解三角形解答题的七类问题训练-2027届高考数学一轮复习

解三角形解答题的七类问题和解题策略 一、用向量运算转化（向量包装条件：中线、分点、垂直、模、数量积、鸡爪模型） 解题策略： 第一，基底分解。取从同一顶点出发的两条边作为基底，把其余向量写成这两个基底的线性组合，由此读出比例关系。 第二，平方。凡是模长与数量积混合出现，先对等式两边平方，把模长化为边长、把数量积化为余弦，一步就能落到余弦定理的形式。 第三，中线。中线向量等于两邻边向量之和的一半，平方后得到中线长与三边的直接关系，这是本类使用频率最高的一步。 第四，极化恒等式。当题目给出中点与两条线段长度之和或差时，用数量积等于四分之一的两平方差，可以把“和”与“差”互换，避免引入夹角。 第五，垂直条件一律化为数量积为零；等腰加中线就是三线合一，垂直关系可以直接由边长相等得到。 第六，分点结构按比例写向量式：若点在边上按定比分点，则分点向量是两端点向量的加权平均，权重的分母和为定比之和，写反权重是本类最常见的手误。 第七，四心各用其定义式，重心用向量和为零，外心用半径相等，垂心用两组数量积为零，内心用角平分线方向。 1．（三线合一+向量垂直）（26-27高三上·甘肃·阶段检测）在锐角中，，且，，． (1)求； (2)若是的中点，证明：． 2．（向量运算+两种情况）（26-27高三上·江苏·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，边上的高，且． (1)若，求； (2)设是的外心，若，求的周长； (3)求的外接圆半径的取值范围． 3．（鸡爪模型）（26-27高二上·湖北·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若点在上，满足，，求面积的最大值． 4．（面积拆分+鸡爪模型）（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若点为的边中点，且，求面积的取值范围． 5．（鸡爪模型+正弦定理）（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）在中，内角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小. (2)若点在边上，满足且，求面积的最大值. (3)若点在延长线上，满足，，求. 6．（鸡爪模型）（2026·四川遂宁·一模）如图，在中，角，，所对的边分别为，，且． (1)求角； (2)为上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 二、面积拆分（等面积法，角平分线、边上分点） 解题策略： 第一步写出总面积等于两部分之和; 第二步用二分之一两边乘积乘夹角正弦展开; 第三步观察两个小三角形的夹角关系。若是角平分线，两个小角相等，正弦值相同，可直接约去，剩下的就是一条干净的边长等式，由此解出角平分线长。若是普通分点，则两个小三角形的面积比等于对应底边之比，配合余弦定理可解; 第四步，若题目还给了角平分线定理所需的边长信息，与面积等式联立可以消去一个变量; 第五步，得到关于两边乘积的等式后，用均值不等式求面积最值，或用余弦定理配合求范围。 1．（余弦+基本不等式+面积拆分）（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）的内角，，的对边分别是，，．已知． (1)求； (2)若，求的最大值； (3)若点在边上，为的平分线且长度为1，求 2．（面积拆分）（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）在中角，，所对的边分别是a，b，c，． (1)求角； (2)若，的平分线交于点，，求的周长．  3．（面积拆分）（26-27高三上·云南曲靖·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足， (1)若角的平分线长为1，且，求． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 4．（面积拆分）（26-27高三上·甘肃·阶段检测）在中，内角所对的边分别为．已知 ，． (1)求 ； (2)若为锐角三角形，为延长线上一点，且，求 面积的取值范围． 5．（面积拆分+角平分线定理）（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点， （i）求的取值范围； （ii）若，求角平分线长的最大值． 6．（面积拆分）（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）在中，，，分别为内角，，的对边，且，． (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值． 7．（基本不等式+面积拆分）（25-26高一下·四川成都·阶段检测）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，且满足. (1)求角； (2)当时，分别求面积的最大值及周长的最大值； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值. 三、用角求范围（角为主元，正弦定理边化角，锐角三角形约束高频） 解题策略： 第一，边化角。用正弦定理把每一条边换成对应角的正弦乘以同一个系数，待求量随之变成角的三角函数。 第二，消元。用内角和把三个角压成一个自变量，通常保留条件中信息最充分的那一个。 第三，定区间，这是本类的关键步骤，必须同时满足三条约束：每个角为正、三个角之和为定值、题目附加的锐角或钝角条件。锐角三角形意味着三个角同时小于九十度，只写其中一个角的约束是最常见的错误。 第四，化为一个正弦型函数，用辅助角公式整理成标准形式，再在区间上取端点与极值点比较。 第五，遇到内心、垂心等特殊点，先用其角度结论把未知角换成已知角，例如内心对顶角与顶角的关系、垂心与顶角互补，再走上述流程。 1．（常规）（26-27高二上·四川泸州·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)在锐角中， ①若，求的值； ②求周长的取值范围. 2．（常规）（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，，. (1)求角； (2)若，，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 3．（常规）（26-27高三上·海南海口·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 4．（正弦）（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，满足 ． (1)求角； (2)若是锐角三角形，，面积记为． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围． 5．（正弦）（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）在锐角中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，，为的垂心． (1)求； (2)求的最大值． 6．（鸡爪模型+正弦+基本不等式）（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角A． (2)D为边上一点，且． ①若，求面积的最大值； ②若为角平分线，求的取值范围． 7．（正弦定理）（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 8．（正弦）（26-27高三上·广东惠州·期中）在中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求证：； (2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 9．（极化+正弦）（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)在锐角中， （ⅰ）若，求的值； （ⅰⅰ）求边上中线的取值范围 10．（正弦）（26-27高三上·辽宁·阶段检测）在中，内角、、所对应边分别为、、，满足，且恒为的最大边． (1)若，则求的值； (2)求的取值范围． 11．（正弦）（26-27高三上·广东深圳）如图，在中，． (1)求A； (2)设BC边上有两点D，E，，且，求． 12．（正弦）（2026·云南昆明·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，是的面积，且满足． (1)证明：； (2)若，求的最大值． 13．（值域）（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)证明：. (2)求的取值范围. 四、用边求范围（边为主元，余弦定理建立边的函数，代数求范围） 解题策略： 第一，设边。选一条待求边或一条关键边设为变量，其余边用余弦定理与已知条件表示。 第二，翻译锐角条件。角为锐角等价于该角所对边的平方小于另两边平方和，三个角都锐就是三条不等式，这是把角的约束翻译成边的约束的标准做法。 第三，不要漏掉三角形成立条件，即任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，这一条常常正好给出变量的下界。 第四，把目标量写成单变量函数，用二次函数、单调性或均值不等式求值域。 第五，遇到分点结构，先用向量或余弦定理得到一条边的等式，再代数化处理。 1．（鸡爪模型）（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在中，点在边上，且，． (1)若，求； (2)若为的角平分线，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 2．（正弦+余弦）（2025·湖南·模拟预测）记的内角的对边分别为,已知 (1)求的最大值； (2)若的面积为，，求． 3．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）记的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 五、用基本不等式求最值 解题策略： 第一，先备三条放缩，两边平方和不小于两倍乘积、两边之和不小于两倍根号下乘积、乘积不大于两边和一半的平方。 第二，把余弦定理的等式与放缩联立，通常可以解出两边乘积的上界，再代入面积公式。 第三，检验等号，均值不等式取等的条件是两边相等，两边相等是否与题目的锐角、角度范围相容必须单独判断，不相容时最大值取不到，只能取上确界。 第四，周长定值的情形，把两条边看作某个一元二次方程的两根，用韦达定理加判别式确定乘积的范围。 第五，出现延长线上的点或外部分点时，注意补角关系，正弦不变、余弦变号，这是外角型题目唯一的新增知识点。 1．（余弦+基本不等式）（2026·湖南·一模）已知分别为三个内角的对边，． (1)求角； (2)若，点在边上，，求面积的最大值． 2．（基本不等式）（韦达+根的分布）（2026·青海黄南·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为3，求的取值范围； (3)若为边上一点，且，求的值． 3．（余弦）（26-27高三上·江苏常州·检测）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 ． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由． 4．（外角）（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求A； (2)若D为边AB上一点，且，求的值． 六、含内切圆半径的面积公式 解题策略： 第一，主公式是面积等于半周长乘以半径，它把面积与三边和直接绑定。 第二，与二分之一两边乘积乘夹角正弦联立，消去面积，得到关于边与半径的关系式。 第三，若需要进一步化简，把三边用正弦定理角化，半径可写成外接圆半径与三个半角正弦之积的形式，这时求最值就转成了三角函数问题。 第四，涉及内心到顶点的距离时，用半径除以半角正弦。 第五，与均值不等式配合，求半径或面积的最值。 1．（正弦+内切面积）（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)若该三角形的内切圆的半径为，试求的最大值． 2．（余弦+面积+内切面积）（2026·广东广州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，的面积满足． (1)求的大小； (2)若，，求的内切圆半径． 七、建系（坐标法解三角形 ，向量条件转化坐标运算；隐圆） 解题策略： 第一，选原点与坐标轴，优先选直角顶点或图形的对称轴，能减少一半运算量。 第二，把向量条件、垂直条件、距离条件翻成坐标等式，点积为零、两点距离公式、斜率乘积为负一。 第三，处理动点，先设参数写出点坐标，再消参得轨迹方程。 第四，定边定角的结构要认出隐圆：固定一条边、对角固定，则顶点在一条圆弧上，此时待求线段的最值转化为圆上点到定点距离的最值，几何意义明确。 第五，与向量或分点结构并用时，先用几何关系把图形简化，再建系，不要一上手就设一堆未知坐标。 1．（建系）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）如图，在矩形中，已知，点P在边上，点Q为边AB的中点，． (1)若P为边的中点，求矩形的面积； (2)求边长度的取值范围； (3)求面积的最小值． 2．（鸡爪模型+圆的方程）（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，． (1)求． (2)若点在边上，且．若，求的面积． (3)若点是的外接圆上的点，且点和点位于两侧，，求的取值范围． 3．（鸡爪模型+圆的方程）（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A的大小； (2)若边上的中线长为，求的面积S； (3)若是锐角三角形，以为边作正三角形（A与D位于边两侧），求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 解三角形解答题的七类问题和解题策略 一、用向量运算转化（向量包装条件：中线、分点、垂直、模、数量积、鸡爪模型） 解题策略： 第一，基底分解。取从同一顶点出发的两条边作为基底，把其余向量写成这两个基底的线性组合，由此读出比例关系。 第二，平方。凡是模长与数量积混合出现，先对等式两边平方，把模长化为边长、把数量积化为余弦，一步就能落到余弦定理的形式。 第三，中线。中线向量等于两邻边向量之和的一半，平方后得到中线长与三边的直接关系，这是本类使用频率最高的一步。 第四，极化恒等式。当题目给出中点与两条线段长度之和或差时，用数量积等于四分之一的两平方差，可以把“和”与“差”互换，避免引入夹角。 第五，垂直条件一律化为数量积为零；等腰加中线就是三线合一，垂直关系可以直接由边长相等得到。 第六，分点结构按比例写向量式：若点在边上按定比分点，则分点向量是两端点向量的加权平均，权重的分母和为定比之和，写反权重是本类最常见的手误。 第七，四心各用其定义式，重心用向量和为零，外心用半径相等，垂心用两组数量积为零，内心用角平分线方向。 1．（三线合一+向量垂直）（26-27高三上·甘肃·阶段检测）在锐角中，，且，，． (1)求； (2)若是的中点，证明：． 【详解】（1）因为，所以． 又，且是锐角三角形，所以， 则，即，． 因为，，且，所以，，则． （2）设，，所对的边分别为，，，由（1）可得，，则，． 因为是的中点，所以，则． 由，得，则， 则，则，即. 2．（向量运算+两种情况）（26-27高三上·江苏·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，边上的高，且． (1)若，求； (2)设是的外心，若，求的周长； (3)求的外接圆半径的取值范围． 【详解】（1）由，可得，即，． 代入整理得，． 又，由面积关系及正弦定理得，． ∵及，．由余弦定理，． ．由于，得． （2）是外心，． ． 结合，得．联立解得，． 由，在相应的直角三角形中，，． 或者．故周长为或． （3）∵高，可知，，又，得， 由（1）知，．， 当时，有最大值，或2时，有最小值1，． 3．（鸡爪模型）（26-27高二上·湖北·阶段检测）的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若点在上，满足，，求面积的最大值． 【详解】（1），由正弦定理得， ，． ，，，．，． （2），，， 又，，， ，当且仅当时，等号成立，的面积， 即面积的最大值为． 4．（面积拆分+鸡爪模型）（26-27高二上·贵州遵义·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若点为的边中点，且，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 即，由正弦定理可得，，即， 所以，因为，所以. （2）因为点为的边中点，， 即，所以，由，所以， 所以，则， 所以，当且仅当时，等号成立，所以， 即的面积的最大值为，因为， 则，故面积的取值范围为. 5．（鸡爪模型+正弦定理）（26-27高三上·江苏苏州·阶段检测）在中，内角，，的对边分别是，，，且. (1)求角的大小. (2)若点在边上，满足且，求面积的最大值. (3)若点在延长线上，满足，，求. 【详解】（1）由和正弦定理可得： ，代入整理得， 因，则，展开整理得，即. 因为，所以. （2）记，，则，因， 则， 即，又， 则，故， 于是的面积，等号在时成立. 可取，，，由前式确有，且为边上指定内分点，故最大值为. （3）设.因在线段的延长线上，， 则，，则， 在和中，由正弦定理，，， 两式相除，可得 因，代入可得，即 也即令，则得，解得或. 因，则，即. 6．（鸡爪模型）（2026·四川遂宁·一模）如图，在中，角，，所对的边分别为，，且． (1)求角； (2)为上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 【详解】（1）在中，由正弦定理及，得， 因为，所以，则. 若，则，不满足条件，所以，所以，因为，所以. （2）（i）由，得，，， 在中，由正弦定理得，，在中， 由正弦定理得， 所以． （ii）由得，，则， 因此， 即，当且仅当时取等号， 则，所以，故当，时，的面积取得最大值． 二、面积拆分（等面积法，角平分线、边上分点） 解题策略： 第一步写出总面积等于两部分之和; 第二步用二分之一两边乘积乘夹角正弦展开; 第三步观察两个小三角形的夹角关系。若是角平分线，两个小角相等，正弦值相同，可直接约去，剩下的就是一条干净的边长等式，由此解出角平分线长。若是普通分点，则两个小三角形的面积比等于对应底边之比，配合余弦定理可解; 第四步，若题目还给了角平分线定理所需的边长信息，与面积等式联立可以消去一个变量; 第五步，得到关于两边乘积的等式后，用均值不等式求面积最值，或用余弦定理配合求范围。 1．（余弦+基本不等式+面积拆分）（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）的内角，，的对边分别是，，．已知． (1)求； (2)若，求的最大值； (3)若点在边上，为的平分线且长度为1，求 【详解】（1）对已知等式， 由正弦定理，角化边得：， 整理得，代入余弦定理，得：， 因为，故. （2）由余弦定理，代入，得：， 由基本不等式，当且仅当时等号成立，代入上式得：， 即，因为，故，当且仅当时取等，因此的最大值为. （3）因为为的平分线，故， 由， 代入面积公式得：， 代入，化简得：，因此. 2．（面积拆分）（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测）在中角，，所对的边分别是a，b，c，． (1)求角； (2)若，的平分线交于点，，求的周长． 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理知，故，所以， 故，即，由，得， 因为，所以，故，则，故； （2）由平分，将的面积分为与面积之和，得， 所以，结合，得． 由余弦定理，，设，得，故， 所以周长为．  3．（面积拆分）（26-27高三上·云南曲靖·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足， (1)若角的平分线长为1，且，求． (2)若为锐角三角形，，求的取值范围． 【详解】（1）由正弦定理可知 ， 因为，所以，所以 ，即，即， 即，即，因为 ，所以 ， 由此得 ，即 .因为是角 的平分线，所以 ， 根据三角形面积公式，有 ， 即，即，所以， 由余弦定理 ，则. （2）由题意得，即， 因为为锐角三角形，则，即，解得. 则，其中， 设，则在上单调递增， 则，即，所以的取值范围为. 4．（面积拆分）（26-27高三上·甘肃·阶段检测）在中，内角所对的边分别为．已知 ，． (1)求 ； (2)若为锐角三角形，为延长线上一点，且，求 面积的取值范围． 【详解】（1）由余弦定理，. 代入已知条件得. 因，故.又 ，所以 . （2）因在的延长线上， 依次共线，故. 在中，，所以，从而. 于是 . 由， 及余弦定理得 . 因为锐角三角形，故 且 ， 即且，解得 且. 反之，当 时，取，，， 则，，故确为锐角三角形； 再在射线上取，即有，条件可以取到.所以 . 5．（面积拆分+角平分线定理）（25-26高一下·四川成都·阶段检测）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点， （i）求的取值范围； （ii）若，求角平分线长的最大值． 【详解】（1）由正弦定理边化角可以转化为， 因为，所以， 原式等价于，即， 所以，因为，所以，即. （2）由角平分线性质定理可得，，结合，得，所以，展开分子化简得， 结合锐角三角形的约束条件：所有内角都小于， 即，解得，所以，所以. （ii）因为，所以， 由（1）可知，所以，，上式化简得， 已知，由余弦定理得， 由基本不等式得，即，当且仅当时取等号， 同时，当且仅当时取等号， 代入，当且仅当，即是等边三角形时，角平分线取到最大值. 6．（面积拆分）（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）在中，，，分别为内角，，的对边，且，． (1)若，求； (2)若，在边上且，求证：； (3)求面积的最大值． 【详解】（1）若则，则由余弦定理得； （2）证明：因为，，所以， 即，化简得. （3）由余弦定理且、可得， 而， 令，则，即， 则，其中， 因为，所以，所以的终边经过点， 因此取为锐角，则，所以，解得.所以最大值为. 7．（基本不等式+面积拆分）（25-26高一下·四川成都·阶段检测）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，且满足. (1)求角； (2)当时，分别求面积的最大值及周长的最大值； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值. 【详解】（1）由题意可知， 由余弦定理，则，在锐角中可知； （2）由上，所以， 当且仅当时取得最大值， 由上又可知， 所以，当且仅当时取得等号，此时周长取得最大值3； （3）设，则， 可得，又由（2）可知，则， 由知，，则， 当且仅当时，长度取得最大值. 三、用角求范围（角为主元，正弦定理边化角，锐角三角形约束高频） 解题策略： 第一，边化角。用正弦定理把每一条边换成对应角的正弦乘以同一个系数，待求量随之变成角的三角函数。 第二，消元。用内角和把三个角压成一个自变量，通常保留条件中信息最充分的那一个。 第三，定区间，这是本类的关键步骤，必须同时满足三条约束：每个角为正、三个角之和为定值、题目附加的锐角或钝角条件。锐角三角形意味着三个角同时小于九十度，只写其中一个角的约束是最常见的错误。 第四，化为一个正弦型函数，用辅助角公式整理成标准形式，再在区间上取端点与极值点比较。 第五，遇到内心、垂心等特殊点，先用其角度结论把未知角换成已知角，例如内心对顶角与顶角的关系、垂心与顶角互补，再走上述流程。 1．（常规）（26-27高二上·四川泸州·阶段检测）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． (1)求A的大小； (2)在锐角中， ①若，求的值； ②求周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 在中，，则， 则，整理得， 因为，则，即，又因为，所以. （2）①因为，所以， 由余弦定理得，，则，即， 则，可得. ②由正弦定理得，可得，又， 在锐角中，有，解得， 所以周长为， 因为，所以， 则，即， 所以周长的取值范围为. 2．（常规）（26-27高三上·天津滨海新区·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，，. (1)求角； (2)若，，求； (3)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由正弦定理可知， 即， 又，，则， 因为、，所以，故，所以. （2）由（1）知，因为，， 所以，由三角形面积公式得，整理得，解得：，所以，， 由勾股定理可得，故，所以，. （3）由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以． 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则，即， 则，故的周长的取值范围为. 3．（常规）（26-27高三上·海南海口·阶段检测）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求角的大小； (2)若，求的取值范围． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得，且，则． （2）因为，，所以由正弦定理得，， 则，， 则， 在中，，故，则， 则，所以的取值范围为． 4．（正弦）（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）已知的内角所对的边分别为，满足 ． (1)求角； (2)若是锐角三角形，，面积记为． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围． 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以，则 ，解得，又，所以. （2）（ⅰ）因为，所以，解得， 因为，所以， 解得，则， 因为，所以. （ⅱ）因为角的内角平分线与角的内角平分线交于点，所以是的内心，因为， 所以，因为，所以， 在中，，，设，， 又为锐角三角形，， 则，即，解得，则， 在中，由正弦定理得到，，则，， 又，则， 则，所以，所以 5．（正弦）（26-27高三上·辽宁大连·阶段检测）在锐角中，角，，所对的边分别为a，b，c，且，，为的垂心． (1)求； (2)求的最大值． 【详解】（1）锐角中， ，， 由余弦定理得：，代入 得：，化简得：， 又因为，所以，解得：， 又因为是锐角三角形，所以. （2）设的外接圆半径为，由正弦定理得：，得：， 由于为的垂心，则，， 所以， 在中，由正弦定理得： 所以，而，， 所以，所以， 同理得，则，， ,其中为辅助角可取为锐角，， 当即，即时，取最大值, 即的最大值为. 6．（鸡爪模型+正弦+基本不等式）（26-27高三上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． (1)求角A． (2)D为边上一点，且． ①若，求面积的最大值； ②若为角平分线，求的取值范围． 【详解】（1） ∴ 由正弦定理得：  ，展开得： , 而 ，故等式两边同时除以 得： 故 ． （2）①    如图所示， 当时取等号, 由面积公式： ②    如图所示， 为角平分线，在中,由正弦定理得 又当时取等号, 故 7．（正弦定理）（26-27高二上·广西桂林·阶段检测）记的内角，，所对的边分别为，，，已知. (1)求角； (2)已知. （i）若的面积为，求的周长； （ii）若为锐角三角形，且角的内角平分线与角的内角平分线交于点，求面积的取值范围. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， ， 因为，所以，即， 因为，所以，即，可得，因为，所以. （2）（i）由以及的面积为，得，则， 因为，由余弦定理得，得， 解得，所以的周长为； （ii）为锐角三角形，，故，且解得. ，分别平分角，角，则，，. 在中，由正弦定理得， 即，.又由，得， 所以 . 由，得，故，因此面积的取值范围为. 8．（正弦）（26-27高三上·广东惠州·期中）在中， 内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求证：； (2)若是锐角三角形，且，求周长的取值范围. 【详解】（1）在中，因为，所以， 所以，故，即， 则，或，又因为，所以，所以． （2）因为，由正弦定理，由（1）知， 所以，则， 设的周长为， 则 ， 因为在锐角三角形中，所以，，所以，解得， 故，则，即， 故周长的取值范围为． 9．（极化+正弦）（26-27高二上·青海西宁·阶段检测）在中，内角，，所对的边分别是，，，且． (1)求的大小； (2)在锐角中， （ⅰ）若，求的值； （ⅰⅰ）求边上中线的取值范围 【详解】（1）因为， 在中，，则， 则得，整理得， 因为，则，即，又因为，所以. （2）（ⅰ）因为，所以， 由余弦定理得：，即， 由，可得. （ⅱ）作的中点，连接，所以，两边平方可得：， 即， 由余弦定理得：，所以，即 所以 由正弦定理，可得， 又因，则，又因为在锐角，有，解得， 所以， 因为，所以，则， 即.所以，故中线的范围为 10．（正弦）（26-27高三上·辽宁·阶段检测）在中，内角、、所对应边分别为、、，满足，且恒为的最大边． (1)若，则求的值； (2)求的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以， 即，由知， 所以，根据大边对大角知，，又， 故，又，所以 根据正弦定理可得. （2）根据正弦定理，，由，可得，代入上式可得： ， 由，可得，所以， 所以，，所以. 11．（正弦）（26-27高三上·广东深圳）如图，在中，． (1)求A； (2)设BC边上有两点D，E，，且，求． 【详解】（1）由，得 ， 整理得，，即， 所以或，若，则； 若，即，因为，所以不是钝角，该情形不成立；故； （2）设，则， 在中，由正弦定理，得， 即，又，所以， 由（1）知，为直角三角形，由， 所以，所以， 整理得，所以，即． 12．（正弦）（2026·云南昆明·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，是的面积，且满足． (1)证明：； (2)若，求的最大值． 【详解】（1因为，所以， 由，所以，可得， 由余弦定理可得，即. 由正弦定理得，即， 所以， 即.因为，所以，即. （2）由得，，由正弦定理得， 即， ，又因为，得， 所以，所以， 当时，取得最大值. 13．（值域）（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)证明：. (2)求的取值范围. 【详解】（1）∵，∴，由正弦定理得， ∴，∴， ∴，∴， ∵为锐角三角形，∴，，∴ ∴， ∴． （2）∵，∴， ∵是锐角三角形，，∴， 解得，，故， ∴的取值范围为. 四、用边求范围（边为主元，余弦定理建立边的函数，代数求范围） 解题策略： 第一，设边。选一条待求边或一条关键边设为变量，其余边用余弦定理与已知条件表示。 第二，翻译锐角条件。角为锐角等价于该角所对边的平方小于另两边平方和，三个角都锐就是三条不等式，这是把角的约束翻译成边的约束的标准做法。 第三，不要漏掉三角形成立条件，即任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，这一条常常正好给出变量的下界。 第四，把目标量写成单变量函数，用二次函数、单调性或均值不等式求值域。 第五，遇到分点结构，先用向量或余弦定理得到一条边的等式，再代数化处理。 1．（鸡爪模型）（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在中，点在边上，且，． (1)若，求； (2)若为的角平分线，求的面积； (3)若为锐角三角形，求的取值范围． 【详解】（1）因为，且，，所以，则. 在中，由余弦定理得， 所以. （2）因为，，为的角平分线，所以，设，则. 而， 将上式两端平方可得， 所以，即. 又由余弦定理得，代入上式解得， 所以，，而，则. 所以. （3）设，，， 由，则得，整理得，所以． 则. 因为为锐角三角形，所以有，解得， 令，则在上单调递增， 且，，所以． 2．（正弦+余弦）（2025·湖南·模拟预测）记的内角的对边分别为,已知 (1)求的最大值； (2)若的面积为，，求． 【详解】（1）在中，由正弦定理得结合， 可得，即，因为，所以. 又因为，且，所以，故为锐角，可得， 当时，等号成立.所以的最大值为 （2）由三角形面积公式，代入，得， 设，由，可得，又因为，所以， 在中，由余弦定理，因为，且，所以， 代入，得，解得，因此. 3．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）记的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)设点在边上，，边上的中线与相交于点． （i）若为定值，且的最大面积为，求； （ii）若，且，证明：． 【详解】（1）由，得由正弦定理得， 所以，又，故. （2）（ⅰ）如图，由题意可知，为边的中点，过点作， 交于点，则为的中位线，所以，， 又，所以，又，所以，则， 因此， 又，所以，则， 由与余弦定理得，，当且仅当时取等号.所以.又的最大面积为，所以，解得. （ⅱ）证明：由， 两边平方得，， 又由，所以，即， 又由，有，整理得， 又由，所以，因此为等边三角形，所以. 由（ⅰ）可知，，所以， 在中，，由余弦定理得，. 五、用基本不等式求最值 解题策略： 第一，先备三条放缩，两边平方和不小于两倍乘积、两边之和不小于两倍根号下乘积、乘积不大于两边和一半的平方。 第二，把余弦定理的等式与放缩联立，通常可以解出两边乘积的上界，再代入面积公式。 第三，检验等号，均值不等式取等的条件是两边相等，两边相等是否与题目的锐角、角度范围相容必须单独判断，不相容时最大值取不到，只能取上确界。 第四，周长定值的情形，把两条边看作某个一元二次方程的两根，用韦达定理加判别式确定乘积的范围。 第五，出现延长线上的点或外部分点时，注意补角关系，正弦不变、余弦变号，这是外角型题目唯一的新增知识点。 1．（余弦+基本不等式）（2026·湖南·一模）已知分别为三个内角的对边，． (1)求角； (2)若，点在边上，，求面积的最大值． 【详解】（1）因为， 由两角和的正弦公式及正弦定理得：， 即， 所以， 因为，所以，即，所以 又因为，则，所以，故． （2）由（1）有， 因为，所以，则， 又由余弦定理有， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以面积的最大值为． 2．（基本不等式）（韦达+根的分布）（2026·青海黄南·模拟预测）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若的周长为3，求的取值范围； (3)若为边上一点，且，求的值． 【详解】（1）由得， 由正弦定理得，则，因为，所以； （2）因为，，所以，则， 所以是方程的两个正根， 所以，得， 又，得，故的取值范围为； （3）设，则，，， 在中利用正弦定理得，即， 则，则， 因为，所以，，则，则. 3．（余弦）（26-27高三上·江苏常州·检测）在中，角，，所对边的边长分别为，，，且满足 ． (1)证明：； (2)若，求的值； (3)如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【详解】（1）已知由正弦定理得， 又由余弦定理，代入得， 即 （2）由（1）知，，即，又， 所以，所以； 在中，由余弦定理得. （3）由题意得，代入得 在中，，， 由余弦定理得 即 在中，由余弦定理得， 所以， 因此，所以，即为定值2. 4．（外角）（26-27高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足， (1)求A； (2)若D为边AB上一点，且，求的值． 【详解】（1）由正弦定理得， .. （2）设则 ， 在中，由正弦定理，得 ， ，， . 在中，， ，，， 即. 六、含内切圆半径的面积公式 解题策略： 第一，主公式是面积等于半周长乘以半径，它把面积与三边和直接绑定。 第二，与二分之一两边乘积乘夹角正弦联立，消去面积，得到关于边与半径的关系式。 第三，若需要进一步化简，把三边用正弦定理角化，半径可写成外接圆半径与三个半角正弦之积的形式，这时求最值就转成了三角函数问题。 第四，涉及内心到顶点的距离时，用半径除以半角正弦。 第五，与均值不等式配合，求半径或面积的最值。 1．（正弦+内切面积）（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）记的内角所对的边分别为，已知． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)若该三角形的内切圆的半径为，试求的最大值． 【详解】（1）由可得， 由正弦定理可得， 由于在三角形中,故, 进而,故， 由于，故. （2）由正弦定理可得三角形的外接圆半径满足，故, , 由于,故, 故,所以. （3）由等面积法可得，故， ， 令由于，所以 故， 故当时，取到最大值，且最大值为. 2．（余弦+面积+内切面积）（2026·广东广州·模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，的面积满足． (1)求的大小； (2)若，，求的内切圆半径． 【详解】（1）因为，的面积满足，即， 由余弦定理得，所以， 由三角形面积公式，所以有， 即，即，即， 即，因为是三角形的内角，所以， 所以，所以，所以. （2），即，所以， 因为，，所以， 所以， 由正弦定理得， 即，， 将， 代入中得：，因为，解得.所以，， 设三角形内切圆半径为，所以三角形面积， 即，解得. 七、建系（坐标法解三角形 ，向量条件转化坐标运算；隐圆） 解题策略： 第一，选原点与坐标轴，优先选直角顶点或图形的对称轴，能减少一半运算量。 第二，把向量条件、垂直条件、距离条件翻成坐标等式，点积为零、两点距离公式、斜率乘积为负一。 第三，处理动点，先设参数写出点坐标，再消参得轨迹方程。 第四，定边定角的结构要认出隐圆：固定一条边、对角固定，则顶点在一条圆弧上，此时待求线段的最值转化为圆上点到定点距离的最值，几何意义明确。 第五，与向量或分点结构并用时，先用几何关系把图形简化，再建系，不要一上手就设一堆未知坐标。 1．（建系）（26-27高一上·江苏南通·阶段检测）如图，在矩形中，已知，点P在边上，点Q为边AB的中点，． (1)若P为边的中点，求矩形的面积； (2)求边长度的取值范围； (3)求面积的最小值． 【详解】（1） 以点为坐标原点建立平面直角坐标系如图： 则 ，，，，其中为矩形的水平边长； 由Q是中点，得； 点P在边上，设，其中， 则，，，又， 所以，代入，，， 化简整理得： 当P是中点，P的横坐标，代入得： 化简得：，解得，即（边长为正），矩形面积； （2）由（1）知点P存在于边AD上，等价于方程在上有实根： 方程有实根的前提是判别式非负，即 当时，二次函数的对称轴为，且、， 因此当时，两个实根必然都落在区间内，符合P在边上的要求，因此的取值范围是； （3）由勾股定理得：，，又，可得，代入得， 因为是直角三角形（直角在P）， 所以面积： ，当且仅当​即时取等号；此时由，得成立， 故面积的最小值为8. 2．（鸡爪模型+圆的方程）（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知在中，内角，，所对的边分别为，，，，． (1)求． (2)若点在边上，且．若，求的面积． (3)若点是的外接圆上的点，且点和点位于两侧，，求的取值范围． 【详解】（1）由，所以 化简得：所以， 由，得， 又，所以，代入得． 因为为锐角，故，所以 （2）由 (1) 知 ，，且所以，由， 得，在中由余弦定理： 即，解得，，， 所以. （3）由正弦定理：，所以．因为点在的外接圆上，且和在两侧，根据圆内接四边形的性质，，在中，设， 由正弦定理可得：，， 代入并化简：　　　　　 点在劣弧上：当无限接近时，是弦在处的切线与的夹角，趋于； 当运动到弧中点时，由对称性；当无限接近时，趋于． 的取值范围是，因此，根据正弦函数的单调性，． 3．（鸡爪模型+圆的方程）（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求角A的大小； (2)若边上的中线长为，求的面积S； (3)若是锐角三角形，以为边作正三角形（A与D位于边两侧），求的取值范围． 【详解】（1）由可得，化简得， 所以，即. （2）可知，因为，所以， 设边上的中线长为，则， 可得，即，可得， 可得，解得，则. （3）因为是锐角三角形，所以，解得， 如图所示，作外接圆，因为，所以外接圆是定圆，外接圆半径为， 过作，，因为，所以点在上运动， 连接并延长至，交圆于，过作于， 可知，所以， 在中，， 所以，即，解得， 当在时，取得最小值，此时，可得， 当在时，取得最大值，此时，所以的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $