2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中复习卷3

北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 3．（3分）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 4．（3分）在▱ABCD中，AC，BD相交于点O．下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．OA＝OB 5．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则=（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点重合），EF∥BC．添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是（　　） A．BD＝DC B．DE∥AC C．= D．= 8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，点M是对角线AC上一点，CM＝BC，连接BM，将BM绕点B顺时针旋转90°，得到BN，BN的延长线与DC的延长线交于点E，则CE长为（　　） A．2- B．1- C． D．-1 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）多项式a2+4a﹣10的值等于11，则a的值为 　　　　 ． 10．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 　　　　 ． 11．（3分）若x2+2与x﹣3互为相反数，则x的值为 　　　　 ． 12．（3分）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 　　　　 ． 13．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　　　　 ．（仅填序号） 14．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若AB＝5，BE＝7，则CE的长为 　　　　 ． 15．（3分）如图，点A（0，2），点B（2，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为 　　　　 ． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长． 18．（6分）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 19．（6分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1． 20．（6分）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 　　　　 ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　　　　 ；（填写序号）①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 22．（6分）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点． （1）边BC＝　　　　 ； （2）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE； （3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD． 23．（8分）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 24．（8分）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 25．（10分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：△AMN是等边三角形； （3）如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN．若点N恰好也是AE的中点，且AE＝2，求△ABE的面积． 26．（10分）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移 　　　　 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知DE与BC的数量关系为 　　　　 ，AH与DE的位置关系为 　　　　 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线）【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC′D． （4）若BC＝13cm，AC＝10cm，求CC′的长． 27．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C． （1）当AD＝1时，求FB的长； （2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 参考答案与解析 1．（3分）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；故选：D． （来源：2025•绥化一模） 2．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】A 【解答】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．又 ∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO===2， ∴BD＝4， ∴四边形ABCD的面积==4，故选：A． （来源：2024春•东坡区期末） 3．（3分）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 【答案】D 【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．故选：D． （来源：2024•白银模拟） 4．（3分）在▱ABCD中，AC，BD相交于点O．下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．OA＝OB 【答案】D 【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故不符合题意，故选：D． （来源：2026春•武冈市期中） 5．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： ∵△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B． （来源：2026春•黄渤海新区期中） 6．（3分）如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： ∵△ABC∽△DEF，AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm， ∴==（相似三角形的对应边的比等于周长比），则=，故选：A． （来源：2026春•五华区校级期中） 7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点重合），EF∥BC．添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是（　　） A．BD＝DC B．DE∥AC C．= D．= 【答案】A 【解答】解： ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴△AEF∽△ABCA．仅知道BD＝DC，只能说明D是BC中点但无法建立△AEF与△BDE的角或边的比例关系，无法判定相似．符合题意；B． ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠C， ∵∠AFE＝∠C，∠BDE＝∠AFE，又 ∵∠AEF＝∠B， ∴△AEF∽△DBE，不符合题意；C． ∵=，∠AEF＝∠B， ∴△AEF∽△DBE，不符合题意；D．=，又 ∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△EBD，又 ∵△AEF∽△ABC， ∴△AEF∽△EBD，不符合题意；故选：A． （来源：2026•邯山区校级一模） 8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，点M是对角线AC上一点，CM＝BC，连接BM，将BM绕点B顺时针旋转90°，得到BN，BN的延长线与DC的延长线交于点E，则CE长为（　　） A．2- B．1- C． D．-1 【答案】D 【解答】解：如图，延长BM交AD于H，过点M作MG⊥AB于G，则∠AGM＝90°， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴AB＝BC＝1，∠BCD＝90°，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°，AC=AB=， ∵CM＝BC＝1， ∴AM＝AC﹣CM=-1，在Rt△AMG中，AG＝GM＝1-， ∴BG＝AB﹣AG＝1﹣（1-）=， ∵∠AGM＝∠BAD，∠GBM＝∠ABH， ∴△GBM∽△ABH， ∴=， ∴AH===-1．由旋转知，∠MBE＝90°， ∴∠MBE＝∠ABC， ∴∠ABH＝∠CBE， ∵∠BCE＝180°﹣∠BCD＝90°＝∠BAD， ∵AB＝BC， ∴△ABH≌△CBE（ASA）， ∴CE＝AH=-1，故选：D． （来源：2026•北碚区校级开学） 9．（3分）多项式a2+4a﹣10的值等于11，则a的值为 ． 【答案】﹣7或3 【解答】解： ∵多项式a2+4a﹣10的值等于11， ∴a2+4a﹣10＝11，a2+4a﹣21＝0，（a﹣3）（a+7）＝0，a﹣3＝2或a+7＝0，解得：a＝﹣7或a＝3，故答案为：﹣7或3． （来源：2024秋•中山市月考） 10．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 ． 【答案】x2﹣x﹣1＝0 【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝2x﹣5，整理，得：x2﹣x﹣1＝0，故答案为：x2﹣x﹣1＝0． （来源：2024秋•济宁期中） 11．（3分）若x2+2与x﹣3互为相反数，则x的值为 ． 【答案】或 【解答】解：由题意得：x2+2+x﹣3＝0，整理得：x2+x﹣1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0， ∴x=， ∴x1=，x2=， ∴x的值为或，故答案为：或． （来源：2024秋•红旗区校级月考） 12．（3分）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ． 【答案】﹣23 【解答】解： ∵a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根， ∴a2﹣3a﹣6＝0， ∴a2﹣3a＝6， ∴﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5＝﹣3×6﹣5＝﹣23．故答案为：﹣23． （来源：2024春•滨江区校级期末） 13．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 ．（仅填序号） 【答案】② 【解答】解：由四边形ABCD是菱形加上条件AB＝AD不能证明四边形ABCD成为正方形；由四边形ABCD是菱形加上条件AC＝BD可证△ABD≌△DAC（SSS）得到∠ADC＝∠BAD＝90°，能证明四边形ABCD成为正方形；由四边形ABCD是菱形加上条件∠ABC＝∠ADC不能证明四边形ABCD成为正方形；故答案为：②． （来源：2024春•渭源县期末） 14．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若AB＝5，BE＝7，则CE的长为 ． 【答案】2 【解答】解：如图，连接DE， ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝DB， ∴四边形ABCD是矩形， ∵在矩形ABCD中，OB＝OD，OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD， ∴BE＝DE＝7， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝5， ∴在Rt△CDE中，根据勾股定理，得DE2＝CD2+CE2，即CE2＝72﹣52，解得：CE=2．故答案为：2． （来源：2024•漳州模拟） 15．（3分）如图，点A（0，2），点B（2，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为 ． 【答案】 【解答】解：如图，连接OP．由已知可得：∠PMO＝∠MON＝∠ONP＝90°， ∴四边形OMPN是矩形， ∴OP＝MN，在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小． ∵A（0，2），点B（2，0）， ∴OA＝2，OB＝2，根据勾股定理得：AB===4， ∵S△AOB=OA•OB=AB•OP， ∴OP===， ∴MN=，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为，在Rt△POB中，根据勾股定理得：BP===1， ∵S△OBP=OP•BP=OB•PN， ∴PN===， ∴ON===， ∴矩形OMPN的面积＝ON×PN=×=，即当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为，故答案为：． （来源：2024•林州市模拟） 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ． 【答案】 【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF=，连接PF，AF． ∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE， ∴PC=DE＝2， ∵=，=， ∴=， ∵∠PCF＝∠BCP， ∴△PCF∽△BCP， ∴==， ∴PF=PB， ∴PA+PB＝PA+PF， ∵PA+PF≥AF，AF===， ∴PA+PB≥， ∴PA+PB的最小值为，故答案为． （来源：2026春•莱山区期中） 17．（6分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵∠B＝∠C． ∴△ABE∽△ACD； （2）解： ∵D为AE中点，BE＝4， ∴AE＝2AD， ∵△ABE∽△ACD， ∴=， ∴=， ∴CD＝2． （来源：2026春•宁明县月考） 18．（6分）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1）连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD， ∵BE＝DF， ∴BE+OB＝DF+DO， ∴FO＝EO， ∴EF与AC垂直且互相平分， ∴四边形AECF是菱形， ∴∠AEF＝∠CEF，又 ∵∠AED＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴菱形AECF是正方形； （2） ∵BD＝4，BE＝3， ∴FD＝3， ∴EF＝10， ∴AC＝10， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×10×4＝20． （来源：2024春•石狮市校级期末） 19．（6分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图所示，点P即为所求，P（﹣5，﹣1）； （2）如图所示，△OA2B2即为所求． （来源：2026•安徽模拟） 20．（6分）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 【答案】5 【解答】解： （1）由条件可知2（x﹣1）2+p﹣2＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”， ∴p﹣2＝3，解得p＝5；故答案为：5； （2）由条件可知（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1， ∴（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7， ∴，解得． （来源：2025春•南岗区校级期中） 21．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是 ；（填写序号）①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】① 【解答】解： （1）解方程①得，x1＝0，x2＝1． ∵|1﹣0|＝1，所以方程①符合题意；解方程②得，x1＝﹣1，x2＝5． ∵|﹣1﹣5|＝6≠1，所以方程②不符合题意，故答案为：①； （2）由x2+2ax＝0得，x1＝0，x2＝﹣2a．因为此方程为“差根方程”， ∴|﹣2a﹣0|＝1，解得a=±； （3）令AB＝m，AC＝n，则m2+n2＝BC2＝7．又因为|m﹣n|＝1，则（m﹣n）2＝1， ∴m2+n2﹣2mn＝1，则mn＝3． ∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7+6＝13， ∴m+n=（舍负），所以这个“差根方程”为x2-x+3=0． （来源：2026春•福田区校级期末） 22．（6分）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点． （1）边BC＝ ； （2）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE； （3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD． 【答案】20 【解答】解： （1） ∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25， ∴BC===20，故答案为20； （2） ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAC＝∠EAD， ∵AC⊥CB，DE⊥AB， ∴∠EDA＝∠ECA＝90°，在△ACE和△ADE中，， ∴△ACE≌△ADE（AAS）， ∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中， ∴x2+102＝（20﹣x）2， ∴x＝7.5， ∴CE＝7.5； （2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形， ∵AC＝15， ∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形， ∵CD＝AD， ∴∠DCA＝∠CAD， ∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠BCD， ∴BD＝CD， ∴CD＝BD＝DA=；③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图3中，作CH⊥BA于点H， ∵S△ABC=×AB×CH=×AC×BC， ∵AC＝15，BC＝20，AB＝25， ∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH==9， ∵CD＝AC，CH⊥BA， ∴DH＝HA＝9， ∴AD＝18，综上所述：AD的值为15或或18． （来源：2026春•河西区校级月考） 23．（8分）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解：由题意，根据互为“换位方程”的定义， ∵方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2， ∴方程①的“换位方程”为（m﹣2）x2+（2m+1）x+1＝0； （2）证明：由题意， ∵当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）＝4m2+9＞0， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）解：由题意，x02+(2m+1)x0+m-2=0，(m-2)x02+(2m+1)x0+1=0， ∴(m-3)x02+3-m=0，则(m-3)(x02-1)=0，当m＝3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴m≠3． ∴x0＝﹣1或x0＝1， ∴当x0＝﹣1时，代入方程①得m＝﹣2；当x0＝1时，代入方程①得m＝0．答：公共根为﹣1时，m＝﹣2；公共根为1时，m＝0． （来源：2026春•雨花区期末） 24．（8分）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）AF＝DE． ∵ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵AE＝BF， ∴△DAE≌△ABF， ∴AF＝DE． （2）四边形HIJK是正方形．如图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点， ∴HI＝KJ=AF，HK＝IJ=ED， ∵AF＝DE， ∴HI＝KJ＝HK＝IJ， ∴四边形HIJK是菱形， ∵△DAE≌△ABF， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠BAF+∠AED＝90°， ∴∠AOE＝90° ∴∠KHI＝90°， ∴四边形HIJK是正方形． （来源：2026春•安徽校级期末） 25．（10分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：△AMN是等边三角形； （3）如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN．若点N恰好也是AE的中点，且AE＝2，求△ABE的面积． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵△ABD与△AEC 都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠DAC＝60°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD； （2）证明： ∵点M，N分别是BE，CD的中点， ∴BM=BE，DN=CD， ∵BE＝CD， ∴BM＝DN， ∵△BAE≌△DAC， ∴∠ABE＝∠ADC，在△BAM和△DAN中，， ∴△BAM≌△DAN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∴∠MAN＝∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝60°， ∴△AMN 是等边三角形． （3）解： ∵△ABD与△AEC都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°， ∴∠BAE＝∠DAC＝90°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC， ∵点M，N分别是BE，CD的中点， ∴BM=BE，DN=CD， ∴BM＝DN，在△BAM和△DAN中，， ∴△BAM≌△DAN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∴∠MAN＝∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°， ∵AE＝2，且点N也是AE的中点， ∴AM＝AN＝EN=AE＝1， ∴S△AMN=AM•AN=×1×1=， ∵AE＝2AN，BE＝2EM， ∴S△AEM＝2S△AMN＝2×=1， ∴S△ABE＝2S△AEM＝2×1＝2， ∴△ABE的面积为2． （来源：2026春•武侯区校级期中） 26．（10分）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形．【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移 cm．【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知DE与BC的数量关系为 ，AH与DE的位置关系为 ．【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线）【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC′D． （4）若BC＝13cm，AC＝10cm，求CC′的长． 【答案】10 【解答】解： （1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移10cm，故答案为：10； （2）淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形， ∴AD＝DB，AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC； ∵拼接图形BCH2H1是矩形， ∴∠BH1D＝90°，由拼接知：∠AHD＝∠BH1D＝90°， ∴AH⊥DE，故答案为：DE=BC，AH⊥DE； （3）补全剪拼过程和剪拼后的矩形ABCD，如图3即为所作； （4）如图4，连接BD，由拼接知BD＝GE＝CC′，设BD与AC相交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CO=AC=5cm，BO＝OD，BD⊥AC，在Rt△BOC中，BC＝13cm，由勾股定理得：BO==12cm， ∴BD＝2BO＝24cm， ∴CC′＝BD＝24cm， ∴CC′的长为24cm． （来源：2026春•正定县期末） 27．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C． （1）当AD＝1时，求FB的长； （2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AM∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DAB＝90°，由勾股定理得：BD===， ∵AM∥BC， ∴△ADF∽△CBF， ∴=， ∵AD＝1， ∴=， ∴BF=； （2）如图1， ∵AM∥BC， ∴∠C＝∠CAM， ∵∠DBE＝∠C， ∴∠DBE＝∠CAM， ∵∠BFG＝∠AFD， ∴△ADF∽△BGF， ∴=， ∴AF•FG＝BF•DF， ∵AM∥BC， ∴△ADF∽△CBF， ∴===， ∴=，=， ∴DF=，AF=，同理得：BF=， ∴y•=⋅， ∴y=；如图2，当点E在直线BC上时，∠DBC＝∠ACB＝∠ADB， ∵AB＝BA，∠ABC＝∠DAB， ∴△DAB≌△CBA（AAS）， ∴AD＝BC＝4， ∴x的取值范围是0＜x＜4； （3）分三种情况：①当BD＝DH时，如图3，过点D作DP⊥BC于P， ∵BD＝DH， ∴BP＝PH＝AD＝x， ∴CH＝4﹣2x，∠DBP＝∠DHP， ∴∠DBE+∠GBH＝∠C+∠CGH， ∴∠CGH＝∠GBH， ∵∠C＝∠C， ∴△CHG∽△CGB， ∴=， ∴CG2＝4（4﹣2x）， ∵AD∥CH， ∴=，即=， ∴=， ∴CG=， ∴4（4﹣2x）=， ∴2x2+9x﹣18＝0， ∴x1=，x2＝﹣6（舍）， ∴AD=；②当BD＝BH时，如图4，由勾股定理得：BD＝BH=，由（2）同理得：CG＝CF﹣FG=-=， ∵AD∥CH， ∴=， ∴=，即=， ∴（9+4x）=4（x2+9），解得：x=， ∴AD=；③当BH＝DH时，如图5，过点D作DK⊥BC于K，设KH＝a， ∵BK＝AD＝x， ∴DH＝BH＝x+a，在Rt△DKH中，由勾股定理得：DK2+KH2＝DH2， ∴32+a2＝（a+x）2， ∴a=， ∴CH＝4﹣BH＝4﹣x-=， ∵AD∥CH， ∴=， ∴=，即=， ∴=， ∴（x2+9）（4x﹣9）＝0， ∴x=， ∴AD=，综上，AD的长是或或． （来源：2026•金山区校级模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 3．（3分）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 4．（3分）在▱ABCD中，AC，BD相交于点O．下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．OA＝OB 5．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则=（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点重合），EF∥BC．添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是（　　） A．BD＝DC B．DE∥AC C．= D．= 8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，点M是对角线AC上一点，CM＝BC，连接BM，将BM绕点B顺时针旋转90°，得到BN，BN的延长线与DC的延长线交于点E，则CE长为（　　） A．2- B．1- C． D．-1 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）多项式a2+4a﹣10的值等于11，则a的值为 　　　　 ． 10．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 　　　　 ． 11．（3分）若x2+2与x﹣3互为相反数，则x的值为 　　　　 ． 12．（3分）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 　　　　 ． 13．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 　　　　 ．（仅填序号） 14．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若AB＝5，BE＝7，则CE的长为 　　　　 ． 15．（3分）如图，点A（0，2），点B（2，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为 　　　　 ． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长． 18．（6分）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 19．（6分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1． 20．（6分）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 　　　　 ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 21．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是　　　　 ；（填写序号）①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 22．（6分）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点． （1）边BC＝　　　　 ； （2）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE； （3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD． 23．（8分）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 24．（8分）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 25．（10分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：△AMN是等边三角形； （3）如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN．若点N恰好也是AE的中点，且AE＝2，求△ABE的面积． 26．（10分）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形． 【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移 　　　　 cm． 【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知DE与BC的数量关系为 　　　　 ，AH与DE的位置关系为 　　　　 ． 【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线）【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC′D． （4）若BC＝13cm，AC＝10cm，求CC′的长． 27．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C． （1）当AD＝1时，求FB的长； （2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷3 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 参考答案与解析 1．（3分）下列四组图形中，不是相似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；故选：D． （来源：2025•绥化一模） 2．（3分）如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD中，AB＝3，AC＝2，则四边形ABCD的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】A 【解答】解：过点A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，连接AC，BD交于点O， ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AF＝CD•AE．又 ∵AE＝AF． ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD， ∴BO===2， ∴BD＝4， ∴四边形ABCD的面积==4，故选：A． （来源：2024春•东坡区期末） 3．（3分）电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（　　） A．2+2x+2x2＝18 B．2（1+x）2＝18 C．（1+x）2＝18 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝18 【答案】D 【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：2+2（1+x）+2（1+x）2＝18．故选：D． （来源：2024•白银模拟） 4．（3分）在▱ABCD中，AC，BD相交于点O．下列条件中，不能判定这个四边形是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．AC⊥BD C．BD平分∠ABC D．OA＝OB 【答案】D 【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，故A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故B不符合题意；如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，故C不符合题意， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD是矩形，故不符合题意，故选：D． （来源：2026春•武冈市期中） 5．（3分）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△A1B1C1相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： ∵△A1B1C1中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，故选：B． （来源：2026春•黄渤海新区期中） 6．（3分）如图，△ABC∽△DEF．若AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： ∵△ABC∽△DEF，AB+BC+AC＝18cm，DE+EF+DF＝27cm， ∴==（相似三角形的对应边的比等于周长比），则=，故选：A． （来源：2026春•五华区校级期中） 7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上（都不与顶点重合），EF∥BC．添加下列一个条件，仍无法判定△AEF与△BDE相似，则这个条件是（　　） A．BD＝DC B．DE∥AC C．= D．= 【答案】A 【解答】解： ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C， ∴△AEF∽△ABCA．仅知道BD＝DC，只能说明D是BC中点但无法建立△AEF与△BDE的角或边的比例关系，无法判定相似．符合题意；B． ∵DE∥AC， ∴∠BDE＝∠C， ∵∠AFE＝∠C，∠BDE＝∠AFE，又 ∵∠AEF＝∠B， ∴△AEF∽△DBE，不符合题意；C． ∵=，∠AEF＝∠B， ∴△AEF∽△DBE，不符合题意；D．=，又 ∵∠B＝∠B， ∴△ABC∽△EBD，又 ∵△AEF∽△ABC， ∴△AEF∽△EBD，不符合题意；故选：A． （来源：2026•邯山区校级一模） 8．（3分）如图，正方形ABCD边长为1，点M是对角线AC上一点，CM＝BC，连接BM，将BM绕点B顺时针旋转90°，得到BN，BN的延长线与DC的延长线交于点E，则CE长为（　　） A．2- B．1- C． D．-1 【答案】D 【解答】解：如图，延长BM交AD于H，过点M作MG⊥AB于G，则∠AGM＝90°， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴AB＝BC＝1，∠BCD＝90°，∠BAD＝∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°，AC=AB=， ∵CM＝BC＝1， ∴AM＝AC﹣CM=-1，在Rt△AMG中，AG＝GM＝1-， ∴BG＝AB﹣AG＝1﹣（1-）=， ∵∠AGM＝∠BAD，∠GBM＝∠ABH， ∴△GBM∽△ABH， ∴=， ∴AH===-1．由旋转知，∠MBE＝90°， ∴∠MBE＝∠ABC， ∴∠ABH＝∠CBE， ∵∠BCE＝180°﹣∠BCD＝90°＝∠BAD， ∵AB＝BC， ∴△ABH≌△CBE（ASA）， ∴CE＝AH=-1，故选：D． （来源：2026•北碚区校级开学） 9．（3分）多项式a2+4a﹣10的值等于11，则a的值为 ． 【答案】﹣7或3 【解答】解： ∵多项式a2+4a﹣10的值等于11， ∴a2+4a﹣10＝11，a2+4a﹣21＝0，（a﹣3）（a+7）＝0，a﹣3＝2或a+7＝0，解得：a＝﹣7或a＝3，故答案为：﹣7或3． （来源：2024秋•中山市月考） 10．（3分）一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝2x﹣5化为一般形式是 ． 【答案】x2﹣x﹣1＝0 【解答】解：（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝2x﹣5，整理，得：x2﹣x﹣1＝0，故答案为：x2﹣x﹣1＝0． （来源：2024秋•济宁期中） 11．（3分）若x2+2与x﹣3互为相反数，则x的值为 ． 【答案】或 【解答】解：由题意得：x2+2+x﹣3＝0，整理得：x2+x﹣1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0， ∴x=， ∴x1=，x2=， ∴x的值为或，故答案为：或． （来源：2024秋•红旗区校级月考） 12．（3分）若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ． 【答案】﹣23 【解答】解： ∵a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根， ∴a2﹣3a﹣6＝0， ∴a2﹣3a＝6， ∴﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5＝﹣3×6﹣5＝﹣23．故答案为：﹣23． （来源：2024春•滨江区校级期末） 13．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件后，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是 ．（仅填序号） 【答案】② 【解答】解：由四边形ABCD是菱形加上条件AB＝AD不能证明四边形ABCD成为正方形；由四边形ABCD是菱形加上条件AC＝BD可证△ABD≌△DAC（SSS）得到∠ADC＝∠BAD＝90°，能证明四边形ABCD成为正方形；由四边形ABCD是菱形加上条件∠ABC＝∠ADC不能证明四边形ABCD成为正方形；故答案为：②． （来源：2024春•渭源县期末） 14．（3分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若AB＝5，BE＝7，则CE的长为 ． 【答案】2 【解答】解：如图，连接DE， ∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴AC＝DB， ∴四边形ABCD是矩形， ∵在矩形ABCD中，OB＝OD，OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD， ∴BE＝DE＝7， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝CD＝5， ∴在Rt△CDE中，根据勾股定理，得DE2＝CD2+CE2，即CE2＝72﹣52，解得：CE=2．故答案为：2． （来源：2024•漳州模拟） 15．（3分）如图，点A（0，2），点B（2，0），点P为线段AB上一个动点，作PM⊥y轴于点M，作PN⊥x轴于点N，连接MN，当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为 ． 【答案】 【解答】解：如图，连接OP．由已知可得：∠PMO＝∠MON＝∠ONP＝90°， ∴四边形OMPN是矩形， ∴OP＝MN，在Rt△AOB中，当OP⊥AB时OP最短，即MN最小． ∵A（0，2），点B（2，0）， ∴OA＝2，OB＝2，根据勾股定理得：AB===4， ∵S△AOB=OA•OB=AB•OP， ∴OP===， ∴MN=，即当点P运动到使OP⊥AB于点P时，MN最小，最小值为，在Rt△POB中，根据勾股定理得：BP===1， ∵S△OBP=OP•BP=OB•PN， ∴PN===， ∴ON===， ∴矩形OMPN的面积＝ON×PN=×=，即当MN取最小值时，则四边形OMPN的面积为，故答案为：． （来源：2024•林州市模拟） 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为 ． 【答案】 【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF=，连接PF，AF． ∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE， ∴PC=DE＝2， ∵=，=， ∴=， ∵∠PCF＝∠BCP， ∴△PCF∽△BCP， ∴==， ∴PF=PB， ∴PA+PB＝PA+PF， ∵PA+PF≥AF，AF===， ∴PA+PB≥， ∴PA+PB的最小值为，故答案为． （来源：2026春•莱山区期中） 17．（6分）如图，AE平分∠BAC，D为AE上一点，∠B＝∠C． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若D为AE中点，BE＝4，求CD的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵∠B＝∠C． ∴△ABE∽△ACD； （2）解： ∵D为AE中点，BE＝4， ∴AE＝2AD， ∵△ABE∽△ACD， ∴=， ∴=， ∴CD＝2． （来源：2026春•宁明县月考） 18．（6分）如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF． （1）求证：四边形AECF是正方形； （2）若BD＝4，BE＝3，求菱形ABCD的面积． 【答案】见解析 【解答】解： （1）连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD， ∵BE＝DF， ∴BE+OB＝DF+DO， ∴FO＝EO， ∴EF与AC垂直且互相平分， ∴四边形AECF是菱形， ∴∠AEF＝∠CEF，又 ∵∠AED＝45°， ∴∠AEC＝90°， ∴菱形AECF是正方形； （2） ∵BD＝4，BE＝3， ∴FD＝3， ∴EF＝10， ∴AC＝10， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=×10×4＝20． （来源：2024春•石狮市校级期末） 19．（6分）在如图的方格纸中，△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标； （2）以原点O为位似中心，在第三象限内画出△OAB的一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1． 【答案】见解析 【解答】解： （1）如图所示，点P即为所求，P（﹣5，﹣1）； （2）如图所示，△OA2B2即为所求． （来源：2026•安徽模拟） 20．（6分）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？（1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 【答案】5 【解答】解： （1）由条件可知2（x﹣1）2+p﹣2＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”， ∴p﹣2＝3，解得p＝5；故答案为：5； （2）由条件可知（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1， ∴（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7， ∴，解得． （来源：2025春•南岗区校级期中） 21．（6分）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是 ；（填写序号）①x2﹣x＝0；②x2﹣4x﹣5＝0． （2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值； （3）已知△ABC是直角三角形，斜边BC的长为，若△ABC的两边AB、AC的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】① 【解答】解： （1）解方程①得，x1＝0，x2＝1． ∵|1﹣0|＝1，所以方程①符合题意；解方程②得，x1＝﹣1，x2＝5． ∵|﹣1﹣5|＝6≠1，所以方程②不符合题意，故答案为：①； （2）由x2+2ax＝0得，x1＝0，x2＝﹣2a．因为此方程为“差根方程”， ∴|﹣2a﹣0|＝1，解得a=±； （3）令AB＝m，AC＝n，则m2+n2＝BC2＝7．又因为|m﹣n|＝1，则（m﹣n）2＝1， ∴m2+n2﹣2mn＝1，则mn＝3． ∵（m+n）2＝m2+n2+2mn＝7+6＝13， ∴m+n=（舍负），所以这个“差根方程”为x2-x+3=0． （来源：2026春•福田区校级期末） 22．（6分）如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边上动点． （1）边BC＝ ； （2）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE； （3）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD． 【答案】20 【解答】解： （1） ∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25， ∴BC===20，故答案为20； （2） ∵AE平分∠CAB， ∴∠EAC＝∠EAD， ∵AC⊥CB，DE⊥AB， ∴∠EDA＝∠ECA＝90°，在△ACE和△ADE中，， ∴△ACE≌△ADE（AAS）， ∴CE＝DE，AC＝AD＝15，设CE＝x，则BE＝20﹣x，BD＝25﹣15＝10，在Rt△BED中， ∴x2+102＝（20﹣x）2， ∴x＝7.5， ∴CE＝7.5； （2）①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形， ∵AC＝15， ∴AD＝AC＝15．②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形， ∵CD＝AD， ∴∠DCA＝∠CAD， ∵∠CAB+∠B＝90°，∠DCA+∠BCD＝90°， ∴∠B＝∠BCD， ∴BD＝CD， ∴CD＝BD＝DA=；③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，如图3中，作CH⊥BA于点H， ∵S△ABC=×AB×CH=×AC×BC， ∵AC＝15，BC＝20，AB＝25， ∴CH＝12，在Rt△ACH中，AH==9， ∵CD＝AC，CH⊥BA， ∴DH＝HA＝9， ∴AD＝18，综上所述：AD的值为15或或18． （来源：2026春•河西区校级月考） 23．（8分）定义：方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）与方程cx2+bx+a＝0互为“换位方程”．如一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的“换位方程”是﹣x2﹣3x+2＝0．已知关于x的一元二次方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2． （1）写出方程①的“换位方程”； （2）求证：当m≠2时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根x0，求这个公共根及m的值． 【答案】见解析 【解答】（1）解：由题意，根据互为“换位方程”的定义， ∵方程①：x2+（2m+1）x+m﹣2＝0，其中m≠2， ∴方程①的“换位方程”为（m﹣2）x2+（2m+1）x+1＝0； （2）证明：由题意， ∵当m≠2时，对于方程①及其“换位方程”均有Δ＝（2m+1）2﹣4（m﹣2）＝4m2+9＞0， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； （3）解：由题意，x02+(2m+1)x0+m-2=0，(m-2)x02+(2m+1)x0+1=0， ∴(m-3)x02+3-m=0，则(m-3)(x02-1)=0，当m＝3时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴m≠3． ∴x0＝﹣1或x0＝1， ∴当x0＝﹣1时，代入方程①得m＝﹣2；当x0＝1时，代入方程①得m＝0．答：公共根为﹣1时，m＝﹣2；公共根为1时，m＝0． （来源：2026春•雨花区期末） 24．（8分）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在AB、BC上，且AE＝BF． （1）试探索线段AF、DE的数量关系，写出你的结论并说明理由； （2）连接EF、DF，分别取AE、EF、FD、DA的中点H、I、J、K，则四边形HIJK是什么特殊平行四边形？请在图②中补全图形，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）AF＝DE． ∵ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵AE＝BF， ∴△DAE≌△ABF， ∴AF＝DE． （2）四边形HIJK是正方形．如图，H、I、J、K分别是AE、EF、FD、DA的中点， ∴HI＝KJ=AF，HK＝IJ=ED， ∵AF＝DE， ∴HI＝KJ＝HK＝IJ， ∴四边形HIJK是菱形， ∵△DAE≌△ABF， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠BAF+∠AED＝90°， ∴∠AOE＝90° ∴∠KHI＝90°， ∴四边形HIJK是正方形． （来源：2026春•安徽校级期末） 25．（10分）如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN，MN． （1）求证：BE＝CD； （2）求证：△AMN是等边三角形； （3）如图2，△ABD与△AEC都是等腰直角三角形，连接BE，CD，点M，N分别是BE，CD的中点，连接AM，AN．若点N恰好也是AE的中点，且AE＝2，求△ABE的面积． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵△ABD与△AEC 都是等边三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝60°， ∴∠BAE＝∠DAC＝60°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD； （2）证明： ∵点M，N分别是BE，CD的中点， ∴BM=BE，DN=CD， ∵BE＝CD， ∴BM＝DN， ∵△BAE≌△DAC， ∴∠ABE＝∠ADC，在△BAM和△DAN中，， ∴△BAM≌△DAN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∴∠MAN＝∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝60°， ∴△AMN 是等边三角形． （3）解： ∵△ABD与△AEC都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AE＝AC，∠BAD＝∠EAC＝90°， ∴∠BAE＝∠DAC＝90°+∠DAE，在△BAE和△DAC中，， ∴△BAE≌△DAC（SAS）， ∴BE＝CD，∠ABE＝∠ADC， ∵点M，N分别是BE，CD的中点， ∴BM=BE，DN=CD， ∴BM＝DN，在△BAM和△DAN中，， ∴△BAM≌△DAN（SAS）， ∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN， ∴∠MAN＝∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°， ∵AE＝2，且点N也是AE的中点， ∴AM＝AN＝EN=AE＝1， ∴S△AMN=AM•AN=×1×1=， ∵AE＝2AN，BE＝2EM， ∴S△AEM＝2S△AMN＝2×=1， ∴S△ABE＝2S△AEM＝2×1＝2， ∴△ABE的面积为2． （来源：2026春•武侯区校级期中） 26．（10分）【情境】部分图形通过剪拼后能够得到矩形．【操作1】嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形． （1）若BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移 cm．【操作2】淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形． （2）依据图中呈现的操作方法，可知DE与BC的数量关系为 ，AH与DE的位置关系为 ．【操作3】淇淇将如图3所示的四边形通过操作2中的方法裁剪拼成了矩形． （3）请在图3中补全剪拼过程和剪拼后的图形．（直接在原图形上画图，裁剪线用虚线，矩形用实线）【操作4】嘉淇将如图4所示的菱形ABCD沿AC剪开，将筝形EFGH（有两组邻边分别相等的四边形）沿GE剪开，之后通过旋转平移等操作拼成了矩形BCC′D． （4）若BC＝13cm，AC＝10cm，求CC′的长． 【答案】10 【解答】解： （1）嘉嘉将如图1所示的平行四边形通过裁剪拼成了矩形，BC＝10cm，拼接时应将△ABE沿AD平移10cm，故答案为：10； （2）淇淇将如图2所示的三角形通过裁剪拼成了矩形， ∴AD＝DB，AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE=BC； ∵拼接图形BCH2H1是矩形， ∴∠BH1D＝90°，由拼接知：∠AHD＝∠BH1D＝90°， ∴AH⊥DE，故答案为：DE=BC，AH⊥DE； （3）补全剪拼过程和剪拼后的矩形ABCD，如图3即为所作； （4）如图4，连接BD，由拼接知BD＝GE＝CC′，设BD与AC相交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CO=AC=5cm，BO＝OD，BD⊥AC，在Rt△BOC中，BC＝13cm，由勾股定理得：BO==12cm， ∴BD＝2BO＝24cm， ∴CC′＝BD＝24cm， ∴CC′的长为24cm． （来源：2026春•正定县期末） 27．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C． （1）当AD＝1时，求FB的长； （2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵AM∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠DAB＝90°，由勾股定理得：BD===， ∵AM∥BC， ∴△ADF∽△CBF， ∴=， ∵AD＝1， ∴=， ∴BF=； （2）如图1， ∵AM∥BC， ∴∠C＝∠CAM， ∵∠DBE＝∠C， ∴∠DBE＝∠CAM， ∵∠BFG＝∠AFD， ∴△ADF∽△BGF， ∴=， ∴AF•FG＝BF•DF， ∵AM∥BC， ∴△ADF∽△CBF， ∴===， ∴=，=， ∴DF=，AF=，同理得：BF=， ∴y•=⋅， ∴y=；如图2，当点E在直线BC上时，∠DBC＝∠ACB＝∠ADB， ∵AB＝BA，∠ABC＝∠DAB， ∴△DAB≌△CBA（AAS）， ∴AD＝BC＝4， ∴x的取值范围是0＜x＜4； （3）分三种情况：①当BD＝DH时，如图3，过点D作DP⊥BC于P， ∵BD＝DH， ∴BP＝PH＝AD＝x， ∴CH＝4﹣2x，∠DBP＝∠DHP， ∴∠DBE+∠GBH＝∠C+∠CGH， ∴∠CGH＝∠GBH， ∵∠C＝∠C， ∴△CHG∽△CGB， ∴=， ∴CG2＝4（4﹣2x）， ∵AD∥CH， ∴=，即=， ∴=， ∴CG=， ∴4（4﹣2x）=， ∴2x2+9x﹣18＝0， ∴x1=，x2＝﹣6（舍）， ∴AD=；②当BD＝BH时，如图4，由勾股定理得：BD＝BH=，由（2）同理得：CG＝CF﹣FG=-=， ∵AD∥CH， ∴=， ∴=，即=， ∴（9+4x）=4（x2+9），解得：x=， ∴AD=；③当BH＝DH时，如图5，过点D作DK⊥BC于K，设KH＝a， ∵BK＝AD＝x， ∴DH＝BH＝x+a，在Rt△DKH中，由勾股定理得：DK2+KH2＝DH2， ∴32+a2＝（a+x）2， ∴a=， ∴CH＝4﹣BH＝4﹣x-=， ∵AD∥CH， ∴=， ∴=，即=， ∴=， ∴（x2+9）（4x﹣9）＝0， ∴x=， ∴AD=，综上，AD的长是或或． （来源：2026•金山区校级模拟） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $