专题02 整式的乘法通关专练（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

专题02 整式的乘法通关专练 题型一 同底数幂的除法 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【典例2】若（且），则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知：，． （1）求的值； （2）若，求k的值； （3）求的值． 【典例3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 题型二 零次幂的运用 【典例4】______． 【典例5】若，则x的取值范围是______． 【典例6】【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 （1）若，则_________； （2）若，求x的值． 【典例7】【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 （1）若，则_________； （2）若，求x的值； （3）若，求x的值． 题型三 整式的混合运算 【典例8】计算： （1）； （2）． 【典例9】计算： （1）； （2）． 【典例10】计算： （1）； （2）； （3）． 【典例11】计算： （1）； （2）． 题型四 整式乘除法的化简求值 【典例12】先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【典例13】化简求值：，其中，． 【典例14】求下列各式的值： （1），其中； （2），其中，． 题型五 “不含”问题 【典例15】若展开后不含x的二次项，则常数k的值为________． 【典例16】若的乘积中不含项，___________． 【典例17】已知的展开式中不含和项，则________． 【典例18】若关于x的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8． （1）求a与b的值； （2）化简，并求值． 【典例19】定义一种新运算：对任意有理数a，b都有．例如：． （1）求的值． （2）化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． （3）已知与的差中不含项，求a的值． 题型六 整式乘除法的实际应用 【典例20】某活动的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． （1）用含x，y的式子填空：长方形座位区的面积为______平方米，两块专属观礼区的面积和为______平方米； （2）求普通观礼区的面积（用含x，y的式子表示）； （3）当，时，求普通观礼区的面积． 【典例21】某地有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周修建四个直角边长分别为米，米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． （1）用含a，b的代数式表示长方形花坛的面积：__________平方米．（结果化到最简） （2）用含a，b的代数式表示阴影部分规划的绿化地带面积．（结果化到最简） （3）若，，请求出阴影部分规划的绿化地带面积． 【典例22】综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示__________；__________． （2）【拓展探究】探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． （3）【迁移运用】是否存在这样的Z型框，使得？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若和的乘积与是同类项，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知，则整式（    ） A． B． C． D． 4．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，□的地方被墨水弄污了．你认为□内应填写（    ） A． B． C． D． 5．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 6．小贝家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为米，宽为米，现将长方形的长和宽都增加3米，则面积增大了（    ） A．9平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 7．6张如图1的长为a，宽为b的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（    ） A． B． C． D． 8．已知a，b，c，d均为常数，e，f均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（    ） ①当A与B的乘积不含项时，； ②； ③当A能被整除时，； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．计算：________． 10．计算________． 11．若的乘积中不含x的一次项，则________． 12．若，则________． 13．若，，则___． 14．如果等式成立，则x的值为________． 15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：                                 …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 16．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 17．计算： （1）； （2）． 18．如图，池塘边有一块长为、宽为的长方形土地，现在将其三面留出宽都是的小路，余下的长方形部分作为菜地． （1）用含x的代数式表示菜地的长和宽； （2）用含x的代数式表示菜地的面积，并求时，菜地的面积． 19．探寻数学的对称美，并完成任务： 主题：探寻数学的对称美 素材1 几何图形中有轴对称图形，在多项式中存在对称式．一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，所得结果与原多项式相同，则称这个多项式为“二元对称多项式”，如：，，…等都是“二元对称多项式”． 素材2 若多项式A，B，C是关于x，y的多项式，且满足两个条件：1．C是一个“二元对称多项式”；2．多项式A，B经过加法、减法、乘法中的某一种运算并化简后可得到C，我们把这样的三个二元多项式称为“二元对称关联多项式”． （1）任务1：①，②，③，④，其中是“二元对称多项式”的是__________（填序号）． （2）任务2：已知关于x，y的多项式：，（a为常数），若是“二元对称多项式”，试说明也是“二元对称多项式”． （3）任务3：已知关于x，y的三个多项式：，，（a，k，p为常数）是“二元对称关联多项式”，求a的值． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法通关专练 题型一 同底数幂的除法 【典例1】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【典例2】（1）10；（2）4；（3）4 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 【典例3】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 题型二 零次幂的运用 【典例4】0 【典例5】 【典例6】（1）；（2）x的取值为、2、4 【详解】（1）解：∵，底数为2，既不是1也不是， ∴指数， 解得； （2）解：分三种情况讨论： ① 零指数幂情况：指数为0，底数不为0， 得 ，且， 解得，，符合题意； ② 底数为1的情况：底数为1，任意整数次幂结果都为1， 令， 解得，，符合题意； ③ 底数为的偶数次幂情况：底数为，指数为偶数时结果为1， 令， 解得，，符合题意； 综上，x的取值为、2、4． 【典例7】（1）1；（2）x的值为或2或0；（3）x的值为0或 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，x的值为或2或0； （3）∵， ∴分类讨论： （a）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （b）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且x为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，x的值为0或． 题型三 整式的混合运算 【典例8】（1）0；（2） 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【典例9】（1）；（2） 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【典例10】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 【典例11】（1）；（2） 【详解】（1）原式； （2）原式． 题型四 整式乘除法的化简求值 【典例12】，1 【详解】解：原式， ∵， ∴原式． 【典例13】， 【详解】解： 原式， 将，代入得， 原式． 【典例14】（1），；（2）， 【详解】（1）解：． 将代入得： 原式． （2） ． 将，代入得： 原式． 题型五 “不含”问题 【典例15】 【典例16】4 【典例17】21 【典例18】（1），；（2）， 【详解】（1）解： ， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴，， ∴，； （2）解：， ∵，， ∴原式． 【典例19】（1）；（2）1；（3） 【详解】（1）解：． （2）解：， 由题意得，， ∴原式． （3）解：由题意得 ， ∵与的差中不含项， ∴， 解得． 题型六 整式乘除法的实际应用 【典例20】（1），；（2）普通观礼区的面积为平方米；（3）普通观礼区的面积8200平方米 【详解】（1）解：由题意，长方形座位区的面积为（平方米）； 两块专属观礼区的面积和为平方米. （2）解：． 答：普通观礼区的面积为平方米； （3）解：当，时，． 答：普通观礼区的面积8200平方米． 【典例21】（1）；（2）阴影部分规划的绿化地带面积为平方米；（3）1712平方米 【详解】（1）解：∵长方形花坛的长为米，宽为米， ∴长方形花坛的面积为：平方米； （2）解： ， ∴阴影部分规划的绿化地带面积为平方米； （3）解：当，时， ， ∴阴影部分规划的绿化地带面积为1712平方米． 【典例22】（1），；（2），理由见解析；（3）不存在，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）， 理由如下： ∵，，， ∴； （3）不存在，理由如下： 假设存在， ∵，， ∴， ∴， ∵b、c是正整数， ∴， ∴不符合题意， ∴不存在． 1．B 2．A 3．D 4．A 5．A 6．C 7．C 8．C 9． 10．1 11． 12． 13． 14．0或 15． 16．（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 17．计算：（1）；（2） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．（1）菜地的长为，宽为；（2） 【详解】（1）解：由题意得：菜地的长为，宽为； （2）解：由（1）知，菜地的面积； 当时，． 19．（1）①④；（2）见解析；（3）3 【详解】（1）解：多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； ∴①④是“二元对称多项式”； （2）解：∵，， ∴， ∵是“二元对称多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 多项式交换x、y的位置为多项式， ∵多项式与多项式相等， ∴也是“二元对称多项式”． （3）解：多项式交换x、y的位置为多项式，交换前后的多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”， 多项式交换x、y的位置为多项式交换前后的多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”， ∵关于x，y的三个多项式：，，（a，k，p为常数）是“二元对称关联多项式”， ∴多项式是“二元对称多项式”， ∴， ∴； ∵多项式和多项式中未知数x、y的次数都为1，而多项式中未知数x、y的次数含有2次， ∴多项式不能由多项式和进行加减计算得到， ∴由“二元对称关联多项式”的定义可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法通关专练 题型一 同底数幂的除法 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【典例2】若（且），则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知：，． （1）求的值； （2）若，求k的值； （3）求的值． 【答案】（1）10；（2）4；（3）4 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 【典例3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． （5）解：． （6）解：． 题型二 零次幂的运用 【典例4】______． 【答案】0 【详解】解：． 【典例5】若，则x的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：根据零指数幂的定义，零指数幂的底数不为0，可得，解得． 【典例6】【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 （1）若，则_________； （2）若，求x的值． 【答案】（1）；（2）x的取值为、2、4 【详解】（1）解：∵，底数为2，既不是1也不是， ∴指数， 解得； （2）解：分三种情况讨论： ① 零指数幂情况：指数为0，底数不为0， 得 ，且， 解得，，符合题意； ② 底数为1的情况：底数为1，任意整数次幂结果都为1， 令， 解得，，符合题意； ③ 底数为的偶数次幂情况：底数为，指数为偶数时结果为1， 令， 解得，，符合题意； 综上，x的取值为、2、4． 【典例7】【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 （1）若，则_________； （2）若，求x的值； （3）若，求x的值． 【答案】（1）1；（2）x的值为或2或0；（3）x的值为0或 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴， ∴，解得：； （2）∵， ∴如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且为偶数，解得：，检验：为偶数，即成立， ∴综上，x的值为或2或0； （3）∵， ∴分类讨论： （a）当且时，解得：且，矛盾，不成立； （b）当时，整理，得：， ∴如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，即且，解得：； ②底数为1的整数指数幂，即，解得：； ③底数为的偶数指数幂，即且x为偶数，解得：，检验：不为偶数，即不成立； ∴综上，x的值为0或． 题型三 整式的混合运算 【典例8】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0；（2） 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 【典例9】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：； （2）解： ． 【典例10】计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：． 【典例11】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式； （2）原式． 题型四 整式乘除法的化简求值 【典例12】先化简，再求值：已知，求代数式的值． 【答案】，1 【详解】解：原式， ∵， ∴原式． 【典例13】化简求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： 原式， 将，代入得， 原式． 【典例14】求下列各式的值： （1），其中； （2），其中，． 【答案】（1），；（2）， 【详解】（1）解：． 将代入得： 原式． （2） ． 将，代入得： 原式． 题型五 “不含”问题 【典例15】若展开后不含x的二次项，则常数k的值为________． 【答案】 【详解】解：展开原式得： ， ∵展开后不含x的二次项， ∴， 解得． 【典例16】若的乘积中不含项，___________． 【答案】4 【详解】解：， ∵乘积中不含项， ∴项的系数为0，即， ∴． 【典例17】已知的展开式中不含和项，则________． 【答案】21 【详解】解： ， ∵展开式中不含和项， ∴和项的系数均为0，可得 ， 解得，， 将，代入得 ． 【典例18】若关于x的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8． （1）求a与b的值； （2）化简，并求值． 【答案】（1），；（2）， 【详解】（1）解： ， ∵关于x的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴，， ∴，； （2）解：， ∵，， ∴原式． 【典例19】定义一种新运算：对任意有理数a，b都有．例如：． （1）求的值． （2）化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． （3）已知与的差中不含项，求a的值． 【答案】（1）；（2）1；（3） 【详解】（1）解：． （2）解：， 由题意得，， ∴原式． （3）解：由题意得 ， ∵与的差中不含项， ∴， 解得． 题型六 整式乘除法的实际应用 【典例20】某活动的观礼区内，有一块长为米，宽为米的长方形座位区．为方便特殊观礼群体，工作人员在这块长方形座位区中划出了两块边长均为y米的正方形区域作为专属观礼区，剩余的“T”形区域（阴影部分）为普通观礼区． （1）用含x，y的式子填空：长方形座位区的面积为______平方米，两块专属观礼区的面积和为______平方米； （2）求普通观礼区的面积（用含x，y的式子表示）； （3）当，时，求普通观礼区的面积． 【答案】（1），；（2）普通观礼区的面积为平方米；（3）普通观礼区的面积8200平方米 【详解】（1）解：由题意，长方形座位区的面积为（平方米）； 两块专属观礼区的面积和为平方米. （2）解：． 答：普通观礼区的面积为平方米； （3）解：当，时，． 答：普通观礼区的面积8200平方米． 【典例21】某地有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划在其四周修建四个直角边长分别为米，米的直角三角形区域作为道路，在中间修建一个长为米，宽为米的长方形花坛，其余阴影部分规划为绿化地带，尺寸如图所示． （1）用含a，b的代数式表示长方形花坛的面积：__________平方米．（结果化到最简） （2）用含a，b的代数式表示阴影部分规划的绿化地带面积．（结果化到最简） （3）若，，请求出阴影部分规划的绿化地带面积． 【答案】（1）；（2）阴影部分规划的绿化地带面积为平方米；（3）1712平方米 【详解】（1）解：∵长方形花坛的长为米，宽为米， ∴长方形花坛的面积为：平方米； （2）解： ， ∴阴影部分规划的绿化地带面积为平方米； （3）解：当，时， ， ∴阴影部分规划的绿化地带面积为1712平方米． 【典例22】综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，在月历中用如图2中所示的“Z型框”框住四个数a，b，c，d． （1）用含a的代数式表示__________；__________． （2）【拓展探究】探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． （3）【迁移运用】是否存在这样的Z型框，使得？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）不存在，理由见解析 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）， 理由如下： ∵，，， ∴； （3）不存在，理由如下： 假设存在， ∵，， ∴， ∴， ∵b、c是正整数， ∴， ∴不符合题意， ∴不存在． 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．若和的乘积与是同类项，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：， ∵该乘积与是同类项， ∴，， 解得，． 3．已知，则整式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得． 4．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回家，小刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，□的地方被墨水弄污了．你认为□内应填写（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵左边， ∴右边， ∴□内应填写． 5．下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．，故此选项错误，符合题意； B．，故此选项正确，不符合题意； C．，故此选项正确，不符合题意； D．，故此选项正确，不符合题意． 6．小贝家承包了一个长方形的鱼塘，原来长为米，宽为米，现将长方形的长和宽都增加3米，则面积增大了（    ） A．9平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】C 【详解】解：原鱼塘面积为． 长和宽增加3米后，长为，宽为． 新鱼塘面积为． 面积增加量为． 7．6张如图1的长为a，宽为b的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，， 由图可知，左下角2个小长方形竖放，总宽为，高为a，右上角4个小长方形横放，总高为，长为a，左上角阴影部分的长为，宽为，右下角阴影部分的长为，宽为， ∴ ， ∵S始终保持不变，与的长度无关， ∴， ∴． 8．已知a，b，c，d均为常数，e，f均为非零常数，有两个整式，，下列结论中，正确的个数为（    ） ①当A与B的乘积不含项时，； ②； ③当A能被整除时，； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：①由题意， ， ， ∵乘积不含项，∴，解得，故①错误． ②已知， 令，得：左边，右边， ∴，整理得 ， 令，左边，右边， ∴，代入得，故②正确． ③若多项式A能被整除， 根据多项式整除性质，时，，代入得， 整理得，故③正确． 综上，正确的结论共2个． 9．计算：________． 【答案】 【详解】解：原式． 10．计算________． 【答案】1 【详解】解：． 11．若的乘积中不含x的一次项，则________． 【答案】 【详解】解：， ∵乘积中不含x的一次项， ∴， 解得． 12．若，则________． 【答案】 【详解】解：， ∵ ， ∴ ， ∴原式． 13．若，，则___． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 14．如果等式成立，则x的值为________． 【答案】0或 【详解】解：根据有理数乘方的性质，等式在初中范围内有三类成立情形，逐一计算验证． ∵当指数为0且底数不为0时，幂为1， ∴令， 解得， 此时底数，符合条件， ，成立； ∵ 当底数为1时，1的任意次幂为1， ∴ 令， 解得， 此时指数，，成立； ∵ 当底数为时，仅当指数为偶数时，幂为1， ∴ 令， 解得， 此时指数，为奇数， ，不符合条件，舍去； 综上，符合条件的x的值为0或． 15．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了的展开式的系数规律（按a的次数由大到小的顺序）：                                 …… 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是__________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴展开式中含项的系数是． 16．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 17．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 18．如图，池塘边有一块长为、宽为的长方形土地，现在将其三面留出宽都是的小路，余下的长方形部分作为菜地． （1）用含x的代数式表示菜地的长和宽； （2）用含x的代数式表示菜地的面积，并求时，菜地的面积． 【答案】（1）菜地的长为，宽为；（2） 【详解】（1）解：由题意得：菜地的长为，宽为； （2）解：由（1）知，菜地的面积； 当时，． 19．探寻数学的对称美，并完成任务： 主题：探寻数学的对称美 素材1 几何图形中有轴对称图形，在多项式中存在对称式．一个含有两个字母的多项式中，如果任意交换两个字母的位置，所得结果与原多项式相同，则称这个多项式为“二元对称多项式”，如：，，…等都是“二元对称多项式”． 素材2 若多项式A，B，C是关于x，y的多项式，且满足两个条件：1．C是一个“二元对称多项式”；2．多项式A，B经过加法、减法、乘法中的某一种运算并化简后可得到C，我们把这样的三个二元多项式称为“二元对称关联多项式”． （1）任务1：①，②，③，④，其中是“二元对称多项式”的是__________（填序号）． （2）任务2：已知关于x，y的多项式：，（a为常数），若是“二元对称多项式”，试说明也是“二元对称多项式”． （3）任务3：已知关于x，y的三个多项式：，，（a，k，p为常数）是“二元对称关联多项式”，求a的值． 【答案】（1）①④；（2）见解析；（3）3 【详解】（1）解：多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”； 多项式交换a、b的位置为多项式，交换后的多项式与原多项式相等，故多项式是“二元对称多项式”； ∴①④是“二元对称多项式”； （2）解：∵，， ∴， ∵是“二元对称多项式”， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 多项式交换x、y的位置为多项式， ∵多项式与多项式相等， ∴也是“二元对称多项式”． （3）解：多项式交换x、y的位置为多项式，交换前后的多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”， 多项式交换x、y的位置为多项式交换前后的多项式不相等，故多项式不是“二元对称多项式”， ∵关于x，y的三个多项式：，，（a，k，p为常数）是“二元对称关联多项式”， ∴多项式是“二元对称多项式”， ∴， ∴； ∵多项式和多项式中未知数x、y的次数都为1，而多项式中未知数x、y的次数含有2次， ∴多项式不能由多项式和进行加减计算得到， ∴由“二元对称关联多项式”的定义可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $