精品解析：四川自贡市荣县2026-2027学年八年级上学期期中考试数学试题

2026-2027学年上期八年级半期阶段练习 数学试题 （总分：100分 考试时长：120分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有长度分别为和的两根木棒，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形支架，则应在下列四根木棒中选取长度为（ ）的木棒． A. B. C. D. 3. 几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，则证明运用的三角形全等的判定方法是（ ） A. 定义 B. C. D. 4. 如图，将直尺与含角的三角板摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（ ）． A. B. C. D. 7. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 8. 如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 9. 如图，阳光房的屋顶框架都采用三角形结构，所涉及的数学原理是______________． 10. 如图，为的外角，，，则度数为________． 11. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 12. 已知，若的周长是15，且，，则的长是______． 13. 如图，在中，，，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是4，则的面积为________． 14. 如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 三、解答题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 15. 如图，已知，．求证：． 16. 自贡某中学八年级数学兴趣小组到郊外测量池塘两端A，B之间的距离． 他们在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使；再连接，测得米． 求池塘两端A，B之间的距离，并说明理由． 17. 如图，已知，点在一条直线上，连接，若，的周长是16，求的长． 18. 如图，已知，，．试说明：． 19. 如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 四、解答题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分） 20. 如图，正方形网格中． （1）画出关于直线对称的图形；（点，，的对应点分别为点，，，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） （2）在直线上找一点，使周长最小． 21. 求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半． 22. 如图①，在中，是的中点，于，于，． （1）求证：平分； （2）如图②，连接，求证：垂直平分． 五、解答题：（本大题共2小题，第23题7分，第24题8分，满分15分） 23. 【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点P． （1）若，，则______°，______°； （2），则______°（用n表示），并说明理由． 【应用】 （3）如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______． 24. 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，______，与是否全等，请说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期八年级半期阶段练习 数学试题 （总分：100分 考试时长：120分钟） 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 下列图形中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，即可判断． 【详解】解：A、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C、沿图形的竖直中线折叠，直线两侧的部分可以完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； D、不存在能让图形折叠后完全重合的直线，不是轴对称图形，故选项不符合题意． 2. 现有长度分别为和的两根木棒，若不改变木棒的长短，要钉成一个三角形支架，则应在下列四根木棒中选取长度为（ ）的木棒． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，再筛选选项． 【详解】解：设选取的木棒长为， ∵两根木棒长度分别为和， ∴， 即， ∴长度为的木棒符合题意． 3. 几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，则证明运用的三角形全等的判定方法是（ ） A. 定义 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得， ∴． 4. 如图，将直尺与含角的三角板摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到三角板中角、与的位置关系，利用三角形外角定理，得到的度数，根据，得到∠2与∠3的关系，得到∠2的度数． 【详解】解：如图，∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5. 下面四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】三角形的高是三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线、顶点到垂足之间的线段．根据三角形的高的定义逐项分析判断即可解答． 【详解】解：若线段是的高，则过点B，且垂直，垂足为D， D选项中线段表示中边上的高． A、 B、C选项中线段不能表示任何边上的高． 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征，根据横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：A． 7. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】B 【解析】 【分析】多边形的外角和是，则内角和是．设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值． 【详解】解：设这个多边形是边形，根据题意，得 ， 解得：． 故这个多边形是六边形． 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 8. 如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接EF，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①先证明，再证明，进而可依据“”判定；由此可对结论①进行判断；②根据①的结论正确得，再证明，进而可依据判定，进而根据全等三角形的性质可对结论②进行判断；③根据全等三角形性质得，再根据已知得，则，由此可得出的面积，进而可对结论③进行判断；④根据，，可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴为等腰直角三角形, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论②正确， ③∵， ∴，， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴，故结论③正确， ④在中，， ∵， ∴， 故结论④正确， 综上所述：正确得结论是①②③④． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 9. 如图，阳光房的屋顶框架都采用三角形结构，所涉及的数学原理是______________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【详解】略 10. 如图，为的外角，，，则度数为________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：∵为的外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 11. 等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为6两种情况进行讨论，利用三角形两边之和大于第三边判断是否构成三角形． 【详解】解：当腰长为3时，三边分别为3、3、6，由于，不能构成三角形； 当腰长为6时，三边分别为6、6、3，由于，满足两边之和大于第三边，能构成三角形，周长为． 故答案为：15． 12. 已知，若的周长是15，且，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形周长相等得到的周长，再利用三角形周长公式计算的长度即可. 【详解】解：∵，的周长是15， ∴的周长等于的周长，即的周长为， ∵三角形周长等于三边长度之和，，， ∴. 13. 如图，在中，，，分别是，，的中点，（阴影部分）的面积是4，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先得出，再得出，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵点是的中点，且（阴影部分）的面积是4， ∴， ∵点是的中点， ∴，， ∴． 14. 如图，中，点D在边上，点E在边上，且，，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造，然后得到，，再根据等角对等边得到是解题的关键． 【详解】延长到点F，使得，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分） 15. 如图，已知，．求证：． 【答案】证明：如图，连接， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】连接，通过证明得到． 【详解】略 16. 自贡某中学八年级数学兴趣小组到郊外测量池塘两端A，B之间的距离． 他们在平地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使；再连接，测得米． 求池塘两端A，B之间的距离，并说明理由． 【答案】米． 理由如下：在和中， ， ∴． ∴（米）． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，即可求解． 【详解】略 17. 如图，已知，点在一条直线上，连接，若，的周长是16，求的长． 【答案】 【解析】 【详解】解， ， ，即， 的周长为16， ∴, ． 18. 如图，已知，，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先证明，再解答即可 【详解】略 19. 如图，在中，，于点D，E为上一点，且，连接．若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据垂直定义可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得：，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ． 四、解答题：（本大题共3小题，每小题6分，满分18分） 20. 如图，正方形网格中． （1）画出关于直线对称的图形；（点，，的对应点分别为点，，，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．下同） （2）在直线上找一点，使周长最小． 【答案】（1），即为所作 （2），点即为所作 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质找点，，关于直线对称的对应点，，的位置，依次连接即可作答； （2）要使周长最小，即要使得最小，是定值，则只要最小，即可；连接交直线于点P，连接、，问题得解． 【小问1详解】 解析见详解 【小问2详解】 作图见详解 按照典型的“将军饮马”问题解决方法即可证明． 21. 求证：如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半． 【答案】 证明：如图： ， ， ，， 在直角三角形中，． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质证明即可． 【详解】略 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是要构造直角三角形，利用直角三角形中对应的边等于斜边的一半即可． 22. 如图①，在中，是的中点，于，于，． （1）求证：平分； （2）如图②，连接，求证：垂直平分． 【答案】（1）证明：是的中点， ， ，， 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． （2）证明：由（1）知， 在和中， ， ， 又， 垂直平分． 【解析】 【分析】（1）由是的中点，可得，利用可证，可得，利用角平分线的判定定理可证平分； （2）根据垂直平分线的判定方法，证明，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题：（本大题共2小题，第23题7分，第24题8分，满分15分） 23. 【探究】如图①，在中，的平分线与的平分线相交于点P． （1）若，，则______°，______°； （2），则______°（用n表示），并说明理由． 【应用】 （3）如图②，在中，的平分线与的平分线相交于P，的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理进行计算即可； （2）由角平分线定义得，再根据三角形内角和定理，即可得到结论； （3）由角平分线定义可得，，继而推导出 ，再将代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：．理由如下： ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴ 【小问3详解】 解：．理由如下： ∵∠ABC的外角平分线与的外角平分线相交于点， ∴， ∴在中，， 又∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴． 24. 如图（1），，，，．点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，______，与是否全等，请说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），与全等，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）结合题意可得，，，利用即可证明结论； （2）结合题意可得，，，，利用全等三角形的判定与性质定理分两种情况讨论：当，时；当，时；分别列方程组即可求解． 【小问1详解】 解：． 与全等，说明理由略． 【小问2详解】 解：存在x，使得与全等， 由题意可得，，，， ∵ 当，时，由可得， ∴， ∴； 当，时，由可得， ∴， ∴； 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $