4.2.2 等差数列的前n项和公式常见六种题型专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2 等差数列的前n项和公式常见六种题型（过关卷）

目　录

题型一　前n项和公式与基本量运算

题型二　前n项和的性质

题型三　前n项和的最值问题

题型四　an与Sn的关系及递推求通项

题型五　构造等差数列与裂项相消求和

题型六　数学文化与综合应用

 

 

 

 

题型一　前n项和公式与基本量运算

【解题技巧】（等差数列前n项和两个公式：Sn＝na1＋d（已知a1与d）与Sn＝（已知a1与an），基本量运算就是设a1、d（或an）列方程组求解；已知任意两项可用d＝直接求公差；公式选择以「已知什么、求什么」为准，能少设未知数就少设；涉及韦达定理时，两根之和恰好对应am＋an，用性质可免求基本量。）

1．已知等差数列的前项和为，若，，则（   ）

A．17 B．19 C．25 D．30

2．已知等差数列的前项和为，且，则（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16

3．（多选）设数列的前项和为，满足，其中，，则下列选项正确的是（    ）

A． B．为等差数列

C． D．当时，有最大值

题型二　前n项和的性质

【解题技巧】（等差前项和的核心性质：若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；片段和Sn、S2n－Sn、S3n－S2n仍成等差数列（公差为n2d）；S2n－1＝(2n－1)an；两个等差数列前n项和之比常用＝转化；等差中项2an＝an－k＋an＋k常与下标和性质联用，能避免求出具体基本量。）

1．设等差数列的前项和为，若，，则（   ）

A．12 B．14 C．16 D．18

2．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　）

A． B． C． D．

3．等差数列的前项和为，已知，则（    ）

A．28 B．30 C．32 D．36

4．已知等差数列的前项和为，若，则（    ）

A．20 B．16 C．7 D．2

5．在数列中，，点在直线上，则（     ）

A． B． C． D．

6．已知等差数列的前n项和为，若，则的值为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

7．（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（    ）

A． B． C． D．

题型三　前n项和的最值问题

【解题技巧】（求Sn最值的两条路径：①二次函数法——Sn是关于n的二次函数，n取最接近对称轴的正整数（两侧对称时两处同时取最值）；②符号法——d＜0时在「正项变负」的转折处取最大值，即找满足an≥0且an＋1≤0的n，d＞0时类似求最小值；也可利用Sn－Sn－1＝an的符号分析Sn的单调性；含绝对值时先由通项符号确定正负分界的n，再分段去绝对值求和。）

1．在等差数列中，已知，，则数列的前n项和的最大值为（    ）

A．98 B．50 C．49 D．7

2．（多选）在等差数列中，，，记数列的前项和为，下列选项正确的是（   ）

A． B．数列是递增数列

C． D．数列的前10项和为50

3．（多选）设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列选项正确的有（    ）

A． B．

C．时，的最小值为15 D．最小时，

4．（多选）已知等差数列的公差为，前项和为，，，则下列说法中正确的是（    ）

A． B．

C． D．取得最大值时，或

5．（多选）已知等差数列的前项和是，且，则（    ）

A． B． C． D．的最小值为

6．（多选）已知等差数列的公差为d，前n项和为，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．若，则时最大

C．若，则使为负值的n的值有6个 D．若，则

7．已知等差数列的前项和为，若．

(1)求数列的通项公式；

(2)求的最大值及取得最大值时的值．

8．记等差数列的前项和为，已知.

(1)求的通项公式；

(2)求的最大值以及取得最大值时的的值；

题型四　an与Sn的关系及递推求通项

【解题技巧】（an与Sn互化的桥梁：an＝Sn－Sn－1（n≥2），a1＝S1；由Sn求出an后必须验证n＝1是否也满足同一表达式；由Sn判断等差数列，可看Sn是否为缺少常数项的二次式（d≠0时）；递推式an＋1＝an＋f(n)用累加法，an＋1＝pan＋q型构造an＋1＋λ＝p(an＋λ)化为等差数列，新数列首项要重新代入计算。）

1．已知数列满足，设数列的前项和为，则下列结论错误的是（   ）

A．数列为等差数列 B．

C．数列的前项和为 D．数列的前项和为

2．（多选）已知数列的前项和为，且，，则（     ）

A．是递增数列 B．

C．数列是等差数列 D．

3．（多选）已知首项为2的数列的前n项和为，且，则（    ）

A． B．是等差数列

C．是等差数列 D．若，则n的最小值为5

4．（多选）已知数列的前项和，则（    ）

A． B．

C．有最小值 D．数列不是等差数列