精品解析：云南安宁市第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试卷

安宁一中高二年级2026-2027学年上学期期中考试 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，即可求得. 【详解】因为，所以，所以的虚部为. 3. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，结合二倍角的正弦公式计算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以. 故选：C. 5. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】是的中点，则 ． 6. 已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，， ． 7. “圆截直线所得弦长为2”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，利用圆的弦长公式列方程求参数，结合充分、必要性的定义确定条件间的关系. 【详解】由的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 由，则或， 所以“圆截直线所得弦长为2”是“”的必要不充分条件. 故选：B 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在上有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象先求出函数解析式，即可判断A；再根据正弦函数的性质判断BCD即可. 【详解】由图可知，，， 则，故A错误； 又，则，所以， 则，即，， 又，所以，即， 则， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 当时，， 因为正弦函数在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，故C正确； 令，即， 则，，即，， 又，则或， 所以函数在上有2个零点，故D错误. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分，少选得部分分，多选错选不得分） 9. 在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系，写出对应点坐标可判定A、B、C，由空间向量的数量积公式求夹角可判定D . 【详解】由题意可知：， 所以， 则，，， 易知为钝角，所以. 综上A、C、D三项正确，B项错误. 故选：ACD 10. 已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与圆相切 C. 当时，直线与圆相交 D. 当时，直线与圆相离 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径进行比较，即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆：，配方得，圆心坐标，半径. 选项A：令，则，与无关，所以直线恒过定点，A正确. 选项B：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，B错误. 选项C：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，C正确. 选项D：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，D错误. 故选：AC. 11. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件互斥以及事件的运算性质计算，即可判断A、B、C；根据对立事件概率公式以及事件的独立性即可判断D. 【详解】对于A项，因为与互斥， 所以，故A正确； 对于B项，因为与相互独立， 所以， 所以，.故B正确； 对于C项，因为， 所以，.故C错误； 对于D项，由，可得， 所以，， 所以， 事件与相互独立.故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】由，构造方程，解方程求出x，有了的坐标，代入向量模 的计算公式，即可求出模． 【详解】由得：，解得， 所以． 【点睛】求常用的方法有：①若已知，则=；②若已知表示的有向线段的两端点A、B坐标，则=|AB|= 13. 已知平面内有，，三点，则的外接圆的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，则的外接圆是以线段为直径的圆，从而可求出圆心坐标和半径长，进而可得圆的方程． 【详解】由已知得，， 故，所以，则的外接圆是以线段为直径的圆． 因为 设线段的中点为，则的坐标为， 所以该圆的标准方程为． 故答案为： 14. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的体积是___________，三棱锥的内切球的体积是___________ 【答案】 ①. . ②. . 【解析】 【分析】折叠后、，两两垂直，将三棱锥放入长方体中，再利用等体积法求体积；设内切球的半径为，则球心到三棱锥的四个面的距离均为，球心把三棱锥的体积分为4个小三棱锥，且它们的体积之和为三棱锥的体积，即可求出，计算出内切球体积为. 【详解】由题意可得，折叠前，在中，， 在中，， 在中，， 折叠后，，， 在中，， 则、，两两互相垂直，将三棱锥放入长方体中，如图所示，. 设三棱锥内切球的半径为，球心为，则球心到三棱锥的四个面的距离均为， ，， ， 在中，由余弦定理得，， 所以，， 由得，，，解得， 则内切球的体积为. 【点睛】方法归纳： （1）题：翻折保留垂直关系，用等体积法计算棱锥体积. （2）题：结合内切球的球心到各切面距离相等，求出球心坐标. 易错归纳： （1）题：选用斜面作底面，计算繁琐易出错. （2）题：误将球心置于原点；点面距离选取错误. 四、解答题（共77分） 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【小问1详解】 直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. 【小问2详解】 依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 16. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） （2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 【答案】（1），平均数75分，中位数约为. （2） 【解析】 【详解】（1）由频率分布直方图，得， 所以.该次测试分数的平均数的估计值为： 分； 测试分数在的频率：， 测试分数在的频率：， 则测试分数中位数为，，解得， 所以此次数学测试分数的中位数约为. （2）记分数在的人数为（人）， 分数在的人数为（人）， 由，得采用分层随机抽样的方法抽取的5人中， 分数在的有2人，编号分别为，分数在的有3人，编号为， 从这5人中选取2人的样本空间， 则，记事件“至少有一人分数在”，则，则， 所以这2人中至少有一人分数在内的概率为. 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式即可求出，进而求出； （2）根据余弦定理可得到，再根据三角形面积公式得到，即可求出，进而求出的周长. 【小问1详解】 解：由及正弦定理得， ∴，∵，∴， ∵，∴. 【小问2详解】 解：由（1）及已知得，∴， 由余弦定理知， ∴，∴， ∴△ABC的周长为. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，E为PC中点，作于F. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于O，则O为的中点，连接，且O､E分别为､的中点， 所以，平面，平面，平面. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）连接，交于O，连接，通过证明可利用线面平行的判定定理证明结论； （2）建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量和直线的方向向量，结合线面角的向量法求解即可； （3）利用空间向量法求出平面，平面的法向量，结合二面角的向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面为正方形，侧棱底面， 以点D为坐标原点，DA，DC，DP方向的直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设， ， 所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则. 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设，则，所以， 又，所以，解得， 所以.则， 设平面的法向量为， 则，即，令，则； 设平面的法向量为， 则，即，令，则； 设平面与平面的夹角为，则； 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 已知圆C过点和且半径为1． （1）求圆C的方程； （2）当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 【答案】（1）圆的方程为或 （2）（ⅰ）切线方程为或；（ⅱ）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）由条件求出线段的中垂线方程，结合圆心在该直线上且圆的半径为1列方程组求解即得； （2）先确定圆心在轴上的圆的方程，（ⅰ）分切线斜率存在、不存在两种情况，利用圆心到切线距离等于半径求解切线方程；（ⅱ）联立直线与圆方程，结合韦达定理、向量数量积的坐标运算，利用二次函数的性质求取值范围. 【小问1详解】 因圆C过点和，则线段的中点为，斜率为1，则其中垂线方程为，即， 设圆心为，因圆的半径为1，则可得，解得或 当时，，圆的方程为； 当时，，圆的方程为. 【小问2详解】 依题意圆心纵坐标，则圆心，半径，圆的方程为. （ⅰ）因过点斜率不存在的直线恰与圆相切，即一条切线方程为； 设另一条切线斜率为，则可设其方程为，即. 由圆心到直线的距离 ，解得，则得切线方程为. 综上，切线方程为或； （ⅱ）联立，消去整理得. 依题意，解得， 设，则， 则， ， 因该函数的对称轴为，故， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安宁一中高二年级2026-2027学年上学期期中考试 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是定义在R上且周期为4的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 7. “圆截直线所得弦长为2”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数在上有3个零点 二、多选题（每题6分，共18分，少选得部分分，多选错选不得分） 9. 在菱形纸片中，E，F分别为，的中点，O是菱形的中心，，，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，以O为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当时，直线与圆相切 C. 当时，直线与圆相交 D. 当时，直线与圆相离 11. 已知随机事件、发生的概率分别为，，则（ ） A. 若与互斥，则 B. 若与相互独立，则 C. 若，则 D. 若，则事件与相互独立 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知向量，若，则__________ 13. 已知平面内有，，三点，则的外接圆的标准方程为___________． 14. 如图，在边长为2的正方形中，点是的中点，点是的中点，将，，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的体积是___________，三棱锥的内切球的体积是___________ 四、解答题（共77分） 15. 在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. （1）求BC边所在直线的一般式方程； （2）若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 16. 学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已知参加此次测试的学生的分数全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试分数分成5组：，，，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）求的值，并估计此次数学测试分数的平均数与中位数．（中位数保留一位小数） （2）若采用分层随机抽样的方法，从分数在内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在内的概率． 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求B； （2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长. 18. 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，E为PC中点，作于F. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 已知圆C过点和且半径为1． （1）求圆C的方程； （2）当圆C的圆心在x轴上时： （ⅰ）若P的坐标为，求过点P与圆C相切的直线方程； （ⅱ）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $