等差数列五类问题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等差数列五类问题及解题策略 一、基础公式计算 解题策略：熟背公式 1．（2026·河南信阳·一模）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 2．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）在公差不为0的等差数列中，，则（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知公差为的等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 5．（等差的函数性质）已知数列的通项公式为，则下列选项正确的是（    ） A．是等差数列且公差为 B．前10项和为 C．前项的和中最大时 D．是等比数列 6．（新数列）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 7．（新数列）设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 8．（新数列）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 9．（新数列）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．11 B．18 C．19 D．37 10．（叠加法）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，┄┄，以此类推，则第层小球的个数为（    ） A． B． C． D． 二、下标和性质应用（奇和公式+偶和公式） 解题策略：等差数列中，若，则 奇和公式： 偶和公式： 1．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2026·广东广州·模拟预测）在公差不为零的等差数列中，为其前项和，若，则（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）在等差数列中，，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 6．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 8．（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．36 9．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等差数列前项和为，若，则（     ） A． B． C．1 D． 三、最值问题 解题策略：在等差数列中,求的最值，找的项；求的最值，找的项 1．（2026·浙江·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A．117 B．120 C．121 D．122 3．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（基本不等式）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列为等差数列，若，且它的前n项和有最大值，则使成立的n的最大值为（   ） A．40 B．39 C．21 D．20 6．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 7．（25-26高二下·安徽·期末）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 8．（裂项）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 四、片段和性质应用 解题策略：等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列、、、、……仍为等差数列。 1．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 2．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 五、奇项和与偶项和应用 解题策略：设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）当项数为偶数时， , （Ⅱ）当项数为奇数时，则 （其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1．（2027高三·全国·专题练习）等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 3．（2026高二·全国·专题练习）设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 等差数列五类问题及解题策略 一、基础公式计算 解题策略：熟背公式 1．（2026·河南信阳·一模）等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和的性质，代入已知的、即可快速算出结果. 【详解】已知，，，代入得： . 2．（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 【答案】C 【详解】由题可得，则， 又因为，所以. 3．（26-27高三上·河北保定·阶段检测）在公差不为0的等差数列中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，因此等差数列的通项为， 故，，因此， 故，即. 4．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知公差为的等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得， 又由等差数列前项和公式，，解得． 5．（等差的函数性质）已知数列的通项公式为，则下列选项正确的是（    ） A．是等差数列且公差为 B．前10项和为 C．前项的和中最大时 D．是等比数列 【答案】B 【分析】由通项公式求公差与前项和，判断ABC；利用相邻项的关系判断D． 【详解】对于A，由，可知是公差为的等差数列，A错误． 对于B，由等差数列的前项和公式，得 故，B正确． 对于C，由，且为正整数，得，当且仅当或时等号成立，故C错误． 对于D，，，，显然，故不是等比数列，D错误． 6．（新数列）各项均为正数的数列满足，（，），则（    ） A．5 B．25 C． D．24 【答案】A 【详解】题意知是首项为，公差为3的等差数列， 因为，所以，即， 当时，，又因为各项均为正数，则. 7．（新数列）设是等差数列的前项和，是数列的前项和.若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 8．（新数列）已知数列的前n项和为（≠0），且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据与的关系，结合题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此求得 ，再根据求得. 【详解】由，得， 所以，即， 又，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，所以.所以. 9．（新数列）记为数列的前n项积，已知，则（    ） A．11 B．18 C．19 D．37 【答案】C 【分析】由积与项的关系得是等差数列，从而求得. 【详解】当时，，所以， 又，所以， 所以当时，，即，即， 所以是首项为2，公差为1的等差数列.所以. 10．（叠加法）南宋数学家杨辉在《详解九章算法·商功》一书中记载的“三角垛”如图所示，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，┄┄，以此类推，则第层小球的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设第层小球的个数为，则，，，，以此类推， 将上述式子累加可得，， 所以． 二、下标和性质应用（奇和公式+偶和公式） 解题策略：等差数列中，若，则 奇和公式： 偶和公式： 1．（26-27高三上·重庆南岸·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，若，则，因此. 已知，代入上式得，解得. 由等差数列前项和公式，可得. 又，得，代入得. 2．（26-27高二上·甘肃天水·阶段检测）已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别记为 ，，若 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等差数列中 ，把“项之比”化成“和之比”． 【详解】，， 所以 ． 3．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】对于等差数列（），其前项和满足公式，因此. 根据等差数列下标和性质：若且，则，因此. 将、代入前项和表达式：， 代入化简： ，解得. 4．（2026·广东广州·模拟预测）在公差不为零的等差数列中，为其前项和，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列公差为，则， 又， 故， 化简整理得，解得． 5．（26-27高三上·北京顺义·阶段检测）在等差数列中，，则的值为（    ） A． B．7 C． D．8 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质和求和公式，即可求解. 【详解】，则， . 6．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知，设， 则，，故． 7．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）在等差数列中，，则的值为（     ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，再由，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，整理得，即， 则. 8．（25-26高二下·四川绵阳·期末）已知等差数列的前n项和为，且，则（   ） A． B．18 C． D．36 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 解得，所以. 9．（25-26高二下·贵州贵阳·阶段检测）已知等差数列前项和为，若，则（     ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】使用等差数列前项和的性质求解. 【详解】因为，所以. 三、最值问题 解题策略：在等差数列中,求的最值，找的项；求的最值，找的项 1．（2026·浙江·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则当取到最大值时，（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知求和，然后代入等差数列的前项和公式，转化为二次函数问题求解即可． 【详解】设数列的公差为， 因为，所以，所以，又，所以，故 所以，所以当时，取得最大值. 2．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A．117 B．120 C．121 D．122 【答案】C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则解得 则.令，解得，且， 所以的最大值为，故C正确. 3．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，则下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】 当， 时，，也满足，所以。 令， 时，，故， 时，，故，因此. 4．（基本不等式）设数列的前n项和为，，且，则的最小值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过转化可知为常数列，求得后继而求得，再表示出，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由可得，故为常数列，因此有， 得，故，则， ，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 5．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知数列为等差数列，若，且它的前n项和有最大值，则使成立的n的最大值为（   ） A．40 B．39 C．21 D．20 【答案】B 【分析】由可得，结合等差数列的前n项和有最大值可得数列为递减数列，进而得到，，再结合等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】由，得， 因为等差数列的前n项和有最大值，所以数列的公差，为递减数列， 则，， 所以，， 所以使成立的n的最大值为39. 6．（26-27高二上·江苏苏州·阶段检测）已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（ ） A． B． C．使成立的最小值为9 D．时有最大值 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质、通项公式和前项和公式计算化简，结合选项，依次判断即可. 【详解】对于A，因为数列为等差数列，且，则，即，可得，则，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B错误； 对于C，，，要使，则，所以最小为19，故C错误； 对于D，由选项B知，已知，则，所以当时有最大值，故D正确. 7．（25-26高二下·安徽·期末）已知等差数列的公差为，其前项和为，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．中最大 D． 【答案】D 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答. 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，B正确；，A正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数， 因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 8．（裂项）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的定义，得到数列为等差数列，求得，得到，结合裂项法求和，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． 四、片段和性质应用 解题策略：等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列、、、、……仍为等差数列。 1．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）设等差数列的前项和为，若 ，则等于（ ） A．30 B．50 C．60 D．70 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质，由也成等差数列求解. 【详解】由等差数列的性质得：也成等差数列， ， ，解得 ． 2．（26-27高二上·甘肃兰州·阶段检测）若表示等差数列的前项和，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可知，且，，，也为等差数列，根据等差中项可得，，即可得结果. 【详解】因为，则，且，即， 又因为为等差数列的前项和，则，，，也为等差数列， 可得，即，则， 且，即， 可得，即，所以. 五、奇项和与偶项和应用 解题策略：设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）当项数为偶数时， （Ⅱ）当项数为奇数时，则 （其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1．（2027高三·全国·专题练习）等差数列中，已知公差，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将个偶数项分别与其前一项奇数项对应，利用等差数列相邻项之差均为公差，把偶数项之和转化为已知的奇数项之和求解． 【详解】. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知项数为奇数的等差数列共有项，其中奇数项之和为72，偶数项之和为60，则项数的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【详解】由题意，， ， 所以，所以． 3．（2026高二·全国·专题练习）设等差数列的项数为奇数且偶数项之和不为零，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列前项和公式即可求解. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项，奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $