精品解析：四川省自贡市荣县中学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题

四川省自贡市荣县中学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 一、选择题：（本题有8个小题，每小题3分，共24分．把正确答案的序号涂在机读卡上．） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，5cm B. 4cm，6cm，10cm C. 1cm，1cm，3cm D. 3cm，4cm，9cm 2. 下列图形不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线MN交AB于点D，连结．若，，则的周长为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是边的中线，E，F，分别是，的中点，若的面积为6，则的面积等于（ ） A. 18 B. 24 C. 48 D. 36 5. 如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则( ) A. 40° B. 36° C. 80° D. 25° 7. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A. 17 B. 18 C. 20 D. 22 8. 如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 9. 已知点和关于y轴对称，则______． 10. 如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多__________． 11. 如图：点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，连接交于，交于，那么的周长为_____． 12. 如图，在中，，是的角平分线，，则的面积是_____． 13. 如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是___________． 14. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 三、解答题：（本题有5个小题，每小题5分，共25分） 15. 如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：． 16. 已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 17. 如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点，求的度数． 18. 如图，点是内一点，、分别平分、，，求的度数． 19. 已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线． 四、解答题：（本题有3个小题，每小题6分，共18分） 20. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 21. 如图，在中，是的角平分线，于点，连接，求的长． 22. 如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 五、解答题：（本题有2个小题，23小题7分，24小题8分，共15分） 23. 【探究与证明】 【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．则________（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论； （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分． 24. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省自贡市荣县中学校2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 一、选择题：（本题有8个小题，每小题3分，共24分．把正确答案的序号涂在机读卡上．） 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 3cm，4cm，5cm B. 4cm，6cm，10cm C. 1cm，1cm，3cm D. 3cm，4cm，9cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可． 【详解】A、3＋4＞5，能组成三角形，故此选项合题意； B、4＋6＝10，不能组成三角形，故此选项不符合题意； C、1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项不合题意； D、3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项不合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2. 下列图形不是轴对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 3. 如图，在中，，按以下步骤作图：分别以为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线MN交AB于点D，连结．若，，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，三角形的周长，根据作图过程可知，是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，进而得到的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的作法及性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选：． 4. 如图，是边的中线，E，F，分别是，的中点，若的面积为6，则的面积等于（ ） A. 18 B. 24 C. 48 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由三角形中线的性质可求得，的面积，进而可求解的面积． 【详解】解：∵是中边上的中线， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， 【点睛】本题主要考查三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分为两个面积相等的三角形是解题的关键． 5. 如图， 中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中至少有一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了作图——复杂作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质等，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． A选项中，由作法知，可判断A；B选项中，由作法知是的平分线，根据角平分线的定义和三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的定义即可判断B；C选项中，由作法知所作图形是线段的垂直平分线，可判断C；D选项中，由作法知，所作图形是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到，可判断D． 【详解】解：选项A、由作法知， 是等腰三角形，故选项A不符合题意； 选项B、由作法知是的平分线， 即， ∵，， ∴， 故， ∴， 是等腰三角形，故选项B不符合题意； 选项C、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 不能判定是等腰三角形，故选项C不符合题意； 选项D、由作法知，所作直线是线段的垂直平分线， ， 是等腰三角形，故选项D不符合题意． 故选：C． 6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则( ) A. 40° B. 36° C. 80° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】根据AB＝AC可得∠B＝∠C，CD＝DA可得∠ADB＝2∠C＝2∠B，BA＝BD，可得∠BDA＝∠BAD＝2∠B，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B． 【详解】∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵CD＝DA， ∴∠C＝∠DAC， ∵BA＝BD， ∴∠BDA＝∠BAD＝2∠C＝2∠B， 设∠B＝α， 则∠BDA＝∠BAD＝2α， 又∵∠B＋∠BAD＋∠BDA＝180°， ∴α×2α＋2α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠B＝36°． 故选B． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理和方程思想的应用． 7. 如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，则的周长是（　　） A. 17 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键． 运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，同理：，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长为． 故选：C． 8. 如图，已知与都是等边三角形，点B、C、D在同一条直线上，与相交于点G，与相交于点F，与相交于点H，连接．给出下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确结论的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，利用等边三角形的性质得出条件，可证明：，可判断①正确；利用得出，利用8字形可得，可判断②正确；证明，得，可判断③正确；由和，根据“有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形，可判断④正确，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，；故③正确； ∵，， ∴是等边三角形；故④正确． 故选：D． 二、填空题：（本题有6个小题，每小题3分，共18分） 9. 已知点和关于y轴对称，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等． 根据关于y轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点和关于y轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：6． 10. 如图，是的中线，，，那么的周长比的周长多__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念．根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长的周长 ， 的周长比的周长多， 故答案为：． 11. 如图：点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，连接交于，交于，那么的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质． 利用轴对称的性质得到，，证明的周长，可得结论. 【详解】解： P点关于的对称点， ，， 周长， 故答案为：． 12. 如图，在中，，是的角平分线，，则的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形的面积． 作于，利用角平分线的性质定理证明，代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：如图，作于H， 平分，，， ， ， 故答案为：． 13. 如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是___________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理，由，可得，由折叠前后对应角相等，可得，，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，，， ， 由折叠得，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时，____________ ．（用含α的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 如图，连接，根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题：（本题有5个小题，每小题5分，共25分） 15. 如图：已知，，，垂足分别为点、，若，求证：． 【答案】 证明：∵DE=BF， ∴DE+EF=BF+EF； ∴DF=BE； 在Rt△ADF和Rt△BCE中 ， ∴Rt△ADF≌Rt△CBE（HL）， ∴∠B=∠D， ∴． 【解析】 【分析】利用已知条件证明△ADF≌△CBE，由全等三角形的性质即可得到∠B=∠D，进而得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定及性质；由DE=BF通过等量加等量和相等得DF=BE在三角形全等的证明中经常用到，应注意掌握应用． 16. 已知：如图，是的垂直平分线．求证：． 【答案】 证明：连接，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． 连接，，根据线段垂直平分线的性质得到，根据证明，即可证明． 【详解】略 17. 如图，在中，，，于点D，平分交于点E，于点，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的性质可得，根据、得到，利用三角形内角和定理得到的度数即可． 【详解】解：， 平分 ． 答：的度数为． 18. 如图，点是内一点，、分别平分、，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，推得，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 已知△ABC中∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，求证：直线AD是CE的垂直平分线． 【答案】 证明：∵DE⊥AB， ∴∠AED=90°=∠ACB， 又∵AD平分∠BAC， ∴∠DAE=∠DAC， ∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE=AC，DE=DC， ∵AD平分∠BAC， ∴AD⊥CE，且AD平分CE， 即直线AD是线段CE的垂直平分线． 【解析】 【分析】由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC． 四、解答题：（本题有3个小题，每小题6分，共18分） 20. 如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的，利用无刻度直尺作图． （1）画，使它与关于直线l对称； （2）在直线l上作点P，使的值最小； （3）在直线l上找一点Q，使点Q到、两边的距离相等． 【答案】（1） 解：如图，即为所求； ； （2） 解：如图，点P即为所求． ； （3） 解：如图，点Q即为所求． ． 【解析】 【分析】本题考查了画轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的画法和等腰三角形的判定和性质是解题关键． （1）先分别画出点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可得； （2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数； （3）根据等腰三角形三角形合一即可得到点Q． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 如图，在中，是的角平分线，于点，连接，求的长． 【答案】， 【解析】 【分析】利用直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半，可求得的长；利用证明，从而得到，又可求得，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， 又， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，证明等边三角形是解题的关键． 22. 如图，四边形中，，点E为的中点，且平分． （1）求证：平分； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的性质和判定是解题的关键． （1）过点E作于F，根据角平分线的性质证明,再根据角平分线的判定证明平分； （2）先，，然后根据全等三角形的性质即可证得． 【小问1详解】 证明：如图，过点E作于F， ，平分， ， ∵E是的中点， ， ， 又， 是的平分线. 【小问2详解】 证明：在和中， ， ， ， 同理可证：， ， ． 五、解答题：（本题有2个小题，23小题7分，24小题8分，共15分） 23. 【探究与证明】 【新定义】顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”． （1）如图1，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点．则________（填“>”、“<”或“=”）； （2）如图2，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，连接、，试猜想线段、的大小关系，并证明你的结论； （3）如图3，和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点，点、点均在外，连接、交于点，连接，求证：平分． 【答案】（1）= （2） 解：猜想． 证明如下： ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴． （3） 解：过点作于，于，则， ∵和互为“兄弟三角形”，点为重合的顶角顶点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴ 又∵，， ∴平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定、互为“兄弟三角形”的定义，类比推理是关键： （1）根据互为“兄弟三角形”的定义得到，结合图形计算，得到答案； （2）证明，根据全等三角形的性质得到； （3）过点A作于G，于H，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定定理证明． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：=； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． 图1 图2 图③ （1）问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：； （2）问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长； （3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2） （3）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）根据余角的性质得到，即可根据证明； （2）同（1）证明，得到，，求出即可； （3）分三种情况：①当时，；②当时，；③当时，；分别构造全等三角形，由全等三角形的性质即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵， ∴ ∴； 【小问3详解】 第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，，如图③， 分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ②当时，，如图④， 分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴； ③当时，，如图⑤， 分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同(1)得：， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴； 综上，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 【点睛】此题是三角形综合题目，考查了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $