，连接，根据题意，得出当时，垂直平分，然后分类讨论即可求解． 【详解】解：（1）如图1，过B作交的延长线于F， 由小颖得证明思路得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 在中：， 故答案为：，； （2）略 （3）取的中点O，连接，则是的中位线，连接， ∴，， 分以下两种情况： 当时，且点G在的上方，如图3所示， ∴垂直平分， ∴， ∴， 如图4所示，当G点在的下方时，此时E点在的下方， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 题型模版 识别特征：题干含“旋转角为 α（0° < α < 180°）”等变量，或问“是否存在”。 【变式1】．（2024·安徽·中考真题）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.    （1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2．则S1与S2的数量关系是 ． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长 【答案】解：（1）①DE∥AC． ②． （2）仍然成立， 证明：如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N     ， ∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到， ∴BC=CE，AC=CD， ∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°， ∴∠ACN=∠DCM， ∵在△ACN和△DCM中， ， ∴△ACN≌△DCM（AAS）， ∴AN=DM， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等）， 即S1=S2； （3）或． 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质说明线段或角相等、解直角三角形的相关计算 【详解】（1）①由旋转可知：AC=DC， ∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=60°．∴△ADC是等边三角形． ∴∠DCA=60°．∴∠DCA=∠CDE=60°．∴DE∥AC． ②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．    由①可知：△ADC是等边三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM． ∴CF=EM． ∵∠C=90°，∠B =30° ∴AB=2AC． 又∵AD=AC ∴BD=AC． ∵ ∴． （2）略 （3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等， 此时S△DCF1=S△BDE； 过点D作DF2⊥BD， ∵∠ABC=60°，F1D∥BE， ∴∠F2F1D=∠ABC=60°， ∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F2DB=90°， ∴∠F1DF2=∠ABC=60°， ∴△DF1F2是等边三角形， ∴DF1=DF2，过点D作DG⊥BC于G， ∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点， ∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°， ∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°， ∠CDF2=360°-150°-60°=150°， ∴∠CDF1=∠CDF2， ∵在△CDF1和△CDF2中， ， ∴△CDF1≌△CDF2（SAS）， ∴点F2也是所求的点， ∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB， ∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°， 又∵BD=4， ∴BE=×4÷cos30°= ， ∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=， 故BF的长为或．    【变式2】．（2025·安徽阜阳·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）   （2）  （3）或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据矩形的性质与判定求角度、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】解：（1） ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键． 【变式3】．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，抛物线与轴交于（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线上的动点，且在直线的下方，过点作，垂足为，且直线与轴交于点，交抛物线于点． (1)关于的不等式组有解，求的最大值； (2)直线与直线交于点分别为的中点，若长为8，求的面积； (3)当轴时，把绕顶点旋转，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，． 【知识点】图象法解一元二次不等式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）设，根据的取值范围化简函数，求出函数的最大值为，由此确定的最大值， （2）过点P作轴，过点E作轴，、交于点．证明是等腰直角三角形，由此求出，点坐标，则，代入解析式即可求出点坐标为，点坐标为，进而求出点、坐标，根据直线与直线交于点求出其坐标，进而利用割补法求出三角形． （3）先求出点的坐标，得出是等腰直角三角形，然后分两种情况讨论：把绕顶点F逆时针旋转，得到，经过分析发现以，，为顶点的四边形为菱形， 不可能为边，只能以为邻边构成菱形，然后利用菱形的性质即可求解；把绕顶点F顺时针旋转，得到，以O，，K为顶点的四边形为菱形，只能为对角线，从而求出K的坐标即可． 【详解】（1）解：设， 当时，，，即点，， ∴当或时，，当时，， ①当时，， 当时，，时，， ②当时，，当时，取最大值，， ∵关于的不等式组有解， 即， 的最大值为． （2）∵时，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 过点P作轴，过点E作轴，、交于点 ∴， ∴， 又∵， ∴， 设点坐标，则，代入解析式得： ， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为 将，，代入解析式中得 解得 ∴直线解析式为， 同法可求：， 联立直线、得： ，解得： ∴点， 过点G作轴，垂足为，连接， ∵点分别为的中点， ∴点，，即：点，， ∴． （3）∵轴，，当时，，， ∴点坐标为， 由（2）可知：，是等腰直角三角形， ∴，即，， ∴直线解析式为， 又∵， ∴， 如图2-1，把绕顶点逆时针旋转，得到， ∴， 再把沿直线平移至，连接 ，显然 ∴以O，，K为顶点的四边形为菱形， 不可能为边，只能以为邻边构成菱形 ∴ ， ∵， ∴点向右个单位，向下个单位，可得 ， 如图2-2，把绕顶点顺时针旋转，得到，， ∴， 把沿直线平移至，连接 ，， 显然，，，易求，， ，， ∴以O，，K为顶点的四边形为菱形，只能为对角线， ∴点向右个单位，向下个单位，得． 综上所述，点K的坐标为：，． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，综合性强，难度大，涉及的知识面广，有二次函数的图象及性质，二次函数最值，线段和的最小值问题，待定系数法求函数的解析式，平移，旋转等几何变换，等腰直角三角形的性质，菱形的性质等，要求学生能够熟练掌握这些数学知识能灵活应用． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（2026·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，构造，请按照要求作图并解答． (1)若与关于x轴对称，请画出，并写出点、的坐标； (2)请仅用无刻度的直尺作图，在第二象限找一格点P，使得．（保留作图痕迹） 【答案】(1)如图，即为所求，； (2)如图，点即为所求； 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】 （1）根据轴对称的性质，画出，进而写出点、的坐标即可； （2）将绕点逆时针旋转90度，即可. 【详解】（1）略 （2）略 2．（24-25九年级·安徽合肥·期末）如图，等腰Rt的直角顶点A在反比例函数的图象上． (1)已知，求此反比例函数的解析式； (2)先将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E，再将点E向右平移1个单位得到点F，若点F恰好在正比例函数的图象上，求正比例函数的表达式． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)正比例函数的表达式为 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）作AC⊥OB于C，根据等腰直角三角形的性质即可求得A（2，2），然后根据待定系数法即可求得． （2）按照旋转的性质和平移的性质求得F的坐标，然后利用待定系数法即可求得． 【详解】（1）解：如图，作AC⊥OB于C， ∵△AOB是等腰直角三角形，OA=2， ∴AC=OC=2， ∴A（2，2）， ∵直角顶点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴k=2×2=4， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）解：∵A（2，2）， ∴将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E（-2，2），再将点E向右平移1个单位得到点F（-1，2）， ∵点F恰好在正比例函数y=mx的图象上， ∴2=-m， 解得m=-2， ∴正比例函数的表达式为y=-2x． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，求得A、F的坐标是解题的关键． 3．（2025·安徽·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 【答案】(1) 证明：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即D是的中点； (2) ； 证明：如图2，延长到H使，连接，， ∵， ∴是的中位线， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴，是等腰三角形， ∴，， 设，，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即．    【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、与三角形中位线有关的证明、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）由旋转的性质得，，利用三角形外角的性质求出，可得，等量代换得到即可； （2）延长到H使，连接，，可得是的中位线，然后求出，设，，求出，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一证明即可． 【详解】（1）略 （2） 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键． 4．（24-25九年级·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，． (1)作出向右平移5个单位，得到的； (2)作点绕点顺时针旋转得到的点，并写出其坐标； (3)在轴上存在点，使得最大，在轴上描出点的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、平移(作图)、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）根据题意作出图形，然后根据图形即可得出点的坐标 （3）根据三角形两边之差小于第三边可得当P、E、C1在同一条直线上时最大等于PE． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：由图可知，点的坐标为． （3）根据三角形两边之差小于第三边可得当P、E、C1在同一条直线上时，取得最大值，点如图所示. 【点睛】本题考查坐标与图形变化——平移和旋转，三角形三边关系．（1）（2）能正确作出图形是解题关键，（3）中能得出P、E、C1在同一条直线上时最大是解题关键． 5．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）E为正方形内一点，，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，并延长与交于点G． (1)如图1，猜想与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若O为的中点，连接． ①求的长． ②若E为的中点，连接，求线段长的最小值． 【答案】(1) 解：，证明如下： 在正方形中，． 由旋转得， ∴． ∵，即， ∴， ∴． (2)①；②线段长的最小值为 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得．由旋转得，然后证明即可解答； （2）①先说明是直角三角形可得是直角三角形，易得，再结合正方形的性质和勾股定理求解即可；②如图，取的中点H，连接，当点H、E、C三点共线时，线段的长最小． 易得是的中位线，则．如图：作于点K，则是等腰直角三角形， 即；再运用勾股定理求得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：①由(1)得，． ∵， ∴． 在四边形中，， ∴， ∴是直角三角形． ∵O是斜边的中点， ∴． 在正方形中，， ∴， ∴． ②如图，取的中点H，连接，当点H、E、C三点共线时，线段的长度最小． ∵E为中点， ∴是的中位线， ∴． 如图：作于点K，则是等腰直角三角形， ， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴线段长的最小值为． 6．（25-26九年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上（网格线的交点），点，点，点． (1)以点为旋转中心将顺时针旋转后得到，并写出点的坐标； (2)以原点为对称中心，作出的中心对称图形； (3)借助网格，请用无刻度直尺在上取一点，使． 【答案】(1) 解：如图，即为所作： 点的坐标为； (2) 解：如图，即为所作： (3) 点即为所求： 【知识点】画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标、画已知图形关于某点对称的图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别找到、、的对应点并相连即可； （2）根据对称性质找到、、的对应点并相连即可； （3）取点和相连，并与交于点，此时点、点和点组合成的三角形与点、点和点组合成的三角形相似，且相似比满足． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 7．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1) __________、__________． (2)连接，，则的面积是__________； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)4 (3)点E的坐标为． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据旋转的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．也考查了等腰直角三角形的性质．熟知反比例函数及一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入反比例函数的解析式求得m的值，再将代入，即可求解； （2）利用的面积，即可求解； （3）先设出点E的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点F的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：将代入反比例函数， 解得， ∴， 将代入， 得， 将，点代入， ，解得， ∴； 故答案为：；； （2）解：设一次函数与x轴交于点D， 令，则，令，则， ∴的面积； 故答案为：4； （3）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， 由旋转可知， ，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵，点E的坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数的图象上， ∴， 解得，（舍去）， 所以点E的坐标为． 8．（2025·安徽阜阳·三模）如图，四边形为正方形，且，P为上一点（点P不与O，C重合）． (1)如图1，点P在线段上，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．若，求的长． (2)如图2，点P在线段的延长线上，连接，过点P作的垂线，与的平分线交于点Q，试判断与的大小关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，连接，，请直接写出的周长的最小值． 【答案】(1) (2) 解：，理由如下： 在延长线上取点D，使，连接，在延长线上取点M， 四边形为正方形， ， ， ， 为的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (3) 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、正方形性质理解、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理及正方形的性质， （1）过点Q作于点H，证明，进而根据勾股定理求出结论； （2）在延长线上取点D，使，在延长线上取点M，证明即可证明结论； （3）先确定Q点在的平分线上运动，作点B关于的对称点，则点在上，连接交于点，则，根据勾股定理求出结论即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 如图，过点Q作交的延长线于点H， 四边形为正方形，且， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：由（2）知，连接，， 点为直线上的动点，即Q点在的平分线上运动， 作点B关于的对称点，则点在上，连接交于点， ， 即当在同一直线上时的周长最小， 四边形为正方形，且， ，有， 在中，， ， 的周长的最小值为． 9．（2026·安徽合肥·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． (1)将先向右平移4个单位，再向上平移4个单位后得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为，，）； (2)以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出（点，，的对应点分别为，，）； (3)请用无刻度直尺在上画出点D，使（保留必要的画图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、平移(作图)、画旋转图形、格点作图题 【分析】（1）根据平移的性质找出点，，，再连线即可； （2）根据旋转的性质找出点，，，再连线即可； （3）根据勾股定理逆定理构造等腰直角三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所作； （2）解：如图所示，即为所作； （3）解：如图所示，点即为所作． 10．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与 C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G． （1）求证：△APF∽△EPC； （2）求证：PA2＝PG•PF （3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=45°， 由旋转的性质可知，AF=AE，∠FAE=90°， ∴∠AFP=∠ECP=45°， ∵∠APF=∠EPC， ∴△APF∽△EPC； （2）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAB=45°， ∵∠AFE=45°， ∴∠PAG=∠AFP， ∵∠APG=∠FPA， ∴△APG∽△FPA， ∴， ∴PA2=PG•PF； （3）AG=． 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、其他问题(旋转综合题) 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）证明△APG∽△FPA，即可解决问题． （3）如图2中，设正方形的边长为2a．想办法用a表示AG，EG，GP，证明AG2=GP•GE，由此构建方程求出a，即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图2中，设正方形的边长为2a． ∵△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF， ∴∠ABF=∠D=90°，DE=BF， ∵∠ABC=90°， ∴∠FBC=180°， ∴F，B，C共线， ∵DE=EC=BF=a，BC=2a， ∴CF=3a，EF=， ∵BG∥EC， ∴BG：EC=FB：CF=FG：FE=1：3， ∴BG=a，AG=a，GE=， ∵∠GAP=∠AEG=45°，∠AGP=∠EGA， ∴△AGP∽△EGA， ∴， ∴AG2=GP•GE， ∴（a）2=（a－1）•a， ∴a=， ∴AG=×=． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，旋转变换，勾股定理，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 11．如图，在中，．点D为线段上一动点（不与点A，C重合），把线段绕点B顺时针旋转后并延长为原来的2倍得到线段，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，设，在点D的运动过程中，的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (3)20 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，二次函数的最值问题： （1）由旋转的性质可得，进而推出，再证明即可证明； （2）由相似三角形的性质得到，则，即可证明； （3）由相似三角形的性质得到，由勾股定理求出，则，进而得到，则当时，有最大值，最大值为20． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为20． 12．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． (1)连接是等边三角形吗？为什么？ (2)求证：； (3)①当M点在何处时，的值最小； ②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由． 【答案】(1)是， 理由如下： 如图①，∵绕点B逆时针旋转60°得到， ∴， ∴是等边三角形； (2) 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (3)①点M为的中点； ②点M为与的交点时，的值最小，理由如下： 如图②，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，， 故点M为与的交点时，的值最小． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据旋转的性质可得，再根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可； （2）根据等边三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明△AMB和△ENB全等即可； （3）①根据两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，的值最小，再根据正方形的性质解答；②根据全等三角形对应边相等可得，然后求出，再根据两点之间线段最短证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，的值最小， ∵四边形是正方形， ∴点M为的中点； ② 略 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，从两点之间线段最短考虑求解是解题的关键． 13．在等腰中，，线段上存在一动点（不与点重合），连接．将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接分别是线段的中点． (1)如图1，若，当恰好是边的中点时，______，的度数为______． (2)如图2，若，当是边上的任意一点时（不与点重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，当点在边上，且，在点的运动过程中，求线段的最小值． 【答案】(1)； (2)两个结论均成立， 理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∵M是中点， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 同理可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，，直线和相交所成的锐角的度数为； (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）设，证是等边三角形，得，，，则，再证是等边三角形，得，，则，然后由等边三角形的性质得，，即可得出结论； （2）连接，证为等边三角形，则，再证，得，，则； （3）连接，同（2）得，则，，再求出，当时，最小，此时是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】（1）解：设 ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是边的中点，点M是边的中点， ∴E与M重合，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵点N是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）解：如图，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 同（2）得：， ∴， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∵， ∴， 当时，最小， 此时是等腰直角三角形，则， 即的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 旋转综合压轴题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、旋转中的全等与“手拉手”模型 题型二、旋转与坐标（坐标系中的旋转） 题型三、旋转中的最值问题 题型四、旋转与函数结合（反比例函数与二次函数旋转） 题型五、旋转中的分类讨论 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 第1步：定中心、定角度、定方向 从题干中圈出“绕点、旋转、度”，明确旋转中心是顶点、中点还是坐标系原点；注意旋转方向（顺时针/逆时针）与旋转角是否为变量。 第2步：标对应、找全等 把旋转前后的对应点用同色标记，写出全等三角形（或全等线段组），把“旋转”翻译成“边等+角等”。 第3步：构造辅助线，转化条件 旋转题的核心是“转化”。常用辅助线构造思路： 见等腰→旋转：以等腰三角形顶角顶点为旋转中心，旋转顶角，构造手拉手模型； 见等边→转60°：以等边三角形顶点为心旋转60°； 见正方形→转90°：以正方形顶点为心旋转90°； 见中点→转180°：绕中点旋转180°得中心对称，构造平行四边形； 见分散线段→集中：通过旋转把两条分散线段拼到同一三角形中，用三角形三边关系求最值。 第4步：设元建式，回归方程/函数 涉及长度、面积、最值时，设旋转角为 α 或设动点坐标为 (x, y)，用勾股定理、相似比、三角函数建立方程或函数，最后回到“定义域”检验（旋转角的取值范围、动点运动区间）。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、旋转中的全等与“手拉手”模型 【典例1】．（24-25九年级下·安徽芜湖·阶段检测）如图，在中，，，点在边上（不与点，重合），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接． (1)______°； (2)取中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型模版 1.识别特征：两个共顶点的等腰三角形（等边三角形、正方形、等腰直角三角形）绕公共顶点旋转。 2.结论模板：若 △OAB 与 △OCD 均为等腰三角形且顶角相等，则 AC = BD，且 AC 与 BD 的夹角等于顶角。 【变式1】．（24-25九年级·安徽蚌埠·期中）如图，和都是等腰直角三角形，． (1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； (2)【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【变式2】．（2024·安徽安庆·一模）如图，将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使点恰好落到线段上的点处，连接，连接交于点． (1)求证：平分； (2)取的中点，连接，求证：； (3)若，求的长． 【变式3】．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）【特例感知】 （1）如图1，已知和是等边三角形，直接写出线段与的数量关系是________； 【类比迁移】 （2）如图2，和是等腰直角三角形，，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【方法运用】 （3）如图3，若，点是线段外一动点，，连接．若将绕点逆时针旋转得到，连接，求出的最大值． 题型二、旋转与坐标（坐标系中的旋转） 【典例2】．（2026·安徽宣城·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知点A，B，C的坐标分别为，和． (1)画出关于y轴对称所得的 (2)画出以点O为旋转中心，将逆时针旋转得到的，并写出点的坐标． 题型模版 1.识别特征：在平面直角坐标系中，图形绕原点或某点旋转 90°、180°。 2.易错点：旋转方向判断错误；忘记“先平移再旋转”导致坐标算错。 【变式1】．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出先把向左平移个单位，再向下平移个单位后的； (2)绕点逆时针旋转后得到． (3)请使用无刻度直尺作的边的高． 【变式2】．（2026·安徽阜阳·二模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度）． (1)画出关于原点对称的图形； (2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的； (3)利用格点图，画出边上的高，并写出直线上的一个横纵坐标都是整数的点的坐标：______． 【变式3】．（25-26九年级下·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将绕点逆时针旋转后，点，分别落在点，处． (1)直接写出点的坐标______； (2)画出旋转后的； (3)连接，请利用格点（网格的交点）作出边上的高． 题型三、旋转中的最值问题 【典例3】．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图1，在中，，，点是边上一动点（不与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接、，取的中点，连接． (1)求证：； (2)①若，在点运动的过程中，求的最小值； ②如图2，求点运动到使得时，求的值． 【典例4】．（2026·安徽安庆·模拟预测）已知正方形的边长为4，是对角线，点E在线段上运动，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，证明：； (2)如图2，点G在线段上运动． （ⅰ）当点G为线段的中点时，求的最大值； （ⅱ）如图3，当时，求的最小值． 题型模版 1.识别特征：求线段长度的最大值/最小值、面积最值、路径长。 2.示例思路：正方形 ABCD 边长为 4，点 E 在 BC 上，将 △ABE 绕 B 旋转得 △CBF，求 AE + CF 的最小值——通过旋转把 CF 转化为 AE 的对应线段，集中到同一三角形中讨论。 【变式1】．（2026·安徽阜阳·二模）在中，，，，点O是边的中点，将绕点O顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为，），点不在直线上，连接． (1)如图1，连接，，，求证：四边形是矩形； (2)如图2，当落在边上时，与交于点M，连接，，求线段的长； (3)在旋转过程中，点G为的中点，连接，的最大值是________． 【变式2】．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）已知三角形纸片和中，． (1)如图1，连接，在纸片绕点A旋转过程中，当不重合且不共线时，证明：． (2)如图2，在纸片绕点A旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． (3)在纸片绕点A旋转过程中，若为直角三角形，求直角三角形面积的最小值． 【变式3】．（25-26九年级·安徽六安·期末）在中，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接． (1)如图1，若，，，求的长； (2)如图2，连接，点F为中点，连接，过点C作，垂足为G．过点B作的垂线交直线于点H，猜想与之间的数量关系，并证明； (3)如图3，连接，点F为中点，点E是的中点，连接，点P是直线上一动点，连接．当取最大值时，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．若，，直接写出此条件下的最小值． 题型四、旋转与函数结合（反比例函数与二次函数旋转） 【典例5】．（2025·安徽·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 题型模版 识别特征：抛物线上的点绕某点旋转后仍在抛物线上，或旋转后的图形与抛物线有交点。 【变式1】．（24-25九年级·安徽安庆·期末）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【变式2】．（24-25九年级下·安徽芜湖·自主招生）如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． (1)求的值和直线的函数表达式； (2)设的周长为，的周长为，若，求的值； (3)如图2，在（2）的条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【变式3】．（2026·安徽蚌埠·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过，两点，且与y轴交于点． (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E，连接，将线段绕着B点旋转，得到线段，连接，求经过A，D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求面积的最大值，及此时P点坐标． 题型五、旋转中的分类讨论 【典例6】．（2024·安徽安庆·三模）在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形和共顶点A，且A、C、D三点共线，，连接，G是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？ 【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以G是中点入手，如图2，通过延长与相交于点F，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且． （1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时， ； ； 【类比探究】 （2）如图3，若将绕点A逆时针旋转α度，请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由； 【拓展延伸】 （3）若将绕点A逆时针旋转β度，当时，请直接写出旋转角β的度数为 ． 题型模版 识别特征：题干含“旋转角为 α（0° < α < 180°）”等变量，或问“是否存在”。 【变式1】．（2024·安徽·中考真题）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.    （1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2．则S1与S2的数量关系是 ． （2）猜想论证 当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想． （3）拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE,请直接写出相应的BF的长 【变式2】．（2025·安徽阜阳·一模）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)． 【初步感知】 （1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值； 【深入探究】 （2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长； 【拓展延伸】 （3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由． 【变式3】．（24-25九年级下·安徽淮南·自主招生）如图，抛物线与轴交于（在的左侧），与轴交于点，点为抛物线上的动点，且在直线的下方，过点作，垂足为，且直线与轴交于点，交抛物线于点． (1)关于的不等式组有解，求的最大值； (2)直线与直线交于点分别为的中点，若长为8，求的面积； (3)当轴时，把绕顶点旋转，得到，再把沿直线平移至，在平面上是否存在点，使得以为顶点的四边形为菱形？若存在直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解答题 1．（2026·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，构造，请按照要求作图并解答． (1)若与关于x轴对称，请画出，并写出点、的坐标； (2)请仅用无刻度的直尺作图，在第二象限找一格点P，使得．（保留作图痕迹） 2．（24-25九年级·安徽合肥·期末）如图，等腰Rt的直角顶点A在反比例函数的图象上． (1)已知，求此反比例函数的解析式； (2)先将点A绕原点O逆时针旋转90°，得到点E，再将点E向右平移1个单位得到点F，若点F恰好在正比例函数的图象上，求正比例函数的表达式． 3．（2025·安徽·中考真题）在中、，于点M，D是线段上的动点（不与点M，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．      (1)如图1，当点E在线段上时，求证：D是的中点； (2)如图2，若在线段上存在点F（不与点B，M重合）满足，连接，，直接写出的大小，并证明． 4．（24-25九年级·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，． (1)作出向右平移5个单位，得到的； (2)作点绕点顺时针旋转得到的点，并写出其坐标； (3)在轴上存在点，使得最大，在轴上描出点的位置． 5．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）E为正方形内一点，，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到，连接，并延长与交于点G． (1)如图1，猜想与之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若O为的中点，连接． ①求的长． ②若E为的中点，连接，求线段长的最小值． 6．（25-26九年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上（网格线的交点），点，点，点． (1)以点为旋转中心将顺时针旋转后得到，并写出点的坐标； (2)以原点为对称中心，作出的中心对称图形； (3)借助网格，请用无刻度直尺在上取一点，使． 7．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点． (1) __________、__________． (2)连接，，则的面积是__________； (3)如图2，点是反比例函数图象上点右侧一点，连接，把线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点的坐标． 8．（2025·安徽阜阳·三模）如图，四边形为正方形，且，P为上一点（点P不与O，C重合）． (1)如图1，点P在线段上，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．若，求的长． (2)如图2，点P在线段的延长线上，连接，过点P作的垂线，与的平分线交于点Q，试判断与的大小关系，并加以证明． (3)在（2）的条件下，连接，，请直接写出的周长的最小值． 9．（2026·安徽合肥·二模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点（网格线的交点）． (1)将先向右平移4个单位，再向上平移4个单位后得到，请画出（点A，B，C的对应点分别为，，）； (2)以原点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转，得到，请画出（点，，的对应点分别为，，）； (3)请用无刻度直尺在上画出点D，使（保留必要的画图痕迹）． 10．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与 C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G． （1）求证：△APF∽△EPC； （2）求证：PA2＝PG•PF （3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长． 11．如图，在中，．点D为线段上一动点（不与点A，C重合），把线段绕点B顺时针旋转后并延长为原来的2倍得到线段，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)已知，设，在点D的运动过程中，的面积S是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 12．（2025·安徽黄山·模拟预测）如图①，四边形是正方形，是等边三角形，M为对角线（不含B点）上任意一点，将绕点B逆时针旋转60°得到，连接． (1)连接是等边三角形吗？为什么？ (2)求证：； (3)①当M点在何处时，的值最小； ②如图②，当M点在何处时，的值最小，请你画出图形，并说明理由． 13．在等腰中，，线段上存在一动点（不与点重合），连接．将线段绕点按逆时针方向旋转与相等的角度，得到线段，连接分别是线段的中点． (1)如图1，若，当恰好是边的中点时，______，的度数为______． (2)如图2，若，当是边上的任意一点时（不与点重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． (3)如图3，若，当点在边上，且，在点的运动过程中，求线段的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $