24.1旋转-图形的旋转（分层作业，24大题型）数学新教材沪科版九年级下册
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内容正文：
分层作业
24.1旋转-图形的旋转
A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高
目 录
A组 巩固过关
题型01 判断生活中的旋转现象
题型02 判断由一个图形旋转而成的图案
题型03 找旋转中心、旋转角、对应点
题型04 根据旋转的性质求解
题型05 根据旋转的性质说明线段或角相等
题型06 旋转的性质及辨析
题型07 画旋转图形
题型08 旋转对称图形的识别
题型09 求旋转对称图形的旋转角度
题型10 求绕原点旋转90度的点的坐标
题型11 坐标系中的旋转
题型12 利用旋转设计图案
题型13 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
题型14 说出一个图形到另一个图形的运动过程
题型15 按图形的变换要求画出另一个图形
B组 能力进阶
题型01 求旋转中心的个数
题型02 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
C组 思维拔高
题型01 旋转中的规律性问题
题型02 求绕原点旋转一定角度的点的坐标
题型03 坐标与旋转规律问题
题型04 线段问题(旋转综合题)
题型05 面积问题(旋转综合题)
题型06 角度问题(旋转综合题)
题型07 其他问题(旋转综合题)
判断生活中的旋转现象题型01
1．（25-26九年级·期中）下列情境属于旋转的是（ ）
A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动
C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管
【答案】A
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义（在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转），逐一判断即可解答．
【详解】解：A、电流表指针来回摆动可看作是平面图形绕一个点转动，是旋转，故A符合题意；
B、滑动变阻器的滑片来回移动，不属于旋转，故B不符合题意；
C、热气球缓慢上升，不属于旋转，故C不符合题意；
D、打针时推动针管，不属于旋转，故D不符合题意；
故选：A．
2．有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】本题考查了旋转和平移的概念，解题的关键是熟练掌握旋转和平移的概念，能够把生活问题转化为数学问题．
根据旋转的定义，物体围绕一个固定点或轴做圆周运动属于旋转，逐一判断每个现象即可．
【详解】∵ ①荡秋千是围绕固定点摆动，属于旋转；
②雪橇滑动是平移运动，不属于旋转；
③传送带传送物品是平移运动，不属于旋转；
④雨刮器摆动是围绕固定轴旋转，属于旋转．
∴ 属于旋转的是①和④．
故选：D．
3．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（ ）
A．顺时针 B．逆时针
C．顺时针或逆时针 D．不能确定
【答案】B
【分析】根据图示进行分析解答即可．
【详解】齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮B以顺时针方向旋转，齿轮C以逆时针方向旋转，齿轮D以顺时针方向旋转，齿轮E以逆时针方向旋转，
故选B．
【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．
4．日常生活中，我们经常见到以下情景：①钟表指针的转动；②汽车方向盘的转动；③打气筒打气时，活塞的运动；④传送带上瓶装饮料的移动．其中属于旋转的是_______．（请填写序号）
【答案】①②
【分析】根据旋转的定义，逐个判断各情景的运动类型即可得到结果．
【详解】解：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，图形沿直线方向移动的运动是平移．
逐个判断：
①钟表指针绕钟表中心转动，符合旋转定义，属于旋转；
②汽车方向盘绕中心转动，符合旋转定义，属于旋转；
③打气筒打气时，活塞沿直线运动，属于平移，不属于旋转；
④传送带上瓶装饮料沿直线移动，属于平移，不属于旋转．
5．吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？
【答案】不一样
【分析】根据平移和旋转的性质判断即可；
【详解】不一样，相同的时间内，离吊扇中心越远的点运动的路程越大，这也从另一个角度反映了平移与旋转的差异．
【点睛】本题主要考查了平移和旋转的性质，准确分析判断是解题的关键．
判断由一个图形旋转而成的图案题型02
1．下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图形与原图形方向不同，形状大小相同逐项判断即可．
【详解】解：A．顺时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意；
B．逆时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意；
C．不能由图形M经过一次平移或旋转得到，故符合题意；
D．顺时针旋转即可得到该选项的图形，故不符合题意．
故选：C．
2．（25-26七年级·江苏南京·质检）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到，
∴，．
∴．
3．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的．
【答案】 四分之一 旋转
【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答．
【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，
故答案为：四分之一，旋转．
4．图中的图形均可以由“基本图案”通过变换得到.(填序号)
(1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是__;
(2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是__;
(3)既可以由平移变换,也可以由旋转变换得到的图案是__.
【答案】(1)①④；(2) ②⑤；(3) ③
【分析】图①由基本图形“半圆环”平移2次得到，图②由基本图形“菱形”旋转2次得到，每次旋转120°，图③既可通过基本图形“圆环”平移3次得到，又可通过旋转得到，图④
由基本图形平移2次得到，图⑤由基本图形“箭头旋转2次得到，每次旋转120°，故可作出选择.
【详解】(1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是①④，
(2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是②⑤，
(3)既可以由平移变换,也可以由旋转变换得到的图案是③，
【点睛】此题主要考查旋转与平移的应用.
找旋转中心、旋转角、对应点题型03
1．如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( )
A．15° B．30° C．45° D．75°
【答案】D
【分析】先根据旋转的定义可得为旋转角，再根据角的和差即可得．
【详解】由题意得：为旋转角，
，，
，
即旋转的角度是，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转角、角的和差等知识点，正确找出旋转角是解题关键．
2．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，，分别作出，，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，连接，，，分别作出，，的垂直平分线，
，
三条垂直平分线交于点N，
旋转中心是点N，
故选：B．
3．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度．
【答案】 脚跟 顺 90
【分析】本题考查了旋转的相关概念，掌握旋转的相关概念，结合生活经验解决问题是解题的关键．根据旋转的相关概念，结合生活经验即可解答．
【详解】解：在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度．
故答案为：脚跟；顺；90．
4．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为____．
【答案】
【分析】本题考查图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素（旋转中心、旋转角、对应点）是解题的关键．根据旋转前后对应点连线的垂直平分线经过旋转中心，找出旋转中心，据此得出旋转角的度数．
【详解】解：线段绕某点经过旋转后得到，
则如图所示，连接、，分别作线段、的垂直平分线，
设线段、的垂直平分线交于点，点即为旋转中心，
，
旋转角为，
故答案为：．
5．如图所示，是直角三角形，延长到，使，在上取，连接，旋转后能与重合，那么：
(1)旋转中心是哪一点？（直接写出即可，不用写理由）
(2)旋转角是多少度？（直接写出即可，不用写理由）
(3)与的位置关系怎样？并说明理由．
【答案】(1)B
(2)90度
(3)
解：．理由如下：
延长交于F．
∵绕点B顺时针旋转后能与重合，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】本题考查旋转的性质和三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质和三角形内角和定理．
（1）由条件易得和，和为对应边．而旋转后能与重合，于是可判断旋转中心为点B；
（2）根据旋转的性质得等于旋转角，从而得到旋转角度；
（3）延长交于F，根据旋转的性质得到，再由三角形内角和定理即可判断．
【详解】（1）解：∵，
∴和，和为对应边．
∵旋转后能与重合，
∴旋转中心为点B；
（2）解：∵，旋转后能与重合，
∴等于旋转角，
∴旋转角是90度；
（3）略
根据旋转的性质求解题型04
1．钟表的时针和分针在日夜不停地旋转，当分针旋转一周时，时针转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据时钟上的时针12小时转过，结合分针旋转一周的时间为1小时即可求解．
【详解】解：∵分针旋转一周的时间为1小时，时针12小时转过，
∴时针1小时转过的角度为．
2．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图是由绕点顺时针旋转得到的，若____________________．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的不变性和旋转的三要素．
由旋转的性质即可得到，，再由角的和差计算求解的度数．
【详解】解：由旋转得，，
∵，
∴，
故答案为：，．
3．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为16，DE=1，则AE=____．
【答案】
【分析】由旋转的性质可得BF=DE=1，S△AFB=S△ADE，可求AD=4，由勾股定理可求AE的长．
【详解】解：∵把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，
∴BF=DE=1，S△AFB=S△ADE，
∴S正方形ABCD=S四边形AECF=16，
∴AD=4，
∴AE=
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，求出AD的长是本题的关键．
4．如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为．
(1)求的长；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)BF=2
(2)∠AEB=135°
【分析】（1）由旋转的性质得到△BEF为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求出的长；
（2）根据AE=1，可得，根据勾股定理逆定理9=32=CE2得出，根据等腰直角三角形可求，再求，根据旋转性质，可得即可．
【详解】（1）解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴BE=BF ，∠EBF=∠ABC=90°
∴△BEF为等腰直角三角形，
设 BE=BF =x，则x2+x2=（2）2 ，
解得： x=2；
（2）解：∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，
∴∠AEB= ∠BFC ，AE=CF=1，
在△CEF中，EF =2，CF=1，EC=3，
∵CF2+EF2=12+（2）2=9，CE2=9，
∴CF2+EF2=CE2，
∴△CEF为直角三角形，∠EFC=90°，
∴∠BFC=∠BFE+∠CFE=135°，
∴∠AEB=135°．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理，掌握，三角形旋转性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理逆定理是解题关键．
5．（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ．
【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
【答案】【尝试解决】直角，；【类比探究】；【联想拓展】
【分析】尝试解决：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等边三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数；
类比探究：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数；
联想拓展：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，先证明，得出，进而证明，得到，然后利用特殊角的三角函数值，分别求出，，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，得到，即可求出的度数．
【详解】尝试解决：解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，
，，，
为等边三角形，
，，
，
，，
，
为直角三角形，
，
，
的度数为，
故答案为：直角，；
类比探究：解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，
由旋转的性质可知，，，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，，
，
为直角三角形，
，
；
联想拓展：解：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，，，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．
根据旋转的性质说明线段或角相等题型05
1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接E，F．给出下列五个结论：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正确结论的序号是_____．
【答案】①③⑤
【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可.
【详解】如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转的知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤.
【点睛】做辅助线证明全等是解题的关键.
2．如图，绕点A按逆时针方向旋转到，连接，，写出一个与相等的角是：__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据旋转的性质可得对应边相等，以及旋转角相等，进而判断和为顶角相等的等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理即可得出与相等的角．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，．
在中，
，
为等腰三角形．
．
在中，
，
为等腰三角形．
．
，
．
．
．
又，，
．
即与相等的角是：（答案不唯一）．
3．（24-25八年级下·山西运城·期末）如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形．
如图1，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，，，这样就得到了四个全等的小三角形．这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四个小三角形全等．
如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点①______按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形，请在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：______．
(1)把①，②处的内容写出来；
(2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形是平行四边形的过程补充完整．
小明的证明过程如下：
∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴________，，
∴四边形是平行四边形（______）；
小甜的证明过程如下：
∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴，，
∵点D，E分别是边的中点，
∴，是三角形的______，
∴，
∴______，，
∴四边形是平行四边形（______）．
【答案】(1)①E，②，
(2)；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定，旋转的性质，三角形中位线定理．
（1）根据旋转定义，中位线定理即可求解；
（2）小明的证明过程：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证明四边形是平行四边形；
小甜的证明过程：求得是三角形的中位线，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 可证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点E按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形，
在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：，．
故答案为：①E，②，；
（2）解：小明的证明过程如下：
∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
小甜的证明过程如下：
∵绕点E按顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴，，
∵点D，E分别是边的中点，
∴，是三角形的中位线，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故答案为：；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；中位线；；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
4．已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF.
（1）∠FDC=∠EBC，相等吗？
（2）△DCF能与△BCE重合吗？
（3）BE与DF垂直吗？
【答案】（1）相等，（2）△DCF能与△BCE重合；（3）BE⊥DF
【分析】（1）相等，根据正方形的性质和已知条件证明△DCF≌△BCE即可；
（2）能，根据（1）可得结论；
（3）BE⊥DF．延长BE交DC于M，证明∠DME=90°即可．
【详解】解：（1）相等；
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠DCF=∠BCE=90°，
在△DCF和△BCE中，
，
∴△DCF≌△BCE，
∴∠FDC=∠EBC，
故答案为相等；
（2）∵△DCF≌△BCE，
∴△DCF能与△BCE重合，
故答案为能；
（3）垂直，
理由如下：延长BE交DC于M，
∵△DCF≌△BCE，
∴∠CDF=∠EBC，
∵∠EBC+∠BEC=90°，
∴∠CDF+∠DEM=90°，
∴∠DME=90°，
∴BE⊥DF，
故答案为垂直．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及垂直的判定，解本题的关键是△BCE≌△DCF的求证．
5．如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论．
请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．
(1)线段，，之间的数量关系是______．
(2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了旋转与三角形综合，
（1）先证明三点共线，再证明，得到，即可证明；
（2）如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，先求出，由旋转的性质可知，则，证明，得到，利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）解：结论：
理由：∵四边形是正方形，
∴，
由旋转的性质可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴三点共线，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）结论：,证明如下：
如图所示，将绕点A顺时针旋转得到．
∵，
∴，
由旋转的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题涉及了旋转变换，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
旋转的性质及辨析题型06
1．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
【答案】A
【分析】连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④．
【详解】解：如图，连接，
矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，
，
F为的中点，
，故①正确；
矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，
，
，
，
， F为的中点，
，
，
，
，
又，
，
，故②正确；
，
，
，
为等腰直角三角形，
，故③正确；
如图，延长交于点H，
，
，
，
，即，
，
，
，故④正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
2．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（ ）
A．旋转中心是点 B．旋转角等于
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质，对选项逐一进行分析即可得出答案．
【详解】解：A：因为绕着点O旋转得到，所以旋转中心是点O，该选项正确，不符合题意；
B：旋转角是对应点与旋转中心所连线段的夹角，旋转到，旋转角应该是或，而不是，该选项错误，符合题意；
C：由于旋转不改变图形的大小和形状，与是对应边，所以，该选项正确，不符合题意；
D：旋转前后的图形全等，所以，该选项正确，不符合题意；
故选：B．
3．一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（ ）．
①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【详解】解：∵旋转是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，
∴旋转后对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，即②③④正确；
旋转后对应线段不一定平行，可能相交，因此①错误；
故正确的说法是②③④，选D．
4．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______．
【答案】①③④
【分析】①根据旋转的性质，可得，结合，即可判断，
③根据旋转的性质，可证，得到，即可判断，
④由，，在中，应用勾股定理，即可判断，
②根据与的关系，判断与的关系，即可判断，
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握旋转的性质．
【详解】解：由旋转的性质可得：， ，，
，
，故①正确，
，
，即：平分，故③正确，
，
，
在中，，即：，故④正确，
与不一定相等，
与不一定相等，故②不正确，
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④．
5．图形的旋转
（1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个________________按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为________________，转动的角称为________________．
（2）旋转的性质
①旋转不改变图形的形状和大小；
②对应点到旋转中心的距离________________；
③任意一组对应点与________________的连线所成的角都等于旋转角；
④对应线段________________，对应角________________．
【答案】 定点 旋转中心 旋转角 相等 旋转中心 相等 相等
【分析】（1）根据旋转的定义即可求解；
（2）根据旋转的性质即可求解．
【详解】图形的旋转
（1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角．
（2）旋转的性质
①旋转不改变图形的形状和大小；
②对应点到旋转中心的距离相等；
③任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；
④对应线段相等，对应角相等．
故答案为：定点；旋转中心；旋转角；相等；旋转中心；相等；相等．
【点睛】此题主要考查旋转的概论，解题的关键是熟知旋转的定义与性质．
画旋转图形题型07
1．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绕点按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．
【详解】A、是由关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；
B、是由绕点按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；
C、与对应点发生了变化，故C选项不符合题意；
D、是由绕点按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．
2．如图，在中，，于点D，为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作于点F，连接EF，BE，若，求的值．
【答案】(1)
如图1所示，点E即为所求．
(2)
【分析】（1）以点A为圆心，AD为半径画弧，以点B为圆心，以BD为半径画弧，两弧相交于点E，连接AE、BE，则BE即为所求；
（2）先证明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一知，进一步证明，（SSS），得到，，又AF＝AF，，得到（SAS），，在中，，设，，得到，，得到答案．
【详解】（1）理由是：∵AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC，
∴线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），旋转角为∠DAE，且；
（2）解：如图2，连接DF．
在中，，
∴△ABC是等腰三角形，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
又∵，
∴（SSS），
∴，，
又∵，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴在中，，
设，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、图形的旋转、锐角三角函数、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键
3．如图，长方形是长方形绕点O按顺时针方向旋转后得到的，请画出旋转前的长方形．
【答案】见解析
【分析】连接，逆时针方向作，且，则点为点的对应点，同样方法作出点、、的对应点、、，再顺次连接、、、，即可得到矩形．
【详解】解：如图，矩形为所作．
【点睛】本题考查了作图旋转：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
4．网格中的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A变换为点，点分别是B、C的对应点．
(1)请画出平移后的（不写画法）；
(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的（不写画法）
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)的面积为3.5
【分析】（1）根据题意可得点A先左平移5个单位，再向下平移2个单位得到点，即可求解；
（2）根据旋转的性质画出图形，即可求解；
（3）用所在的长方形的面积减去周围的直角三角形的面积，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：点A先左平移5个单位，再向下平移2个单位得到点，
如图，△为所作；
（2）解：如图，△为所作．
（3）解：的面积＝3×3-×3×2-×1×3-×1×2
=9-3--1
=3.5
【点睛】本题考查了作图——旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
5．在下图中，画出线段绕点A按顺时针方向旋转后的线段．
【答案】见解析
【分析】（1）以为一边按顺时针方向画，使得即可得解；
（2）在射线上取点C，使得，即可得解；
【详解】解：（1）如图，以为一边按顺时针方向画，使得．
（2）在射线上取点C，使得．
线段就是线段绕点A按顺时针方向旋转后的线段．
【点睛】本题主要考查了旋转作图，准确分析作图是解题的关键．
旋转对称图形的识别题型08
1．以下生活用品中，不属于旋转图形的是（ ）
A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇
C．四叶风车 D．红五星
【答案】A
【分析】本题考查了平移和旋转的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据平移和旋转的性质依次分析选项，即可得选出答案．
【详解】解：A.大红“双喜字”是平移，不是旋转图形，故选项符合题意；
B. 三张叶片电风扇旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意；
C. 四叶风车旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意；
D. 红五星旋转可与原图形重合，是旋转图形，故选项不符合题意；
故选A．
2．如果一个四边形绕对角线的交点旋转，所得四边形与原四边形重合，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】D
【分析】本题考查旋转对称图形的概念根据旋转对称图形的概念与平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质作答，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【详解】解：A、平行四边形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，该选项错误；
B、矩形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，该选项错误；
C、菱形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是180度，该选项错误；
D、正方形绕对角线交点旋转能够与原来的图形重合的最小的度数是90度，该选项正确．
故选：D．
3．在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有_____个旋转对称图形.
【答案】3
【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．解答即可．
【详解】解：在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中只有五角星、圆、平行四边形是旋转对称图形．
故答案为3．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念；注意掌握旋转对称图形的定义是关键．
求旋转对称图形的旋转角度题型09
1．（25-26八年级上·河北邢台·联考）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查旋转对称图形的性质，确定旋转对称的角度以及理解旋转对称性．通过计算叶片之间的旋转角度来判断图案旋转后能否与原图案重合．
【详解】解：确定旋转对称的角度，图案由三个相同的叶片组成，将平均分成三份，每份对应的中心角为，，旋转、、都能使图案和原图案重合．
，
，
，
不是的整数倍，因此旋转后，图案不会和原图案重合．
故选．
2．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由于是正五角星，设O的是五角星的中心，那么∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，所以要使正五角星旋转后与自身重合，那么它们就是旋转角，而它们的和为360°，由此即可求出绕中心顺时针旋转的角度．
【详解】
如图，设O的是五角星的中心，
∵五角星是正五角星，
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠AOE，
∵它们都是旋转角，而它们的和为360°，
∴至少将它绕中心顺时针旋转360÷5=72°，才能使正五角星旋转后与自身重合．
故答案为B．
【点睛】此题主要考查了旋转对称图形的性质，解答此题的关键是找到对应点：A和B重合，B和C重合…，进而判断出将它绕中心顺时针旋转的最小角度．
3．（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）如图，已知点O是等边三角形三条高的交点，现将绕点O旋转，使其和重合，则至少应旋转（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查等边三角形的性质及旋转的性质，等边对等角和三角形内角和定理，掌握等边三角形的三条高线、三条角平分线、三条中线相互重合是解题的关键．
根据题意得到、平分和，求出，，当A与B重合时则B与C重合，可得到答案．
【详解】解：∵点O是等边三角形三条高的交点，
∴、平分和，
∴，
∴，
∴绕点O旋转可与重合，
∴至少应旋转．
故选B．
4．如图，这个图形是由“基本图案”绕着点顺时针依次旋转____________次得到的，每次旋转的角度为____________．
【答案】 五
【分析】本题考查了图形旋转的性质知识点，掌握旋转次数与基本图案个数的关系以及周角等分的计算方法是解题的关键．
先观察图形确定基本图案的个数，旋转次数等于基本图案个数减1，每次旋转的角度等于周角除以基本图案个数．
【详解】解：∵该图形是由“基本图案”绕着点旋转构成的复合图形
∴观察图形可知，该复合图形共由6个全等的“基本图案”组成
∴旋转的次数为次
∵这6个基本图案均匀分布在以点为中心的圆周上
∴每次旋转的角度为 ．
故答案为：五； ．
5．如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转_________度与它本身重合．
【答案】360
【分析】根据旋转对称图形的定义即可得．
【详解】点M是边CD的中点，不是正方形ABCD的中心，
正方形ABCD绕点M至少旋转360度才能与它本身重合，
故答案为：360．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，掌握理解定义是解题关键．
求绕原点旋转90度的点的坐标题型10
1．（24-25八年级上·山东淄博·月考）已知点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了点绕原点旋转的坐标变换规律，熟练掌握点绕原点逆时针旋转后的坐标为是解题的关键．本题可根据点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．
【详解】解：∵ 点绕原点逆时针旋转后的坐标为，点的坐标为
∴ 点绕原点逆时针旋转后得到的点的坐标为
故选：A．
2．（25-26九年级·辽宁葫芦岛·月考）如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过分析原三角形的边长与垂直关系，结合旋转的性质和旋转后点所在的象限，确定旋转后点的坐标．
【详解】解：，原中轴，
因此，，
绕逆时针旋转后，如图：
在中轴，
因此，，
旋转后落在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正），
因此坐标为．
3．（2026·山东·模拟）如图，把直角坐标系放置在边长为的正方形网格中，是坐标原点，点、、均在格点上，将绕点按逆时针方向旋转后，得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先确定点的原始坐标，再利用绕原点逆时针旋转的坐标变换规则计算得到旋转后的坐标，匹配对应选项即可．
【详解】解：根据坐标系网格可得，旋转前点的坐标为，
∵点绕坐标原点逆时针旋转后，对应点的坐标变换规律为，
∴将代入规律，得： ，，
∴的坐标为．
4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点O旋转得到点B，则点B的坐标是__________．
【答案】或
【分析】本题考查了求绕原点旋转90度的点的坐标，分点A绕原点O顺时针和逆时针旋转 两种情况讨论，然后画出图形，数形结合求解即可．
【详解】解：点A绕原点O顺时针旋转，如图，
∴；
点A绕原点O逆时针旋转，如图，
∴
∴点B的坐标为或，
故答案为：或．
5．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．
(1)在图中画出，点的坐标为 ；
(2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）首先回忆平面直角坐标系中点绕原点顺时针旋转的坐标变换规律，因为要得到A、B的对应点坐标，所以用该规律计算的坐标，再顺次连接O、得到旋转后的三角形．
（2）对于点M的旋转，因为M的坐标是，所以同样用顺时针旋转的坐标变换公式得到的坐标，进而得到纵坐标n与m的关系．先确定M在内（不含边界）时m的取值范围，再根据n和m的对应关系，推导出n的取值范围．
【详解】（1）解：根据旋转的性质，点绕原点顺时针旋转后对应点坐标为．
∵，
代入得坐标为，
同理得对应点，
连接、、即可画出．
（2）解：∵是直角三角形，三个顶点为、、，
设斜边的解析式为，
则，
解得，
∴的解析式为．
∵ 点在内部（不含边界），
∴满足，
解得的范围．
∵点顺时针旋转后，对应点的纵坐标，
∴由，两边同乘得： ．
答案： (1) ； (2) ．
坐标系中的旋转题型11
1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查图形的旋转变换．利用网格特点，作和的垂直平分线，它们相交于点，然后写出点坐标即可．
【详解】解：如图，可由绕点顺时针旋转得到，所以旋转中心的坐标为．
故选：A．
2．（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的变化，掌握旋转，平移的性质是关键．
根据旋转，平移的性质，数形结合分析即可求解．
【详解】解：根据题意，，
如图所示，
将线段先绕原点按逆时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，点的对应点为，再将线段向下平移得到线段，点的对应点为点，即点变换后的对应点的坐标是，
∴旋转后向下平移了4个单位，
∴，
故选：D ．
3．直线交轴于，交轴于，直线绕原点顺时针旋转后的直线解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，求绕原点旋转90度的点的坐标，熟知以上知识是解题的关键．
先求出A、B两点的坐标，再求出直线绕原点顺时针旋转后，的坐标，利用待定系数系数法求出直线的解析式即可．
【详解】解：∵直线交x轴于A，交y轴于B，
当时，；
当时，，解得：，
∴，，
∵直线绕原点顺时针旋转，
∴，，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
∴直线绕原点顺时针旋转后的直线解析式为：．
故选：D．
4．综合运用
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，以，为邻边构造矩形，以点A为旋转中心，顺时针旋转矩形(旋转角为α，)，得到矩形，点B，C，O的对应点分别为点D，E，F．连接，，．
(1)当点F在线段上时，求的度数；
(2)当点B在直线上时，求点F的坐标；
(3)当与矩形的任意一条边垂直时，求的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)15
【分析】（1）由旋转的性质可得，根据矩形的性质可得，，在中，利用锐角三角函数求得，即可求解；
（2）当点B在直线上时，如图，连接、，过点F作轴于点M，交于点H，由旋转的性质得，，，，证明，可得，，再根据等腰三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理列方程求得，，证明，得，求得，，从而求得，，即可求解；
（3）当时，如图，连接、，过点B作于点N，由旋转的性质得，，，根据等腰三角形的性质可得，证明，得，， 设，则，在中，利用勾股定理列方程求得，，证明，可得，从而求得，再利用三角形面积公式求解即可；当时，，即点C、E、D三点共线，故可得与不垂直．
【详解】（1）解：如图，由旋转的性质得，，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴；
（2）解：当点B在直线上时，如图，连接、，过点F作轴于点M，交于点H，
由旋转的性质得，，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
设，则，
在中，，
解得，
∴，，
∵轴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：当时，如图，连接、，过点B作于点N，
由旋转的性质得，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
设，则，
在中，，
解得，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴；
如图，当时，，
∴点C、E、D三点共线，
∵矩形绕点A顺时旋转得到，
∴点C、E、D三点不共线，
∴与不垂直，
综上所述，的面积为15．
【点睛】本题考查矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程、等腰三角形的性质及锐角三角函数，根据旋转的性质，运用数形结合思想是解决问题的关键．
利用旋转设计图案题型12
1．（25-26九年级上·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了通过旋转变换设计而成的图形的特点．利用旋转设计而成的图形应有一个旋转点，图形旋转后的形状和大小不变，即可得解．
【详解】解：A、B、D都可以通过旋转变换设计而成，不符合题意；
C、不可以通过旋转变换设计而成，符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，由旋转性质逐个分析即可得到答案．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
【详解】解：A、该图形无法通过旋转得到，不符合题意；
B、该图形可以由一个蜡烛连续旋转得到，符合题意；
C、该图形可以由一个菱形连续旋转得到，不符合题意；
D、该图形可以由一朵花儿连续旋转得到，不符合题意；
故选：B．
3．观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到的（ ）
A．三分之一，平移 B．四分之一，平移
C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个 图形 上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，
故选：D.
4．抽象能力在数学活动课上，李老师要求同学们在边长为1的正方形方格纸中画出一个“风车”图案．
小红同学的做法如下：如图①，把一个三角形按顺时针方向旋转，连续旋转三次，形成有四个叶片的“风车”图案．类似地，把一个梯形按顺时针方向旋转，连续旋转三次，形成如图②所示的有四个叶片的“风车”图案．
请你仿照小红同学的做法，在备用图中画一个新的有四个叶片的“风车”图案，使得“风车”的四个叶片的面积与图②的四个叶片的面积相同，并直接写出图①、图②阴影部分的面积．
【答案】
如图（答案不唯一）．
图①、图②阴影部分的面积分别为和8
【分析】本题考查了网格图形面积，旋转图案设计；根据三角形和梯形的面积，并由图②阴影部分的面积来设计图案，即可求解；会求面积和设计旋转图案是解题的关键．
【详解】解：图①阴影部分的面积：，
图②阴影部分的面积：．
利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案题型13
1．（25-26七年级·广东汕尾·期中）通过图形变换来设计图案是常用方法，下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】A、平移，故符合题意；
B、轴对称，故不符合题意；
C、旋转，故不符合题意；
D、轴对称，故不符合题意．
2．下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【分析】根据旋转、轴对称的定义来逐项分析，即可求解．
【详解】解：图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合；
图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合．
故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个．
故选A．
【点睛】本题主要考查了旋转、轴对称的定义，熟练掌握图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称是解题的关键．
3．下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（ ）
A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3）
【答案】A
【分析】本题考查的是学生对旋转和平移的掌握程度，根据平移后的图形与原图形完全相同，旋转后的图形与原图形方向不同，形状大小相同判断即可．
【详解】解：图（3）是由图（1）平移得到的，图（4）是由图（1）旋转得到的．
故选A．
4．下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移，旋转，轴对称的基本概念，根据平移，旋转，轴对称的定义即可作出判断．解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的判定方法．
【详解】解：选项A的图形可以由旋转变换得到，但不能由平移变换和轴对称得到，故A不符合题意；
选项B的图形可以通过旋转变换和平移变换得到，但不能由轴对称得到，故B不符合题意；
选项C的图形可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到，故C符合题意；
选项D的图形可以由旋转变换和轴对称变换得到，但不能由平移变换得到，故D不符合题意；
故选：C．
说出一个图形到另一个图形的运动过程题型14
1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（ ）
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称、平移
【答案】C
【分析】本题主要考查了图形的平移，旋转和轴对称，平移不能改变图形的方向，轴对称图形的对应点连线要平行或在同一直线上，据此可得甲、乙两个图案不可以通过轴对称和平移得到，而甲、乙两个图案可以绕点某一点旋转得到，据此可得答案．
【详解】解：∵甲、乙两个图案的方向不一样，
∴甲、乙两个图案不能经过平移得到，
∵甲、乙两个图案的对应点连线有交点，
∴甲、乙两个图案不能经过轴对称得到，
而甲、乙两个图案可以绕点某一点旋转得到，
故选：C．
2．如图所示，图形①经过________变换得到图形②；图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)．
【答案】 轴对称 旋转 平移
【分析】观察各个图形的特点，根据平移、旋转和轴对称的性质解答即可．
【详解】仔细观察各个图的位置关系可知：①和②是轴对称关系，①和③图形的大小一样，但方向发生了变化，是旋转，①和④的形状大小一样，是平移关系．
∴图形①经过轴对称变换得到图形②；图形①经过旋转变换得到图形③；图形①经过平移变换得到图形④．
故答案为轴对称；旋转；平移.
【点睛】本题考查了生活中的旋转、平移及轴对称现象，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；轴对称是两个图形沿某条直线对折后能够完全重合．
3．（26-27九年级上·福建厦门·月考）如图，是正方形内一点，以为一边作正方形，使，，在的同旁，连接和，请描述与经过怎样的旋转可以重合：_______________________．
【答案】绕点逆时针旋转得到
【分析】根据正方形的性质，证明解答即可．
【详解】解：∵正方形和正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴绕点逆时针旋转得到．
4．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到．
(1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是________个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是________；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是________度．
(2)连接，交于点，求的长．
【答案】(1)；y轴；
(2)
【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了图形的基本变换与坐标，等边三角形的性质，解题时需要注意：平移的距离等于对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小．
（1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可；
（2）连接后可得底角为的等腰三角形，进而可得，在中根据勾股定理求得直角边的长．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵等边，
∴，
∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是个单位长度；
与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴；
绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是120°；
故答案为：；y轴；；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
按图形的变换要求画出另一个图形题型15
1．已知在中，，将绕点B顺时针旋转，得到，请仅用无刻度的直尺，按要求画图．
(1)在图1中，画一个等边三角形；
(2)在图2中，画一个等腰直角三角形．
【答案】(1)
解：如图1所示：即为所求；
(2)
解：如图2所示：即为所求；
【分析】本题考查作图-旋转变换，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）如图1中，延长交的延长线于点T，可得，即为所求；
（2）如图2中，连接交于点H，由题意可知，，故，可求得，即可得为等腰直角三角形．
【详解】（1）略
（2）略
2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)在图中画出，使得与关于点对称；
(2)在（1）的基础上，画出绕点逆时针旋转后的，并直接写出点的坐标．
【答案】(1)
如图，即为所求，
；
(2) ，
【分析】本题考查了作图—旋转变换，坐标与图形，熟练掌握旋转的性质，找出关键点是解此题的关键．
（1）先找出点关于原点对称的点，再顺次连接即可得到答案；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点，再顺次连接即可得到答案，写出点的坐标即可．
【详解】（1）略
（2）解：如图，即为所求，点的坐标为，
3．如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)按下列要求作图：
①将向左平移6个单位得到；
②将绕点逆时针旋转后得到；
(2)与重叠部分的面积为________（直接写出答案）．
【答案】(1)
①如图所示：即为所求；
②如图所示：即为所求．
(2)
【分析】（1）①直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
②直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）通过观察平移和旋转后的图形可以发现：就是与重叠部分，求出的面积即可得出答案．
【详解】（1）（1）①略
②略
（2）∵，，，
又∵将向左平移6个单位得到
∴，点到的距离是，
∵将绕点逆时针旋转后得到，
∴，
∴点到的距离是，
∴
．
∴与重叠部分的面积为．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换,平移变换,正确得出对应点位置是解题关键．
求旋转中心的个数题型01
1．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
【答案】A
【详解】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
故选A．
2．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（ ）
A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可
C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可
【答案】D
【分析】利用旋转变换的性质一一判断即可．
【详解】解：将左边的阴影四边形绕点E顺时针旋转90°得到右边的阴影四边形，此时n＝1．
左边的阴影四边形绕点A逆时针旋转90°，再将得到的四边形绕点C顺时针旋转180°可得右边的阴影四边形，此时n＝2．
左边的阴影四边形绕点B顺时针旋转90°，再将得到的四边形绕点E顺时针旋转90°，将得到的四边形绕点C逆时针旋转90°可得右边的阴影四边形，此时n＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转变换，理解题意、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
3．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个．
【答案】2．
【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心．
【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D；
把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C；
综上，可以作为旋转中心的有2个．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
4．如图，四边形和四边形都是正方形．
(1)正方形旋转后能与正方形重合吗？
(2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？
【答案】(1)能
(2)3；点，点，线段的中点
【分析】本题考查了旋转的相关知识，熟知旋转的概念和旋转中心的概念是解题的关键．
（1）由于两个正方形边长相等，则两个正方形是全等图形，故能通过旋转使得两个图形重合；
（2）绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度或或绕的中点顺时针旋转都能使正方形与正方形重合，据此可得答案．
【详解】（1）解：∵正方形和正方形的边长相等，
∴正方形和正方形是全等图形，
∴正方形旋转后能与正方形重合；
（2）观察图形，可知四边形绕点B逆时针旋转90度或绕点A顺时针旋转90度就能与正方形重合，或绕的中点顺时针旋转也能与正方形重合，
∴平面上可以作为旋转中心的点共有三个， 即点A、点B和线段的中点．
求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标题型02
1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化——旋转，通过全等三角形求出点的坐标是解题的关键．
过C作轴于M，则，证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
如图，过C作轴于M，则，
∴，
由旋转的性质得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
2．如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据一次函数解析式求得点的坐标，进而根据旋转的性质可得，，，进而得出，结合坐标系，即可求解．
【详解】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，旋转的性质，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题的关键．
3．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，求平面直角坐标系内点的坐标，
先作轴，轴，根据题意可知，可得，再证明，可得，即可得出答案．
【详解】解：如图所示，
过点A，B作轴，轴，交x轴于点D，E，
∵点，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点．
故选：A．
4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是______．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形变化旋转：利用旋转的性质得到旋转变化后的线段长度，然后根据点的坐标的表示方法确定图形中特殊点的坐标．
根据旋转的性质求解即可．
【详解】如图所示，
由图可得，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是．
故答案为：．
5．对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”例如，图中点为点关于点的“垂直图形”．
(1)点A关于原点的“垂直图形”为点．
若点A的坐标为，则点的坐标为___________；
若点的坐标为，则点的坐标为___________；
(2)，，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为．
求点的坐标（用含的式子表示）；
若的半径为上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．
【答案】(1)①，②
(2)①，②
【分析】(1)根据“垂直图形”的定义可得答案；
(2)过点E作轴于点，过点作轴于点，利用证明得，，从而得出答案；由点的坐标可知，满足条件的点在第一象限的上，求出点的坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：点A的坐标为，
点的坐标为，
故答案为：；
当时，如图，，
故答案为：；
（2）解：过点E作轴于点，过点作轴于点，
，，
，，
，
，
，
，，
，
；
如图，观察图象知，满足条件的点在第一象限的上，
，，
，(负值舍去)，
，
，
．
的长度的最大值为．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，“垂直图形”的定义，坐标与图形，求出点的坐标是解题的关键．
旋转中的规律性问题题型01
1．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复依次，小正方形共翻转10次回到起始位置，即可得到它的方向．
【详解】解：根据题意可得：小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，矩形ABCD的边长AB和BC分别是3cm和2cm，小正方形的边长为1cm，则这个小正方形第一次回到起始位置时需10次翻转，而每翻转4次，它的方向重复1次，故回到起始位置时它的方向是向下．
故选：C．
【点睛】本题考查了图形类规律题，关键是得出小正方形共翻转10次回到起始位置．
2．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转规律探究，仔细观察图形的变化，找到图形旋转的规律，每四次旋转一周，利用规律求解即可．
【详解】解：观察图形发现：每四次旋转一周，
∵，
∴第次旋转后和开始时一样，
故选：D．
3．（25-26九年级上·四川·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________．
【答案】4
【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意得到滚动1，2，3，4，5次后，骰子朝上一面的点数，可得每滚动4次为一个循环，再由，即可求解．
【详解】解： 滚动1次后，骰子朝上一面的点数是5，
滚动2次后，骰子朝上一面的点数是4，
滚动3次后，骰子朝上一面的点数是2，
滚动4次后，骰子朝上一面的点数是3，
滚动5次后，骰子朝上一面的点数是5，
……
∴每滚动4次为一个循环，
∵，
∴连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是4．
故答案为：4
4．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则______．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出的长，观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时；
将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；
将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时；
由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环，
又∵，
∴．
求绕原点旋转一定角度的点的坐标题型02
1．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化和旋转求出旋转后与轴夹角为，然后求出点的横坐标与纵坐标，从而得解．
【详解】如图，
三角板绕原点顺时针旋转，
旋转后与轴夹角为，
，
，
点的横坐标为，
纵坐标为，
所以，点的坐标为．
故选：C．
2．在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作轴于点，可得是等腰直角三角形，，又根据旋转得，点落在轴的正半轴上，进而即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴于点，则，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∵将点绕原点按顺时针方向旋转到，
∴，点落在轴的正半轴上，
∴．
3．在平面直角坐标系xOy中，以原点为中心，将点按顺时针方向旋转，得到的点Q所在的位置是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上
【答案】D
【分析】过点作轴，垂足为，根据垂直定义可得，再根据点的坐标可得，然后利用等腰直角三角形的性质可得，从而利用平角定义可得，即可解答．
【详解】解：如图：过点作轴，垂足为，
∴，
∵点，
∴，
∵，
∴，
∴以原点为中心，将点按顺时针方向旋转，得到的点所在的位置在轴上，
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点A在第一象限，点在轴正半轴上，，若将菱形绕点顺时针旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】如图：作轴于H点，连接，根据菱形的性质得到，再根据旋转的性质得，则，所以为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得，然后根据第四象限内点的坐标特征写出点的坐标．
【详解】解：如图：作.轴于H点，连接，作轴于D点，
∵四边形为菱形，
∴平分，
∴=30°，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∵菱形绕原点O顺时针旋转至第四象限的位置，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴点的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、菱形的性质、坐标与图形变化-旋转等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键．
5．点的坐标为，现将线段绕着点逆时针旋转60°得到线段，则坐标为________．
【答案】
【分析】先过点作辅助线轴，根据已知条件求得，，因此旋转后点恰好落在轴上，然后即可求解．
【详解】如图，过点作轴．∵，∴，，由勾股定理可知，，将绕着点逆时针旋转60°后，点恰好落在轴上，且，∴．
故答案为：．
【点睛】本题结合坐标轴考查旋转的性质、勾股定理等知识，判断旋转后点恰好落在轴上是解题关键．
坐标与旋转规律问题题型03
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可．
【详解】解：，
．
将矩形绕点O逆时针旋转，如图
可知：，…，
则：每旋转4次则回到原位置，
，
即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同，
的坐标为．
故选：D．
2．（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，已知等边三角形，顶点，，将绕原O点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化− 旋转，解题的关键是掌握图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．由点A的旋转周期为6知点A 旋转 2025 次后的坐标与旋转3次后的坐标相同，再结合图形得出点A 旋转3次后的坐标即可得．
【详解】解：∵，
∴点A旋转6次回到原始位置，
∵，
∴第2025次绕原点O顺时针旋转结束时，相当于绕点O顺时针旋转3次，
由题意，旋转3次的位置如图所示：过A作轴于H，
由题意知：，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】研究图形旋转的规律，每三次旋转为一个周期，相当平移一个三角形的周长12个单位，说明三个循环直角回坐标轴上，三角形⑩和三角形①的状态一样．
【详解】∵对连续作如图所示的旋转变换，
∴每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了个单位，
而，
∴三角形⑩和三角形①的状态一样，
则三角形⑩与三角形⑨的直角顶点相同，
∴三角形⑩的直角顶点的横坐标为，纵坐标为0．
三角形⑩的直角顶点的坐标为：．
故选：B．
【点睛】本题考查图形旋转规律探索题涉及点的坐标，旋转与平移关系，掌握点的坐标的求法，会用旋转与平移关系解释旋转规律是解题关键．
4．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为（3，0），点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点的坐标为_________.
【答案】（6058，1）
【分析】首先求出P1～P5的坐标，探究规律后，利用规律解决问题．
【详解】解：第一次P1（5，2），
第二次P2（8，1），
第三次P3（10，1），
第四次P4（13，2），
第五次P5（17，2），
…
发现点P的位置4次一个循环，
∵2019÷4=504…3，
P2019的纵坐标与P3相同为1，横坐标为12×504+10=6058，
∴P2019（6058，1），
故答案为（6058，1）．
【点睛】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．
5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数的图象记为，它与轴的交点为、．将绕点旋转180°得到，点的对称点为；将绕点旋转180°得到，点的对称点为；……，按此方法操作，直至得到．若在上，则的值为_________．
【答案】
【分析】求出抛物线与x轴的交点坐标，观察图形知第偶数号抛物线都在x轴上方，然后求出到抛物线平移的距离，再根据平移时横坐标“左加右减”表示出的解析式，然后把代入计算即可．
【详解】解：令y=0，则
解得
∴A1(2，0)，
由图知抛物线在x轴的上方，相当于抛物线向右平移4×=36个单位得到，再将绕点A19旋转180°得到，
∴抛物线=-(x-36-2)(x-36-2-2)=-(x-38)(x-40)，
∵在上，
∴n=-(-38)(-40)=
故答案为．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系下的二次函数图像旋转和平移变换后的函数关系式的确定方法．解题的关键是注意数形结合．
线段问题(旋转综合题)题型04
1．如图，在中，，，．将绕点旋䌸得，分别取，的中点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、三角形中位线的性质、三角形三边关系、勾股定理，利用勾股定理求出的长，由旋转的性质可得：，，，利用中位线的性质可求，，再根据三角形的三边关系即可求出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，取的中点，连接、，
，
∵，，，
∴，
由旋转的性质可得：，，，
∵点、、分别是、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，
当点、、不共线时，，即，
当点在线段上时，，
当点在线段上时，，
综上所述，，
故选：A．
2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________．
【答案】2
【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，垂线段最短．正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取，连接，过点D作于点E，证明，得出，结合垂线段最短可知当点P与点E重合时，最短，即最小，且为的长．最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：在上截取，连接，过点D作于点E，如图，
∵，，
∴．
由旋转可知，，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∴当最短时，最小．
∵垂线段最短，
∴当点P与点E重合时，最短，即为的长．
∵，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴线段的最小值为2．
故答案为：2．
3．如图，点，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接，则的最小值是_______．
【答案】
【分析】过点C作轴交x轴于D，设，利用一线三垂直模型证明推出，根据勾股定理表示出，然后根据二次函数的性质求解即可．
【详解】解：如图所示，过点C作轴交x轴于D，
设，
由旋转的性质可得，，
，
，
又，，
，
，
，，
，
，
，
，
∵
∴抛物线开口向上
∴当时，有最小值2
∴的最小值是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理等等，二次函数的性质，根据题意表示出是解题的关键．
4．（2025·安徽安庆·三模）如图，，，点D是上一点（），连接，将绕点A逆时针旋转得到，M为的中点，，的延长线相交于G，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
【答案】(1)
证明：，，
．
由旋转可知，，，
，
，
，
；
(2)
证明：，，
，
．
为的中点，
，，
，
．
，
，
，
，
．
(3)
【分析】（1）证明，推出，即可证明；
（2）利用两对角分别相等，证明，即可得到；
（3）在上取点N，使，连接．证明，推出，，利用等角的余角相等求得，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图，在上取点N，使，连接．
，M为的中点，
．
，，
，
，，
．
，
，
．
，
，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质，图形的旋转变换及其性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
5．小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．
小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．
(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．
【答案】(1)90°，；
(2)
EF=BE＋FD；
理由如下：
如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，
∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG，
∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上．
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，
即∠GAF＝∠EAF．
在△AEF和△AGF中，
∴△AEF≌△AGF，
∴EF＝FG
∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF，
∴EF＝BE＋FD
【分析】（1）根据旋转的性质，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的长；
（2）将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，证明点F，D，G在同一条直线上，进而证明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可证明EF＝BE＋FD．
【详解】（1）解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，
∴
在中，
BD＝3，CE＝1，
故答案为：90°；
（2）略
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，掌握性质的性质是解题的关键．
面积问题(旋转综合题)题型05
1．如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【分析】根据正方形的性质得出，，，推出，证出≌，即可求出两个正方形重叠部分的面积．
【详解】
解：四边形和四边形都是正方形，
，，，
．
在与中，
，
≌，
，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，能推出四边形的面积等于三角形的面积是解此题的关键．
2．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设与交于点E．由于阴影部分的面积，又，所以关键是求．为此，连接．根据易证，得出．在直角中，由正切的定义得出．再利用三角形的面积公式求出．
【详解】解：设与交于点E，连接．
在与中，，
，
∴（），
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
3．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC=______．
【答案】6+4
【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，根据旋转的性质可得∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′=BP=4=PP'，再由勾股定理的逆定理可得△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．
【详解】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△BP'A，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′=∠CBA=60°，BP=BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′=BP=4=PP'；
过点P作PD⊥BP′于点D，
∴BD=BP′=2，
由勾股定理得PD=2，
∴S△BP'P=×BP'×PD=4；
由旋转的性质可知，AP′=PC=5，
在△BPP′中PP′=4，AP=3，
由勾股定理的逆定理得△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP'BP=S△BP'P+S△AP'P=4+×PP'×AP=6+4，
故答案为：6+4．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
4．如图，已知在中，，，，现将绕点顺时针旋转到，连接，则的面积为________．
【答案】8
【分析】过点作于，通过同角的余角相等得到，再根据证明，最后根据全等三角形的性质、三角形的面积公式求出的面积．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转到，
，，
过点作于，如图所示，
，，
，，
，
在和中，
，
，，
．
5．综合与探究
以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动．
提出问题
（1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________；
问题探究
（2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示）
解决问题
（3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积．
【答案】（1）2；（2）；（3）25．
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答；
（2）过点作，交的延长线于点，先证出，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的面积公式即可解答；
（3）过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，最后根据三角形的面积公式即可解答．
【详解】解：（1）∵正方形的边长为2，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的面积为；
（2）过点作，交的延长线于点，
∵四边形是矩形，
∴
∴
由旋转的性质得：，
∴，
∴
在和中
∴（）
∴
则的面积为
（3）过点作，交的延长线于点，
过点作，交的延长线于点，
∵，，
∴
∵，
∴，
由旋转的性质得：，
在和中
∴（）
∴
∵，
∴是等腰三角形，
∴是的中点，
∵
∴
则的面积为
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
角度问题(旋转综合题)题型06
1．如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当_____时，为等腰三角形．
【答案】或
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理和三角形外角的性质，根据旋转的性质可得：，根据等边对等角可知：，再表示出，根据三角形外角的性质可表示出，然后分①，②，③三种情况讨论求解即可．
【详解】解：由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴
根据三角形的外角性质可得： ，
是等腰三角形，分三种情况讨论：
①当时，则， ，此时无解；
②当时，则，，解得：；
③当时，则，，解得：；
综上所述，旋转角度数为或，
故答案为：或．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点．
(1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ；
(2)请你求出的度数．
【答案】(1)，顺，
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，旋转等知识点，掌握相关结论即可；
（1）由图即可求解；
（2）设与交于点，证即可；
【详解】（1）解：由图可知：可以看作是由旋转得到，其旋转中心是点，旋转方向是顺时针．旋转角的度数是；
（2）解：设与交于点,
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
根据三角形的外角的性质可知，
∴．
3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)若，则 ；
(2)求证：；
(3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数．
【答案】(1)6；
(2)
证明：如图1，延长交的延长线于点，
绕点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
(3)
【分析】（1）首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出；
（2）延长交的延长线于点，同(1)方法证明，得，进而可以解决问题；
（3）如图2，在上取点，使，连接，证明，得， ，设，，得，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解决问题．
【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，，，，，
在和中，
，
，
，
故答案为：6；
（2）略
（3）解：如图2，在上取点，使，连接，
，，
，
，，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形．
4．如图，P是等边内的一点，且，将绕点B逆时针旋转，得到．
(1)旋转角为_____度；
(2)求点P与点Q之间的距离；
(3)求的度数；
(4)求的面积．
【答案】(1)60
(2)4
(3)150°
(4)9．
【分析】（1）根据△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到，可知∠ABC为旋转角即可得出答案，
（2）连接PQ，根据等边三角形得性质得∠ABC＝60°，BA＝BC，由旋转的性质得BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，于是可判断△PBQ是等边三角形，所以PQ＝PB＝4；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，再加上∠BPQ＝60°，然后计算∠BPQ+∠QPC即可．
（4）由直角三角形的性质可求CH，PH的长，由勾股定理和三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴旋转角为60°
故答案为：60；
（2）连接PQ，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°；
（4）如图2，过点C作CH⊥BP，交BP的延长线于H，
∵∠BPC＝150°，
∴∠CPH＝30°，
∴CHPC，PHHC，
∴BH＝4，
∴BC2＝BH2+CH2，
∵S△ABCBC2，
∴S△ABC）9．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是本题的关键．
5．已知是等边三角形．
(1)将绕点A逆时针旋转角θ（），得到，和所在直线相交于点O．
①如图a，当时，与是否全等？___ （填“是”或“否”），___ 度；
②当旋转到如图b所在位置时，求的度数；
(2)如图c，在和上分别截取点和，使， ，连接，将绕点A逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点O，请利用图c探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．
【答案】(1)①是；120；②
(2)当时，；当时，点与点重合；当时，
【分析】（1）①根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得，，然后利用“边角边”证明与全等；根据三角形的内角和等于求出与的度数，再根据旋转角为求出的度数，然后利用四边形的内角和公式求解即可；②先利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用四边形的内角和等于推出，从而得解；
（2）先求出，证明是等边三角形，再根据旋转变换的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形的内角和定理求出的度数，然后分与两种情况求解．
【详解】（1）解：①是由绕点旋转得到，是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
；
，
，，
又，
在四边形中，；
②由已知得：和是全等的等边三角形，
，，
是由绕点旋转得到的，
，
，
，
，
，
，，
，
；
（2）解：如图，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
是等边三角形，
根据旋转变换的性质可得，，
在和中，
，
，
，
，
当时，；
当时，点与点重合，无，
∵，
∴，
连接，
在中，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴，即B、D、E三点共线，
∴无；
当时，．
【点睛】本题以等边三角形旋转为载体，核心依托“”全等证明传递角的等量关系，结合四边形或三角形内角和推导目标角度；第2问先进行推导得到等边，再通过全等推导出，最后分类讨论旋转角的范围，得出的不同情况，充分体现了旋转不变性、分类讨论与数形结合的几何解题思想．
其他问题(旋转综合题)题型07
1．如图，的顶点在网格的格点上，将绕格点顺时针旋转，使旋转后的三角形的顶点也在格点上，且与成轴对称，则符合条件的角的个数为（ ）
A．1个 B．3个 C．6个 D．8个
【答案】B
【分析】根据旋转变换，轴对称的定义，画出图形，利用图象法即可解决问题，连接，，确定运动轨迹在同一个圆上后，找出圆和格点的交点，补全三角形，再判断旋转前后的图形是否成轴对称．
【详解】解：由题图可知，是等腰三角形，当绕格点顺时针旋转时，旋转后的三角形都与成轴对称，由网格可知，，
∴当绕格点顺时针旋转时，点的运动轨迹在同一个圆上，
如图，连接，，当旋转或或时，旋转后的三角形的顶点在格点上，
∴满足条件的角的度数为或或，故个数为3个，
2．（25-26九年级上·四川德阳·期中）把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的平移和旋转．先通过平移变换得到新抛物线的解析式，再根据绕原点旋转的性质，确定旋转后的顶点坐标和开口方向，从而得出解析式．
【详解】解：把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，解析式为；
∵绕原点旋转，顶点变为，开口方向由向上变为向下，
∴旋转后的解析式为．
故选：A．
3．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转变化，解直角三角形，求点的运动轨迹，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据旋转角度画出图形，在变化的过程中，Q点从点运动到与垂直时，与的交点处，进行计算即可得到答案．
【详解】解：当从到的变化过程中，如图所示，
，
，
当时，点从点开始向方向运动，
当时，的移动到最大距离，
此时，
在中，，
，
，
当时，点开始离开点向点方向运动，
当时，点停止运动，
在中，，
，
点返回运动的路径长为，
点Q移动的路径长为，
故答案为：．
4．随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75）
【答案】（1）[2，45°]；（2）[2.5，98°]．
【分析】（1）求出∠AOB与OA的大小即可得解；
（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，根据勾股定理可以求得PC的值，然后根据锐角三角函数的定义可以得到∠DAC的值，从而得到答案．
【详解】解（1）作AB⊥x轴，
∵A（2，2），
∴OA=2，
∴∠AOB=45°，
∴给机器人发的指令为：[2，45°]；
（2）作AC=PC，设PC=x，则BC=4-x，
在Rt△ABC中：，
解得x=2.5，
又∵tan∠BAC=，
∴∠BAC=37°，
∵∠OAB=45°，
∴∠OAC=37°+45°=82°，
∴∠DAC=180°-82°=98°，
∴输入的指令为[2.5，98°]．
【点睛】本题考查新定义下的实数运算及旋转的综合应用，在给定的定义框架下利用勾股定理及锐角三角函数求解是解题关键．
5．（24-25九年级上·河南郑州·期末）课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页）
问题解决你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？
（1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形．
小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形．
(1)动手操作
小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______．
(2)探究发现
小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，．
①求的面积；
②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度．
【答案】(1)平行于且
(2)①；②或
【分析】（1）根据三角形中位线定理求解，即可解题；
（2）①根据题意设，则，利用勾股定理建立方程求出，，进而得到，，再根据三角形面积公式求解，即可解题；
②根据与一边平行分情况讨论当时，当时，结合平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理进行求解，即可解题．
【详解】（1）解：、边的中为点、，
与的位置关系为平行，数量关系为，
平行于且等于的一半，
故答案为：平行于且．
（2）解：（2）①，．
设，则，
，
，
，
解得，
，，
、边的中为点、，
，，
的面积为；
②、、在同一直线上，
与不平行；
旋转过程中，记的对应点为，
当时，
四边形为矩形，
，
，
，的面积为，
，
，
，
，
，
由旋转的性质可知，，，
，
；
当时，作于点，
，
，
，
由旋转的性质可知，，，，，
，
，
四边形为矩形；
，，
，
；
综上所述，的长度为或．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行线性质，旋转的性质，矩形的判定与性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题．
1/1
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分层作业
24.1旋转-图形的旋转
A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高
目 录
A组 巩固过关
题型01 判断生活中的旋转现象
题型02 判断由一个图形旋转而成的图案
题型03 找旋转中心、旋转角、对应点
题型04 根据旋转的性质求解
题型05 根据旋转的性质说明线段或角相等
题型06 旋转的性质及辨析
题型07 画旋转图形
题型08 旋转对称图形的识别
题型09 求旋转对称图形的旋转角度
题型10 求绕原点旋转90度的点的坐标
题型11 坐标系中的旋转
题型12 利用旋转设计图案
题型13 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
题型14 说出一个图形到另一个图形的运动过程
题型15 按图形的变换要求画出另一个图形
B组 能力进阶
题型01 求旋转中心的个数
题型02 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标
C组 思维拔高
题型01 旋转中的规律性问题
题型02 求绕原点旋转一定角度的点的坐标
题型03 坐标与旋转规律问题
题型04 线段问题(旋转综合题)
题型05 面积问题(旋转综合题)
题型06 角度问题(旋转综合题)
题型07 其他问题(旋转综合题)
判断生活中的旋转现象题型01
1．（25-26九年级·期中）下列情境属于旋转的是（ ）
A．电流表指针来回摆动 B．滑动变阻器的滑片来回移动
C．热气球缓慢上升 D．打针时推动针管
2．有以下现象：①荡秋千；②雪橇在雪地里滑动；③传送带传送物品；④雨刮器来回摆动．其中属于旋转的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（ ）
A．顺时针 B．逆时针
C．顺时针或逆时针 D．不能确定
4．日常生活中，我们经常见到以下情景：①钟表指针的转动；②汽车方向盘的转动；③打气筒打气时，活塞的运动；④传送带上瓶装饮料的移动．其中属于旋转的是_______．（请填写序号）
5．吊扇在运转过程中，相同的时间内吊扇上每个点运动的路程是否都一样？
判断由一个图形旋转而成的图案题型02
1．下列图形中，不能由图形M经过一次平移或旋转得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26七年级·江苏南京·质检）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
3．观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的．
4．图中的图形均可以由“基本图案”通过变换得到.(填序号)
(1)通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是__;
(2)可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是__;
(3)既可以由平移变换,也可以由旋转变换得到的图案是__.
找旋转中心、旋转角、对应点题型03
1．如图，将绕着点顺时针旋转得到，若，，则旋转的角度是( )
A．15° B．30° C．45° D．75°
2．（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级上·上海·期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，右脚正确的动作应是以________（填“脚跟”或“脚尖”）为旋转中心，沿着________（填“顺”或“逆”）时针方向旋转________度．
4．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，线段绕某点经过旋转后得到（点A与点C对应），则旋转角为____．
5．如图所示，是直角三角形，延长到，使，在上取，连接，旋转后能与重合，那么：
(1)旋转中心是哪一点？（直接写出即可，不用写理由）
(2)旋转角是多少度？（直接写出即可，不用写理由）
(3)与的位置关系怎样？并说明理由．
根据旋转的性质求解题型04
1．钟表的时针和分针在日夜不停地旋转，当分针旋转一周时，时针转过的角度是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图是由绕点顺时针旋转得到的，若____________________．
3．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为16，DE=1，则AE=____．
4．如图，点E是正方形内的一点，连接、、，将绕点B顺时针旋转到的位置，连接，的长为．
(1)求的长；
(2)若，求的度数．
5．（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ．
【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．
根据旋转的性质说明线段或角相等题型05
1．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接E，F．给出下列五个结论：①AP=EF；②PD=EC；③∠PFE=∠BAP；④△APD一定是等腰三角形；⑤AP⊥EF．其中正确结论的序号是_____．
2．如图，绕点A按逆时针方向旋转到，连接，，写出一个与相等的角是：__________．
3．（24-25八年级下·山西运城·期末）如何将任意一个大三角形分成四个全等的小三角形，如何通过剪拼的方式将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形．
如图1，在中，点D，E，F分别是边的中点，连接，，，这样就得到了四个全等的小三角形．这是利用三角形中位线定理以及判定三角形全等的基本事实就可以比较容易地证明四个小三角形全等．
如图2，在中，点D，E分别是边的中点，连接，将绕点①______按顺时针方向旋转到的位置，这样就得到了一个与面积相等的平行四边形，请在图2中用几何符号表示三角形中位线定理：______．
(1)把①，②处的内容写出来；
(2)把小明和小甜分别证明图2中的四边形是平行四边形的过程补充完整．
小明的证明过程如下：
∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴，，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，
∴________，，
∴四边形是平行四边形（______）；
小甜的证明过程如下：
∵绕点①按顺时针方向旋转到的位置，
∴，
∴，，
∵点D，E分别是边的中点，
∴，是三角形的______，
∴，
∴______，，
∴四边形是平行四边形（______）．
4．已知如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC边上一点，CE=CF.
（1）∠FDC=∠EBC，相等吗？
（2）△DCF能与△BCE重合吗？
（3）BE与DF垂直吗？
5．如图1，，分别是正方形的边，上的动点，且满足，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
小聪同学的想法：将顺时针旋转，得到，然后通过证明三角形全等可得出结论．
请你参考小聪同学的思路完成下面的问题．
(1)线段，，之间的数量关系是______．
(2)如图2，在正方形中，，连接，分别交，于点，，试判断线段，，之间的数量关系，并说明理由．
旋转的性质及辨析题型06
1．如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
2．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将按顺时针方向旋转后成为，则下列说法错误的是（ ）
A．旋转中心是点 B．旋转角等于
C． D．
3．一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（ ）．
①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连结，则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③平分；④．正确的是______．
5．图形的旋转
（1）旋转：在平面内，将一个图形绕一个________________按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点称为________________，转动的角称为________________．
（2）旋转的性质
①旋转不改变图形的形状和大小；
②对应点到旋转中心的距离________________；
③任意一组对应点与________________的连线所成的角都等于旋转角；
④对应线段________________，对应角________________．
画旋转图形题型07
1．如图，在方格纸中，将绕点按顺时针方向旋转90°后得到，则下列四个图形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，于点D，为锐角．
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，过点C作于点F，连接EF，BE，若，求的值．
3．如图，长方形是长方形绕点O按顺时针方向旋转后得到的，请画出旋转前的长方形．
4．网格中的三个顶点的位置如图所示，现将平移，使点A变换为点，点分别是B、C的对应点．
(1)请画出平移后的（不写画法）；
(2)将绕点顺时针旋转，画出旋转后的（不写画法）
(3)求的面积．
5．在下图中，画出线段绕点A按顺时针方向旋转后的线段．
旋转对称图形的识别题型08
1．以下生活用品中，不属于旋转图形的是（ ）
A．大红“双喜字” B．三张叶片电风扇
C．四叶风车 D．红五星
2．如果一个四边形绕对角线的交点旋转，所得四边形与原四边形重合，那么这个四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
3．在等腰三角形、平行四边形、等腰梯形、五角星及圆中共有_____个旋转对称图形.
求旋转对称图形的旋转角度题型09
1．（25-26八年级上·河北邢台·联考）风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个标准的五角星，若将它绕旋转中心旋转一定角度后能与自身重合，则至少应将它旋转的度数是
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）如图，已知点O是等边三角形三条高的交点，现将绕点O旋转，使其和重合，则至少应旋转（ ）
A． B． C． D．
4．如图，这个图形是由“基本图案”绕着点顺时针依次旋转____________次得到的，每次旋转的角度为____________．
5．如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转_________度与它本身重合．
求绕原点旋转90度的点的坐标题型10
1．（24-25八年级上·山东淄博·月考）已知点的坐标为，将线段绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级·辽宁葫芦岛·月考）如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山东·模拟）如图，把直角坐标系放置在边长为的正方形网格中，是坐标原点，点、、均在格点上，将绕点按逆时针方向旋转后，得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，已知点，将点A绕原点O旋转得到点B，则点B的坐标是__________．
5．（25-26八年级下·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，，将绕原点O顺时针旋转得到（分别是A，B的对应点）．
(1)在图中画出，点的坐标为 ；
(2)若点位于内（不含边界），点为点M绕原点O顺时针旋转的对应点，直接写出的纵坐标n的取值范围．
坐标系中的旋转题型11
1．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的横、纵坐标均为整数，可由绕点旋转得到，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点按逆时针方向旋转，再向下平移得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．直线交轴于，交轴于，直线绕原点顺时针旋转后的直线解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．综合运用
如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，以，为邻边构造矩形，以点A为旋转中心，顺时针旋转矩形(旋转角为α，)，得到矩形，点B，C，O的对应点分别为点D，E，F．连接，，．
(1)当点F在线段上时，求的度数；
(2)当点B在直线上时，求点F的坐标；
(3)当与矩形的任意一条边垂直时，求的面积．
利用旋转设计图案题型12
1．（25-26九年级上·期末）下面图形不能通过旋转变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）很多优美的图案可以通过旋转得到，下列图案中，可以由一个“基本图案”连续旋转得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到的（ ）
A．三分之一，平移 B．四分之一，平移
C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转
4．抽象能力在数学活动课上，李老师要求同学们在边长为1的正方形方格纸中画出一个“风车”图案．
小红同学的做法如下：如图①，把一个三角形按顺时针方向旋转，连续旋转三次，形成有四个叶片的“风车”图案．类似地，把一个梯形按顺时针方向旋转，连续旋转三次，形成如图②所示的有四个叶片的“风车”图案．
请你仿照小红同学的做法，在备用图中画一个新的有四个叶片的“风车”图案，使得“风车”的四个叶片的面积与图②的四个叶片的面积相同，并直接写出图①、图②阴影部分的面积．
利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案题型13
1．（25-26七年级·广东汕尾·期中）通过图形变换来设计图案是常用方法，下列四幅图案在设计中用到平移变换方式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．下列图片中，哪些是由图片（1）分别经过平移和旋转得到的（ ）
A．（3）和（4） B．（2）和（3） C．（2）和（4） D．（4）和（3）
4．下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
说出一个图形到另一个图形的运动过程题型14
1．（24-25七年级下·江苏徐州·期中）如图，已知甲、乙两个图案形状、大小完全相同，通过怎样的运动变换可以使它们重合？（ ）
A．轴对称 B．平移 C．旋转 D．轴对称、平移
2．如图所示，图形①经过________变换得到图形②；图形①经过________变换得到图形③；图形①经过________变换得到图形④(填“平移”“旋转”或“轴对称”)．
3．（26-27九年级上·福建厦门·月考）如图，是正方形内一点，以为一边作正方形，使，，在的同旁，连接和，请描述与经过怎样的旋转可以重合：_______________________．
4．（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，等边经过平移或轴对称或旋转都可以得到．
(1)沿轴向右平移得到，则平移的距离是________个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是________；绕原点顺时针旋转得到，则旋转角度可以是________度．
(2)连接，交于点，求的长．
按图形的变换要求画出另一个图形题型15
1．已知在中，，将绕点B顺时针旋转，得到，请仅用无刻度的直尺，按要求画图．
(1)在图1中，画一个等边三角形；
(2)在图2中，画一个等腰直角三角形．
2．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，．
(1)在图中画出，使得与关于点对称；
(2)在（1）的基础上，画出绕点逆时针旋转后的，并直接写出点的坐标．
3．如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)按下列要求作图：
①将向左平移6个单位得到；
②将绕点逆时针旋转后得到；
(2)与重叠部分的面积为________（直接写出答案）．
求旋转中心的个数题型01
1．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
2．如图，每次旋转都以图中的A、B、C、D、E、F中不同的点为旋转中心，旋转角度为k•90°（k为整数），现在要将左边的阴影四边形正好通过n次旋转得到右边的阴影四边形，则n的值可以是（ ）
A．n＝1可以，n＝2，3不可 B．n＝2可以，n＝1，3不可
C．n＝1，2可以，n＝3不可 D．n＝1，2，3均可
3．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个．
4．如图，四边形和四边形都是正方形．
(1)正方形旋转后能与正方形重合吗？
(2)在图形所在的平面上，要使两个正方形经过一次旋转后重合，可作旋转中心的点有哪几个？
求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标题型02
1．（25-26九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，将线段绕点A顺时针旋转得线段，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·河北沧州·期中）如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点顺时针旋转90°至，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）在平面直角坐标系中，点绕点顺时针旋转后的点的坐标是______．
5．对于平面直角坐标系中的图形和点，给出如下定义：将图形绕点顺时针旋转得到图形，图形称为图形关于点的“垂直图形”例如，图中点为点关于点的“垂直图形”．
(1)点A关于原点的“垂直图形”为点．
若点A的坐标为，则点的坐标为___________；
若点的坐标为，则点的坐标为___________；
(2)，，，线段关于点的“垂直图形”记为，点的对应点为，点的对应点为．
求点的坐标（用含的式子表示）；
若的半径为上任意一点都在内部或圆上，直接写出满足条件的的长度的最大值．
旋转中的规律性问题题型01
1．如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A． B． C． D．
2．如下图，将图形以点为旋转中心，每次按顺时针方向旋转，依次得到其他图形，则第次旋转后得到的图形是( )
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·四川·期末）已知，图①正方体骰子的平面展开图为图②，把图①向右滚动，如图③，再继续向右滚动……，按此规律连续滚动2026次后，骰子朝上一面的点数是_____________．
4．（25-26八年级下·贵州毕节·期中）如图，在中，，，在直线上，将绕点按顺时针方向旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点按顺时针方向旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则______．
求绕原点旋转一定角度的点的坐标题型02
1．将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．在直角坐标系中，将点绕原点按顺时针方向旋转到，则的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系xOy中，以原点为中心，将点按顺时针方向旋转，得到的点Q所在的位置是（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．x轴上 D．y轴上
4．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边长为2，点A在第一象限，点在轴正半轴上，，若将菱形绕点顺时针旋转，得到四边形，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．点的坐标为，现将线段绕着点逆时针旋转60°得到线段，则坐标为________．
坐标与旋转规律问题题型03
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·广西玉林·期中）如图，已知等边三角形，顶点，，将绕原O点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为（3，0），点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2019次后，则点的坐标为_________.
5．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，将函数的图象记为，它与轴的交点为、．将绕点旋转180°得到，点的对称点为；将绕点旋转180°得到，点的对称点为；……，按此方法操作，直至得到．若在上，则的值为_________．
线段问题(旋转综合题)题型04
1．如图，在中，，，．将绕点旋䌸得，分别取，的中点，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，，，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长的最小值为_______________．
3．如图，点，P为x轴上一动点，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接，则的最小值是_______．
4．（2025·安徽安庆·三模）如图，，，点D是上一点（），连接，将绕点A逆时针旋转得到，M为的中点，，的延长线相交于G，与相交于点F．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
5．小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长．
小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．
(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．
面积问题(旋转综合题)题型05
1．如图，正方形和正方形的边长都是，正方形绕点旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP，BP，CP，若AP=3，BP=4，CP=5，则S△ABP+S△BPC=______．
4．如图，已知在中，，，，现将绕点顺时针旋转到，连接，则的面积为________．
5．综合与探究
以“图形的旋转与面积”为主题开展下列数学活动．
提出问题
（1）如图①，将边长为2的正方形的对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点作，交的延长线于点，易证，得到的面积为________；
问题探究
（2）如图②，在矩形中，，将对角线绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积：（用含的代数式表示）
解决问题
（3）如图③，在锐角三角形中，，将边绕点顺时针旋转得到线段，连接，求的面积．
角度问题(旋转综合题)题型06
1．如图所示，在中，，，将绕点C逆时针旋转得．若交于点F，当_____时，为等腰三角形．
2．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，，，三点不共线，和都是等边三角形，与交于点．
(1)可以看作是由旋转得到，其旋转中心是 点，旋转方向是 时针．旋转角（小于平角）的度数是 ；
(2)请你求出的度数．
3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
(1)若，则 ；
(2)求证：；
(3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数．
4．如图，P是等边内的一点，且，将绕点B逆时针旋转，得到．
(1)旋转角为_____度；
(2)求点P与点Q之间的距离；
(3)求的度数；
(4)求的面积．
5．已知是等边三角形．
(1)将绕点A逆时针旋转角θ（），得到，和所在直线相交于点O．
①如图a，当时，与是否全等？___ （填“是”或“否”），___ 度；
②当旋转到如图b所在位置时，求的度数；
(2)如图c，在和上分别截取点和，使， ，连接，将绕点A逆时针旋转角（），得到，和所在直线相交于点O，请利用图c探索的度数，直接写出结果，不必说明理由．
其他问题(旋转综合题)题型07
1．如图，的顶点在网格的格点上，将绕格点顺时针旋转，使旋转后的三角形的顶点也在格点上，且与成轴对称，则符合条件的角的个数为（ ）
A．1个 B．3个 C．6个 D．8个
2．（25-26九年级上·四川德阳·期中）把抛物线向左平移4个单位，再向下平移2个单位，再绕原点旋转所得的抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图1，含和角的两块三角板和叠合在一起，边与重合，cm，点为边的中点，边与相交于点，现将三角板绕点按逆时针方向旋转角度（如图2），设边与相交于点Q，则当从到的变化过程中，点Q移动的路径长为______．
4．随着科学技术的发展，机器人早已能按照设计的指令完成各种动作．在坐标平面上，根据指令[S，α]（S≥0，0°＜α＜180°）机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其对面方向沿直线行走距离s．
（1）如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点A（2，2），则给机器人发出的指令应是什么；
（2）机器人在完成上述指令后，发现在P（6，0）处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球滚动的速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器人原地旋转的时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球．（如图，点C为机器人最快截住小球的位置，角度精确到度；参考数据：sin49°≈0．75，cos37°≈0．80，tan37°≈0．75）
5．（24-25九年级上·河南郑州·期末）课本再现（北师大版九年级上册第29页~30页）
问题解决你能通过剪切和拼接下列图形得到一个矩形吗？在这些剪拼的过程中，剪下的图形是经过怎样的运动最后拼接在一起的？
（1）平行四边形；（2）三角形；（3）菱形．
小涵所在的学习小组对课本上的这道题进行了分工合作，小涵的任务是把三角形纸片剪拼得到一个矩形．
(1)动手操作
小涵任意剪了一个三角形纸片，他分别找到、边的中点、，连接．分别过点、作边的垂线、，垂足为、．再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图1）．则与的关系为：______．
(2)探究发现
小涵在动手操作的基础上发现，也可以过点作于点，再将和分别绕点、旋转，即可得到矩形（如图2）．小涵通过测量发现，，．
①求的面积；
②在绕点顺时针旋转的过程中，点的对应点为，若与一边平行时，请直接写出此时的长度．
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