第19讲 解三角形 专项训练-2027届高考数学一轮复习
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内容正文：
第19讲 解三角形
目 录
模拟·基础演练 2
题型01 正弦定理与解的个数 （重） 2
题型02 余弦定理与形状判定 （重） 5
题型03 面积与边长范围 重难 8
题型04 周长与面积最值 重难 10
题型05 多解与增根辨析 重难 11
题型06 测量与实际应用 重难 13
题型07 三角形中的不等式证明 重难 15
题型08 解三角形中的几何图形 重难 16
重难·创新演练 19
真题·实战演练 22
模拟·基础演练
考查重点：正弦定理、余弦定理、面积公式与形状判定
考点聚焦：正弦定理与“已知两边一角”解的个数
▶ 题型01 正弦定理与解的个数
一、单选题
1．（2026·河北石家庄·三模）在 中，，，，则角 为（ ）
A． 或
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】正弦定理求角要考虑两解。
【详解】，
得 或 ，两者与 之和均小于 ，
故选 A．
2．（2026·山西太原·二模）在 中，，，则外接圆半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由 求半径。
【详解】，选 B．
3．（2026·河南郑州·一模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】两角一边用正弦定理。
【详解】，
，选 C．
4．（2026·湖北武汉·二模）在 中，若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】A
【分析】正弦定理把角关系化为边关系。
【详解】，即 ，故 ，选 A．
5．（2025·安徽合肥·二模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】 得 ，再求第三角。
【详解】由 得 ，
故 ，选 C．
6．（2025·辽宁大连·一模）在 中，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先用内角和求 ，再用诱导公式。
【详解】；
7．（2026·安徽安庆·三模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D． 或
【答案】A
【分析】先用正弦定理求 ，再由大边对大角排除增根。
【详解】由正弦定理 得 ．
故 或 ．
又 ，由大边对大角知 ，所以 ，选 A．
8．（2026·山东潍坊·二模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】C
【分析】正弦定理求得 ，因 知 ，两解都要保留并检验内角和。
【详解】由正弦定理得 ，故 或 ．
因为 ，所以 ，两个值都满足；再检验内角和：，，均构成三角形．
所以 或 ，选 C．
9．（2026·江苏常州·三模）在 中，，，，则满足条件的三角形共有（ ）
A． 个
B． 个
C． 个
D． 个
【答案】D
【分析】由正弦定理求 ，再判断解的个数： 且对应角有锐角、钝角两种可能。
【详解】由正弦定理得 ．
因为 ，所以 有两解：锐角 与钝角 ．
因为 ，所以 ，从而 ，且 ，于是 ，两解均有效．
故满足条件的三角形有 个，选 D．
10．（2026·福建福州·二模）在 中，，且 ，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先用正弦定理把边化角求出 ，再用余弦定理求 。
【详解】由正弦定理，条件可化为 ．
因为 ，所以 ，即 ，又 ，故 ．
由余弦定理 ，所以 ，选 B．
11．（2026·湖南岳阳·三模）在 中，，则 一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】把 拆为 展开，移项后得 。
【详解】因为 ，代入条件得
，即 ．
所以 ．由 知 ，故 ，即 ．
所以 一定是等腰三角形，选 C．
12．（2026·河南洛阳·二模）在 中，，，若满足条件的三角形有两个，则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】以 为顶点作高，两解的条件是“高 ”。
【详解】设 ，，点 到 的距离为 ．
若 ，无解；若 ，一解（直角）；若 ，以 为圆心、 为半径的弧与射线 交于两点，有两解；若 ，只有一解．
故有两解时 ，即 ，选 B．
，选 D．
考点聚焦：余弦定理与边角互化判断三角形形状
▶ 题型02 余弦定理与形状判定
一、多选题
1．（2026·湖南长沙·二模）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．
【答案】ABCD
【分析】逐项对照两个定理及其推论。
【详解】A、B 为正弦定理及其推论，正确；
C 由边角关系得边角同向，正确；
D 为余弦定理的标准形式，正确．故选 ABCD．
2．（2026·浙江温州·三模）在 中，，，，下列说法正确的是（ ）
A．最大角为
B．最大角为
C．最大角为
D．
【答案】CD
【分析】最大角对最大边，再判断是否为直角。
【详解】最大边为 ，故最大角为 ，C 正确；
，故 ，，D 正确．故选 CD．
3．（2026·四川成都·二模）关于三角形形状的判定，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 为锐角
【答案】ABCD
【分析】平方关系判断直角与锐角、钝角。
【详解】A、B、C 正确；
时 ， 为锐角，D 正确．故选 ABCD．
4．（2025·广东广州·三模）在 中，若 ，则（ ）
A．一定是等腰三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是等边三角形
D．条件恒成立，不能确定形状
【答案】D
【分析】把两边都用余弦定理表达后相加。
【详解】，；
5．（2026·湖北宜昌·二模）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】由正弦定理 知边与对角的正弦同序，C 项只确定一个角为锐角。
【详解】由正弦定理 ，，，故 ，同理 ，A、B、D 均正确．
对于 C， 只能推出 ，即 为锐角，而 、 仍可能为钝角，故 C 错误．
故选 ABD．
6．（2026·浙江宁波·三模）在 中，，，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 为直角三角形
D． 的面积为
【答案】ABC
【分析】由余弦定理求出 ，再依次求角、判断形状与面积。
【详解】由余弦定理 得 ，即 ，所以 ，A 正确．
由余弦定理 ，故 ，B 正确．
于是 ， 为直角三角形，C 正确．
面积 ，D 错误．
故选 ABC．
7．（2026·四川绵阳·二模）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为等腰三角形或直角三角形
C．若 ，则 为等边三角形
D．若 ，则 为等腰三角形
【答案】BC
【分析】边化角后统一为角的方程，注意 会给出“相等或互补”两类。
【详解】A： 得 或 ，即 或 ，故 A 错误．
B：由正弦定理 化为 ，即 ，故 或 ，对应等腰三角形或直角三角形，B 正确．
C：由正弦定理 ，三个比值相等得 ，而 在 上同一个值只对应一个角，故 ，C 正确．
D：由正弦定理化为 ，约去 得 ，即 ，可能为直角三角形，D 错误．
故选 BC．
8．（2026·广东佛山·三模）在 中，，，下列说法正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B． 的最大值为
C． 面积的最大值为
D． 的取值范围是
【答案】ABC
【分析】由余弦定理得 ，再用基本不等式把 与 联系起来。
【详解】由余弦定理 ．
因为 ，所以 ，即 ，当 时取等，B 正确；此时面积 ，C 正确．
又 ，故 ；而 ，所以 ，A 正确．
对 D：把 看作关于 的方程 ，需 ，即 ，故 ，D 错误．
故选 ABC．
两式相加得 ，这是恒等式，任何三角形都满足，选 D．
考点聚焦：面积公式 S=½absinC 与边的取值范围
▶ 题型03 面积与边长范围
一、填空题
1．（2026·福建厦门·二模）在 中，，，，则 ________．
【答案】
【分析】两边与夹角求第三边。
【详解】，故 ．
2．（2026·山东济南·三模）在 中，，，，则 ________．
【答案】
【分析】三边已知用余弦定理。
【详解】．
3．（2025·江西南昌·二模）在 中，，，，则三角形的面积为________．
【答案】
【分析】两边与夹角的面积公式。
【详解】．
4．（2025·河北唐山·二模）在 中，，，则边 的取值范围是________．
【答案】
【分析】三角形两边之差与两边之和。
【详解】由 ，得 ．
5．（2025·重庆·三模）在 中，，，则 的最大值为________．
【答案】
【分析】余弦定理配合基本不等式。
【详解】，即 ；
6．（2026·广西桂林·二模）在 中，，，，则 的面积为________．
【答案】
【分析】已知两边及夹角，直接用面积公式 。
【详解】由面积公式 ．
7．（2026·云南曲靖·三模）在 中，，，且 ，则 的面积为________．
【答案】
【分析】用余弦定理把 写成 ，先求 再求面积。
【详解】由余弦定理 ．
代入得 ，所以 ．
故 ．
8．（2025·贵州贵阳·二模）在 中，，则 的最大内角为________．
【答案】
【分析】正弦定理给出三边之比，最大角对最大边，用余弦定理求其余弦值。
【详解】由正弦定理，，设 ，，（）．
最大角为 ，由余弦定理
．
又 ，所以 ．
9．（2025·甘肃兰州·三模）在 中，，，则 面积的最大值为________．
【答案】
【分析】由余弦定理与基本不等式得 ，再代入面积公式。
【详解】由余弦定理 ，所以 ，当 时取等．
故 ．
即面积的最大值为 ．
10．（2025·山西临汾·二模）在 中，，，且 的面积为 ，则 ________．
【答案】 或
【分析】由面积公式先求 ，注意 有锐角、钝角两种可能，再分别用余弦定理。
【详解】由 得 ，所以 ．
故 或 ．
当 时，，；
当 时，，．
两种情形均满足三角形不等式，故 或 ．
由 得 ，
等号在 时成立，故最大值为 ．
考点聚焦：把周长、面积写成单角函数求最值
▶ 题型04 周长与面积最值
一、解答题
1．（2026·云南昆明·模拟预测）在 中，，，．
(1) 求角 、；
(2) 求边 ；
(3) 求三角形的面积．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】先由等腰定角，再用余弦定理求边，最后用面积公式。
【详解】(1) 由 得 ，又 ，故 ；
(2) 由余弦定理 ，
，故 ；
(3) ．
2．（2026·全国·模拟预测）在 中，，，求该三角形面积的最大值．
【答案】
【分析】把余弦定理与面积公式结合，化为关于 的函数。
【详解】设 ，则 ；
3．（2026·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 ，求 周长的最大值与面积的最大值．
【答案】(1) ；(2) 周长最大值为 ，面积最大值为
【分析】(1) 边化角后约去 得 ；(2) 用余弦定理把 、 与 联系，再用基本不等式。
【详解】(1) 由正弦定理， 化为 ．
因为 ，代入得
，
即 ．由 得 ，又 ，故 ．
(2) 由余弦定理 ．
因为 ，所以 ，即 ，当 时取等．
故周长 ，最大值为 ．
又 ，所以 ，当 时取等．
故 ，面积的最大值为 ．
4．（2026·湖北·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 的面积为 ，求 的最小值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1) 边化角并利用 整理出 的方程；(2) 由面积定 ，再用余弦定理加基本不等式求 的最小值。
【详解】(1) 由正弦定理，条件化为 ．
因为 ，代入得
．
由 ，约去 得 ，即 ．
所以 或 ，即 或 （舍去），故 ．
(2) 由 得 ．
由余弦定理 ，当 时取等．
所以 ，即 的最小值为 ．
考点聚焦：已知两边一角，先算正弦再判解的个数
▶ 题型05 多解与增根辨析
一、单选题
1．（2026·河北唐山·三模）在 中，，，，则满足条件的三角形有（ ）
A． 个
B． 个
C． 个
D．无法确定
【答案】B
【分析】先用正弦定理求 ，再结合边的大小与内角和判断。
【详解】由正弦定理 ，
故 ，只有一个解．
故选 B．
2．（2025·河南南阳·二模）在 中，，，，则满足条件的三角形有（ ）
A． 个
B． 个
C． 个
D．无法确定
【答案】C
【分析】求出 后有两个互补的角，都要检验内角和。
【详解】由 ，
得 或 ．
两种情形下 分别为 、，均小于 ，
故有两个解．
故选 C．
二、多选题
3．（2026·湖北黄冈·三模）已知 的两边 、 和角 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则无解
B．若 ，则只有一个解
C．若 且 为锐角，可能有两个解
D．只要算出两个 ，就都要保留
【答案】ABC
【分析】按“正弦值是否合法、边的大小、内角和”三步判断解的个数。
【详解】 时 不存在，无解，A 正确；
时 ， 只能取锐角，只有一个解，B 正确；
且 为锐角时可能有两解，C 正确；
两个 还要检验 ，不能都保留，D 错误．
故选 ABC．
三、填空题
4．（2025·安徽阜阳·二模）在 中，，，，则满足条件的三角形有________个．
【答案】
【分析】求出 后检验两个角是否都使内角和小于 。
【详解】，
故 或 ，对应的 为 、，均合法，
所以有 个解．
四、解答题
5．（2026·江西抚州·模拟预测）在 中，，，，解这个三角形．
(1) 求角 ；
(2) 分情况求角 与边 ．
【答案】，，；或 ，，
【分析】正弦定理求出两个可能的 ，再逐一验证并求 、。
【详解】(1) 由 ，
得 或 ．
(2) 当 时，，
；
当 时，，
．
考点聚焦：画出示意图，把仰角、方位角放进三角形
▶ 题型06 测量与实际应用
一、单选题
1．（2026·山东菏泽·三模）在塔底所在水平面上一点 测得塔顶的仰角为 ，向塔走 到达 点，测得塔顶的仰角为 ，则塔高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设塔高 ，用两个仰角把水平距离表示成 的式子。
【详解】设塔高为 ，则 到塔底距离为 ， 到塔底距离为 ．
由 得 ．
故选 A．
2．（2025·福建宁德·二模）一船在 处测得灯塔 在北偏东 方向，沿正北方向航行 到 处，测得灯塔在北偏东 方向，则 到灯塔的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】在 中求出三个内角，发现是等腰三角形。
【详解】由方位角得 ，，
故 ，从而 ．
故选 B．
二、多选题
3．（2026·湖南益阳·三模）关于测量中的角，下列说法正确的是（ ）
A．仰角是视线在水平线上方时与水平线的夹角
B．俯角是视线在水平线下方时与水平线的夹角
C．方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线的角
D．仰角与俯角都可以为钝角
【答案】ABC
【分析】按测量学的定义逐项判断。
【详解】仰角、俯角都是视线与水平线的夹角，范围在 ，A、B 正确，D 错误；
方位角从正北顺时针度量，C 正确．
故选 ABC．
三、填空题
4．（2025·江西吉安·二模）在距塔底 处测得塔顶的仰角为 ，则塔高为________．
【答案】
【分析】仰角 时水平距离等于高度。
【详解】塔高 ．
四、解答题
5．（2026·广西河池·模拟预测）在地面上 、 两点测得某塔顶 的仰角分别为 、，且 、 与塔底在同一条直线上，，求塔高．
(1) 用塔高表示 、 到塔底的距离；
(2) 求塔高．
【答案】
【分析】两个直角三角形共用一条直角边，用水平距离之差列方程。
【详解】(1) 设塔高为 ，则 到塔底距离为 ， 到塔底距离为 ．
(2) 由 得 ．
考点聚焦：边角互化，把边的不等式翻译成正弦的不等式
▶ 题型07 三角形中的不等式证明
一、单选题
1．（2026·河南商丘·三模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接用余弦定理。
【详解】，
故 ．
故选 A．
2．（2025·河北沧州·二模）在 中，下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】三角形两边之和大于第三边是基本性质，其余选项可举反例。
【详解】由三角形三边关系知 恒成立，A 正确；
锐角三角形中 ，B 不一定成立；
与 的大小取决于边，C 不一定成立；
锐角三角形中 ，D 不一定成立．
故选 A．
二、多选题
3．（2026·安徽池州·三模）在 中，下列说法正确的是（ ）
A． 是 的充要条件
B． 恒成立
C． 恒成立
D． 恒成立
【答案】ABC
【分析】用“大边对大角”和正弦定理逐项判断，D 举钝角反例。
【详解】由大边对大角，，A 正确；
两边之和大于第三边，B 正确；
由正弦定理 ，C 正确；
当 为钝角时 可以小于零，D 错误．
故选 ABC．
三、填空题
4．（2025·山西长治·二模）在 中，，，，则最大角为________．
【答案】
【分析】最大角对最大边，用余弦定理判断。
【详解】 最大，故 最大．
，
故 ．
四、解答题
5．（2026·陕西渭南·模拟预测）在 中，求证：．
(1) 写出三角形三边的关系；
(2) 用正弦定理完成证明．
【答案】由 及正弦定理得证
【分析】把边的加法不等式用正弦定理整体换成角的正弦。
【详解】(1) 由三角形三边关系得 ．
(2) 由正弦定理 ，，，
代入 得 ，
即 ．
考点聚焦：中线用向量或面积，角平分线用面积拆分，高用面积桥接
▶ 题型08 解三角形中的几何图形
一、单选题
1．（2026·河北石家庄·三模）在 中，，，， 为 边上的中线，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先用余弦定理求 ，再用中线长公式。
【详解】，
由中线长公式 ，
故 ．
故选 A．
2．（2025·山东济南·二模）在 中，，，， 平分 交 于 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】用面积拆分：。
【详解】由面积关系 ，
即 ，
解得 ．
故选 A．
二、多选题
3．（2026·湖南长沙·三模）在 中， 为 边上的中线，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 与 的面积相等
C．
D．
【答案】ABC
【分析】中线把三角形分成等积两块，且可用向量表示。
【详解】由中线长公式知 A 正确；
两三角形等底同高，面积相等，B 正确；
由向量加法的平行四边形法则知 C 正确；
中线不一定垂直于对边（只有等腰三角形时才垂直），D 错误．
故选 ABC．
三、填空题
4．（2025·安徽合肥·二模）在直角三角形 中，，，（ 为斜边），则斜边上的高为________．
【答案】
【分析】用面积两种算法桥接。
【详解】由 得 ．
四、解答题
5．（2026·四川成都·模拟预测）在 中，，，求 边上的高与 的面积．
(1) 用勾股定理求高；
(2) 求面积．
【答案】高为 ，面积为
【分析】等腰三角形的高平分底边，用勾股定理。
【详解】设 中点为 ，则 ，．
．
．
由余弦定理 ，即 ，得 ；
；
；
由 得 ，故 ，当 时取到．
重难·创新演练
一、单选题
设题创新：解三角形的综合应用
1．（2026·江苏南通·模拟预测）在 中，，，，则最大角的内角余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】最大角对最大边，用余弦定理求。
【详解】最大边为 ，
，选 A．
2．（2026·北京·模拟预测）在 中，，，则面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】面积最大时两边相等。
【详解】，而 ，
3．（2026·江苏南通·模拟预测）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先用余弦定理求出 ，再对边 用余弦定理；也可直接用射影关系写出 。
【详解】由余弦定理 ，所以 ．
再由余弦定理
，选 A．
4．（2026·北京·模拟预测）在 中，，且 ，，则 的面积为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
【答案】C
【分析】条件等价于 ，要分 与 两种情况求面积。
【详解】由正弦定理 ，代入得 ，即 ．
所以 或 ，即 或 ．
情形一：，则 ．由余弦定理 ，故 ，．
情形二：，则 ， 为斜边，，．
两种情形均成立，故选 C．
当 时 ，故 ，选 B．
二、解答题
5．（2026·全国·模拟预测）在 中，，，，求该三角形周长的最大值，并指出此时三角形的形状．
【答案】周长最大值为 ，此时 ，为等腰直角三角形
【分析】第三边随夹角增大而增大，直角时达到最大。
【详解】；
6．（2026·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) 或 ；(2)
【分析】(1) 正弦定理约去 得 ，有两解；(2) 按 的两种取值分别求面积最大值，再比较。
【详解】(1) 由正弦定理 ，，代入 得
．
因为 ，所以 ，故 或 ．
(2) 当 时，，所以 ，
，当 时取到．
当 时，，所以 ，
．
综上，面积的最大值为 ．
当 时 最大，此时 ，
周长最大值为 ；
此时 、，故为等腰直角三角形．
真题·实战演练
一、单选题
高频考点：解三角形的高考真题
1．（2023·全国乙卷·T9）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】三边已知求角用余弦定理。
【详解】，选 C．
2．（2022·北京卷·T9）在 中，，，，则角 为（ ）
A． 或
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】正弦定理求角要考虑两解。
【详解】，得 或 ，
两者与 之和均小于 ，选 A．
3．（2021·全国甲卷·T9）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】两边与夹角求第三边。
【详解】，故 ，选 A．
4．（2021·天津卷·T9）在 中，，，，则 是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】比较最大边平方与另两边平方和。
【详解】，最大角为 ，选 B．
5．（2023·新高考Ⅰ卷·T17 改编）在 中，，，且 的面积为 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先用面积公式求 ，再用余弦定理求 ，最后用正弦定理求比值即 。
【详解】由 得 ．
由余弦定理 ，所以 ．
故 ，选 C．
6．（2024·新高考Ⅱ卷·T15 改编）在 中，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由 求 ，再用 展开。
【详解】由 及 ， 得 ，．
因为 ，所以
，选 B．
7．（2022·新高考Ⅱ卷·T18 改编）在 中，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正弦定理知 ，与条件比较即可。
【详解】由正弦定理 得 ．
与条件 比较，得 ，即 ．
因为 ，所以 ，选 D．
8．（2023·全国甲卷·T16 改编）在 中， 成等差数列，且 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由 与余弦定理联立，消去 得 ，说明三角形为等边三角形。
【详解】由 成等差数列得 ，两边平方得 ．
又由余弦定理 ，代入得
，即 ，
所以 ，即 ．再由 得 ．
故 ， 为等边三角形，所以 ，，选 C．
二、填空题
9．（2023·上海卷·T10）在 中，，，则面积的最大值为________．
【答案】
【分析】面积最大时两边相等。
【详解】，而 ，
当 时 ，故 ．
10．（2022·浙江卷·T10）在 中，，，，则 ________．
【答案】
【分析】三边已知用余弦定理。
【详解】．
11．（2023·北京卷·T7 改编）在 中，，，且 ，则 的面积为________．
【答案】
【分析】用余弦定理得 ，先求 再求面积。
【详解】由余弦定理 ．
代入得 ，所以 ．
故 ．
12．（2021·新高考Ⅱ卷·T17 改编）在 中，，，且 ，则 ________．
【答案】 或
【分析】由 求 ，注意 可取正、负两个值。
【详解】因为 ，所以 ．
当 时，，，满足 ；
当 时，，，也满足．
故 或 ．
三、解答题
13．（2021·浙江卷·T17 改编）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，已知 ，，，求边 的值．
【答案】
【分析】两边与夹角求第三边，用余弦定理。
【详解】由余弦定理 ，
14．（2022·全国乙卷·T17 改编）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 ，，且 ，求 的面积及 的值．
【答案】(1) ；(2) ，
【分析】(1) 交叉相乘后用射影定理 ；(2) 由余弦定理与 解出 ，再解方程组。
【详解】(1) 由 得 ，即 ．
由射影定理 ，代入得 ．
因为 ，所以 ，又 ，故 ．
(2) 由余弦定理 ，所以 ．
于是 ．
又 ，，所以 是方程 的两根，即 与 ．
由 得 ，．
；
其中 ，故 ，
所以 ．
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第19讲 解三角形
目 录
模拟·基础演练 2
题型01 正弦定理与解的个数 （重） 2
题型02 余弦定理与形状判定 （重） 3
题型03 面积与边长范围 重难 4
题型04 周长与面积最值 重难 5
题型05 多解与增根辨析 重难 5
题型06 测量与实际应用 重难 6
题型07 三角形中的不等式证明 重难 7
题型08 解三角形中的几何图形 重难 8
重难·创新演练 8
真题·实战演练 9
模拟·基础演练
考查重点：正弦定理、余弦定理、面积公式与形状判定
考点聚焦：正弦定理与“已知两边一角”解的个数
▶ 题型01 正弦定理与解的个数
一、单选题
1．（2026·河北石家庄·三模）在 中，，，，则角 为（ ）
A． 或
B．
C．
D．
2．（2026·山西太原·二模）在 中，，，则外接圆半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·河南郑州·一模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·湖北武汉·二模）在 中，若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
5．（2025·安徽合肥·二模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·辽宁大连·一模）在 中，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·安徽安庆·三模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D． 或
8．（2026·山东潍坊·二模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
9．（2026·江苏常州·三模）在 中，，，，则满足条件的三角形共有（ ）
A． 个
B． 个
C． 个
D． 个
10．（2026·福建福州·二模）在 中，，且 ，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·湖南岳阳·三模）在 中，，则 一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形
12．（2026·河南洛阳·二模）在 中，，，若满足条件的三角形有两个，则 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点聚焦：余弦定理与边角互化判断三角形形状
▶ 题型02 余弦定理与形状判定
一、多选题
1．（2026·湖南长沙·二模）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若 ，则
D．
2．（2026·浙江温州·三模）在 中，，，，下列说法正确的是（ ）
A．最大角为
B．最大角为
C．最大角为
D．
3．（2026·四川成都·二模）关于三角形形状的判定，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 为锐角
4．（2025·广东广州·三模）在 中，若 ，则（ ）
A．一定是等腰三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是等边三角形
D．条件恒成立，不能确定形状
5．（2026·湖北宜昌·二模）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则 为锐角三角形
D．若 ，则
6．（2026·浙江宁波·三模）在 中，，，，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 为直角三角形
D． 的面积为
7．（2026·四川绵阳·二模）在 中，下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为等腰三角形或直角三角形
C．若 ，则 为等边三角形
D．若 ，则 为等腰三角形
8．（2026·广东佛山·三模）在 中，，，下列说法正确的是（ ）
A． 的取值范围是
B． 的最大值为
C． 面积的最大值为
D． 的取值范围是
考点聚焦：面积公式 S=½absinC 与边的取值范围
▶ 题型03 面积与边长范围
一、填空题
1．（2026·福建厦门·二模）在 中，，，，则 ________．
2．（2026·山东济南·三模）在 中，，，，则 ________．
3．（2025·江西南昌·二模）在 中，，，，则三角形的面积为________．
4．（2025·河北唐山·二模）在 中，，，则边 的取值范围是________．
5．（2025·重庆·三模）在 中，，，则 的最大值为________．
6．（2026·广西桂林·二模）在 中，，，，则 的面积为________．
7．（2026·云南曲靖·三模）在 中，，，且 ，则 的面积为________．
8．（2025·贵州贵阳·二模）在 中，，则 的最大内角为________．
9．（2025·甘肃兰州·三模）在 中，，，则 面积的最大值为________．
10．（2025·山西临汾·二模）在 中，，，且 的面积为 ，则 ________．
考点聚焦：把周长、面积写成单角函数求最值
▶ 题型04 周长与面积最值
一、解答题
1．（2026·云南昆明·模拟预测）在 中，，，．
(1) 求角 、；
(2) 求边 ；
(3) 求三角形的面积．
2．（2026·全国·模拟预测）在 中，，，求该三角形面积的最大值．
3．（2026·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 ，求 周长的最大值与面积的最大值．
4．（2026·湖北·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 的面积为 ，求 的最小值．
考点聚焦：已知两边一角，先算正弦再判解的个数
▶ 题型05 多解与增根辨析
一、单选题
1．（2026·河北唐山·三模）在 中，，，，则满足条件的三角形有（ ）
A． 个
B． 个
C． 个
D．无法确定
2．（2025·河南南阳·二模）在 中，，，，则满足条件的三角形有（ ）
A． 个
B． 个
C． 个
D．无法确定
二、多选题
3．（2026·湖北黄冈·三模）已知 的两边 、 和角 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则无解
B．若 ，则只有一个解
C．若 且 为锐角，可能有两个解
D．只要算出两个 ，就都要保留
三、填空题
4．（2025·安徽阜阳·二模）在 中，，，，则满足条件的三角形有________个．
四、解答题
5．（2026·江西抚州·模拟预测）在 中，，，，解这个三角形．
(1) 求角 ；
(2) 分情况求角 与边 ．
考点聚焦：画出示意图，把仰角、方位角放进三角形
▶ 题型06 测量与实际应用
一、单选题
1．（2026·山东菏泽·三模）在塔底所在水平面上一点 测得塔顶的仰角为 ，向塔走 到达 点，测得塔顶的仰角为 ，则塔高为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·福建宁德·二模）一船在 处测得灯塔 在北偏东 方向，沿正北方向航行 到 处，测得灯塔在北偏东 方向，则 到灯塔的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·湖南益阳·三模）关于测量中的角，下列说法正确的是（ ）
A．仰角是视线在水平线上方时与水平线的夹角
B．俯角是视线在水平线下方时与水平线的夹角
C．方位角是从正北方向顺时针转到目标方向线的角
D．仰角与俯角都可以为钝角
三、填空题
4．（2025·江西吉安·二模）在距塔底 处测得塔顶的仰角为 ，则塔高为________．
四、解答题
5．（2026·广西河池·模拟预测）在地面上 、 两点测得某塔顶 的仰角分别为 、，且 、 与塔底在同一条直线上，，求塔高．
(1) 用塔高表示 、 到塔底的距离；
(2) 求塔高．
考点聚焦：边角互化，把边的不等式翻译成正弦的不等式
▶ 题型07 三角形中的不等式证明
一、单选题
1．（2026·河南商丘·三模）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北沧州·二模）在 中，下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·安徽池州·三模）在 中，下列说法正确的是（ ）
A． 是 的充要条件
B． 恒成立
C． 恒成立
D． 恒成立
三、填空题
4．（2025·山西长治·二模）在 中，，，，则最大角为________．
四、解答题
5．（2026·陕西渭南·模拟预测）在 中，求证：．
(1) 写出三角形三边的关系；
(2) 用正弦定理完成证明．
考点聚焦：中线用向量或面积，角平分线用面积拆分，高用面积桥接
▶ 题型08 解三角形中的几何图形
一、单选题
1．（2026·河北石家庄·三模）在 中，，，， 为 边上的中线，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·山东济南·二模）在 中，，，， 平分 交 于 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·湖南长沙·三模）在 中， 为 边上的中线，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 与 的面积相等
C．
D．
三、填空题
4．（2025·安徽合肥·二模）在直角三角形 中，，，（ 为斜边），则斜边上的高为________．
四、解答题
5．（2026·四川成都·模拟预测）在 中，，，求 边上的高与 的面积．
(1) 用勾股定理求高；
(2) 求面积．
重难·创新演练
一、单选题
设题创新：解三角形的综合应用
1．（2026·江苏南通·模拟预测）在 中，，，，则最大角的内角余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·北京·模拟预测）在 中，，，则面积的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·江苏南通·模拟预测）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·北京·模拟预测）在 中，，且 ，，则 的面积为（ ）
A．
B．
C． 或
D． 或
二、解答题
5．（2026·全国·模拟预测）在 中，，，，求该三角形周长的最大值，并指出此时三角形的形状．
6．（2026·全国·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 ，求 面积的最大值．
真题·实战演练
一、单选题
高频考点：解三角形的高考真题
1．（2023·全国乙卷·T9）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·北京卷·T9）在 中，，，，则角 为（ ）
A． 或
B．
C．
D．
3．（2021·全国甲卷·T9）在 中，，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2021·天津卷·T9）在 中，，，，则 是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
5．（2023·新高考Ⅰ卷·T17 改编）在 中，，，且 的面积为 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·新高考Ⅱ卷·T15 改编）在 中，，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2022·新高考Ⅱ卷·T18 改编）在 中，，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2023·全国甲卷·T16 改编）在 中， 成等差数列，且 ，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
9．（2023·上海卷·T10）在 中，，，则面积的最大值为________．
10．（2022·浙江卷·T10）在 中，，，，则 ________．
11．（2023·北京卷·T7 改编）在 中，，，且 ，则 的面积为________．
12．（2021·新高考Ⅱ卷·T17 改编）在 中，，，且 ，则 ________．
三、解答题
13．（2021·浙江卷·T17 改编）在 中，内角 、、 的对边分别为 、、，已知 ，，，求边 的值．
14．（2022·全国乙卷·T17 改编）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ．
(1) 求角 ；
(2) 若 ，，且 ，求 的面积及 的值．
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