第二十八章 旋转（单元自测·培优卷）数学新教材人教版九年级上册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十八章旋转·培优（参考答案) 一、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1 2 3 5 7 8 10 11 12 A D A 马 A D D A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.40°140度 14.10515.三角形内角和等于180° 16.7 17.1.8 18.22.5 三、解答题（共8小题，共66分） 19【详解】(1)解：“C-1,1平移后对应点C,1,-5 ∴，横坐标变化：1--1=2，此时图形向右平移了2个单位长度： 纵坐标变化：-5-1=-6，此时图形向下平移了6个单位长度， .B-2,4 ∴.平移后的点B1的坐标为-2+2,4-6， 即点B1的坐标为0，-2；(2分) Y 4 3 45 6 (4分) 1/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 43-2- 01.2.3.45x (2) (6分) 20.【详解】(1)解：，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC, ∴.BC=CE,AC=DC .BD=BC+CD=CE+CD=CE+AC=CE+CE+AE, 即10=CE+CE+2, 解得CE=4, .BC=4(2分) (2)(2)AB与DF垂直.理由如下：(3分) ,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC, ∴.∠B=∠CED .∠AEF=∠CED, ∴.∠AEF=∠B, ∴.∠A+∠AEF=∠A+∠B=180°-∠ACB=90°， ∴.∠AFE=180°-∠A+∠AEF=90°， 即AB与DF垂直.(6分) 21.【详解】(1)解：.△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC,CD=CE, .∴△EBC可以看作△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的：(2分) (2)解：，'△ABC和△ECD都是等边三角形， ∴.∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，∠ECD=∠EDC=∠CED=60°， 又.∠ABE=36°， ∴.∠EBC=∠ABC-∠ABE=60°-36°=24°，(4分) .∠ECD=60°， 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BCE=180°-∠ECD=120°，(6分) 在△EBC中，∠BEC=180°-∠EBC-∠BCE=180°-24°-120°=36°， 由(1)可知，△EBC可以看作△DAC绕点C逆时针旋转60°得到的： ∴.∠DAC=∠EBC=24°，∠ADC=∠BEC=36, .∠ADE=∠EDC-∠ADC=60°-36°=24°.(8分) 22.【详解】(1)解：△ABD为等腰直角三角形，理由： 由旋转的特征，得∠BAD=90°，AB=AD, .△ABD为等腰直角三角形；(2分) (2)解：由(1)得△ABD为等腰直角三角形， ,∠ABD=∠ADB=45°， .∠BAC=25°， ∴.∠BCA=180°-∠BAC-∠ABC=180°-25°-45°=110°， 由旋转的特征，得∠AED=∠ACB=110°：(4分) (3)解：由旋转的特征，得DE=BC=2,∠ADE=∠ABC=45°， ∴.∠CDE=∠ADB+∠ADE=45°+45°=90°， .△CDE为直角三角形， .CD=7, Scm-CD-DE=×7×2=7.(8分) 23.【详解】(1)解：△ABC是等边三角形， .∠ABC=60°.(1分) 将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBN】 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为60°， 故答案为：B点，顺时针，60°；(3分) (2)解：由旋转的性质可知：△ABM≌△CBN,∠MBN=∠ABC=60°， 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B N .∴，BM=BN,∠AMB=∠CNB. :∠MBN=60, .△BMN是等边三角形， .∠MNB=60 .∠CNB=∠AMB=150, ∴.∠MNC=∠CNB-∠MNB=90°.(8分) 24.【详解】(1)解：正方形绕它的中心旋转90°或180°或270°能与自身重合，它是旋转对称图形， 作图略， 旋转角a的度数略； (2分) (2)解：连接AC,CD,OB, B D E OA=OC BA=BC OB=OB .△OBC≌△OBASSS, ∴.∠OCB=∠OAB,(3分) .图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形， ∴.其余四个角与∠AOC相等，且这5个相等的角的和为360°， 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠A0C=∠C0D=360°÷5=72°； .OA=OC, 由全等可得OC=OD ∠0CD=∠0DC=1800-72=54, 同理：∠OCA=∠OAC=54°， 点B,C,D,E在同一直线上， .∠OCB=180°-∠OCD=126°， ∴.∠ABC=360°-126°-126°-72°=36°；(6分) (3) (答案不唯一)(8分) 25.【详解】(1)解：由旋转得OC=OC1,OA=OA1, .CA1=5, ∴.C0+0A1=5, ∴.OC1+OA=5,即OC1+OC1+C1A=5,(1分) .C1A=3, ∴.20C1+3=5,解得0C1=1, ∴.OC=1,OA=0A1=4, ,四边形OABC是矩形， ∴.AB=OC=1,CB=OA=4, ∴.B4,1:(4分) (2)解：由(1)得0A1=4, .A10,-4 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -4=b 5 把A0,-4.B4,1代入y=ax+b得1=4a+b,解得 4 =-4 ·为=5， x-4,(7分) 令y,=0得子x-4=0,解得x=1 5 (3)解：，0<y2<y1, .X应取y轴正半轴上y1的图象在y2上方的部分， 当0<yy时， 16 <x<4.(10分) 26.【详解】(1)证明：，∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, 在△BAD与△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△BAD≌△CAE(SAS), ∴，BD=CE;(2分) (2)解：四边形ABCD是正方形， .'AB=AD ,把△ABF绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合，如图： G E B F 图2 ∴.∠BAF=∠DAG, 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴.∠BAF+∠DAE=45°， :.∠GAE=∠GAD+∠DAE=∠BAF+∠DAE=45°， ∴.∠EAF=∠EAG, :∠ADG=∠ADC=∠B=90°， .∠EDG=180°，(4分) 点E、D、G共线， 在△AFE和△AGE中， AF=AG ∠FAE=∠GAE, AE=AE .△AFE≌△AGE(SAS), .EF=EG. 即EF=EG=ED+DG ,DE=1,边长为3的正方形ABCD, ∴.CD=BC=3,CE=2,∠C=90°， 设BF=x,则CF=3-X,EF=≥=X+1, .EF2=CE2+CE2, (1+x=22+(3-x2, 解得x=1.5, 即BF=1.5;(7分) (3)解：如图，过D作DG⊥DB,且DG=DB=V62,连接BG,GA并延长交BC于K, G D 图3 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG-DG+DB-231' .AD=CD,∠ADC=∠BDG=90°， ∴.∠GDA=∠BDC .△BDC≌△GDA(SAS), ∴.∠BCD=∠GAD, .∠ABC=60°，∠ADC=90°， ∴.∠BAD+∠BCD=210°=∠BAD+∠GAD, ∴.∠BAG=360°-210°=150°， ∴.∠BAK=30, .∴.∠AKB=90°， .BK=-AB=3,AK=AB2-BK2=3, GK=GB2-BK=/124-3=11' ∴.AG=11-3=8, .∴.BC=AG=8.(12分) 8/8 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十八章 旋转·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项、它既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项、它不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D选项、它是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由旋转性质，数形结合表示出求解即可． 【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到， 由旋转的定义得和均为旋转角， ， ， ． 3．图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（     ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 【答案】D 【分析】根据分针每分钟转动的角度及时间差确定旋转方向和角度． 【详解】解：钟面上分针走一圈是60分钟，对应的圆心角是， ∴ 分针每分钟转过的角度是， ∵ 钟表快了10分钟， ∴ 分针多走了10分钟，需要将分针逆时针旋转回调， ∴ 旋转的角度为， ∴ 应该将分针按逆时针方向旋转． 4．如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据旋转的性质对应边的夹角即为旋转角． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴旋转角等于． 5．如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形变换旋转，画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心点． 【详解】解：作的垂直平分线交于点， 点即为旋转中心，． 6．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】过点作于点D，根据含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，求出，分割法推出阴影部分的面积即为的面积，即可得出结果. 【详解】解：由旋转的性质可得出，，， 过点作于点D，如图， ∴， ∴， ∴． 7．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 8．如图所示：将绕点A顺时针旋转a，得到，点B、C的对应点分别为点D、E，若点B、E、D在一条直线上，连接，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由旋转的性质可知，，，， A选项说法错误； ， ， B选项说法正确； ，不一定等于， C选项错误； 由已知条件无法证明， D选项错误． 9．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，当点落在边上时，求的长（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】A 【分析】当点落在边上时，过点A作于点D，利用含30度角的直角三角形的性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质求得．利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，进而利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当点落在边上时，过点A作于点D， 则 在中，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 由旋转得，， ∴， ∴， ∴． 10．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】过点A作于M，再过点D作边上的高，证明，可得，再用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于M，再过点D作边上的高， 在中，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）． 11．如图，E 是正方形的边上一点，九年（3）班同学仿照教材例题的做法，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为20，， 则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质、勾股定理，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键． 利用旋转的性质得出四边形的面积等于正方形的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∵绕点A顺时针旋转到的位置， ∴，， ∴， ∴三点共线， ∵四边形的面积为20， ∴， ∴， ∵， ∴中，． 故选：D． 12．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】A 【分析】连接，过点O作，垂足为D，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质及勾股定理逆定理可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确；将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，仿照④的解题思路，即可判断⑤正确． 【详解】解：如图所示：连接，过点O作，垂足为D， ∵是正三角形， ∴，， ∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论①正确，符合题意； 连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，故结论②正确，符合题意； ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，故结论③正确，符合题意； 四边形的面积为：， 过点O作， ∵是等边三角形， ， ， ， ∴四边形的面积为，故结论④不正确，不符合题意； 如图所示：将绕点A逆时针旋转，使得与重合，点O旋转至，连接，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，且， 同结论④证明过程可求得：，， ∴，故结论⑤正确，符合题意； 综上所述：结论①②③⑤正确， 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 【答案】 /40度 【分析】根据旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质求出和的度数，再利用平角的定义即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∵点D在边上 ， ∴， ∴． 14．如图，平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，若点恰好落在边上，则_____度． 【答案】 【分析】设，根据平行四边形的性质和旋转的性质及等边对等角，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 由题意得，，， ∴， ∴即 解得 15．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点到点的方向，把铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转、、的度数后，笔尖方向变为点到点的方向，这种变化说明______． 【答案】三角形内角和等于 【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于，进行解答即可． 【详解】解：铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转、、的度数， 旋转角度之和为， 笔尖方向变为点到点的方向， 旋转角度之和为， 这种变化说明三角形内角和等于． 16．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则的长为_____ ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，，从而判定为等边三角形，进而得出的长． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到 ， ∴，， ∴是等边三角形， ∴ ． 17．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______． 【答案】1.8 【分析】先由平移的性质得到，，，再由旋转的性质得到，则是等边三角形，，再根据即可求解． 【详解】解：∵将沿射线的方向平移，得到， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 18．如图，已知，且B、C、D在一条直线上，，设，直线上方有一点F满足且，连接．当______时，取得最大值．（注：点A、E、F均在直线上方） 【答案】22.5 【分析】首先得到，如图，将沿翻折得到，将绕点C顺时针旋转得到，使点B和点F重合，求出，利用勾股定理得到，由，得到当点F，，，E四点共线时，取得最大值，如图，然后得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 如图，将沿翻折得到，将绕点C顺时针旋转得到，使点B和点F重合， ∵，，， ∴，， 由翻折得，，，， 由旋转得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点F，，，E四点共线时，取得最大值，如图， ∴此时 ∴ ∴． 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将平移后得到，平移后点的对应点的坐标为，画出，并写出点的坐标；（点、、的对应点分别为点、、） (2)将绕原点顺时针旋转后得到，画出．（点、、的对应点分别为点、、） 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）通过对比点C与其对应点的坐标变化，确定横、纵坐标的平移量，进而求出点B的对应点的坐标，并据此画出图形； （2）点绕原点顺时针旋转后的坐标为，利用此规律得出各顶点的对应点坐标，即可画出旋转后的图形． 【详解】（1）解：∵，平移后对应点， ∴横坐标变化：，此时图形向右平移了2个单位长度； 纵坐标变化：，此时图形向下平移了6个单位长度， ∵， ∴平移后的点的坐标为， 即点的坐标为； （2）略 20．（6分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点在的延长线上，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点，，． (1)求的长； (2)与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)与垂直．理由如下： ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 即与垂直． 【分析】（1）根据旋转的性质和线段的和差关系即可得到答案； （2）根据旋转的性质和等量代换得到，再由三角形内角和定理即可求出，证明结论成立． 【详解】（1）解：∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， 即， 解得， ∴ （2）略 21．（8分）如图，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，可以看作经过平移、轴对称或旋转得到的． (1)说明得到的过程； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)可以看作绕点逆时针旋转得到的； (2)， 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，则可以看作绕点逆时针旋转得到的； （2）根据等边三角形的性质可知，根据可以求出，根据三角形内角和定理即可求出，再根据旋转的性质即可求出结果． 【详解】（1）解：和都是等边三角形， ，，， 可以看作绕点逆时针旋转得到的； （2）解：和都是等边三角形， ，， 又， ， ， ， 在中，， 由（1）可知，可以看作绕点逆时针旋转得到的； ，， ． 22．（8分）如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点D恰好在的延长线上． (1)是怎样的三角形？ (2)若，求的度数； (3)若，求的面积． 【答案】(1)为等腰直角三角形 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的特征，得，，即可得出结论； （2）由为等腰直角三角形，，得的度数，再由旋转的特征，可得出的度数； （3）由旋转的特征，得，，可得，再由，运用直角三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由： 由旋转的特征，得，， 为等腰直角三角形； （2）解：由（1）得为等腰直角三角形， ∴， ， ， 由旋转的特征，得： （3）解：由旋转的特征，得，， ， 为直角三角形， ∵， ． 23．（8分）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 【答案】(1)B点；顺时针； (2) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定， 对于（1），根据旋转的定义可得答案； 对于（2），先根据旋转的性质得，即可说明是等边三角形，进而得出，再结合已知条件根据得出答案． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴． 将绕点B顺时针旋转得到． 所以旋转中心是B点，旋转方向是顺时针，旋转角为； 故答案为：B点，顺时针，； （2）解：由旋转的性质可知：， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 24．（8分）在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 【答案】(1)正方形是旋转对称图形； 如图，点即为正方形的旋转中心； 旋转角的度数可以是或或（答案不唯一）； (2)， (3) （答案不唯一） 【分析】（1）根据旋转对称图形的定义及所给例子判断，求解即可； （2）连接，，，证明，得，根据图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，得其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为，可求得，进而根据三角形内角和定理及四边形内角和可求得； （3）根据旋转对称图形的定义将所给菱形绕点按顺时针或逆时针每次旋转，旋转5次，可得一个旋转对称图形（答案不唯一）． 【详解】（1）解：正方形绕它的中心旋转或或能与自身重合，它是旋转对称图形， 作图略， 旋转角的度数略； （2）解：连接，，， ，，， ， ， 图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形， 其余四个角与相等，且这5个相等的角的和为， ； ， 由全等可得， ， 同理：， 点，，，在同一直线上， ， ； （3）略 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用旋转的性质结合线段等量关系求出、的长度，再根据矩形坐标特点写出点坐标； （2）由（1）得到点的坐标，将、两点坐标代入，解二元一次方程组求出，，再令求得直线与轴交点的横坐标，从而可得到点的坐标； （3）不等式代表在范围内，一次函数图像位于轴上方且在反比例函数图像下方，结合点和点的横坐标，直接得出对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：由旋转得，， ， ， ，即， ， ，解得， ，， 四边形是矩形， ，， ； （2）解：由（1）得， ， 把，代入得，解得， ， 令得，解得， ； （3）解：， 应取轴正半轴上的图象在上方的部分， 当时，． 26．（12分）综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ， 在与中， ， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）把绕点A逆时针旋转至，使与重合，根据正方形的性质及各角之间的关系得出点E、D、G共线，然后利用全等三角形的判定和性质得出，，再结合勾股定理求解即可； （3）过D作，且，连接并延长交于K，利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形及勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∴把绕点A逆时针旋转至，使与重合，如图： ∴， ， ， ∴， ， ， ， ∴点E、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， 即， ∵，边长为3的正方形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 即； （3）解：如图，过D作，且，连接并延长交于K， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ， ∴，， ∴， ∴， ． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十八章 旋转·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 3．图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（     ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 4．如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 6．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 7．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图所示：将绕点A顺时针旋转a，得到，点B、C的对应点分别为点D、E，若点B、E、D在一条直线上，连接，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，当点落在边上时，求的长（    ） A．6 B． C． D．12 10．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，E 是正方形的边上一点，九年（3）班同学仿照教材例题的做法，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为20，， 则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 12．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 14．如图，平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，若点恰好落在边上，则_____度． 15．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点到点的方向，把铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转、、的度数后，笔尖方向变为点到点的方向，这种变化说明______． 16．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则的长为_____ ． 17．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______． 18．如图，已知，且B、C、D在一条直线上，，设，直线上方有一点F满足且，连接．当______时，取得最大值．（注：点A、E、F均在直线上方） 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将平移后得到，平移后点的对应点的坐标为，画出，并写出点的坐标；（点、、的对应点分别为点、、） (2)将绕原点顺时针旋转后得到，画出．（点、、的对应点分别为点、、） 20．（6分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点在的延长线上，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点，，． (1)求的长； (2)与垂直吗？请说明理由． 21．（8分）如图，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，可以看作经过平移、轴对称或旋转得到的． (1)说明得到的过程； (2)若，求和的度数． 22．（8分）如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点D恰好在的延长线上． (1)是怎样的三角形？ (2)若，求的度数； (3)若，求的面积． 23．（8分）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 24．（8分）在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 26．（12分）综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十八章 旋转·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则度数为（ ） A． B． C． D． 3．图中的钟表比标准时间快了10分钟，如果要将它调成标准时间，应该将分针（     ） A．按顺时针方向旋转 B．按顺时针方向旋转 C．按逆时针方向旋转 D．按逆时针方向旋转 4．如图，将（其中，）绕点按顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，那么旋转角等于（     ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，的坐标为，点的坐标为，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合均为格点，的对应点是点，则旋转中心点的坐标为（     ） A． B． C． D．或 6．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（     ） A．10 B．15 C．20 D．25 7．游乐园中“海盗”船（图1）围绕顶端横梁左右摇摆，给游客带来奇妙的运动体验．小莹同学绘制了“海盗”船在两个不同时刻摇摆状态的侧面示意图（图2），横梁可视为一点，那么在小莹的绘画中横梁应是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 8．如图所示：将绕点A顺时针旋转a，得到，点B、C的对应点分别为点D、E，若点B、E、D在一条直线上，连接，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针方向旋转，得到，当点落在边上时，求的长（    ） A．6 B． C． D．12 10．如图，在中，，将绕点C按顺时针方向旋转到的位置，连接．若，则为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，E 是正方形的边上一点，九年（3）班同学仿照教材例题的做法，把绕点A顺时针旋转到的位置，若四边形的面积为20，， 则的长为（    ） A．4 B． C．6 D． 12．如图，O是正内一点，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④；⑤ ．其中正确的结论是（     ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D在边上，则________． 14．如图，平行四边形绕点A逆时针旋转，得到平行四边形，若点恰好落在边上，则_____度． 15．如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点到点的方向，把铅笔依次绕点、点、点按逆时针方向旋转、、的度数后，笔尖方向变为点到点的方向，这种变化说明______． 16．如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，则的长为_____ ． 17．如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，得到，点C的对应点为D，且点D在边上，则的长为______． 18．如图，已知，且B、C、D在一条直线上，，设，直线上方有一点F满足且，连接．当______时，取得最大值．（注：点A、E、F均在直线上方） 三、解答题（共8小题，共66分） 19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)将平移后得到，平移后点的对应点的坐标为，画出，并写出点的坐标；（点、、的对应点分别为点、、） (2)将绕原点顺时针旋转后得到，画出．（点、、的对应点分别为点、、） 20．（6分）如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点在的延长线上，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点，，． (1)求的长； (2)与垂直吗？请说明理由． 21．（8分）如图，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，可以看作经过平移、轴对称或旋转得到的． (1)说明得到的过程； (2)若，求和的度数． 22．（8分）如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点D恰好在的延长线上． (1)是怎样的三角形？ (2)若，求的度数； (3)若，求的面积． 23．（8分）如图， 是等边三角形，将 旋转一定角度后得到 连接． (1)旋转中心是 ，旋转方向是 （填顺时针或逆时针），旋转角度为 （取最小旋转角度）； (2)若求 的度数； 24．（8分）在同一平面内，一个图形绕着某点旋转角，如果得到的新图形与原图形完全重合，则称该图形是旋转对称图形，点是旋转中心，角是旋转角． 如图，等边是旋转对称图形，它的中心是旋转中心，是一个旋转角． 某数学兴趣小组根据“旋转对称图形”这一主题设计了如下研究活动，请完成下列活动： (1)【概念理解】正方形是否为旋转对称图形？如果是，请在下图中确定旋转中心（保留作图痕迹），并直接写出一个旋转角的度数；如果不是，请说明理由； (2)【案例分析】如图是由5个全等的四边形拼接而成的旋转对称图形，其中，，且点，，，在同一直线上，求和的度数； (3)【应用设计】如图是由小等边三角形组成的网格，每个小等边三角形的顶点叫做格点．网格中给出了一个由实线围成的菱形，用若干个和它全等的菱形，与给出的菱形拼接成一个旋转对称图形，请标出旋转中心，并画出该旋转对称图形（要求旋转中心和所有顶点都在格点上）． 25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，，分别在轴，轴上，在反比例函数的图象上，将矩形绕原点按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，． (1)求点的坐标； (2)求直线与轴的交点的坐标； (3)根据图象，直接写出当时的取值范围． 26．（12分）综合与探究 【问题背景】北师大版数学八年级下册第12题（以下图片框内）． 如图，均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，图中的哪两个三角形可以通过怎样的旋转而互相得到？ 【初步探究】 (1)我们需利用图形的旋转与图形全等的联系，并把特殊角度一般化．如图1，在与中，．求证：． 【类比探究】 (2)如图2，在边长为3的正方形中，点E，F分别是上的点，且．连接，若，求的长． 【拓展应用】 (3)如图3，在四边形中，，，，请直接写出的长． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $