精品解析：云南省玉溪第一中学（南校区）2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

玉溪一中2026—2027学年上学期高二年级期中考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解得不等式的解集，再根据充分不必要条件的定义，即可判断. 【详解】根据题意，由不等式，解得， 记集合，集合， 所以是的真子集，即“”是“”的充分不必要条件. 3. 离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 4. 在ΔABC中,若 ,则=（ ） A. 6 B. 4 C. -6 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】向量的点乘， 【详解】,选C. 【点睛】向量的点乘，需要注意后面乘的是两向量的夹角的余弦值，本题如果直接计算的话，的夹角为∠BAC的补角 5. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出和的值再求它们的和，从而可得正确的选项. 【详解】，，故， 故选：C. 【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的函数值的计算，注意根据自变量的大小选择合适的解析式来计算，本题属于基础题. 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称中心结合正切函数性质可得，进而可求最小正周期. 【详解】因为函数的图象的一个对称中心为， 则，解得， 且，所以函数的最小正周期为， 对于选项A：若，此时，不合题意，故A错误； 对于选项B：若，此时，不合题意，故B错误； 对于选项C：若，解得，故C正确； 对于选项D：若，此时，不合题意，故D错误； 故选：C. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】凑角后利用诱导公式和二倍角公式求解. 【详解】. 8. 已知是定义在上的函数，且，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得函数的周期为且为偶函数，再求得，，据此可得． 【详解】，， 又，则， ，即函数的周期为， ，即函数为偶函数， 由可得，，又，可得， ，则， ． 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 以人工智能､量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲､乙､丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A. 甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 B. 只有甲､丙小组受到奖励的概率为 C. 只有一个小组受到奖励的概率等于 D. 技术难题被攻克的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】AB选项，利用独立事件概率乘法公式进行求解；C选项，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解；D选项，先求出技术难题没有被攻克的概率，再利用对立事件概率公式进行求解. 【详解】A选项，甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为，A正确； B选项，只有甲､丙小组受到奖励的概率为，B错误； C选项，只有一个小组受到奖励的概率等于 ，C正确； D选项，技术难题没有被攻克的概率为， 故技术难题被攻克的概率为，D正确. 故选：ACD 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 D. 若空间向量，，满足，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量模长相等，方向不一定相同或相反即可判断选项A；根据相反向量的定义即可判断选项B；根据投影向量的公式即可判断选项C；取即可判断选项D. 【详解】对于A，两个向量模相等，仅代表长度相等，方向可以任意，不一定是同向或反向，选项A错误； 对于B，根据相反向量的定义可知，长度相等，方向相反的向量称为相反向量，由向量是向量的相反向量， 则，选项B正确； 对于C，由投影向量公式可得，向量在向量上的投影向量为，由题可得， ，所以，因此，选项C正确； 对于D，当时，由零向量方向任意，则其与任何一个向量均平行，满足，， 而，不一定平行，选项D错误. 11. 已知圆：，直线：，直线与圆交于，两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的最大值为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】将直线方程整理为即可判断直线过定点，从而判断选项A；由圆中弦长公式，可知当最大时，弦最小，则当时，最大，求出的值即可判断选项B；由B可知，再根据余弦定理可得，从而求出的取值范围即可判断选项C；由题可知，圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列出等量关系，求出的值即可. 【详解】对于A，由可得，令，则且，所以直线过定点，选项A正确； 对于B，由A知，直线过定点，由，则点在圆内， 由圆的弦长公式为，即，则当最大时，弦最小，即当时， 的最大值为，此时的最小值为，选项B错误； 对于C，由B可知，又，所以，则， 因为， 又因为，则，所以，即， 所以的最大值为，选项C正确； 对于D，由题可知半径，因为圆上恰有三个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离为， 又直线：，圆心为，所以圆心到直线的距离，解得，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的斜率是，直线经过点，，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出的斜率，根据直线平行可得斜率相等即可求出. 【详解】直线经过点，，， ，，解得. 13. 函数已知x<2，则的最大值是______. 【答案】 【解析】 【分析】将原式变形为，利用基本不等式求出的最小值，进而可得的最大值. 【详解】解：，， ， 又， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查基本不等式求最值，当积不是定值的时候，需要凑项来得积为定值，是基础题. 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】选取从出发的三条棱作为空间基底，引入参数t表示P，展开数量积得到关于t的二次函数，结合求值域． 【详解】设，已知， ， 点P在线段上，设， 由平行六面体的性质得， ， ， ， ， 令，二次函数开口向上，对称轴， 故最小值， ， 故． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 【答案】（1）x＝4或3x＋4y-8＝0. （2） 【解析】 【分析】（1）对斜率存在和斜率不存在两种情况分类讨论，由点到直线的距离为半径即可求得直线方程； （2）由倾斜角可写出直线方程，求出点到直线的距离，再由勾股定理即可求出弦长. 【详解】（1）由题意知，圆C的圆心为（2，3），半径r＝2 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－4），即kx－y－4k－1＝0， 则圆心到直线的距离为即，解得， 所以此时直线l的方程为3x＋4y-8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y-8＝0. （2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y-3＝0， 圆心到直线l的距离 故所求弦长为：. 16. 已知为椭圆上一动点，为坐标原点，若． （1）求点的轨迹的方程； （2）是否存在过点的直线交曲线于，两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设点，由得点，代入椭圆方程即可求解； （2）设，，利用点差法即可求解. 【小问1详解】 设点，由得点， 又点P为椭圆上的动点，所以， 整理得，所以点Q的轨迹方程是； 【小问2详解】 椭圆，易知点在椭圆C的内部， 设，， 所以， 所以， 可知AB的斜率存在且不为0，则， 所以， 又为中点， 所以，， 所以 所以直线，即 17. 已知锐角的内角所对的边分别，且. 若，，且． （1）求角和边． （2）若点满足，求的面积． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量垂直得数量积为0，再由正弦定理化边为角，可求得角，然后由余弦定理求得，注意取舍． （2）由向量的线性运算求得在上位置，利用的面积得出结论． 【详解】（1）由，即，由正弦定理， ，又， 又． 由，代入得，1或2， 又时，，不合题意，舍； 时，，符合题意，所以． （2）， ， 在上，且为靠近的三等分点， ， ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量垂直的数量积表示，解题关键是由正弦定理化边为角．在解三角形中已知两边和一边对角求第三边时也可以应用余弦定理列式求解，同样需要判断三角形解的情况． 18. 已知椭圆：（）的焦距和短轴长相等，上顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）为椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，． （ⅰ）若弦长，求直线的方程； （ⅱ）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（ⅰ）或 （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质和已知条件求出，进而得到椭圆的标准方程. （2）（i）联立椭圆和直线方程，根据韦达定理列出弦长的表达式，求出直线的斜率，进而求得直线的方程；（ii）点在以为直径的圆外，进而得到关于的不等式，进而求得结果. 【小问1详解】 由题意，知 所以，，所以， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）根据题意，直线的方程为，设，， 联立整理，得， ，即， 所以，①， 所以， 即，解得或舍去， 所以， 所以直线的方程为或. （ⅱ）依题意，点在以为直径的圆外，则. 即，即②， 而， 代入②式，可得， 再将①代入可得 整理得，解得或 又因，则得. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，、分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． （3）若，动点在平面内，且，求的最大值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为分别为的中点，所以，所以， 又因为，所以，又，， 所以四边形是平行四边形，所以，所以， 又因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理证明可得； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量方法表示夹角的余弦值，然后利用二次函数求解即可； （3）连接交于点，连接，过作于，由几何关系得到动点的轨迹后可得. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又平面，所以为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 又因为，所以， 所以平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 【小问3详解】 连接交于点，连接，过作于， 因为，为的中点，所以为的中点，且为的中点， 又为的中点，所以，，又， 所以，又因为平面，所以平面， 又平面，所以，所以， 由（1）知平面平面，平面平面，， 所以平面，又动点在平面内，所以平面， 所以， 所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又，所以在圆上，所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2026—2027学年上学期高二年级期中考 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在ΔABC中,若 ,则=（ ） A. 6 B. 4 C. -6 D. -4 5. 已知函数则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，且，，若，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中有多个选项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 以人工智能､量子信息等颠覆性技术为引领的前沿趋势，将重塑世界工程科技的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大.某公司抓住机遇，成立了甲､乙､丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克了该技术难题的小组都会受到奖励.已知甲､乙､丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A. 甲､乙､丙三个小组均受到奖励的概率为 B. 只有甲､丙小组受到奖励的概率为 C. 只有一个小组受到奖励的概率等于 D. 技术难题被攻克的概率为 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则或 B. 若向量是向量的相反向量，则 C. 已知，，则向量在向量上的投影向量是 D. 若空间向量，，满足，，则 11. 已知圆：，直线：，直线与圆交于，两点，则（ ） A. 直线过定点 B. 的最小值为2 C. 的最大值为 D. 当圆上恰有三个点到直线的距离等于时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线的斜率是，直线经过点，，，则的值为________． 13. 函数已知x<2，则的最大值是______. 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为2，，若点P在线段上，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆C：（x-2）2＋（y-3）2＝4外有一点P（4，－1），过点P作直线l. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长． 16. 已知为椭圆上一动点，为坐标原点，若． （1）求点的轨迹的方程； （2）是否存在过点的直线交曲线于，两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 17. 已知锐角的内角所对的边分别，且. 若，，且． （1）求角和边． （2）若点满足，求的面积． 18. 已知椭圆：（）的焦距和短轴长相等，上顶点为． （1）求椭圆的标准方程； （2）为椭圆的右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，． （ⅰ）若弦长，求直线的方程； （ⅱ）若点落在以线段为直径的圆的外部，求的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，、分别为，的中点． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． （3）若，动点在平面内，且，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $