第02讲 4.2.1等差数列的概念专项训练（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

第02讲 4.2.1等差数列的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 知识点02：等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 【即学即练1】（25-26高一下·上海·期中）11与1的等差中项为______． 【答案】6 【分析】利用等差中项的定义直接计算即可. 【详解】11与1的等差中项为. 知识点03：等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【即学即练2】（25-26高二上·天津·阶段检测）数列中， ， ，则________． 【答案】 【分析】等式平方得，再利用等差数列通项公式即可得到答案. 【详解】，两边平方得，则， 又因为，则数列是以4为首项，公差为3的等差数列， 则，则. 故答案为：. 知识点04：等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 表达式： 不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线. 相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的 解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一和 一次函数中求,的方法都是解方程(组). 知识点05：等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【即学即练3】（25-26高二·全国·课堂例题）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2) (3)为递减数列． 【分析】（1）根据已知的两点，列出关于数列基本量的方程组，解出首项、公差d； （2）函数图像是在解析式对应直线方程上的离散的点，再坐标系中描出这些点； （3）直接根据公差的正负判断数列的单调性. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为d． 因为，是等差数列的图象上的两点， 所以，，即，解得． 因此，． （2）等差数列的图象是均匀分布在直线上的一系列离散的点，如下图所示：    （3）因为公差，所以等差数列为递减数列． 知识点06：等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 知识点07：等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【即学即练4】（25-26高一下·上海·期末）已知等差数列中，，则__________． 【答案】 12 【详解】因为，所以， 又，所以. 第三部分 题型精讲 题型01等差数列的判定 【典例1】（24-25高二下·广西桂林·阶段检测）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义进行判断即可. 【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 【典例2】（多选）（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用等差数列的定义可判断AC选项，取，可判断BD选项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以是等差数列，故A正确； ， 所以是等差数列，故C正确； 若，则，，，， 所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误； 若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误. 故选：AC. 【变式1】（24-25高三下·青海海东·阶段检测）已知函数，若数列满足，则是（    ） A．等差数列 B．等比数列 C．递减数列 D．常数列 【答案】A 【分析】由指数函数的单调性及等差数列的定义即可得到答案. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增，所以，，所以是等差数列. 故选：A. 【变式2】（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的定义，通过作差法，逐一判断数列是否为等差数列，得出正确结果即可. 【详解】设， 对于选项A，，可知，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以A正确； 对于选项B，，相邻两项之差不是常数，所以B错误； 对于选项C，，数列是以为首项，以为公差的常数列，所以C正确； 对于选项D，，数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以D正确； 故选：ACD. 【变式3】（26-27高二上·全国·课后作业）给出下列各数列的通项公式，其中数列为等差数列的有________．（填序号） ①；②；③． 【答案】① 【详解】①中，是关于的一次函数，且，所以数列是公差为的等差数列； ②中，当时，，当时，，当时，，，所以不是等差数列； ③中，为关于的二次函数， ，，，，故不是等差数列． 题型02 等差数列的通项公式及其应用 【典例1】（25-26高二下·四川南充·期中）已知数列各项均为正数，且，，，则（    ） A．49 B．36 C．25 D．16 【答案】B 【分析】通过递推式判定根号下数列为等差数列，求出通项公式后直接计算第6项. 【详解】由，可得. 因此，数列为等差数列. 由，得，等差数列的公差. 可得，即. 代入，得. 【典例2】（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知数列满足（），且，则数列的前6项之和为（    ） A．12 B．32 C．36 D．72 【答案】C 【分析】由题意可得数列是等差数列，利用等差数列性质计算即可得. 【详解】由数列满足，故数列是等差数列， 则， 故数列的前6项之和. 【变式1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）数列满足，，且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．11 【答案】B 【分析】由已知递推关系得数列是等差数列，然后求出公差，再由通项公式可得． 【详解】因为，所以， 所以数列是等差数列． 因为，，所以，故， 所以． 故选：B 【变式2】（25-26高一下·上海·期末）已知数列满足：，，则________ 【答案】4 【详解】已知，则，即，且， 故数列是首项为1，公差为的等差数列， ， 故． 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）在数列中，，，若，则__________. 【答案】19 【分析】根据递推公式判断是公差为100的等差数列，代入等差数列通项公式结合已知条件求解. 【详解】由递推关系得（常数）， 因此是首项，公差的等差数列. 等差数列通项为，将代入得， 整理计算得，解得. 题型03 等差数列通项公式基本量计算 【典例1】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 【答案】C 【详解】由题可得， 则， 又因为， 所以. 【典例2】（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知数列为等差数列，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设数列的公差为d， 则，化简得，即. 【变式1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】根据等差数列基本量计算即可求解． 【详解】设公差为，则， 所以． 【变式2】（25-26高二下·安徽安庆·期末）在等差数列中，若，则的公差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等差数列的性质进行求解． 【详解】在等差数列中，有，得， 则的公差为． 【变式3】（25-26高二下·山西·期末）已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 【答案】B 【详解】因为，所以，即， 又数列与均为等差数列，所以，解得. 故选：B. 题型04 等差中项及其应用 【典例1】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共层，每层层高相同且都有檐廊．塔身由底向上逐层收小，可近似的看成一个正八棱台．记第层的檐廊外沿周长为（单位：米），若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差中项的概念即可求解. 【详解】由等差中项可得：，即. 【典例2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项求解. 【详解】， 的等差中项为， 故选：B 【变式1】（25-26高二下·安徽·阶段检测）是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】C 【详解】由，得，， 所以与的等差中项为. 【变式2】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项的定义，即可求解. 【详解】因为1、x、2成等差数列，则． 故选：A. 【变式3】（25-26高二上·湖南永州·期末）2与8的等差中项为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质计算即可. 【详解】2与8的等差中项为. 故选：C. 题型05 等差数列性质的应用 【典例1】（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】根据等差数列的前项和公式，，所以，解得. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列前项和公式及等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，已知为等差数列的前项和， 因为，则，化简得，即， 所以，故D正确. 【变式1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列是等差数列，，则（     ） A．19 B．51 C．69 D．87 【答案】B 【详解】因为，所以， 则. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）等差数列中，，则前8项和（   ） A．72 B．54 C．36 D．18 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质及等差数列前n项和公式即得． 【详解】因为等差数列满足，则， 则． 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则________． 【答案】7 【分析】利用等差数列的性质计算即得． 【详解】由题意，得，. 所以 题型06 等差数列的单调性 【典例1】（2025·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性. 【详解】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B 【典例2】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 【变式1】（多选）（22-23高二·全国·随堂练习）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【分析】根据可判断A；举反例可判断B，C；结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误； 对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误； 对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大， 故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确， 故选：AD 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列中，，则数列是递增数列，还是递减数列？ 【答案】递减数列 【分析】根据等差数列的性质判断即可. 【详解】因为公差，所以数列是递减数列． 【变式3】（25-26高二·全国·随堂练习）已知，为等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 【答案】(1) (2) (3)数列是单调递减数列 【分析】（1）设，根据已知的两个点列出关于,的方程组，解出,的值； （2）描出为正整数时的点，即可得到的图象； （3）根据公差的正负判断数列的单调性. 【详解】（1）设， 因为，在等差数列的图像上，所以，， 即 解得 故数列的通项公式为. （2）数列的图象是直线上横坐标为正整数的离散的点，如图所示：    （3）因为，所以是递减数列. 题型07 等差数列中的最大（小）项 【典例1】（多选）（25-26高二上·浙江·期中）公差为d的等差数列前n项和为，若，则下列选项，正确的有（    ） A．d＞0 B．时，n的最大值为9 C．有最小值 D．时，n的最大值为17 【答案】BD 【分析】根据等差数列的单调性以及前项和的函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：由可得，，，故，A错误； 对B：由A得，数列为单调减数列，且，，故时，n的最大值为9，正确； 对：由得，，故是关于的开口向下的二次函数，其有最大值没有最小值，错误； 对：因为数列的前项均为正数，且，， 故时，n的最大值为17，正确； 故选：. 【典例2】（24-25高三上·广西贵港·阶段检测）已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第__________项. 【答案】 【分析】依题意根据等差数列求和公式得到、，，即可得到等差数列为递减数列，即可求出数列中最小的项. 【详解】，， 且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数， ，且，，，所以数列中最小的项是第项. 故答案为：． 【变式1】（25-26高一下·四川宜宾·阶段检测）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质和前项和公式求得，然后由“1”的代换应用基本不等式求得最小值． 【详解】由题意，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立． 故选：B． 【点睛】本题考查等差数列的性质，考查基本不等式求最值．解题基础是掌握等差数列的性质，掌握基本不等式求最值中“1”的代换法． 【变式2】（多选）（23-24高二上·广西百色·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列有最大项，无最小项 C．当时， D．当或3时，取得最大值 【答案】BCD 【分析】利用的关系可判定数列为等差数列，求出首项和公差，再根据数列的函数特性判定选项即可. 【详解】因为， 当时，， 当时，，满足， 故数列的通项公式为，易得， 故数列为首项，公差的等差数列. 对于选项A,B:因为公差，所以数列是递减数列,且数列有最大项，无最小项，故选项A错误，选项B正确； 对于选项C:因为，所以 因为数列是递减数列，故当时，，故选项C正确； 对于选项D: 由，, 结合二次函数知识可知,当或时，取得最大值,故选项D正确. 故选：BCD. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 题型08 构造等差数列 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，然后根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】求不动点，令，解得（等根）.构造， 那么数列是首项为，公差为的等差数列， 故，. 【典例2】（2026·重庆万州·模拟预测）在数列中，已知，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由可得， 则数列为等差数列，因，得， 则数列的公差， 于是， 故. 【变式1】（多选）（26-27高三上·湖北·开学考试）记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 【答案】AC 【分析】令得到，结合，可判断A，再结合A进一步可判断BCD. 【详解】令，则． 因为，所以． 于是，所以，即． 所以是以为首项，公差为的等差数列． 所以，所以． 选项A：因为，所以为等差数列，所以A正确． 选项B：．因为时，所以不恒成立，B错误． 选项C：由， 得． 而，所以，C正确． 选项D：通项随变化，对应的点分布在函数的图象上，不是周期数列，D错误． 【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，已知，，且数列是等差数列，则________． 【答案】2 【详解】设，数列是等差数列，公差为d，则，， ，得，则，则，． 【变式3】（2026·四川凉山·二模）若数列满足，则前6项的平均数__________. 【答案】2 【分析】利用递推公式求出的通项公式，然后得到答案. 【详解】令，则，即是公差为2的等差数列， 由得， 故， 于是， 所以，，， ，， ， 故前6项的平均数. 题型09 等差数列的实际应用 【典例1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】显然，，解得，于是， 故． 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为_____. 【答案】20 【分析】分别求出能被3除余2、被5除余3、被7除余1的数形成数列的通项，进而求出数列的通项公式，再建立不等式组并求出此数列的项数. 【详解】依题意，能被3除余2的数为，则能被3除余2的数形成数列的通项， 被5除余3的数为，则被5除余3的数形成数列的通项， 被7除余1的数为，则被7除余1的数形成数列的通项， 由，，，， 因此能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数形成数列，，， 由，解得， 而，则，所以此数列的项数为20. 【变式1】（26-27高三上·河南南阳·开学考试）在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由条件可知联立可解得 所以， 所以， 因为， 所以的公差． 【变式2】（26-27高三上·福建莆田·开学考试）我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【详解】由题意知，每相邻两个节气之间的日影长度差为分， “夏至”时日影长度最小，为160分，“夏至”之后，每往后一个节气日影长度增加分, 则“夏至”对应等差数列的首项，公差，则. 由二十四节气表可知，“立秋”是该数列的第4项，则. 故“立秋”时日影长度为分. 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织讫……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布______. 【答案】尺 【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为，由题设可知为等差数列， 且，故公差， 故. 题型10等差数列在传统文化中的应用问题 【典例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 【答案】C 【分析】由题意可得数列为等差数列，则得到其通项公式，代入计算即可. 【详解】被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列， 构成首项为，公差为的等差数列， 所以， 则. 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·江苏盐城·期末）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： （1）“正方形筛子”中位于第10行的第10个数是______. （2）若表示第行列的数，则______（用，表示）    【答案】 220 【分析】（1）由所给“正方形筛子”观察可知第1列数字通项公式，再分析第N行数列的通项公式即可得解； （2）观察可知第n行和第n列的等差数列的公差相等，都是2n＋1，据此可求通项. 【详解】（1）第一列的数字为4，7，10，13，16，，为等差数列，公差d= 3， 则， 故第10行的第一个数为， 再看行，第一行的数字是加3递增，第二行是加5递增，第三行是加7递增，，第N行是加递增， 则第10行是加递增，所以第10行的第10个数是； （2）观察“正方形筛子"得：每一行都是等差数l列，每一列都是等差数列， 第n行和第n列的等差数列的公差相等，都是2n＋1， 第n行的第一个数是：， 第n行第m个数为：， . 故答案为：； 【变式1】（23-24高二上·贵州安顺·期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则（    ） A． B．1 C．10 D．100 【答案】C 【分析】首先由题意得到递推关系式，再求解数列的通项公式，即可求解. 【详解】，即, 因为，，…，的长度构成的数列为，则 则数列是公差为1的等差数列，首项， 所以，即， 所以. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期末）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： （4   7   10  13  16  ⋯） （7   12  17  22  27  ⋯） （10  17  24  31  38  ⋯） （13  22  31  40  49  ⋯） （16  27  38  49  60  ⋯） （⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯） 则“正方形筛子”中位于第20行的第10个数是______． 【答案】430 【分析】先看列，结合等差数列可得第20行的第一个数为，再看行，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】先看列，第一列的数字为，可得为等差数列，公差， 则， 故第20行的第一个数为， 再看行，第一行的数字是加3递增，第二行是加5递增，第三行是加7递增，，第行是加递增， 则第20行是加递增， 所以第20行的第10个数是． 【变式3】（24-25高二下·江西·期末）《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则_____. 【答案】239 【分析】根据题意可得数列，的通项公式，再分析数列，结合周期性可知，即可得结果. 【详解】因为， 可知数列是首项为2，公差为3的等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列， 可得， 又因为数列，的相同的数组成的数列为， 可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得， 则数列依次为， 可得，所以. 故答案为：239. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C素养提升 A夯实基础 1．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 【答案】B 【分析】根据题图确定五边形中小石子增量关系，法1：根据规律写出第5项，法2：总结归纳得到第个五边形数为，即可得. 【详解】观察规律：第1项1，第2项5，第3项12，第4项22， 所以增量依次为，构成公差为3的等差数列， 法1：依上知，第5项为， 法2：总结归纳知，第个五边形数为， 当时，. 故选：B 2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 【答案】B 【分析】由高阶等差数列的定义，通过列举即可求解. 【详解】由， ， ， ，可知： ，即 ，即 ，即， 即第8项是， 故选：B 3．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为等差数列中，，， 所以. 4．（25-26高二下·云南曲靖·期末）若一个等差数列的公差为，且第5项为5，则该数列的首项为（    ） A．13 B．15 C．17 D．20 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设该数列的首项为，由题意知，. 因为，所以. 5．（25-26高二下·辽宁·期末）已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】设等差数列公差为，则有， 由，则， 则时，，成立，“”是“”成立的充分条件. 时，有，即可推出或的结论， 故“”不是“”成立的必要条件.故A正确. 6．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在等差数列中，，则（    ） A．17 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】根据等差中项的性质先求出，再结合条件求出，得到等差数列的公差，代入通项公式即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，根据等差中项的性质，得， 又，所以，代入，得， 所以，因此等差数列的通项为， 所以. 7．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知等差数列的通项公式为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】由题意令可得，. 8．（多选）（24-25高二上·甘肃兰州·期中）设是公差为d的等差数列，为其前n项和．能说明“若，则数列为递增数列”是假命题的一组和d的值可以为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【分析】举例说明判断AC；求出数列的通项公式，再数列单调性定义判断BD. 【详解】对于A，，，数列不递增，A符合； 对于B，数列的通项公式为，，， 则数列为递增数列，B不符合； 对于C，，，数列不递增，C符合； 对于D，数列的通项公式为，，， 则数列为递增数列，D不符合. 故选：AC 9．（25-26高二下·吉林长春·期末）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 【答案】19 【详解】已知从第五层开始，塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列， 将第五层的塔的数目设为，设从第五层开始自上而下，每一层的塔的数目为， 则， 则第十二层对应． 10．（25-26高二下·北京·期中）已知数列，，则________，数列的通项公式________. 【答案】 【分析】使用倒数构造的方法可得为等差数列，进而可求得的通项公式. 【详解】，两边同时取倒数得， 即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 即，所以，. B能力提升 1．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）在各项均不为零的数列中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，结合题意得，进而得为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可. 【详解】已知各项均不为零的数列满足， 两边同时除以得 设，则，故为等差数列. 因为，所以， 所以，数列的公差， 所以， 所以 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知方程有三个不同且成等差数列的实数解，则（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三次方程三根成等差数列，设三个解为，展开多项式，对比方程各项系数求出，再算出参数，最后验证根满足条件. 【详解】依题意，设三个解为， 故原方程可化为： 原方程为， 由二次项系数得, 由一次项系数得, 由常数项得，所以, 当，方程为 ， 三个解为，显然三个实数互不相等，成等差数列，完全满足题目的条件. 3．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知数列满足，则（       ） A．250 B．500 C．550 D．1000 【答案】B 【分析】建立起偶数项的递推公式，利用递推公式求出偶数项的通项可得答案. 【详解】设偶数项为， 令，得， 所以， 当时， ， 当时， ， 代入： ， 即， 所以是等差数列，首项，公差为， 因此：， 而. 4．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的定义，得到数列为等差数列，求得，得到，结合裂项法求和，得到，列出不等式，即可求解. 【详解】因为，即，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，可得，所以 所以， 又因为，可得，解得， 因为，所以的最小值是． 5．（25-26高二下·北京西城·期末）已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 【答案】 【详解】设等差数列的首项为，公差为（）， 因为，所以，解得， 则. 6．（25-26高二下·广西崇左·期末）数列满足，且，，则______． 【答案】194 【分析】仿写作差后得到中所有下标模3余0,1,2的子列均为公差为6的等差数列，再利用等差数列的性质可计算. 【详解】因为，，则， 两式作差后可得，即中所有下标模3余0,1,2的子列均为公差为6的等差数列， 又，可得，即， 所以 C素养提升 1．（25-26高二下·陕西安康·期末）记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 【答案】(1)由题可得，   因为， 所以，   所以数列是公差为3的等差数列． (2) 【分析】（1）由，代入，得到，即可证明； （2）利用等差数列通项公式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）可得 ，则，   当时，，   所以. 2．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，其中为常数，． (1)求数列的通项公式； (2)若是等差数列，求和的取值范围，然后求出这个等差数列公差． 【答案】(1) (2)可以是任何实数，， 【分析】（1）利用与分段求通项，区分和两种情况求出； （2）已知是等差数列，利用公差的性质，解出参数条件，同时得到公差表达式即可． 【详解】（1）数列通项与前项和的关系是， 当时，代入题设相减， 对于，， 综上可得，． （2）对于，此时是等差数列， 公差为， 此时需要保证第一项和后面的项，构成等差数列， 因此，计算后得， 故可以是任何实数． 3．（辽宁省重点高中协作体2026届高三调研测试（二）数学试题）数列满足． (1)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件． 【答案】(1)假设数列 为等差数列，设它的公差为， 由可得， 即， 因为当时，恒成立， 所以在时恒成立， 即，解得， 所以，当时，数列 不是等差数列. (2)当 时，， 因为，，故，即， 因此数列 单调递增，故充分性成立， 取 ，则， 因为，故，此时数列 单调递增， 但 不满足 ，故必要性不成立， 故“ ”是“数列单调递增”的充分不必要条件． 【分析】（1）不妨设数列 为等差数列，则它的公差为，结合等差数列的通项公式即可求得，不符合题意； （2）根据配方法，结合充分条件与必要条件的定义，分别求证充分性与必要性即可. 【详解】（1）略 （2）略 4．（25-26高二上·河北唐山·期末）记数列的前项和为，已知，数列满足：． (1)求的通项公式； (2)求证：数列为等差数列，并求的通项公式． 【答案】(1) (2) 因为，等式两边同时除以，可得， 又，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， ，即. 故的通项公式为. 【分析】（1）利用的关系即可求出； （2）利用等差数列的定义即可证明数列为等差数列，进而求出的通项公式. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，成立， 综上，. （2）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 4.2.1等差数列的概念 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 知识点02：等差中项 由三个数，,组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时, 叫做与的等差中项.这三个数满足关系式 . 【即学即练1】（25-26高一下·上海·期中）11与1的等差中项为______． 知识点03：等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量,和的表达式,所以由首项和公差可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项. 【即学即练2】（25-26高二上·天津·阶段检测）数列中， ， ，则________． 知识点04：等差数列与一次函数 等差数列 一次函数 表达式： 不同点 ①定义域*. ②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点. ①定义域为. ②图象是一条直线. 相同点 ①当时,等差数列的通项公式与一次函数的 解析式都是关于自变量的一次式. ②等差数列中的,,,四个量中知三求一和 一次函数中求,的方法都是解方程(组). 知识点05：等差数列的单调性 ①当，等差数列为递增数列 ②当，等差数列为递减数列 ③当，等差数列为常数列 【即学即练3】（25-26高二·全国·课堂例题）已知，是等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 知识点06：等差数列的四种判断方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 知识点07：等差数列的性质 ① ②若，则（特别的，当，有） ③若是等差数列,公差为,则也是等差数列,公差为 . ④若是公差为的等差数列,则，，,…()组成公差为 的等差数列. ⑤若数列为等差数列,公差为,则(为常数)是公差为的等差数列. ⑥若,分别是以,为公差的等差数列,则是以为公差的等差数列. 【即学即练4】（25-26高一下·上海·期末）已知等差数列中，，则__________． 第三部分 题型精讲 题型01等差数列的判定 【典例1】（24-25高二下·广西桂林·阶段检测）在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【典例2】（多选）（24-25高二下·广西北海·期末）已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高三下·青海海东·阶段检测）已知函数，若数列满足，则是（    ） A．等差数列 B．等比数列 C．递减数列 D．常数列 【变式2】（多选）（25-26高二上·湖南长沙·期中）若数列是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有（   ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27高二上·全国·课后作业）给出下列各数列的通项公式，其中数列为等差数列的有________．（填序号） ①；②；③． 题型02 等差数列的通项公式及其应用 【典例1】（25-26高二下·四川南充·期中）已知数列各项均为正数，且，，，则（    ） A．49 B．36 C．25 D．16 【典例2】（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知数列满足（），且，则数列的前6项之和为（    ） A．12 B．32 C．36 D．72 【变式1】（25-26高二上·安徽合肥·期中）数列满足，，且，则的值为（   ） A．5 B．6 C．9 D．11 【变式2】（25-26高一下·上海·期末）已知数列满足：，，则________ 【变式3】（2026·重庆·模拟预测）在数列中，，，若，则__________. 题型03 等差数列通项公式基本量计算 【典例1】（25-26高二上·福建莆田·阶段检测）已知等差数列的公差为，则（    ） A．2 B． C． D．20 【典例2】（26-27高三上·福建泉州·开学考试）已知数列为等差数列，且，则（     ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·安徽合肥·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【变式2】（25-26高二下·安徽安庆·期末）在等差数列中，若，则的公差为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26高二下·山西·期末）已知数列与均为等差数列，且，则（    ） A．14 B．7 C．10 D．5 题型04 等差中项及其应用 【典例1】（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）某古塔为八角形仿木结构阁楼式砖身木檐塔，共层，每层层高相同且都有檐廊．塔身由底向上逐层收小，可近似的看成一个正八棱台．记第层的檐廊外沿周长为（单位：米），若，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则的等差中项为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·安徽·阶段检测）是数列的前项和，若，则与的等差中项为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【变式2】（25-26高二上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）x是1和2的等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·湖南永州·期末）2与8的等差中项为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型05 等差数列性质的应用 【典例1】（25-26高二下·广东深圳·阶段检测）已知是等差数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）设为等差数列的前项和，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列是等差数列，，则（     ） A．19 B．51 C．69 D．87 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）等差数列中，，则前8项和（   ） A．72 B．54 C．36 D．18 【变式3】（2026高三·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，若，则________． 题型06 等差数列的单调性 【典例1】（2025·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（22-23高二·全国·随堂练习）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【变式2】（25-26高二下·全国·课堂例题）等差数列中，，则数列是递增数列，还是递减数列？ 【变式3】（25-26高二·全国·随堂练习）已知，为等差数列的图象上的两点． (1)求数列的通项公式； (2)画出数列的图象； (3)判断数列的单调性． 题型07 等差数列中的最大（小）项 【典例1】（多选）（25-26高二上·浙江·期中）公差为d的等差数列前n项和为，若，则下列选项，正确的有（    ） A．d＞0 B．时，n的最大值为9 C．有最小值 D．时，n的最大值为17 【典例2】（24-25高三上·广西贵港·阶段检测）已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第__________项. 【变式1】（25-26高一下·四川宜宾·阶段检测）在各项均为正数的等差数列中，为其前项和，，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D．2 【变式2】（多选）（23-24高二上·广西百色·期末）数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列有最大项，无最小项 C．当时， D．当或3时，取得最大值 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为______． 题型08 构造等差数列 【典例1】（26-27高三·全国·一轮复习）数列满足，，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026·重庆万州·模拟预测）在数列中，已知，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（26-27高三上·湖北·开学考试）记数列的前项和为，若，，则下列选项正确的有（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．数列为周期数列 【变式2】（2026·河南开封·模拟预测）在数列中，已知，，且数列是等差数列，则________． 【变式3】（2026·四川凉山·二模）若数列满足，则前6项的平均数__________. 题型09 等差数列的实际应用 【典例1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）在简单经济模型中，当产量为n时，对应的价格记为，若为等差数列，记其公差为d，则其在产量为m时的点弹性为．现在某简单经济模型中，当产量为3时的点弹性为1，则当产量为6时的点弹性为（    ） A． B． C．1 D．2 【典例2】（2026高二·全国·专题练习）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都有着广泛的应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2022这2022个数中能被3除余2，且被5除余3，且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，那么此数列的项数为_____. 【变式1】（26-27高三上·河南南阳·开学考试）在经济模型中，常考虑市场需求与工资指数间的关系．记工资指数为，市场需求为D，在不引入其它变量的情况下，二者通常呈线性关系，即，其中，且均为给定常数，称为工资指数为的需求点弹性．在某一假设模型中，若当市场需求为20时的工资指数为25，市场需求为10时的需求点弹性为110，该模型对应的边际效益数列满足，则的公差为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27高三上·福建莆田·开学考试）我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸．意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为分；“冬至”时日影长度最大，为1350分，“夏至”时日影长度最小，为160分．则“立秋”时日影长度为（    ） 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 A．分 B．分 C．分 D．分 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织讫……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布______. 题型10等差数列在传统文化中的应用问题 【典例1】（24-25高二上·湖北武汉·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”.原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有一个相关的问题：被3除余1且被4除余2的正整数，按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则的值为（    ） A．24294 B．24296 C．24298 D．24300 【典例2】（25-26高二上·江苏盐城·期末）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： （1）“正方形筛子”中位于第10行的第10个数是______. （2）若表示第行列的数，则______（用，表示）    【变式1】（23-24高二上·贵州安顺·期末）图1是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记，，…，的长度构成的数列为，则（    ） A． B．1 C．10 D．100 【变式2】（25-26高二上·江苏常州·期末）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： （4   7   10  13  16  ⋯） （7   12  17  22  27  ⋯） （10  17  24  31  38  ⋯） （13  22  31  40  49  ⋯） （16  27  38  49  60  ⋯） （⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯  ⋯） 则“正方形筛子”中位于第20行的第10个数是______． 【变式3】（24-25高二下·江西·期末）《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则_____. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C素养提升 A夯实基础 1．（25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，将图中的1，5，12，22称为五边形数，则五边形数所构成的数列的第5项是（ ） A．32 B．35 C．51 D．70 2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 3．（26-27高三上·湖南怀化·开学考试）已知等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·云南曲靖·期末）若一个等差数列的公差为，且第5项为5，则该数列的首项为（    ） A．13 B．15 C．17 D．20 5．（25-26高二下·辽宁·期末）已知等差数列，则“”是“”成立的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 6．（25-26高二下·贵州遵义·期中）在等差数列中，，则（    ） A．17 B．19 C．20 D．21 7．（25-26高二下·云南昆明·期末）已知等差数列的通项公式为，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（多选）（24-25高二上·甘肃兰州·期中）设是公差为d的等差数列，为其前n项和．能说明“若，则数列为递增数列”是假命题的一组和d的值可以为（   ） A．， B．， C．， D．， 9．（25-26高二下·吉林长春·期末）一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，则该塔第十二层有________座． 10．（25-26高二下·北京·期中）已知数列，，则________，数列的通项公式________. B能力提升 1．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）在各项均不为零的数列中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）已知方程有三个不同且成等差数列的实数解，则（     ） A．0 B． C． D． 3．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知数列满足，则（       ） A．250 B．500 C．550 D．1000 4．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知数列满足，且，设数列的前项和为，若（），则的最小值是（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 5．（25-26高二下·北京西城·期末）已知等差数列的公差不为零，且，则__________. 6．（25-26高二下·广西崇左·期末）数列满足，且，，则______． C素养提升 1．（25-26高二下·陕西安康·期末）记为数列的前项积，已知． (1)证明：数列为等差数列； (2)若，求的通项公式． 2．（25-26高二下·四川成都·期中）已知数列的前项和为，其中为常数，． (1)求数列的通项公式； (2)若是等差数列，求和的取值范围，然后求出这个等差数列公差． 3．（辽宁省重点高中协作体2026届高三调研测试（二）数学试题）数列满足． (1)当时，判断数列是否为等差数列，并说明理由； (2)求证：“”是“数列单调递增”的充分不必要条件． 4．（25-26高二上·河北唐山·期末）记数列的前项和为，已知，数列满足：． (1)求的通项公式； (2)求证：数列为等差数列，并求的通项公式． 学科网（北京）股份有限公司 $