精品解析：山东烟台市莱州市2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026—2027学年第一学期秋季适应性检测 初四数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，列式计算即可得解． 【详解】∵， ∴x+3>0， ∴x>-3． 故选A 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为0， 二次根式的被开方数非负，是解决此题的关键． 2. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解； 【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，， ，,． 选项B、C、D都是错误的， 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键． 3. 比较二次函数与的图象，则（　　） A. 开口大小相同 B. 开口方向相同 C. 对称轴相同 D. 顶点坐标相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据解析式分别得出函数的开口方向，开口大小，顶点坐标，对称轴方程，再比较即可； 【详解】解：∵二次函数与， ∴函数的开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为； 函数的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为； 故选项B、D错误，选项C正确； ∵二次函数中的，中的， ∴它们的开口大小不一样，故选项A错误； 故选：C． 4. 两根木棒分别一头靠在墙上，另一头放在地面上，木棒的倾斜角为，木棒的倾斜角为，已知，，则两根木棒倾斜程度为（ ） A. 木棒比木棒陡 B. 木棒比木棒陡 C. 木棒与木棒一样陡 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵倾斜角，均为锐角，锐角的正切值随角度增大而增大， ∴，即木棒比木棒陡． 5. 用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了计算器的使用（求三角函数值）的知识点，解题关键是熟悉计算器输入度分形式角度并计算三角函数值的按键流程． 依照利用计算器求三角函数值时的按键顺序，明确角度的度分秒输入方法以及正弦函数的按键操作． 【详解】解：∵ 角度为，无秒值， ∴ 按键顺序应为：先按，然后输入角度，在计算器中，输入度分秒时，通常是先输入度的数值，按“”键，再输入分的数值，“”键． A、按键顺序为、、、、、、、，先按键，再依次输入，符合用计算器求的按键顺序，符合题意； B、先按键再输入数字，不符合角度输入的正常逻辑，不符合题意； C、“”键在此操作中无意义，不需要此按键，不符合题意； D、 输入分的数值后没有按键，无法正确识别分的输入，不符合题意． 故选：A． 6. 将二次函数图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到新图象的函数表达式为，则原表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将配方为，然后反向平移即可求得原函数表达式． 【详解】解：将配方得 . 将该函数图象向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度，得到原函数图象， 则原函数表达式为． 7. 如图，在中，，于，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，得，将代入求值即可． 【详解】解：∵在中，，于， ∴，， ∴， ∵，， ∴即， ∴， ∴，， ∴． 8. 二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴为直线，故B，D不符合题意； ∵当时，，， ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意． 故选：A． 9. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用（方向角问题），添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先求出、和，然后求出、和，最后根据即可得解， 【详解】解：如图，过点作于点， ， 点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：，，对任意实数，都有，若点，在函数图象上，且满足，，则．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线开口方向、对称轴及与轴交点坐标，结合二次函数性质逐一判断．由对称轴及一个交点可得另一个交点，从而判断时的函数值符号；利用时的等式及对称轴公式推导与的关系；利用最大值性质判断不等式；利用对称性及增减性比较函数值大小． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，，对称轴为直线，经过点， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，即，故结论正确； ∵抛物线经过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故结论正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，对任意实数，都有， ∴，故结论正确； ∵， ∴，即关于直线对称，对称轴为直线，且抛物线开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴， 若，则， 若，则， ∵， ∴， ∵，，即点离对称轴更远， ∴，故结论正确， 综上所述，正确的结论有个． 二、填空题（本题共6个小题） 11. 若是关于x的二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角函数之间的关系，利用三角函数的互余关系，将 转化为 即可求解. 【详解】解：∵ ， ∴. 故答案为：. 13. 抛物线关于轴对称的抛物线表达式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是掌握抛物线关于轴对称时，点的坐标变化规律（纵坐标变为相反数）． 根据抛物线关于轴对称的性质，将原抛物线解析式中的替换为，再整理式子即可得到对称后的抛物线表达式． 【详解】解：已知原抛物线表达式为， 抛物线关于轴对称时，其上任意一点的纵坐标变为原来的相反数， 即对称后的抛物线满足， 两边同时乘以，得． 故答案为：． 14. 已知在中，，，设，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】结合直角三角形两锐角互余的性质确定的取值范围，再根据锐角余弦的增减性推导的范围． 【详解】解：∵在中， ∴，即为锐角，满足 ∵ ∴ ∵锐角的余弦值随角度的增大而减小，，且 ∴． 15. 已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线整理成的形式，可得当时，无论m取何值，函数图象恒过定点，据此求解． 【详解】解：∵， ∴当时，无论m取何值，函数图象恒过定点， 此时，， 即定点A的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，掌握求解的方法是关键． 16. 如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为_____分米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．延长，交直线l于点G，先证明，然后求出，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：延长，交直线l于点G， ， ， ， ， ， ， 在中， ， 设（分米），则（分米）， （分米）， ， 在中，， ， 解得（分米）， （分米）． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 18. 如图，利用函数的图象，解决下列问题： （1）方程的解是 ； （2）该函数图象的顶点坐标是 ，当 时，随的增大而减小； （3）当时，的取值范围是 ； （4）当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）， （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线与c轴交点坐标求解； （2）将二次函数解析式化为顶点式求解； （3）根据抛物线开口方向及对称轴求解； （4）由抛物线经过及抛物线的对称性求解． 【小问1详解】 解：由图象可得抛物线经过，， ，为方程的解， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：， 抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 抛物线开口向上， 时，随增大而减小， 故答案为：，． 【小问3详解】 解：抛物线开口向上，顶点坐标为， 函数最小值为， 将代入得， 当时，， 故答案为：． 【小问4详解】 解：由图象可得抛物线经过， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过， 当或时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 19. 已知直角三角形的两条直角边分别是、，斜边是， （1）如果，，求及直角三角形的面积； （2）如果，，求及． 【答案】（1）的值为；直角三角形的面积为1 （2）； 【解析】 【分析】本题考查解三角形，三角形的面积，二次根式的混合运算， （1）根据勾股定理即可求出斜边c的长度，再根据面积公式即可得出直角三角形的面积； （2）根据勾股定理即可求出b的长度，再根据正切函数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵在直角三角形，直角边，， ∴ ， ∴的值为； ∴直角三角形的面积为：； 【小问2详解】 解：∵在直角三角形，直角边，斜边， ∴， ∴， ∴的值为，． 20. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） 0 2 4 6 8 （米） 7 请解决以下问题： （1）求关于的函数表达式； （2）公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽6米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调高多少米？ 【答案】（1） （2）不能，喷头至少升高米即可安全通过 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性确定对称轴和顶点坐标，再结合抛物线过，即可求出函数关系式； （2）游船关于对称轴左右对称通过时，确定x的范围，求出范围内y的最小值，判断是否能通过，然后再根据题意计算即可． 【小问1详解】 解：抛物线过，， ∴对称轴是直线． ∴顶点为． ∴设所求函数关系式为． ∵抛物线过， ∴． ∴， ∴所求函数关系式为 ； 【小问2详解】 解：∵抛物线对称轴为，游船宽6米，关于对称轴左右对称通过时， ∴水平区间为：到，即． 将代入函数 ， ∴ （米）， ∵米＜米， ∴游船不能安全通过． 设喷头升高k米， ∴整个水柱抛物线向上平移k米，区间内最低高度也会增加k米． ∴， ∴． 答：喷头至少升高米即可安全通过． 21. 商场销售某品牌牛奶，已知进价为每箱40元．经市场调研，售价为50元时，可销售90箱；售价每提高5元，销售量将减少15箱． （1）设每箱售价为元，则销售量是　　箱； （2）商场规定，利润率不超过，当每箱售价为多少元时，才能使利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每箱售价为56元时，销售利润最大，最大为1152元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）首先根据题意列出不等式组求出，设销售总利润为w元，然后利用二次函数的性质求解． 【小问1详解】 解： ∴销售量是箱； 【小问2详解】 解：∵ ∴， 设销售总利润为w元， 由题意得， ∵，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，， 答：当每箱售价为56元时，销售利润最大，最大为1152元． 22. 已知：如图，斜坡AP的坡度为，坡长为39米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为．求： （1）坡顶A到地面的距离； （2）古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 【答案】（1）15米 （2）28米 【解析】 【分析】（1）过点A作，垂足为点H，根据坡度的定义可得，设米，则米，由勾股定理可得（米），则，求出a的值，即可得出答案． （2）延长交于点D，可得，设米，则米，进而可得米，在中，，求出x的值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）过点A作，垂足为点H， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设米，则米， 由勾股定理得，（米）， ∴， 解得， ∴米． 答：坡顶A到地面的距离为15米． 【小问2详解】 解：延长交于点D，由题意得，米，， ∵， ∴， 设米，则米， 由（1）可得（米）， ∴米， 在中，， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 古塔的高度约为28米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 23. 多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． 【基础掌握】在中，，，．求的面积； 【灵活运用】在中，，，．求的面积； 【迁移提升】如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，然后求得，进而根据平行四边形的面积公式即可求解； （2）过点作于点，根据正弦的定义求得，勾股定理求得，继而根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据网格的特点求得的面积，根据，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示， 过点作于点， ∵，， ∴, ∵． ∴的面积为； （2）如图所示，过点作于点， ∴， ∴，， ∴, ∴的面积为； （3）根据（2）可得， ,, 又∵, ∴． 【点睛】本题考查了正弦的定义，勾股定理，掌握面积法求角度或边长是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点D，若、的面积分别为、，求的最大值． （3）已知M是直线上一动点，将点M绕着点O顺时针旋转得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标为______． 【答案】（1） （2）2 （3）点或 【解析】 【分析】（1）把点，，的坐标代入，解出，，，即可； （2）由，可得出，设点，然后根据面积公式代入得出关于x的二次函数，再利用二次函数的图象和性质求解即可． （3）当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点，得到，，；设点，则，，得到点；然后将点Q代入函数解析式，即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∵、、， ∴，， ∴， 设点， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， 又∵， ∴当时，取得最大值，最大值为2． 【小问3详解】 解：当点绕点顺时针旋转得到点，过点作轴交于点，过点作轴交于点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：, 则 解得：， ∴, ∵点在直线：上， ∴设点， ∴，，，， ∴点， ∵点在抛物线上， ∴， 解得：，， ∴点或； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期秋季适应性检测 初四数学试题 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡，试题卷共6页，共3道大题，24道小题，满分120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请将自己的班级、姓名、座号填写在相应的位置上． 一、选择题（本题共10个小题，下列每小题均给出标号为A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的） 1. 函数中自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 比较二次函数与的图象，则（　　） A. 开口大小相同 B. 开口方向相同 C. 对称轴相同 D. 顶点坐标相同 4. 两根木棒分别一头靠在墙上，另一头放在地面上，木棒的倾斜角为，木棒的倾斜角为，已知，，则两根木棒倾斜程度为（ ） A. 木棒比木棒陡 B. 木棒比木棒陡 C. 木棒与木棒一样陡 D. 无法确定 5. 用计算器求的值，以下按键顺序正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将二次函数图象向上平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到新图象的函数表达式为，则原表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，于，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 4.5千米 10. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，经过点，下列结论：，，对任意实数，都有，若点，在函数图象上，且满足，，则．其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本题共6个小题） 11. 若是关于x的二次函数，则______． 12. 若，则_______． 13. 抛物线关于轴对称的抛物线表达式为_____． 14. 已知在中，，，设，那么的取值范围是________． 15. 已知y关于x的二次函数，无论m取何值，函数图象恒过定点A，则点A的坐标为______． 16. 如图1为《天工开物》记载的用于舂捣谷物的工具---“碓(duì)”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点B，与水平线l相交于点O，．如果分米，分米，，那么点C到水平线l的距离为_____分米． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的解答过程或推理步骤） 17. 已知是锐角，且． 求的值． 18. 如图，利用函数的图象，解决下列问题： （1）方程的解是 ； （2）该函数图象的顶点坐标是 ，当 时，随的增大而减小； （3）当时，的取值范围是 ； （4）当时，的取值范围是 ． 19. 已知直角三角形的两条直角边分别是、，斜边是， （1）如果，，求及直角三角形的面积； （2）如果，，求及． 20. 某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．如图，通过测量获得如下数据： （米） 0 2 4 6 8 （米） 7 请解决以下问题： （1）求关于的函数表达式； （2）公园打算开发新的游玩项目，现有一艘宽6米的矩形平顶游船，顶棚离湖面高米，这艘游船要从喷泉拱门下通过，从安全角度考虑，船顶棚到水柱的竖直距离不小于米，请问这艘船能否安全通过？若能，请你求出顶棚到水柱的最短竖直距离；若不能，请你计算喷头至少调高多少米？ 21. 商场销售某品牌牛奶，已知进价为每箱40元．经市场调研，售价为50元时，可销售90箱；售价每提高5元，销售量将减少15箱． （1）设每箱售价为元，则销售量是　　箱； （2）商场规定，利润率不超过，当每箱售价为多少元时，才能使利润最大？最大利润是多少元？ 22. 已知：如图，斜坡AP的坡度为，坡长为39米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为．求： （1）坡顶A到地面的距离； （2）古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，） 23. 多边形面积的求解有多种方法，通过不同方法的应用，可以求解某些边和角． 【基础掌握】在中，，，．求的面积； 【灵活运用】在中，，，．求的面积； 【迁移提升】如图，的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，请直接写出的值． 24. 如图，已知抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点，点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当点P在直线上方的抛物线上时，连接、，交于点D，若、的面积分别为、，求的最大值． （3）已知M是直线上一动点，将点M绕着点O顺时针旋转得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $