专题10 动角问题（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题10 动角问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断角的数量关系 题型二、求运动时间 题型三、定值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 角的动态问题是初中几何与代数综合的核心重难点，涵盖求旋转时间、定值探究、数量关系判断三大类题型，所有问题均围绕射线位置随时间（或角度）变化、角的度数的代数表示、运动过程中的分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有动射线、动角的位置必须用含参数的代数式准确表示，二是涉及射线重合、成指定夹角、角平分线等关系时必须考虑运动阶段和位置分类，所有结果最终均需检验参数的有效范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断角的数量关系 典例1 【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，已知，作，（α，β都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；；② (2)．理由如下： ∵； ∴； (3)或或 【分析】（1）①当时，根据互余关系得出，根据得出，当时，得出，根据互余关系得出即可求解；②根据，即可得出； （2）根据（1）的方法得出，即可求解； （3）分4种情况讨论，即①在上方时，②在内部，③在内部，④在下方，分别画出图形，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：①当时， ∵， ∴ ∵， ∴； 当时， ∵， ∴ ∵， ∴． ②∵ ∴； 即 （2）略 （3）解：①在上方时， ∴； ②在内部， 同理可得：； ③在内部， ； ④在下方， ． 综上所述，或或． 题型模版 一、题型特征 题干给出一个固定角（或平角、周角），一条或多条射线从顶点出发，以一定角速度绕顶点旋转，要求在旋转过程中判断某些角之间的数量关系（如倍数、和差、互补、互余），或求满足特定数量关系的旋转时间。核心特征是"射线转动→角的大小随时间变化→建立含时间的角的代数式"，解题关键是用含时间 的代数式表示各角的度数，再根据数量关系列方程或化简证明。 二、解题方法 画图标注初始状态：画出角的示意图，标出固定边、旋转射线、初始角度、旋转方向和角速度（如每秒转 k°）。 设旋转时间为 ：通常设旋转时间为 秒，注意 。 用 表示各角的度数： 若射线 从 出发以 k°/s 的速度逆时针旋转，则 秒后 。 若射线在固定角内部旋转，需考虑是否超出边界；若在外部旋转，角度可能超过 180°，需取小于 180° 的角（通常题目默认指小于平角的角）。 若多条射线同时旋转，分别用 表示每条射线转过的角度，再根据位置关系求夹角。 根据数量关系列方程或化简： 求某时刻的角：直接将 代入表达式。 两角成倍数关系：如 ，列方程求解 。 两角互补/互余：令两角之和等于 180° 或 90°，列方程求解。 证明数量关系为定值：将两角的代数式作差或作比，化简后若 消去，则关系恒成立。 分类讨论（核心）：射线旋转可能跨越固定边，导致角的位置关系发生变化，需分段讨论： 射线在固定角内部 vs 外部； 射线在另一射线的左侧 vs 右侧； 旋转超过一周时需考虑周期性（初中通常不涉及）。 检验 的合理性：求出的 必须使射线处于对应的运动阶段，且角度在合理范围内（如 0° < 角 < 180°），否则舍去。 变式1-1爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①，② (2)或 (3)①；②存在，或 【分析】（1）分类讨论，根据线段的和差关系，即可求解； （2）分类讨论，当时，当时，分别画出图形，根据角度的和差关系，即可求解； （3）①先求出，根据，，最后求出； ②分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）①当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，是线段上的点，，分别是线段，的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，   ∴，       ∵，， ∴；              ②如图，当时， ∵射线，分别平分，， ∴，，                   ∴                    ∵，， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴ ； ②存在； 当时，如图所示： 根据类比（1）可得：此时， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，符合题意， 此时， 解得：； 当时，如图所示： 根据旋转可得：，， ∵平分平分， ∴，， ∴， ∴， ∵此时， ∴此时不可能是的2倍； 综上，当或时，． 变式1-2已知直线与相交于点，点，分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点，若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点，的角平分线所在的直线与的角平分线相交于点，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． (3)或 【分析】（1）利用三角形的内角和定理计算出的值，根据角平分线的定义计算出，进而得到； （2）先表示出，结合角平分线和平角表示出和，再根据三角形的内角和定理计算出； （3）设，同理（2）可知，，容易计算出，则，分为和两类讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：设， 同理（2）可得，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ①当时， ∴，解得； ②当时， ∴，解得； 综上所述，的度数为或． 变式1-3 如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 【答案】(1) (2) ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴． 【分析】（1）先计算，再计算，最后计算； （2）计算即可以说明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：略． 类型二、求运动时间 典例2 若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且，求的大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点O以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．若是的“余倍角”，求出此时t的值． 【答案】(1) (2)或 (3)2或14或 【分析】（1）根据“余倍角”的定义和计算即可求解； （2）当在内部时，当在外部时，数形结合分析即可求解； （3）先求得，分情况讨论，当时，当时，当时，找出数量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：已知， ∴，则， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得， （2）解：如图所示，当在外部时， ∴， ∴， ∵是的“余倍角”， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当在内部时， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：∵，是的“余倍角”， ∴， ∴， 由题意可得，， ∵平分，平分， ∴， ①当未转过，未转过，即时，如图所示， ∴， ∴， 解得； ②当旋转超过，旋转未超过时，即时， 由题意可得，转了，， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， ∴， 解得； ③当旋转超过，旋转超过时，即时， 由题意可得，转了，转了， ∴， ∵平分，平分， ∴，，如图所示， ∴， ∴， 解得 综上所述，t的值为2或14或． 题型模版 一、题型特征 一、题型特征 题干给出固定角（或平角、周角）与一条/多条绕顶点旋转的射线，已知旋转方向和角速度，要求求出满足特定角度关系（如两射线重合、成指定夹角、角平分线关系、与固定边成特定角）的旋转时间。核心特征是“射线位置随时间变化→用含 的代数式表示各角度→根据目标关系列方程求解”，解题关键是准确表示旋转后各角的度数，并根据射线相对位置分类讨论。 二、解题方法 画图标注初始状态：画出角的示意图，标出顶点、固定边、旋转射线的起点、旋转方向（顺时针/逆时针）、角速度（如 k°/s）及已知角度。 设旋转时间为 ：通常设时间为 秒，注意 。 用 表示旋转射线的角度位置： 若射线从边 出发以 k°/s 逆时针旋转，则 秒后它与 的夹角为 。 若射线从某初始角位置出发，则其角度位置为“初始角 + 旋转角度”。 注意：旋转可能跨越固定边或另一条射线，导致角度表达式发生变化。 根据目标关系列方程： 两射线重合：令两条射线相对于同一参考边的角度相等，列方程。 两射线成指定夹角 ：令两射线角度之差的绝对值等于 或 360°- （取小于 180° 的角），即 。 某射线为角平分线：利用角平分线定义（平分后的两角相等）列方程。 与固定边成特定角：令旋转射线与固定边的夹角等于目标值。 分类讨论（核心）：射线旋转过程中，相对位置可能多次变化，常见分类： 旋转射线在固定角内部 vs 外部； 两射线先后顺序互换（谁在左、谁在右）； 旋转超过 180° 或 360° 时的周期性情况（初中题通常限定范围，但需注意是否有多解）。 检验 的合理性：求出的 必须使射线处于对应的运动阶段，角度在合理范围内，否则舍去。 汇总所有有效解：分类讨论后，将所有符合条件的 值汇总作答。 变式2-1如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 【答案】 【分析】根据旋转性质表示出和，利用角平分线和四等分线定义表示和，根据与的位置关系分和两种情况，结合绝对值方程求解． 【详解】解：由题意得，， 射线为的四等分线， ， 当旋转到的延长线上时，如图，此时，则， ①当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 当旋转到与重合时，则， ②当时，如图， 则， ∵射线为的角平分线， ∴， ∵， ∴，即， 则有，即， 解得或， 由，可得； 综上所述，的值为或28． 变式2-2已知一副三角板按如图拼接在一起，边、与直线重合，其中，．三角板绕点O按顺时针方向，以/秒的速度旋转；三角板绕点O按逆时针方向，以秒的速度旋转，旋转时间为t秒，旋转后记对应射线为．当为_________秒时，． 【答案】 或 【分析】根据角的和差关系和平角的定义求出的度数，再表示出的度数，根据列式解方程即可． 【详解】解：，， ， ∴， 由题意得，，，，， ∴， ， ， ∴或 解得或； 综上所述，当t为21或25秒时，． 变式2-3 如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒；同时射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，设旋转的时间为． (1)当时，________； (2)在射线与旋转的过程中，图中存在两个角（不包含和）互补时称为“完美时刻”．求图中为“完美时刻”时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出两条射线转过的角度，判断射线位置在内部，再用大角减去两个小角得到． （2）先锁定允许参与互补的四个角，枚举全部两两组合列方程，求解后代入时间范围检验，舍去超出范围的解． 【详解】（1）解：由题意得 ，． 两射线相遇时刻： ， ， 此时、均在内部，在与之间， ∴当．时， ，． ∴． （2）解：由题意知可用的角有，，，； 分4种情况讨论： ①当与互补时，即． 所以， 解得（不合题意，舍去）． ②当与互补时，即． 因为， 所以， 解得（不合题意，舍去）． ③当与互补时，即． 因为， 所以， 解得（不合题意，舍去）． ④当与互补时，即． 因为，， 所以， 解得． 综上可知，当时，图中为“完美时刻”． 类型三、定值问题 典例3 已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求和的度数； (2)如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束，绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转，且与同时停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值； (3)若射线绕着点从开始以15度秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出这个定值并写出所在的时间段．（本题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1)， (2)或 (3)当时，；当时，． 【分析】（1）根据角平分线的定义，角的数量关系以及和差关系进行求解即可； （2）分两种情况，列出方程进行求解即可； （3）根据在某时间段内为定值，则的值与的值无关，则必须在直线的同侧，故分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 由题意，射线旋转的总时间为（秒）；当停止时，旋转的度数为， 故在旋转过程中，， 当时，分两种情况， ①在上方时，，解得； ②与重合时，，解得； 综上：或； （3）解：由题意，， 当时，此时，（秒）； 当时，此时，则，（秒）； 当，（秒）； 当点与点重合时，（秒）； ①当时， 由题意，，， ∴，， ∴； ②当时， 由题意， ∴，， ∴； 综上：当时，；当时，． 题型模版 一、题型特征 题干给出一个固定角（或平角、周角），一条或多条射线绕顶点旋转，或某条射线在角内部运动，同时存在角平分线、角的和差构造等关系，要求证明某个角的大小、两个角的和差或比值在运动过程中始终保持不变（即为定值），或求出该定值。核心特征是"射线在动、角在变，但某些关系不变"，解题关键是用含参数（时间 或某个动角 ）的代数式表示目标角，化简后参数恰好消去。 二、解题方法 画图标注：画出角的示意图，标出固定边、旋转射线、角平分线、已知角度，明确各角之间的位置关系。 设参数：设旋转时间为 ，或设某个动角（如 ）为 ，作为变量。 用参数表示各角：根据旋转规则、角平分线定义、角的和差关系，将所有相关角用含参数的代数式表示。 构造目标表达式：将题目要求证明为定值的量（如某个角的度数、两角之和/差/比值）用上述代数式写出。 化简消参（核心）：对目标表达式进行代数化简（合并同类项、去括号、约分等），若参数 或 恰好消去，剩余常数即为定值。 验证特殊情况：取参数的特殊值（如 、射线在边界位置）代入验证，确认结果一致。 作答：写出化简过程和最终定值，必要时说明"无论射线如何旋转，该值始终为……"。 变式3-1如图1，，，分别为和的角平分线． (1)若，则 °； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒的速度旋转；当与重合时，立即反向绕点O顺时针以每秒的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，旋转后的对应射线记为，旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为．设运动时间为t秒． ①当平分时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①t的值为5或30；②满足条件的t的值为：或或 【分析】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小； （2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t； ②求出与重合时t的值，射线，共线时t的值，射线与射线重合时t的值，可得结论． 【详解】（1）解：∵为的角平分线、， ∴． ∵， ∴． ∵为的角平分线， ∴． ∴， ∴． （2）解：①逆时针旋转时：如图① 当在B上方时，根据题意可知，，．， ∵平分， ∴，即， 解得：． 当在B下方时，此时也在下方，此时不存在平分． 顺时针旋转时：如图②， 由题意可求与重合用的时间 ． ∴与重合之后，． ∴． ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得： 综上所述t的值为5或30． ②逆时针旋转时：如图3中，当射线在射线的上方时， ∵，， ∴ ∴， 当与重合时，，解得． ∴时，的值不变，是． 当射线返回时与重合时．时间， 当运动到射线与共线时，时，解得， 观察图象可知，时，的值不变，是． 当射线运动到与射线共线时，，解得， 当时，如图4中，同法可得，， ∴， 综上所述，满足条件的t的值为：或或． 变式3-2从点引三条射线，，，若，我们称射线是的完美倍分线，若，我们称射线是的完美倍分线．    (1)如图1，射线是的平分线，则射线_____或的完美倍分线（填“是”或“不是”） (2)如图2，在内部，且射线是的完美倍分线，若，求的度数． (3)如图3，，射线从位置开始，绕点按顺时针以每秒的速度旋转，射线从位置开始，绕点按逆时针以每秒的速度旋转，当到达时，，两射线同时停止运动，设运动时间为秒． ①当时，在内部，且射线是的完美倍分线，则的度数为定值，请求出该定值； ②若射线是的完美倍分线时，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①，②或24 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，一元一次方程的实际应用： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到，再利用角度的和差关系求出的度数即可； （3）①根据新定义结合角的和差关系推出，再根据，进行求解即可； ②根据新定义，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴射线不是或的完美倍分线； 故答案为：不是； （2）解：∵射线是的完美倍分线，， ∴， ∴； （3）解：①由题意，得：， 当重合时，，， ∴当时，在的上方， ∴， ∵在内部，且射线是的完美倍分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点的运动时间为：秒； 当时，，则：， 解得：； 当时，，则：， 解得：； 综上：的值为或24． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点是直线上一点，过点作射线，，，初始时，的边，都在射线，上，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为秒．（说明：本题中的角都是大于，且小于的角） (1)当是的角平分线时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)若，与始终满足，求和的值． 【答案】(1) (2)t的值为18 秒 或 54 秒； (3)， 【分析】（1）先利用角平分线的定义，求出，结合已知的，可以确定旋转后的位置，即，最后根据，通过角的差 求出结果； （2）分情况讨论，画出图形，分别求解即可； （3）先确定在这个特定时间段内，，，得出，根据题意得出方程中含 t 的项的系数必须为 0，从而求出 m，再代入求出常数 n． 【详解】（1）解：∵，平分 ， ∴， 初始时与 重合，， 从转到角平分线位置，顺时针旋转的角度为， ∵， ∴； （2）解：绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，t 秒后旋转角度为， ∵ ， 分情况讨论： 情况 1： ，， 得出：， 解得：， 情况 2： ，， 得出：， 解得：， 综上，t 的值为 18 秒 或 54 秒； （3）解：在 时，旋转角度，此时： ，， ∵ ∴ ∴ ∵该等式在内始终成立，与 t 无关，所以含 t 的项系数必须为 0， ∴， ∴， ∴． 【点睛】动态角度问题的核心是分类讨论．根据旋转位置确定角度的表达式，是避免漏解或错解的关键． 2．如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为_____： (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按顺时针方向旋转，当与第一次重合时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或9 【分析】（1）由平分，得，从而即可求得； （2）由角平分线的定义得，根据即可求解； （3）当与第一次重合时，，由题意知，，，分在内或在内，分别根据角度的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵在射线上， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵平分， ∴， ∴． （3）解：由题意得当与第一次重合时，，此时， ∴， ∵将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转， ∴， ∵射线从处出发以每秒的速度绕点按顺时针方向旋转， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 当在内时，如图， ∵， ∴， 解得； 当在内时，如图， ∵， ∴， 解得； ∴或9． 3．如图1，平面上顺时针排列射线，，，，，在外部且为钝角，，射线，分别平分，（此题中所出现的角均小于且大于）． (1)若，则________，________； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（，的对应边分别是，），若旋转时间为秒，当时，求出t的值． 【答案】(1)， (2)； (3)的值为或． 【分析】（1）由角平分线的定义，结合已知计算即可； （2）根据周角可得，，由角平分线的定义，结合的取值范围，即可得的度数； （3）根据旋转过程，按照旋转时间进行分段讨论，结合，即可得的值． 【详解】（1）解：∵射线平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：，，，， ∴，， 旋转至射线上，所需时间为（秒）， 旋转至射线上，所需时间为（秒）， 旋转至射线的反向延长线上，所需时间为（秒）， 旋转至射线的反向延长线上，所需时间为（秒）， 当时， ，， ∵， ∴，， 此时无解； 当时， ，， ∵， ∴，， 解得； 当时， ，， ∵， ∴，， 此时无解； 当时， ，， ∵， ∴，， 解得； 当时， ，， ∵， ∴，， 此时无解； 综上所述，的值为或． 4．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，掌握角的三分线、四分线的定义以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据三分线的定义求解即可； （2）根据题意画出图形，根据三分线的定义分两种情况求解即可； （3）根据四分线的定义分四种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵是的三分线，，若， ∴． 故答案为：． （2）解：∵，是的四分线，， ， ∵是三分线， ∴①如图：当时，， ； ②如图：当时，， ． 综上，的度数为或． （3）解：∵，射线、是的两条三分线 ∴， ①如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴， ∴； ②如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ③如图，当是的四分线且时， ∴， ∴； ④如图，当是的四分线时，， ∴，解得：， ∴． ∴的值为或或或． 5．综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“趣转三角尺”的探究活动． 【问题实践】 （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则 ， ； 【操作探究】 （2）强基小组将图2中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若三角尺以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． 问：当平分时，求的值； 【深度探究】 （3）智旋小组受强基小组的启发继续进行探究：如图3，在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次与直线垂直时停止旋转，同时三角尺也停止旋转，当时，求的值． 【答案】（1），； （2） （3）或 【分析】（1）借助直角三角形两锐角互余直接算出的度数，再通过角的和差关系，结合已知的和的度数求出的度数； （2）根据旋转的速度和时间表示出的度数，进而推导出和的度数，再利用角平分线的定义得到与的等量关系，列出一元一次方程求解的值； （3）根据两个三角尺不同的旋转方向、速度和时间，分别表示出和的度数，结合的条件列出含绝对值的一元一次方程，求解后再根据首次与直线垂直的旋转停止条件，验证方程解的合理性，确定符合题意的值． 【详解】（1）解：在中，，， ； ，， ； （2）解：由题意得，三角尺绕点逆时针旋转，秒旋转的角度为， ∴， ， ，， 平分， ， 即，解得； （3）解：由题意得，三角尺绕点以每秒逆时针旋转，秒后转过的角度为，三角尺绕点以每秒顺时针旋转，秒后转过的角度为， ，， ， ，即， 当时，，解得， 当时，，解得， 又当首次与直线垂直时停止旋转，此时，解得， 的取值范围为，和均符合条件； 答：的值为或． 6．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点A表示的数为12，点B表示的数为，点C是线段的中点．若点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，P、Q两点之间的距离为2？ 【方法迁移】 （2）如图2，，平分．现有射线从出发，以每秒的速度绕点G顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度也绕点G顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线同时停止旋转．问经过几秒后，射线、所成的角为？ 【答案】（1）4秒或6秒；（2）7秒或17秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，与角有关的动线问题，掌握动点，动线问题的分析方法是解题关键． （1）利用动点的运动状况，设出点P，Q在数轴上表示的数，再列式计算即可． （2）利用动线的运动状况，设出对应的角度，再列式计算即可． 【详解】解：【问题提出】（1）∵点C是的中点， ∴点C表示的数为， 设运动t秒，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 分两种情况： 第一种，当点P在点Q右侧时，， 解得； 第二种，当点P在点Q左侧时，， 解得， 故4秒或6秒后，P，Q两点之间的距离为2； 【方法迁移】（2）（秒）， ∵平分， ∴， 设运动m秒，则与在顺时针方向上的夹角为，与在顺时针方向上的夹角为， 由题意，分两种情况： 第一种，在的逆时针方向， 此时， 解得； 第二种，在的顺时针方向， 此时， 解得， 故7秒或17秒后，射线，所成的角为． 7．是内部的一条射线，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．和分别在和内部时，探究和的数量关系；并说明理由． 【答案】(1)； (2) 是的平分线，理由如下： 设，则， ， ， ， 平分， ， ， ，即平分； (3) ，理由如下： ，， ，， 由题意得：，， ， 在内部， ， ． 【分析】本题考查角平分线的定义、角的和差运算及旋转运动中的角的数量关系，关键是利用角的和差及平分线性质表示相关角． （1）先根据求出，再利用角平分线的定义求出和，最后通过角的差求出； （2）设，用表示出、，再根据已知条件求出，结合角平分线定义得到，进而计算，判断是否为的一半； （3）先表示出和，再根据旋转速度和时间表示出和，通过变形得到两者的数量关系． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 平分， ， ； （2）略 （3）略 8．如图1，已知在内，在内，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____． (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转，求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且），请求出使的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角的和差计算、一元一次方程解决角的旋转问题以及分类讨论的数学思想，关键是根据旋转的方向和角度，用含的代数式表示出相关角的度数，再结合已知的角的倍数关系进行计算或列方程求解． （1）当与重合时，可直接代入和的度数，结合、的条件，通过角的和差求出； （2）先根据旋转角度表示出和，再分别表示出和，相加后消去，得到的固定度数； （3）需分和两种情况，分别用含的式子表示，再结合列方程求解，最后验证解是否符合对应的取值范围，舍去不符合条件的解． 【详解】（1）解：当与重合时，，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：； （2）解：如图，∵从图2的位置逆时针旋转后，， ，． ， ． ， ， ． （3）解：从图2的位置顺时针旋转后，， 分两种情况讨论： ①如图，当时， ，． ， ． ， ， ． ， ，解得，符合的取值范围． ②如图，当时， ，． ， ， ， ， ， ，， ，解得， 不符合的取值范围，舍去． 综上，满足条件的的值为． 9．一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示方式摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（）．将三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止转动，设三角尺转动的时间为t． 解答下列问题： (1)当时，边恰好与量角器 度的刻度线重合； (2)在三角尺的转动过程中： ①用含有t的代数式表示： ； ； ②当t为何值时，边平分？ (3)在三角尺的转动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)30 (2)①；；②当t为15时，边平分 (3)存在，当时，使 【分析】本题主要考查了角的动态定义，角度的计算，一元一次方程的应用，表示出与是解本题的关键． （1）当秒时，由旋转知，，即可得出结论； （2）①由题意，得，根据，求解即可； ②当边平分时，由，得，求解即可； （3）分两种情况：当在左侧时，当在右侧时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，边恰好与量角器30度的刻度线重合． 故答案为：30． （2）解：①由题意，得 ， ； ②当边平分时，则， ， ， ∴当t为15时，边平分． （3）解：当在左侧时，如图， 则，， 解得：， 当在右侧时，如图， 则，， 解得：（舍去）， 综上，在三角尺的转动过程中，存在，当时，使． 10．如图1，已知，射线从位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发按逆时针方向向射线旋转，到达射线后立即以同样的速度按顺时针方向返回，当射线与射线重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的值． (3)如图2，在旋转过程中，若射线始终平分，问：是否存在的值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，， 【分析】本题考查角度的计算，与角平分线有关的计算，找准角的和差关系是解题的关键： （1）求出时，和的度数，再利用角的和差关系进行求解即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）分，和三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； （2）解：当，与重合时， 则， ∵， ∴， ∴， 当，与重合时，则； ∵， ∴， ∴； 答：当与重合时，求的值是10或30． （3）解：存在， 当时 ∵ ，平分， ∴； ∵， ∴， ∵，    ∴，    ∴； 当时 ∵，平分， ∴ ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 当时 ∵，平分，   ∴ ∵， ∴， ∵，    ∴； ∴． ∴的值为． 11．如图，点在直线上，，平分，设． (1)如图①，若，则的度数是___________；当时．用含的式子表示的度数是___________； (2)若将如图①中的绕点O顺时针旋转到如图②的位置，其他条件不变． ①求与的度数之间的数量关系； ②若OF是内的一条射线，且，试说明． 【答案】(1)； (2)①； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， 即． 【分析】（）由已知可得，，即得，即得到；同理可得当时，； （）①由，，可得，又因为，得，进而代入即可求解；②设，可得，进而代入计算即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 略 12．点在直线上，在直线的下方作射线，满足（其中），将射线绕着点逆时针旋转得到射线． (1)如图1，当时，直接写出的度数_____； (2)若比大，求出的值； (3)如图2，若，射线从开始绕着点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为，射线是由射线绕点逆时针旋转得到，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值． 【答案】(1) (2)或或 (3)的取值范围为，对应的定值为 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用． （1）根据计算求解，即可解题； （2）根据题意，分四种情况：①当时，在左侧，②当时，在右侧，③当时，在上及上面时，④当时，在上面时，再结合比大，建立方程求解，即可解题； （3）根据题意分两种情况：当在下面时，即时，当在上及上面时，即时，结合角的和差关系表示出的值，并进行分析，即可解题． 【详解】（1）解： ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：①当时，在左侧， ， 比大， ， 解得：，符合题意． ②当时，在右侧，如图： ， 比大， ， 解得：，符合题意． ③当时，在上及上面时，如图： ， 比大， ， 解得：，不符合题意． ④当时，在上面时，如图： ， 比大， ， 解得：，符合题意． 所以，的值为或或 （3）解：， ， 当在下面时，即时， 当在上及上面时，即时， ． 所以，当为定值时，求的取值范围为，对应的定值为． 13．大课间的广播操让我们感受到了一种整体的图形之美，小明和 小亮想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片（如图1）进行讨论．如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，O在同一平面内，O为定点，做操过程中将手脚运动看作A，B，C，D绕 点O进行转动， （本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图2，已知A，O，B三点共线，且，则 °． (2)如图3，第三节腿部运动中，小明发现手臂伸直使得A、O、B三点共线，，且时，动作最优美，求此时的度数． (3)如图4，第四节体侧运动中，小亮发现，两腿左右等距张开，，平分，且．开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，、同时绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止． ①当运动停止时，请直接写出 °． ②在运动过程中，设运动时间为t．当时，是否存在常数m，使得为定值？若存在，求出常数m及该定值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)90 (2) (3)①105；②当时，存在常数，使得为定值． 【分析】本题考查了角的运算、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题，熟练掌握以上知识点，结合图形发现角的和差关系是解题的关键． （1）由，，三点共线可得，再结合，即可求解； （2）由，设，则，结合图形可得，解方程求出的值，即可求出的大小； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②分别用表示出和的度数，再利用整式加减的运算即可求出常数和定值． 【详解】（1）解：，，三点共线， ， 又， ， 解得：． 故答案为：90； （2）解：∵， 设，则， ，，三点共线， ， ， 解得：， ， ； （3）解：① 平分，， ， ， ，， ， 的旋转时间为（秒）， 运动停止时，旋转的角度为， 运动停止时，． 故答案为：105． ②当点、、三点共线时，（秒）， 当时，，， ； 综上所述，当时，存在常数，使得为定值． 14．如图1，点依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒． (1)当时，为________． (2)当射线恰好平分时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使得，若存在，请求出所有符合条件t的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）利用旋转角等于速度乘以时间得出时间与角度关系，再进行共顶点角度计算即可； （2）用时间结合速度求出时间与角度的关系，再利用“射线恰好平分”列方程求出的值即可； （3）根据时间范围，分段讨论射线，可能的位置情况，再进行计算和验证即可． 本题主要考查了共顶点角度的计算，结合旋转速度，明确位置关系用时间表示角度和列一元一次方程求解是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，； 故答案为：135； （2）解：由题意得， ∴， 当射线恰好平分时，， 即， 解得； （3）解：存在． 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 15．已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数（用含α的式子表示）； ②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴。 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）①根据, 计算求解即可；②由题意可得，由平分，可得，求出的值，然后可求与的数量关系. 【详解】（1）解：∵，， ∴ 。 （2）解：①∵，，， ∴ ； ② 略 【点睛】平面内共顶点的角，若，则． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 动角问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断角的数量关系 题型二、求运动时间 题型三、定值问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 角的动态问题是初中几何与代数综合的核心重难点，涵盖求旋转时间、定值探究、数量关系判断三大类题型，所有问题均围绕射线位置随时间（或角度）变化、角的度数的代数表示、运动过程中的分类讨论三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是所有动射线、动角的位置必须用含参数的代数式准确表示，二是涉及射线重合、成指定夹角、角平分线等关系时必须考虑运动阶段和位置分类，所有结果最终均需检验参数的有效范围。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、判断角的数量关系 典例1 【探索新知】 (1)如图1，将两把直角三角尺的直角顶点C叠放在一起． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与的数量关系________． 【深入探究】 (2)如图2，将两把同样的三角尺的角的顶点A重合在一起，则与有何数量关系？请说明理由； 【拓展延伸】 (3) 如图3，已知，作，（α，β都是锐角，且），若在的内部，请直接写出与的数量关系． 题型模版 一、题型特征 题干给出一个固定角（或平角、周角），一条或多条射线从顶点出发，以一定角速度绕顶点旋转，要求在旋转过程中判断某些角之间的数量关系（如倍数、和差、互补、互余），或求满足特定数量关系的旋转时间。核心特征是"射线转动→角的大小随时间变化→建立含时间的角的代数式"，解题关键是用含时间 的代数式表示各角的度数，再根据数量关系列方程或化简证明。 二、解题方法 画图标注初始状态：画出角的示意图，标出固定边、旋转射线、初始角度、旋转方向和角速度（如每秒转 k°）。 设旋转时间为 ：通常设旋转时间为 秒，注意 。 用 表示各角的度数： 若射线 从 出发以 k°/s 的速度逆时针旋转，则 秒后 。 若射线在固定角内部旋转，需考虑是否超出边界；若在外部旋转，角度可能超过 180°，需取小于 180° 的角（通常题目默认指小于平角的角）。 若多条射线同时旋转，分别用 表示每条射线转过的角度，再根据位置关系求夹角。 根据数量关系列方程或化简： 求某时刻的角：直接将 代入表达式。 两角成倍数关系：如 ，列方程求解 。 两角互补/互余：令两角之和等于 180° 或 90°，列方程求解。 证明数量关系为定值：将两角的代数式作差或作比，化简后若 消去，则关系恒成立。 分类讨论（核心）：射线旋转可能跨越固定边，导致角的位置关系发生变化，需分段讨论： 射线在固定角内部 vs 外部； 射线在另一射线的左侧 vs 右侧； 旋转超过一周时需考虑周期性（初中通常不涉及）。 检验 的合理性：求出的 必须使射线处于对应的运动阶段，且角度在合理范围内（如 0° < 角 < 180°），否则舍去。 变式1-1爱思考的小明同学在学习了《基本的平面图形》之后，对以下关于线段和角的问题分别进行了深入探究． (1)【初步探究】已知，是线段上的点，，分别是线段，的中点，，．小明发现：线段与线段，之间存在一定的数量关系． ①如图1，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） ②如图2，当时，线段的长为___________；（用含，的式子表示） (2)【类比探究】如图3，，已知射线，在的内部，且．若有射线，分别平分，，请帮助小明同学求的度数；（用含，的式子表示） (3)【拓展延伸】小明同学将一块含角的三角板的顶点和的顶点重合，并分别在，的内部作射线，．已知，（），，． ①如图4，小明同学先将三角板放置于的内部，且使，则___________；（用含，k的式子表示） ②小明同学又把三角板和按如图所示方式摆放（点在射线上，在左侧），再将三角板绕点在所在的平面内逆时针方向转动．若，，（），问在三角板转动的过程中是否存在，使得？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 变式1-2已知直线与相交于点，点，分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点，若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点，的角平分线所在的直线与的角平分线相交于点，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 变式1-3 如图， 平分，平分． (1)如果，，那么是多少度？ (2)如果，，通过计算说明：． 类型二、求运动时间 典例2 若，则称是的“余倍角”，例如：若，，则是的“余倍角”，但不是的“余倍角”． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“余倍角”，此时 ；（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“余倍角”，且，求的大小； (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线从出发绕点O以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）．若是的“余倍角”，求出此时t的值． 题型模版 一、题型特征 一、题型特征 题干给出固定角（或平角、周角）与一条/多条绕顶点旋转的射线，已知旋转方向和角速度，要求求出满足特定角度关系（如两射线重合、成指定夹角、角平分线关系、与固定边成特定角）的旋转时间。核心特征是“射线位置随时间变化→用含 的代数式表示各角度→根据目标关系列方程求解”，解题关键是准确表示旋转后各角的度数，并根据射线相对位置分类讨论。 二、解题方法 画图标注初始状态：画出角的示意图，标出顶点、固定边、旋转射线的起点、旋转方向（顺时针/逆时针）、角速度（如 k°/s）及已知角度。 设旋转时间为 ：通常设时间为 秒，注意 。 用 表示旋转射线的角度位置： 若射线从边 出发以 k°/s 逆时针旋转，则 秒后它与 的夹角为 。 若射线从某初始角位置出发，则其角度位置为“初始角 + 旋转角度”。 注意：旋转可能跨越固定边或另一条射线，导致角度表达式发生变化。 根据目标关系列方程： 两射线重合：令两条射线相对于同一参考边的角度相等，列方程。 两射线成指定夹角 ：令两射线角度之差的绝对值等于 或 360°- （取小于 180° 的角），即 。 某射线为角平分线：利用角平分线定义（平分后的两角相等）列方程。 与固定边成特定角：令旋转射线与固定边的夹角等于目标值。 分类讨论（核心）：射线旋转过程中，相对位置可能多次变化，常见分类： 旋转射线在固定角内部 vs 外部； 两射线先后顺序互换（谁在左、谁在右）； 旋转超过 180° 或 360° 时的周期性情况（初中题通常限定范围，但需注意是否有多解）。 检验 的合理性：求出的 必须使射线处于对应的运动阶段，角度在合理范围内，否则舍去。 汇总所有有效解：分类讨论后，将所有符合条件的 值汇总作答。 变式2-1如图，已知为直线上一点，以为端点作射线，，将射线绕点逆时针旋转，旋转速度为，旋转后对应射线为，旋转时间为秒，当与重合时运动停止，射线为的角平分线，射线为的四等分线，即，当时，的值为___________或___________． 变式2-2已知一副三角板按如图拼接在一起，边、与直线重合，其中，．三角板绕点O按顺时针方向，以/秒的速度旋转；三角板绕点O按逆时针方向，以秒的速度旋转，旋转时间为t秒，旋转后记对应射线为．当为_________秒时，． 变式2-3 如图，，射线从开始，绕点逆时针旋转，旋转的速度为每秒；同时射线从开始，绕点顺时针旋转，旋转的速度为每秒，设旋转的时间为． (1)当时，________； (2)在射线与旋转的过程中，图中存在两个角（不包含和）互补时称为“完美时刻”．求图中为“完美时刻”时的值． 类型三、定值问题 典例3 已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求和的度数； (2)如图2，若射线绕着点从开始以每秒的速度顺时针旋转至结束，绕着点从开始以每秒的速度逆时针旋转，且与同时停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值； (3)若射线绕着点从开始以15度秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，请求出这个定值并写出所在的时间段．（本题中的角均为大于且小于的角） 题型模版 一、题型特征 题干给出一个固定角（或平角、周角），一条或多条射线绕顶点旋转，或某条射线在角内部运动，同时存在角平分线、角的和差构造等关系，要求证明某个角的大小、两个角的和差或比值在运动过程中始终保持不变（即为定值），或求出该定值。核心特征是"射线在动、角在变，但某些关系不变"，解题关键是用含参数（时间 或某个动角 ）的代数式表示目标角，化简后参数恰好消去。 二、解题方法 画图标注：画出角的示意图，标出固定边、旋转射线、角平分线、已知角度，明确各角之间的位置关系。 设参数：设旋转时间为 ，或设某个动角（如 ）为 ，作为变量。 用参数表示各角：根据旋转规则、角平分线定义、角的和差关系，将所有相关角用含参数的代数式表示。 构造目标表达式：将题目要求证明为定值的量（如某个角的度数、两角之和/差/比值）用上述代数式写出。 化简消参（核心）：对目标表达式进行代数化简（合并同类项、去括号、约分等），若参数 或 恰好消去，剩余常数即为定值。 验证特殊情况：取参数的特殊值（如 、射线在边界位置）代入验证，确认结果一致。 作答：写出化简过程和最终定值，必要时说明"无论射线如何旋转，该值始终为……"。 变式3-1如图1，，，分别为和的角平分线． (1)若，则 °； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒的速度旋转；当与重合时，立即反向绕点O顺时针以每秒的速度旋转，直到与互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，旋转后的对应射线记为，旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为．设运动时间为t秒． ①当平分时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 变式3-2从点引三条射线，，，若，我们称射线是的完美倍分线，若，我们称射线是的完美倍分线．    (1)如图1，射线是的平分线，则射线_____或的完美倍分线（填“是”或“不是”） (2)如图2，在内部，且射线是的完美倍分线，若，求的度数． (3)如图3，，射线从位置开始，绕点按顺时针以每秒的速度旋转，射线从位置开始，绕点按逆时针以每秒的速度旋转，当到达时，，两射线同时停止运动，设运动时间为秒． ①当时，在内部，且射线是的完美倍分线，则的度数为定值，请求出该定值； ②若射线是的完美倍分线时，求的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点是直线上一点，过点作射线，，，初始时，的边，都在射线，上，将绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为秒．（说明：本题中的角都是大于，且小于的角） (1)当是的角平分线时，求的度数； (2)当时，求的值； (3)若，与始终满足，求和的值． 2．如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（三角尺的边可以与重合）． (1)如图1，当在射线上时，的度数为_____： (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按顺时针方向旋转，当与第一次重合时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，直接写出的值． 3．如图1，平面上顺时针排列射线，，，，，在外部且为钝角，，射线，分别平分，（此题中所出现的角均小于且大于）． (1)若，则________，________； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）； (3)在（1）的条件下，将绕点O以每秒的速度顺时针旋转得到（，的对应边分别是，），若旋转时间为秒，当时，求出t的值． 4．我们知道，从一个角的顶点出发把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．类似的我们给出一些新的概念：从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的三分线；从一个角的顶点出发把这个角分成度数为的两个角的射线，叫做这个角的四分线．显然，一个角的三分线、四分线都有两条．例如：如图1，若，则是的一条三分线；若，则是的另一条三分线． (1)如图2，是的三分线，，若，则 ； (2)如图3，，是的四分线，，过点O作射线，当刚好为的三分线时，求的度数； (3)如图4，，射线是的两条三分线，将射线同时绕点O沿顺时针方向旋转，在旋转的过程中，若射线中恰好有一条射线是其它两条射线组成夹角的四分线，请直接写出的值． 5．综合与探究 问题情境：数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“趣转三角尺”的探究活动． 【问题实践】 （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则 ， ； 【操作探究】 （2）强基小组将图2中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若三角尺以每秒的速度旋转，设三角尺旋转时间为秒，提出下列问题，请你帮忙解答． 问：当平分时，求的值； 【深度探究】 （3）智旋小组受强基小组的启发继续进行探究：如图3，在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次与直线垂直时停止旋转，同时三角尺也停止旋转，当时，求的值． 6．【问题提出】 （1）如图1，数轴上点A表示的数为12，点B表示的数为，点C是线段的中点．若点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时，点Q从点C出发，以每秒5个单位长度的速度也沿数轴向左运动，几秒后，P、Q两点之间的距离为2？ 【方法迁移】 （2）如图2，，平分．现有射线从出发，以每秒的速度绕点G顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度也绕点G顺时针旋转，当旋转一周时，这两条射线同时停止旋转．问经过几秒后，射线、所成的角为？ 7．是内部的一条射线，且． (1)如图1，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2，是锐角，在内引射线，满足．若平分，判断是不是的平分线，并说明理由； (3)如图3，，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度同时绕着点逆时针旋转，当第一次回到上时，两条射线都停止旋转，设运动时间为秒．和分别在和内部时，探究和的数量关系；并说明理由． 8．如图1，已知在内，在内，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则_____． (2)从图2中的位置绕点逆时针旋转，求的度数； (3)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且），请求出使的值． 9．一副三角尺（分别含，，和，，）按如图所示方式摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（）．将三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度按逆时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止转动，设三角尺转动的时间为t． 解答下列问题： (1)当时，边恰好与量角器 度的刻度线重合； (2)在三角尺的转动过程中： ①用含有t的代数式表示： ； ； ②当t为何值时，边平分？ (3)在三角尺的转动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 10．如图1，已知，射线从位置出发，以每秒的速度按顺时针方向向射线旋转；与此同时，射线以每秒的速度，从位置出发按逆时针方向向射线旋转，到达射线后立即以同样的速度按顺时针方向返回，当射线与射线重合时，两条射线同时停止运动，设旋转时间为． (1)当时，求的度数． (2)当与重合时，求的值． (3)如图2，在旋转过程中，若射线始终平分，问：是否存在的值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 11．如图，点在直线上，，平分，设． (1)如图①，若，则的度数是___________；当时．用含的式子表示的度数是___________； (2)若将如图①中的绕点O顺时针旋转到如图②的位置，其他条件不变． ①求与的度数之间的数量关系； ②若OF是内的一条射线，且，试说明． 12．点在直线上，在直线的下方作射线，满足（其中），将射线绕着点逆时针旋转得到射线． (1)如图1，当时，直接写出的度数_____； (2)若比大，求出的值； (3)如图2，若，射线从开始绕着点以的速度逆时针旋转至结束，设旋转时间为，射线是由射线绕点逆时针旋转得到，作射线平分，当为定值时，求的取值范围及对应的定值． 13．大课间的广播操让我们感受到了一种整体的图形之美，小明和 小亮想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做得更好，他们搜集了标准广播操图片（如图1）进行讨论．如图2，为了方便研究，定义两手手心位置分别为A，B两点，两脚脚跟位置分别为C，D两点，A，B，C，D，O在同一平面内，O为定点，做操过程中将手脚运动看作A，B，C，D绕 点O进行转动， （本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图2，已知A，O，B三点共线，且，则 °． (2)如图3，第三节腿部运动中，小明发现手臂伸直使得A、O、B三点共线，，且时，动作最优美，求此时的度数． (3)如图4，第四节体侧运动中，小亮发现，两腿左右等距张开，，平分，且．开始运动前A，O，B三点在同一水平线上，、同时绕点O顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时，运动停止． ①当运动停止时，请直接写出 °． ②在运动过程中，设运动时间为t．当时，是否存在常数m，使得为定值？若存在，求出常数m及该定值；若不存在，请说明理由 14．如图1，点依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为秒． (1)当时，为________． (2)当射线恰好平分时，求的值； (3)是否存在某一时刻，使得，若存在，请求出所有符合条件t的值；若不存在请说明理由． 15．已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数（用含α的式子表示）； ②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $