专题08 与线段上的中点有关的计算（压轴题专项训练）数学新教材湘教版七年级上册

专题08与线段上的中点有关的计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双中点模型 题型二、三中点模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 线段中点计算问题是初中几何入门核心基础题型，双中点与三中点模型是其中最具代表性的两类，所有题型均围绕中点定义、线段和差关系、点的位置分类三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是必须明确点的相对位置（在线段上还是在直线上），位置不确定时必须分类讨论，二是所有中点距离计算都必须基于"中点将线段折半"这一根本定义，通过和差关系推导，所有结果最终均需代回图形验证合理性。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双中点模型 典例1 如图，点C是线段上一点，M，N分别是和的中点，，则线段的长是（     ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 题型模版 一、题型特征 题干给出一条线段（或几条共线线段），在其中两条线段上分别取中点，要求计算两个中点之间的距离，或已知中点距离反求线段长度。核心特征是"两个中点、一条直线、距离可求"，解题关键是利用中点定义将线段"折半"，再通过线段的和差关系建立中点距离与原线段的关系。 二、解题方法 画图标注：先画出线段示意图，标出所有端点、中点及已知长度，将抽象文字转化为直观图形。 利用中点定义：若 是 的中点，则 。将中点两侧的线段用原线段的一半表示。 分类讨论（核心）：根据两条线段的位置关系分情况： 相邻型：两条线段首尾相接（如 与 共线且 为公共端点）， 、 分别为 、 中点，则 。结论：相邻线段双中点距离等于总线段的一半。 包含型：一条线段包含另一条（如 在线段 上， 、 分别为 、 中点），则 。结论：包含型双中点距离等于剩余线段的一半。 分离型：两条线段不相连（中间有间隔），则中点距离等于两线段一半之和加上间隔长度，需逐段相加。 列式计算：根据分类结果，用已知线段长度代入公式求解。 验证：将结果代回图形，检查是否符合线段和差关系。 三、常见题型示例 题1（相邻型）：线段 ， ， 、 、 共线， 、 分别为 、 中点，求 。 解： 。 题2（包含型）：线段 ，点 在 上且 ， 、 分别为 、 中点，求 。 解： 。 题3（需分类讨论）：线段 ，点 在直线 上且 ， 、 分别为 、 中点，求 。 解： 可能在 右侧（相邻型）或 左侧（包含型）： 在 右侧： ； 在 左侧： 。 故 或 。 四、易错提醒 漏分类讨论：题干说"点 在直线 上"而非"线段 上"时， 可能在延长线上，必须分情况讨论，这是最常见的失分点。 中点定义用错：误以为中点将线段分成任意比例，或忘记"除以2"。 线段和差搞反：包含型中误将两半相加而非相减，导致结果错误。 图形画错：未准确画出点的位置关系，导致分类遗漏或计算错误。 单位遗漏：最终答案忘记写单位（如 cm）。 五、解题底线 遇到"点在直线上"的表述，必须分类讨论，不能默认点在线段上。 双中点模型的核心公式：相邻型取和的一半，包含型取差的一半，牢记这两个结论可快速解题。 变式1-1如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 变式1-2如图，点C在线段上，点M，N分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 变式1-3 如图①，点在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”． (1)线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） (2)如图②，若，点是线段的巧点，求的值． 类型二、三中点模型 典例2 如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 题型模版 一、题型特征 题干在一条直线上给出三条线段（通常首尾相连或存在包含关系），分别取这三条线段的中点，要求计算其中某两个中点之间的距离，或探究三个中点之间的位置关系。核心特征是"三个中点共线、距离可通过折半与和差推导"，解题关键是利用中点定义将各段"折半"，再通过线段和差建立中点间距离与原线段的关系。 二、解题方法 画图标注：画出直线示意图，按顺序标出所有端点、中点及已知长度，明确三条线段的相对位置。 利用中点定义：若 是 的中点，则 。将每个中点两侧的线段用原线段的一半表示。 识别模型结构（以最常见的"三条线段首尾相连"为例）： 设 、 、 、 四点共线， 、 、 为三条线段， 、 、 分别为 、 、 的中点。 则 。 同理 。 。 结论：首尾相连的三条线段，任意两个中点的距离等于这两中点所覆盖的总线段长度的一半。 含包含关系的三中点：若三条线段存在嵌套（如 、 都在线段 上），则中点距离为相应线段一半的差，需逐段分析。 列式计算：根据模型结构代入已知长度求解。 验证：将结果代回图形，检查是否符合线段和差关系。 三、常见题型示例 题1（首尾相连型）： 、 、 、 共线， ， ， ， 、 、 分别为 、 、 中点，求 。 解： 。 题2（求相邻中点距）：同上条件，求 。 解： 。 题3（含包含关系）：线段 ， 、 在 上， ， ， 、 、 分别为 、 、 中点，求 。 解：先求 ，则 。 四、易错提醒 中点覆盖范围搞错：求 时误以为只涉及 和 ，漏掉中间的 。实际上 到 覆盖了全部三条线段。 包含关系中和差用反：嵌套结构中误将各段一半相加而非相减。 未先求中间线段：如题3中 未知，需先用总长减去已知段求出 ，再代入中点公式。 点的顺序混淆：题干未明确点的顺序时（如只说" 、 在 上"），需考虑 、 的左右位置是否影响结果，必要时分类讨论。 计算时忘记折半：直接用原线段长度相加，忘记中点定义中的"除以2"。 五、解题底线 三中点模型的本质仍是**"中点折半 + 线段和差"**，无论几个中点，核心思路不变。 首尾相连时，两中点距离 = 两中点之间所有线段总长的一半，这一结论可直接套用。 点的顺序不明确时，必须分类讨论，避免漏解。 变式2-1如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 变式2-2如图，点在线段上，，点分别是的中点，，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 变式2-3 如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（填序号） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 2．中考新趋势·一题多问  已知C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点，则____________．若，则____________． 3．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 ____________（填序号）． 4．如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么____________． 5．如图，点、、、在同一直线上，已知，，且点、分别是、的中点，若，求线段的长度． 6．如图，已知四点在一条直线上． (1)如图①，若，且，求的长． (2)如图②，若线段被点分成了的三部分，且的中点和的中点之间的距离是16cm，求的长． 7．如图1，点C为线段上一点，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)若m、n满足， ①求的长； ②求的长； (2)若，求的值． 8．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 9．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 10．如图，点在线段上，点M，N分别是，的中点． （1）若，，则线段的长为____________； （2）若，，则线段的长为____________； （3）若，求线段的长度； （4）若点为线段上任意一点，且，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论． 【拓展提问】若将例题中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08与线段上的中点有关的计算 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双中点模型 题型二、三中点模型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解法通法—明晰核心解法，助力能力迁移 线段中点计算问题是初中几何入门核心基础题型，双中点与三中点模型是其中最具代表性的两类，所有题型均围绕中点定义、线段和差关系、点的位置分类三大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是必须明确点的相对位置（在线段上还是在直线上），位置不确定时必须分类讨论，二是所有中点距离计算都必须基于"中点将线段折半"这一根本定义，通过和差关系推导，所有结果最终均需代回图形验证合理性。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、双中点模型 典例1 如图，点C是线段上一点，M，N分别是和的中点，，则线段的长是（     ） A．2 B．1.5 C．1 D．0.5 【答案】C 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， 故选C． 题型模版 一、题型特征 题干给出一条线段（或几条共线线段），在其中两条线段上分别取中点，要求计算两个中点之间的距离，或已知中点距离反求线段长度。核心特征是"两个中点、一条直线、距离可求"，解题关键是利用中点定义将线段"折半"，再通过线段的和差关系建立中点距离与原线段的关系。 二、解题方法 画图标注：先画出线段示意图，标出所有端点、中点及已知长度，将抽象文字转化为直观图形。 利用中点定义：若 是 的中点，则 。将中点两侧的线段用原线段的一半表示。 分类讨论（核心）：根据两条线段的位置关系分情况： 相邻型：两条线段首尾相接（如 与 共线且 为公共端点）， 、 分别为 、 中点，则 。结论：相邻线段双中点距离等于总线段的一半。 包含型：一条线段包含另一条（如 在线段 上， 、 分别为 、 中点），则 。结论：包含型双中点距离等于剩余线段的一半。 分离型：两条线段不相连（中间有间隔），则中点距离等于两线段一半之和加上间隔长度，需逐段相加。 列式计算：根据分类结果，用已知线段长度代入公式求解。 验证：将结果代回图形，检查是否符合线段和差关系。 三、常见题型示例 题1（相邻型）：线段 ， ， 、 、 共线， 、 分别为 、 中点，求 。 解： 。 题2（包含型）：线段 ，点 在 上且 ， 、 分别为 、 中点，求 。 解： 。 题3（需分类讨论）：线段 ，点 在直线 上且 ， 、 分别为 、 中点，求 。 解： 可能在 右侧（相邻型）或 左侧（包含型）： 在 右侧： ； 在 左侧： 。 故 或 。 四、易错提醒 漏分类讨论：题干说"点 在直线 上"而非"线段 上"时， 可能在延长线上，必须分情况讨论，这是最常见的失分点。 中点定义用错：误以为中点将线段分成任意比例，或忘记"除以2"。 线段和差搞反：包含型中误将两半相加而非相减，导致结果错误。 图形画错：未准确画出点的位置关系，导致分类遗漏或计算错误。 单位遗漏：最终答案忘记写单位（如 cm）。 五、解题底线 遇到"点在直线上"的表述，必须分类讨论，不能默认点在线段上。 双中点模型的核心公式：相邻型取和的一半，包含型取差的一半，牢记这两个结论可快速解题。 变式1-1如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由是的中点可得，利用线段和差得到，再由点是的中点，点是的中点，可得，，即可求出的值． 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 变式1-2如图，点C在线段上，点M，N分别是、的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若C为线段上任一点，如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段的中点的定义，结合线段的和差关系进行求解即可； （2）根据线段的中点的定义，结合线段的和差推出即可． 【详解】（1）解：点，分别是、的中点，，， ，， ， 线段的长为 ； （2）解：点，分别是、的中点， ，， ， ， 的长为． 变式1-3 如图①，点在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”． (1)线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”） (2)如图②，若，点是线段的巧点，求的值． 【答案】(1)是 (2)的长为或或． 【分析】（1）根据“巧点”的定义判断即可； （2）分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵线段的长是线段中点分割的两条线段长度的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“巧点”． （2）解：若线段，点是线段的“巧点”，则分三种情况讨论． 当时，此时． 当时，此时． 当时，此时． 综上所述，的长为或或． 类型二、三中点模型 典例2 如图，点、、在同一直线上，在、之间，是的中点，是的中点，，，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长； (3)求线段的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由计算即可． （2）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． （3）利用线段中点定义，分别求出长度，由计算即可． 【详解】（1）解：∵点、、在同一直线上，在、之间， ∴， ∵，， ∴． （2）解：是中点，是中点， ， ， ， ． （3）解：是的中点，， ， 是中点，， ， ． 题型模版 一、题型特征 题干在一条直线上给出三条线段（通常首尾相连或存在包含关系），分别取这三条线段的中点，要求计算其中某两个中点之间的距离，或探究三个中点之间的位置关系。核心特征是"三个中点共线、距离可通过折半与和差推导"，解题关键是利用中点定义将各段"折半"，再通过线段和差建立中点间距离与原线段的关系。 二、解题方法 画图标注：画出直线示意图，按顺序标出所有端点、中点及已知长度，明确三条线段的相对位置。 利用中点定义：若 是 的中点，则 。将每个中点两侧的线段用原线段的一半表示。 识别模型结构（以最常见的"三条线段首尾相连"为例）： 设 、 、 、 四点共线， 、 、 为三条线段， 、 、 分别为 、 、 的中点。 则 。 同理 。 。 结论：首尾相连的三条线段，任意两个中点的距离等于这两中点所覆盖的总线段长度的一半。 含包含关系的三中点：若三条线段存在嵌套（如 、 都在线段 上），则中点距离为相应线段一半的差，需逐段分析。 列式计算：根据模型结构代入已知长度求解。 验证：将结果代回图形，检查是否符合线段和差关系。 三、常见题型示例 题1（首尾相连型）： 、 、 、 共线， ， ， ， 、 、 分别为 、 、 中点，求 。 解： 。 题2（求相邻中点距）：同上条件，求 。 解： 。 题3（含包含关系）：线段 ， 、 在 上， ， ， 、 、 分别为 、 、 中点，求 。 解：先求 ，则 。 四、易错提醒 中点覆盖范围搞错：求 时误以为只涉及 和 ，漏掉中间的 。实际上 到 覆盖了全部三条线段。 包含关系中和差用反：嵌套结构中误将各段一半相加而非相减。 未先求中间线段：如题3中 未知，需先用总长减去已知段求出 ，再代入中点公式。 点的顺序混淆：题干未明确点的顺序时（如只说" 、 在 上"），需考虑 、 的左右位置是否影响结果，必要时分类讨论。 计算时忘记折半：直接用原线段长度相加，忘记中点定义中的"除以2"。 五、解题底线 三中点模型的本质仍是**"中点折半 + 线段和差"**，无论几个中点，核心思路不变。 首尾相连时，两中点距离 = 两中点之间所有线段总长的一半，这一结论可直接套用。 点的顺序不明确时，必须分类讨论，避免漏解。 变式2-1如图，点在同一直线上，为的中点，为的中点，为的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，设，，则，得到，进而得到，可判断A，由线段中点的意义和线段的和差可得，可判断B，由和可判断C，由和，可判断D，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：A、设，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴，故选项不符合题意； B、∵， ∴，故选项不符合题意； C、∵， 又∵ ∴，故选项不符合题意； D、∵， 又∵， ∴，故选项符合题意； 故选：D． 变式2-2如图，点在线段上，，点分别是的中点，，则的长是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的计算．熟练掌握线段和倍分计算，线段中点的有关计算，线段和差的有关计算是解题的关键． 由线段的倍分关系可得出，再根据线段中点的有关计算可得出，，再根据线段的和差关系即可得出．由即可得出答案． 【详解】∵点在线段上，， ∴， ∴， ∵点分别是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 变式2-3 如图，C是线段上一点，G是的中点，M是的中点，N是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有______．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了线段中点的性质以及线段中点的有关计算，掌握线段中点的性质是解题的关键． 根据线段中点可得，，，然后再利用线段中点的有关计算，逐个判断即可求解． 【详解】解：是的中点，M是的中点，N是的中点， ，，， ，故结论①正确， ，故结论②正确， ， ，故结论③正确， ，而不一定为中点，故结论④错误， 综上所述，结论①②③正确． 故答案为：①②③． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是线段中点的定义、两点间的距离等知识点，明确线段中点的定义是解题的关键． 根据点M、N分别是、的中点，，进而得到，即只需知道的长度即可求得的长度． 【详解】解：∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴， ∴，即只需知道的长度即可求得的长度， ∴符合题意． 故选：B． 2．中考新趋势·一题多问  已知C为线段上一点，D为的中点，E为的中点，F为的中点，则____________．若，则____________． 【答案】 或 【分析】本题考查了两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．理清线段之间的关系是解决本题的关键． （1）由为的中点，为的中点得到, 则可计算出, 再利用为的中点得到, 求解出结果； （2）根据线段的中点定义和线段的和差计算分两种情况即可求解； 【详解】 解：（1）为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， （2）①当，点F在点C左侧时，如图所示： 为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ∴． ②当，点F在点C左侧时，如图所示： 为的中点，为的中点， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为：或， 故答案为：；或． 3．如图，、是线段上两点，、分别是线段，的中点，下列结论：①若，则；②，则；③；④．其中正确的结论是 ____________（填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了两点间的距离，能够利用中点的性质求解一些线段之间的关系是解题的关键． 根据线段中点的定义与线段的和差结合图形进行分析． 【详解】解：如图： ， ， ， ， ， 即，故①正确； ， ， ， 、分别是线段，的中点， ，故②正确； ，， ， 又， ，故③正确； ，， ， ，， ，故④正确， 故答案为：①②③④． 4．如图，分别是数轴上的两点，点为线段上任意一点，点为的中点，点为的中点，若点表示的数分别为，那么____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和差、线段的中点等知识点，明确各线段间的关系是解题的关键． 由中点的定义可得：，再根据数轴上表示的数确定，然后再根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵点为的中点，点为的中点， ∴， ∵点表示的数分别为， ∴ ∴ ． 故答案为：． 5．如图，点、、、在同一直线上，已知，，且点、分别是、的中点，若，求线段的长度． 【答案】 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．设，根据已知的，，可表示出、、的长，进而由线段中点的定义可表示出、的长，再由表示出的长，结合已知的，可求得的值，进而得到的长，最后根据求解即可． 【详解】解：设， ， ， ， 又， ， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ， ，解得， ， ． 6．如图，已知四点在一条直线上． (1)如图①，若，且，求的长． (2)如图②，若线段被点分成了的三部分，且的中点和的中点之间的距离是16cm，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）本题需要先根据已知的与的关系求出的长度，再求出的长度，最后结合求出的长度． （2）本题需要先设出线段的长度，根据中点的定义表示出和的长度，再结合和之间的距离列出方程，求出未知数，进而求出的长度． 【详解】（1），且，所以， ∴， ∴． （2）解：设，则． ∵是的中点，是的中点， ∴． 又∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了线段的中点和线段的和差计算，掌握通过设未知数，利用中点定义表示出相关线段长度，再根据线段和差关系列方程求解是解题的关键． 7．如图1，点C为线段上一点，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)若m、n满足， ①求的长； ②求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)①8，②1 (2)或 【分析】本题考查了线段的和差计算，熟练掌握绝对值的非负性质，偶次方的非负性质，线段中点有关计算，线段的和差计算，分类讨论，是解题的关键． （1）①根据非负数性质求出m，n的值．根据线段的中点性质求出，然后再相加即可；②根据线段的中点性质求出，然后再计算即可； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时．根据线段的和差计算，线段的中点性质进行计算即可． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴，， ∴ 解得． ∵， ∴， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴； ②∵F是的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况讨论：①如图所示，当时， ∵，点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴． ②如图所示，当时， ∵，点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴， 综上所述，的值为或． 8．综合与实践：七年级某学习小组围绕“线段的中点”开展主题学习活动． 【问题情境】 如图，点A，B，C，D在同一条直线l上，，点M为线段中点，点N为线段中点．探究线段，，之间的关系． 【特例探究】 （1）如图1，点C，D在线段上，点M为中点，点N为中点． 列表分析线段，，之间的关系． 线段，，之间的关系分析表 特例序号 ① 6 4 1 ② 8 3 a ③ 10 6 b 表格中，数据________，________． 【推理论证】 （2）在（1）的条件下，若线段，，请用含m，n的式子表示的长，并说明理由； 【拓展运用】 （3）若点C，D在直线l上运动，且点C始终在点D的左侧，线段，，之间的关系是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接写出，，之间的关系式． 【答案】（1），；（2）；（3）不变， 【分析】本题考查的是线段的和差运算，线段的中点的含义； （1）根据表格信息分别求解当，，当，时的长度即可； （2）求解，，，结合点M为中点，点N为中点，可得，，再进一步求解即可； （3）分五种情况讨论：当点C，D在线段上，当在的左边，在的右边，如图，当在的右边，在的右边，如图，当在的左边，在的右边时，如图，当都在的左边时，再结合（2）的方法进一步求解即可. 【详解】解：（1）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴， 当，． ∴，，， ∴， 当，． ∴，，， ∴， ∴，； （2）如图，点C，D在线段上， ，． ∴，，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∵， ∴； （3）点C，D在线段上，由（2）可知； 如图，当在的左边，在的右边， ，， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴， 如图，当在的右边，在的右边， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当在的左边，在的右边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 如图，当都在的左边时， ∴， ∵点M为中点，点N为中点， ∴，， ∴ ， 综上：. 9．如图，已知点、在线段上． (1)图中共有________条线段； (2)若比较线段的大小：________（填：“>”，“=”，或“<”）； (3)若，，是的中点，是的中点（如下图）． ①求的长度； ②嘉嘉同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由． 【答案】(1)6 (2) (3)①； ②同意，理由： 当线段在射线上运动时， 当点在线段上，点在射线上运动时：      ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． 当点在射线上，点在射线上运动时：    ∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长度不变． 【分析】本题主要考查了两点间的距离以及线段的和差关系，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性． （1）依据、在线段上，即可得到图中共有线段． （2）依据，即可得到 ，进而得出． （3）①依据线段的和差关系以及中点的定义，即可得到的长度． ②分为当点在线段上，点在射线上运动时；当点在射线上，点在射线上运动时，两种情况分别求解判断即可； 【详解】（1）解：∵、在线段上， ∴图中共有线段共6条． 故答案为：6； （2）若，则，即． 故答案为：； （3）①∵， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∴．    ②略 10．如图，点在线段上，点M，N分别是，的中点． （1）若，，则线段的长为____________； （2）若，，则线段的长为____________； （3）若，求线段的长度； （4）若点为线段上任意一点，且，其他条件不变，你能猜想的长度吗？并用一句简洁的话描述你发现的结论． 【拓展提问】若将例题中的“点在线段上”改为“点在线段的延长线上”，其他条件不变，（3）中结论还成立吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）； （4）猜想：； 结论：若点为线段上一点，且点分别是，的中点，则； 【拓展提问】 成立．理由： 当点在线段的延长线上时，如图， ∵点分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴． 【分析】（1）根据中点性质，，，得到，，得到； （2）根据中点性质，，，，，得到； （3）根据中点性质，得到，，根据，得到； （4）猜想，结论：若点为线段一点，且点上分别是，的中点，则； 拓展提问：当点在线段的延长线上时， 根据中点性质，得到，．根据，得到． 【详解】（1）∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵点M，N分别是，的中点，，， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）∵点M，N分别是，的中点， ∴，， ∵，， ∴； （4）略 【拓展提问】略 【点睛】本题主要考查了线段的中点，线段的和差．熟练掌握中点性质，线段的和差关系，是解决问题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $