2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中复习卷2

北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 参考答案与解析 1．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．± 【答案】C 【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣1，故选：C． （来源：2024秋•西安期末） 2．（3分）下面说法错误的是（　　） A．点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y=-图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 B．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （-1）cm C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形 D．平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 【答案】A 【解答】解：A、点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y=-图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2，故A符合题意；B、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （-1）cm，故B不符合题意；C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，故C不符合题意；D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，故D不符合题意；故选：A． （来源：2024•福田区校级三模） 3．（3分）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C．= D．= 【答案】B 【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；由=得不出结论；由=及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．故选：B． （来源：2024•义乌市模拟） 4．（3分）（2026春•八公山区期末）·函数y=5-xx+2中自变量x的取值范围是（　　） 【答案】解：由题意可得： 5-x≥0x+2≠0， 解得x≤5且x≠﹣2． 故选：B． （来源：2026春•八公山区期末） 5．（3分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校前年发放给每个经济困难学生389元，今年发放了438元，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A．438（1+x）2＝389 B．438（1+2x）＝389 C．389（1+2x）＝438 D．389（1+x）2＝438 【答案】D 【解答】解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，由题意，得：389（1+x）2＝438．故选：D． （来源：2026秋•玉门市校级月考） 6．（3分）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： ∵小正方形的边长为1， ∴在△EFG中，EG=，FG＝2，EF==，A中，一边＝3，一边=，一边==，三边与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；B中，一边＝1，一边=，一边==，有==，即三边与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；C中，一边＝1，一边=，一边＝2，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；D中，一边＝2，一边=，一边==，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．故选：B． （来源：2026春•博山区期末） 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD交于点O，点M，N分别是BD，AC上的动点，且MN＝2，点P是MN的中点，若AC＝6，BD＝8，则点P到线段AB的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=×6＝3，OB=BD=×8＝4， ∴∠AOB＝90°， ∵P是MN的中点， ∴OP=MN=×2＝1， ∴P在以O为圆心，1的长为半径的圆O上运动，过O作OH⊥AB于H，交⊙O于L，由勾股定理得到AB==5， ∵△AOB的面积=AB•OH=AO•OB， ∴5×OH＝3×4， ∴OH=， ∴LH＝OH﹣OP=，当P运动到L时，点P到线段AB的距离最小，最小值是．故选：B． （来源：2026秋•小店区校级月考） 8．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线上，且EF=，AB＝4，给出下列结论：①∠AOD＝135°；②AE＝4+；③CF＝AD=；④S△COF+S△EOF＝3．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：① ∵四边形DEFO是正方形， ∴∠DOE＝45°， ∴∠AOD＝180°﹣∠DOE＝135°，故①正确；② ∵EF=， ∴OE＝2， ∵AO＝AB＝4， ∴AE＝AO+OE＝4+2＝6，故②错误；③如图，连接DF，交EO于点H， ∵四边形ABCO和DEFO是正方形， ∴OF＝OD，OA＝OC，∠DOF＝∠AOC＝90°，DF⊥EO，EH=DH=EO=1，AB＝AO＝4， ∴∠DOF+∠COD＝∠AOC+∠COD，即∠FOC＝∠DOA，在△COF和△AOD中，， ∴△COF≌△AOD（SAS）， ∴CF＝AD，S△COF＝S△AOD， ∴AH＝AO+OH＝4+1＝5， ∴AD===， ∴CF=AD=，故③正确；④ ∵S△COF=S△AOD=OA×DH=×4×1=2，S△EOF=××=1， ∴S△COF+S△EOF＝2+1＝3，故④正确；综上可知：正确的是①③④，共3个，故选：C． （来源：2026春•宁阳县期中） 9．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 ． 【答案】2 【解答】解：由题意，a2﹣4＝0，且a+2≠0，解得a＝2．故答案为：2． （来源：2024秋•中山市月考） 10．（3分）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形． 【答案】见解析 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC． （来源：2025•尼木县一模） 11．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件： ，使四边形ABCD是菱形． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解答】解：添加AC⊥BD，理由： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． （来源：2024•雁塔区校级模拟） 12．（3分）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ． 【答案】11 【解答】解：由两个枫叶图案相似，可得=，解得x＝11，即x的值为11．故答案为：11． （来源：2025•清原县一模） 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 ． 【答案】7 【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴AC===10， ∵P是线段EF的中点， ∴AP=EF＝3， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7， ∴GH的最小值是7，故答案为：7． （来源：2024•雷州市一模） 14．（3分）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝ ． 【答案】﹣2或﹣3 【解答】解： ∵x2≥0， ∴x2＞﹣3， ∴min{x2，﹣3}＝﹣3， ∵M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}， ∴=-3， ∴x＝﹣2或x＝﹣3．故答案为：﹣2或﹣3． （来源：2025•市南区校级一模） 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连结AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN分别交AD、BC于点E、F，连结CE、AF．给出下面四个结论：①AB⊥BC；②四边形AECF是菱形；③AC•EF＝AE•AB④∠DEC＝2∠DAC．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解答】解： ∵正方形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴①正确，符合题意；如图，设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC，且平分AC， ∴AO＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠OCF，又 ∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO， ∴△AOE≌△COF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵MN垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴四边形AECF是菱形，故②正确，符合题意； ∵AE＝CE， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴∠DEC＝2∠DAC；故④正确，符合题意；由菱形的面积可得AC•EF＝AE•AB，故③不正确，不符合题意；故答案为：①②④． （来源：2026春•长春期中） 16．（3分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 ． 【答案】①②④ 【解答】解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形，故②正确； ∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∵AD＝CD， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确； ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝90°是定值，故③错误； ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝AC=AB＝3是定值．故④正确；故答案为：①②④． （来源：2026•营山县二模） 17．（6分）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 【答案】见解析 【解答】解： ∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． （来源：2024秋•化州市期末） 18．（6分）已知a，b，c，d为四个不为0的数． （1）如果=3，求与的值； （2）如果=(a≠b，c≠d)，求证：=． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵=3， ∴a＝3b， ∴==4， ∴==． ∴=4，=； （2）证明：设==k，则a＝kb，c＝kd， ∴==，==， ∴=． （来源：2024秋•南山区校级月考） 19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠D＝∠CAE． ∴△ABD∽△ECA； （2）解： ∵AB＝AC，AC＝6， ∴AB＝AC＝6， ∵△ABD∽△ECA， ∴=， ∴=， ∴BD＝9． （来源：2024秋•贵池区期末） 20．（6分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF，连接BE，CF，交于D点， （1）求证：BE＝CF． （2）当α＝100°时，求∠FCB的度数． （3）当AC∥BE时，求旋转角α． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF， ∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC， ∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF+∠FAB＝∠BAC+∠FAB， ∴∠EAB＝∠FAC，在△AEB和△AFC中，， ∴△AEB≌△AFC（SAS）， ∴BE＝CF； （2）解： ∵α＝100°， ∴∠FAC＝100°， ∵AF＝AC， ∴∠ACF＝40°， ∵AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝67.5°， ∴∠BCF＝67.5°﹣40°＝27.5°； （3）解： ∵AC∥BE， ∴∠ABE＝∠BAC＝45°， ∵将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF， ∴AE＝AB，∠BAE＝∠FAC＝α， ∴∠AEF＝∠AFE＝45°， ∴∠EAB＝90°， ∴旋转角α为90°． （来源：2026春•温江区校级期中） 21．（6分）如图1，AB∥CD，AD∥BC，点P为BC边上一动点，连接AP，DP． （1）求证：∠ABC＝∠ADC； （2）当AP平分∠BAD，DP平分∠ADC时，求证：∠APD＝90°； （3）在点P移动的过程中，当AP的长最小时，此时点P恰好也在∠ADC的平分线上，∠ABC＝60°，求∠APD的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC； （2）证明： ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵AP平分∠BAD，DP平分∠ADC， ∴∠PAD=∠BAD，∠ADP=∠ADC， ∴∠PAD+∠ADP=∠BAD+∠ADC=×（∠BAD+∠ADC）=×180°=90°； （3）解：当AP⊥BC时，AP最小， ∴∠APC＝90°， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDP=∠ADC＝30°， ∵m∥n， ∴∠ADP＝∠DPC＝30°，∠DPC＝30°， ∴∠APD＝90°﹣30°＝60°． （来源：2026春•金凤区校级期中） 22．（6分）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）若x＝2，则DE＝2， ∴S△AEF=AE×AF＝2，S△DEG=DG×DE=×1×2＝1， ∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16-×4﹣2+×1＝13． ∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）； （2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米． ∴S△AEF=AE×AF=x2，S△DEG=DG×DE=×1×（4﹣x）＝2-x， ∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16-x2﹣2+x=-x2+x+14， （3）根据题意得4×[20×x2+20×（2-x）+10×（-x2+x+14）]＝715，整理得4x2﹣4x+1＝0，解得x1＝x2=．答：当AE＝AF=米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． （来源：2025秋•榕城区期末） 23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β． （1）求证：△DAB≌△EAC． （2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝ °．②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明． （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 【答案】130 【解答】解： （1） ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠CAD﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAD，在△DAB和△EAC中，， ∴△DAB≌△EAC（SAS）； （2）①由（1）知，△DAB≌△EAC， ∴∠ABC＝∠ACE，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α＝50°， ∴∠ABC＝∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣50°）＝65°， ∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝65°+65°＝130°，故答案为130；②α+β＝180°，理由：由（1）知，△DAB≌△EAC， ∴∠ABC＝∠ACE，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ABC＝∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣α）＝90°-α， ∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝90°-α+90°-α＝180°﹣α， ∴α+β＝180°； （3）β＝α；理由： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠CAE＝∠BAD，在△DAB和△EAC中，， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ABC＝∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣α）＝90°-α， ∴∠ACE＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（90°-α）＝90°+α， ∴β＝∠ACE﹣∠ACB＝90°+α﹣（90°-α）＝α． （来源：2026春•卫东区校级月考） 24．（8分）根据以下素材，解决生活问题【素材背景】某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．【问题解决】 （1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系； （2）该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）； （3）若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据题意得：涨价时，y＝300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），降价时，y＝300+20（60﹣x）（40≤x≤60），综上所述，y与x的函数关系式为y=； （2）设每星期所获利润为W，当涨价时，W＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），当x＝65时，y的最大值是6250；当降价时，W＝（x﹣40）（﹣20x+1500）＝﹣20（x﹣57.5）2+6125（40≤x≤60）， ∵x为正整数， ∴x＝57或x＝58时利润最大，最大值为6120元，综所述，该超市想获得最大周利润，A品牌纯牛奶销售价格为65元； （3）当60≤x≤90时，﹣10（x﹣65）2+6250＝6000，解得：x＝60或x＝70， ∴60≤x≤70；当40≤x≤60时，﹣20（x﹣57.5）2+6125＝6000，解得：x＝55或x＝60， ∴55≤x≤60；综上所述，为了使每周利润不少于6000元，售价x的范围是55≤x≤70． （来源：2025秋•绵阳期末） 25．（10分）如图，△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O，点F是线段AB上的动点，连接DF交线段AC于点E． （1）如图1，若AE＝AF；①求证：DF平分∠ADB；②求． （2）如图2，连接OF．若∠BOF＝45°+∠ADF，OF＝2，求DE的长． 【答案】见解析 【解答】（1）①证明： ∵△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O， ∴∠ADB＝∠DAC＝∠BAC＝45°， ∵AE＝AF， ∴∠AFE=∠AEF==67.5°， ∴∠ADF=22.5°=∠ADB， ∴∠ADF＝∠BDF， ∴DF平分∠ADB；②解：如图，连接DC，则四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD， ∴△AFE∽△CDE， ∴==（相似三角形的对应边成比例），即CE＝CD，不妨设AB＝CD＝1，则AC=，CE=1， ∴AF=AE=AC-EC=-1， ∴===-1； （2）解： ∵∠BOF＝45°+∠ADF，又 ∵∠BOF+∠AOF＝90°＝45°+∠ADF+∠ODF， ∴∠AOF＝∠ODF（等量代换）， ∵∠EFO＝∠OFD（已知）， ∴△OEF∽△DOF（两角法）， ∴==（相似三角形的对应边成比例）， ∵∠BAO＝∠ABO，∠AEF＝∠OED＝45°+∠ADF＝∠BOF， ∴△AEF∽△BOF， ∴=， ∴==，即AE=OE=OA=OD， ∵OF＝2， ∴===， ∴EF＝1，DF＝4， ∴DE＝DF﹣EF＝4﹣1＝3． （来源：2026•颍泉区校级一模） 26．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 ；位置关系是 ； （2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB=，AE＝1，求线段DG的长． 【答案】DG＝BE，DG⊥BE 【解答】解： （1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE＝DG；如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H， ∵△ABE≌△DAG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠AQB+∠ABE＝90°， ∴∠AQB+∠ADG＝90°， ∵∠AQB＝∠DQH， ∴∠DQH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG，故答案为：DG＝BE，DG⊥BE； （2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：如图3，延长BE交AD于K，交DG于H， ∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD＝∠EAG， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AD＝2AB，AG＝2AE， ∴==， ∴△ABE∽△ADG， ∴==，∠ABE＝∠ADG， ∴DG＝2BE， ∵∠AKB+∠ABE＝90°， ∴∠AKB+∠ADG＝90°， ∵∠AKB＝∠DKH， ∴∠DKH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG； （3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）设EG与AD的交点为M， ∵EG∥AB， ∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1， ∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得：EG==， ∵AB=， ∴EG＝AB， ∵EG∥AB， ∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF， ∴点B，E，F在同一条直线上，如图5， ∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE===2，由（2）知，△ABE∽△ADG， ∴==，即=， ∴DG＝4． （来源：2026春•秦州区校级月考） 27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为 （用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围． （3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值． 【答案】3t 【解答】解： （1）由题意AP＝2t，AQ＝PQ＝t， ∵PM＝3PQ， ∴PM＝3t．故答案为3t． （2）如图2﹣1中，当点M落在BC上时， ∵PM∥AC， ∴=， ∴=，解得t=如图2﹣2中，当点N落在BC上时， ∵NQ∥AC， ∴=， ∴=，解得t=，综上所述，满足条件的t的值为≤t≤． （3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQNM，S＝3t2如图3﹣2中，当＜t＜时，重叠部分是五边形PQNEF．S＝S矩形PQNM﹣S△EFM＝3t2-•[3t-（4﹣2t）]•[3t-（4﹣2t）]=-t2+18t﹣6，综上所述，S=． （4）如图4﹣1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E． ∵∠FAB＝∠FEB＝90°，∠FBA＝∠FBE，BF＝BF， ∴△BFA≌△BFE（AAS）， ∴AF＝EF，AB＝BE＝4，设AF＝EF＝x， ∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC==5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△EFC中，则有x2+12＝（3﹣x）2，解得x=， ∵PM∥AF， ∴=， ∴=， ∴t=如图4﹣2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F．同法可证：△ECA≌△ECF（AAS）， ∴AE＝EF，AC＝CF＝3，设AE＝EF＝y， ∴BF＝5﹣3＝2，在Rt△EFB中，则有x2+22＝（4﹣x）2，解得x=， ∵PM∥AC， ∴=， ∴=，解得t=．如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件．设MC的延长线交BA的延长线于E，作EF⊥BC交BC的延长线于分，同法可证：AC＝CF＝3，EF＝AE，设EF＝EA＝x，在Rt△EFB中，则有x2+82＝（x+4）2，解得x＝6， ∵AC∥PM， ∴=， ∴=，解得t=，综上所述，满足条件的t的值为或或 （来源：2026•长春开学） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．± 2．（3分）下面说法错误的是（　　） A．点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y=-图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 B．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （-1）cm C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形 D．平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 3．（3分）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C．= D．= 4．（3分）（2026春•八公山区期末）·函数y=5-xx+2中自变量x的取值范围是（　　） 5．（3分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校前年发放给每个经济困难学生389元，今年发放了438元，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A．438（1+x）2＝389 B．438（1+2x）＝389 C．389（1+2x）＝438 D．389（1+x）2＝438 6．（3分）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD交于点O，点M，N分别是BD，AC上的动点，且MN＝2，点P是MN的中点，若AC＝6，BD＝8，则点P到线段AB的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线上，且EF=，AB＝4，给出下列结论：①∠AOD＝135°；②AE＝4+；③CF＝AD=；④S△COF+S△EOF＝3．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　　　　 ． 10．（3分）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 　　　　 可使菱形ABCD成为正方形． 11．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件：　　　　 ，使四边形ABCD是菱形． 12．（3分）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　　　　 ． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 　　　　 ． 14．（3分）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝　　　　 ． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连结AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN分别交AD、BC于点E、F，连结CE、AF．给出下面四个结论：①AB⊥BC；②四边形AECF是菱形；③AC•EF＝AE•AB④∠DEC＝2∠DAC．上述结论中，所有正确结论的序号是 　　　　 ． 16．（3分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 18．（6分）已知a，b，c，d为四个不为0的数． （1）如果=3，求与的值； （2）如果=(a≠b，c≠d)，求证：=． 19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 20．（6分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF，连接BE，CF，交于D点， （1）求证：BE＝CF． （2）当α＝100°时，求∠FCB的度数． （3）当AC∥BE时，求旋转角α． 21．（6分）如图1，AB∥CD，AD∥BC，点P为BC边上一动点，连接AP，DP． （1）求证：∠ABC＝∠ADC； （2）当AP平分∠BAD，DP平分∠ADC时，求证：∠APD＝90°； （3）在点P移动的过程中，当AP的长最小时，此时点P恰好也在∠ADC的平分线上，∠ABC＝60°，求∠APD的度数． 22．（6分）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β． （1）求证：△DAB≌△EAC． （2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝　　　　 °．②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明． （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 24．（8分）根据以下素材，解决生活问题 【素材背景】某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． 【问题解决】 （1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系； （2）该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）； （3）若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围． 25．（10分）如图，△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O，点F是线段AB上的动点，连接DF交线段AC于点E． （1）如图1，若AE＝AF；①求证：DF平分∠ADB；②求． （2）如图2，连接OF．若∠BOF＝45°+∠ADF，OF＝2，求DE的长． 26．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是　　　　 ；位置关系是　　　　 ； （2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB=，AE＝1，求线段DG的长． 27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为　　　　 （用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围． （3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 参考答案与解析 1．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．± 【答案】C 【解答】解：由题意可知：，解得：m＝﹣1，故选：C． （来源：2024秋•西安期末） 2．（3分）下面说法错误的是（　　） A．点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y=-图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 B．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （-1）cm C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形 D．平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 【答案】A 【解答】解：A、点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y=-图象上，且x1＜x2＜0，则y1＜y2，故A符合题意；B、若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （-1）cm，故B不符合题意；C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，故C不符合题意；D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，故D不符合题意；故选：A． （来源：2024•福田区校级三模） 3．（3分）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C．= D．= 【答案】B 【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论；由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC，故B选项正确；由=得不出结论；由=及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及．故选：B． （来源：2024•义乌市模拟） 4．（3分）（2026春•八公山区期末）·函数y=5-xx+2中自变量x的取值范围是（　　） 【答案】解：由题意可得： 5-x≥0x+2≠0， 解得x≤5且x≠﹣2． 故选：B． （来源：2026春•八公山区期末） 5．（3分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校前年发放给每个经济困难学生389元，今年发放了438元，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A．438（1+x）2＝389 B．438（1+2x）＝389 C．389（1+2x）＝438 D．389（1+x）2＝438 【答案】D 【解答】解：设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则去年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，今年发放给每个经济困难学生389（1+x）2元，由题意，得：389（1+x）2＝438．故选：D． （来源：2026秋•玉门市校级月考） 6．（3分）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解： ∵小正方形的边长为1， ∴在△EFG中，EG=，FG＝2，EF==，A中，一边＝3，一边=，一边==，三边与△ABC中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故A错误；B中，一边＝1，一边=，一边==，有==，即三边与△EFG中的三边对应成比例，故两三角形相似．故B正确；C中，一边＝1，一边=，一边＝2，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故C错误；D中，一边＝2，一边=，一边==，三边与△EFG中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似．故D错误．故选：B． （来源：2026春•博山区期末） 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD交于点O，点M，N分别是BD，AC上的动点，且MN＝2，点P是MN的中点，若AC＝6，BD＝8，则点P到线段AB的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接OP， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=×6＝3，OB=BD=×8＝4， ∴∠AOB＝90°， ∵P是MN的中点， ∴OP=MN=×2＝1， ∴P在以O为圆心，1的长为半径的圆O上运动，过O作OH⊥AB于H，交⊙O于L，由勾股定理得到AB==5， ∵△AOB的面积=AB•OH=AO•OB， ∴5×OH＝3×4， ∴OH=， ∴LH＝OH﹣OP=，当P运动到L时，点P到线段AB的距离最小，最小值是．故选：B． （来源：2026秋•小店区校级月考） 8．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线上，且EF=，AB＝4，给出下列结论：①∠AOD＝135°；②AE＝4+；③CF＝AD=；④S△COF+S△EOF＝3．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：① ∵四边形DEFO是正方形， ∴∠DOE＝45°， ∴∠AOD＝180°﹣∠DOE＝135°，故①正确；② ∵EF=， ∴OE＝2， ∵AO＝AB＝4， ∴AE＝AO+OE＝4+2＝6，故②错误；③如图，连接DF，交EO于点H， ∵四边形ABCO和DEFO是正方形， ∴OF＝OD，OA＝OC，∠DOF＝∠AOC＝90°，DF⊥EO，EH=DH=EO=1，AB＝AO＝4， ∴∠DOF+∠COD＝∠AOC+∠COD，即∠FOC＝∠DOA，在△COF和△AOD中，， ∴△COF≌△AOD（SAS）， ∴CF＝AD，S△COF＝S△AOD， ∴AH＝AO+OH＝4+1＝5， ∴AD===， ∴CF=AD=，故③正确；④ ∵S△COF=S△AOD=OA×DH=×4×1=2，S△EOF=××=1， ∴S△COF+S△EOF＝2+1＝3，故④正确；综上可知：正确的是①③④，共3个，故选：C． （来源：2026春•宁阳县期中） 9．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 ． 【答案】2 【解答】解：由题意，a2﹣4＝0，且a+2≠0，解得a＝2．故答案为：2． （来源：2024秋•中山市月考） 10．（3分）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 可使菱形ABCD成为正方形． 【答案】见解析 【解答】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC＝BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC＝BD或AB⊥BC． （来源：2025•尼木县一模） 11．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件： ，使四边形ABCD是菱形． 【答案】AC⊥BD（答案不唯一） 【解答】解：添加AC⊥BD，理由： ∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形，故答案为：AC⊥BD（答案不唯一）． （来源：2024•雁塔区校级模拟） 12．（3分）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 ． 【答案】11 【解答】解：由两个枫叶图案相似，可得=，解得x＝11，即x的值为11．故答案为：11． （来源：2025•清原县一模） 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 ． 【答案】7 【解答】解：连接AC、AP、CP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°， ∴AC===10， ∵P是线段EF的中点， ∴AP=EF＝3， ∵PG⊥BC，PH⊥CD， ∴∠PGC＝∠PHC＝90°， ∴四边形PGCH是矩形， ∴GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7， ∴GH的最小值是7，故答案为：7． （来源：2024•雷州市一模） 14．（3分）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝ ． 【答案】﹣2或﹣3 【解答】解： ∵x2≥0， ∴x2＞﹣3， ∴min{x2，﹣3}＝﹣3， ∵M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}， ∴=-3， ∴x＝﹣2或x＝﹣3．故答案为：﹣2或﹣3． （来源：2025•市南区校级一模） 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连结AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN分别交AD、BC于点E、F，连结CE、AF．给出下面四个结论：①AB⊥BC；②四边形AECF是菱形；③AC•EF＝AE•AB④∠DEC＝2∠DAC．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【解答】解： ∵正方形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴①正确，符合题意；如图，设AC与MN的交点为O，根据作图可得MN⊥AC，且平分AC， ∴AO＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO＝∠OCF，又 ∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO， ∴△AOE≌△COF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵MN垂直平分AC， ∴EA＝EC， ∴四边形AECF是菱形，故②正确，符合题意； ∵AE＝CE， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴∠DEC＝2∠DAC；故④正确，符合题意；由菱形的面积可得AC•EF＝AE•AB，故③不正确，不符合题意；故答案为：①②④． （来源：2026春•长春期中） 16．（3分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 ． 【答案】①②④ 【解答】解：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形，故②正确； ∴DE＝DG，∠EDG＝∠ADC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， ∵AD＝CD， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故①正确； ∴∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝90°是定值，故③错误； ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝AC=AB＝3是定值．故④正确；故答案为：①②④． （来源：2026•营山县二模） 17．（6分）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 【答案】见解析 【解答】解： ∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根， ∴2a2﹣7a﹣1＝0， ∴2a2﹣7a＝1， ∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6． （来源：2024秋•化州市期末） 18．（6分）已知a，b，c，d为四个不为0的数． （1）如果=3，求与的值； （2）如果=(a≠b，c≠d)，求证：=． 【答案】见解析 【解答】（1）解： ∵=3， ∴a＝3b， ∴==4， ∴==． ∴=4，=； （2）证明：设==k，则a＝kb，c＝kd， ∴==，==， ∴=． （来源：2024秋•南山区校级月考） 19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵∠D＝∠CAE． ∴△ABD∽△ECA； （2）解： ∵AB＝AC，AC＝6， ∴AB＝AC＝6， ∵△ABD∽△ECA， ∴=， ∴=， ∴BD＝9． （来源：2024秋•贵池区期末） 20．（6分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF，连接BE，CF，交于D点， （1）求证：BE＝CF． （2）当α＝100°时，求∠FCB的度数． （3）当AC∥BE时，求旋转角α． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转角α得到△AEF， ∴AE＝AB，AF＝AC，∠EAF＝∠BAC， ∴AB＝AC＝AE＝AF，∠EAF+∠FAB＝∠BAC+∠FAB， ∴∠EAB＝∠FAC，在△AEB和△AFC中，， ∴△AEB≌△AFC（SAS）， ∴BE＝CF； （2）解： ∵α＝100°， ∴∠FAC＝100°， ∵AF＝AC， ∴∠ACF＝40°， ∵AB＝AC，∠BAC＝45°， ∴∠ACB＝67.5°， ∴∠BCF＝67.5°﹣40°＝27.5°； （3）解： ∵AC∥BE， ∴∠ABE＝∠BAC＝45°， ∵将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF， ∴AE＝AB，∠BAE＝∠FAC＝α， ∴∠AEF＝∠AFE＝45°， ∴∠EAB＝90°， ∴旋转角α为90°． （来源：2026春•温江区校级期中） 21．（6分）如图1，AB∥CD，AD∥BC，点P为BC边上一动点，连接AP，DP． （1）求证：∠ABC＝∠ADC； （2）当AP平分∠BAD，DP平分∠ADC时，求证：∠APD＝90°； （3）在点P移动的过程中，当AP的长最小时，此时点P恰好也在∠ADC的平分线上，∠ABC＝60°，求∠APD的度数． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠BAD+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC； （2）证明： ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵AP平分∠BAD，DP平分∠ADC， ∴∠PAD=∠BAD，∠ADP=∠ADC， ∴∠PAD+∠ADP=∠BAD+∠ADC=×（∠BAD+∠ADC）=×180°=90°； （3）解：当AP⊥BC时，AP最小， ∴∠APC＝90°， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDP=∠ADC＝30°， ∵m∥n， ∴∠ADP＝∠DPC＝30°，∠DPC＝30°， ∴∠APD＝90°﹣30°＝60°． （来源：2026春•金凤区校级期中） 22．（6分）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】见解析 【解答】解： （1）若x＝2，则DE＝2， ∴S△AEF=AE×AF＝2，S△DEG=DG×DE=×1×2＝1， ∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16-×4﹣2+×1＝13． ∴所需费用为：20×2+20×1+10×13＝190（元）； （2）设AE＝AF＝x米，则DF＝（4﹣x）米． ∴S△AEF=AE×AF=x2，S△DEG=DG×DE=×1×（4﹣x）＝2-x， ∴S五边形EFBCG＝S正方形ABCD﹣S△AEF﹣S△DEG＝16-x2﹣2+x=-x2+x+14， （3）根据题意得4×[20×x2+20×（2-x）+10×（-x2+x+14）]＝715，整理得4x2﹣4x+1＝0，解得x1＝x2=．答：当AE＝AF=米时，正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． （来源：2025秋•榕城区期末） 23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β． （1）求证：△DAB≌△EAC． （2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝ °．②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明． （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 【答案】130 【解答】解： （1） ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠CAD﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠BAC， ∴∠CAE＝∠BAD，在△DAB和△EAC中，， ∴△DAB≌△EAC（SAS）； （2）①由（1）知，△DAB≌△EAC， ∴∠ABC＝∠ACE，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α＝50°， ∴∠ABC＝∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣50°）＝65°， ∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝65°+65°＝130°，故答案为130；②α+β＝180°，理由：由（1）知，△DAB≌△EAC， ∴∠ABC＝∠ACE，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ABC＝∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣α）＝90°-α， ∴β＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝90°-α+90°-α＝180°﹣α， ∴α+β＝180°； （3）β＝α；理由： ∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE， ∴∠CAE＝∠BAD，在△DAB和△EAC中，， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α， ∴∠ABC＝∠ACB=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣α）＝90°-α， ∴∠ACE＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝180°﹣（90°-α）＝90°+α， ∴β＝∠ACE﹣∠ACB＝90°+α﹣（90°-α）＝α． （来源：2026春•卫东区校级月考） 24．（8分）根据以下素材，解决生活问题【素材背景】某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．【问题解决】 （1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系； （2）该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）； （3）若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围． 【答案】见解析 【解答】解： （1）根据题意得：涨价时，y＝300﹣10（x﹣60）（60≤x≤90），降价时，y＝300+20（60﹣x）（40≤x≤60），综上所述，y与x的函数关系式为y=； （2）设每星期所获利润为W，当涨价时，W＝（x﹣40）（﹣10x+900）＝﹣10（x﹣65）2+6250（60≤x≤90），当x＝65时，y的最大值是6250；当降价时，W＝（x﹣40）（﹣20x+1500）＝﹣20（x﹣57.5）2+6125（40≤x≤60）， ∵x为正整数， ∴x＝57或x＝58时利润最大，最大值为6120元，综所述，该超市想获得最大周利润，A品牌纯牛奶销售价格为65元； （3）当60≤x≤90时，﹣10（x﹣65）2+6250＝6000，解得：x＝60或x＝70， ∴60≤x≤70；当40≤x≤60时，﹣20（x﹣57.5）2+6125＝6000，解得：x＝55或x＝60， ∴55≤x≤60；综上所述，为了使每周利润不少于6000元，售价x的范围是55≤x≤70． （来源：2025秋•绵阳期末） 25．（10分）如图，△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O，点F是线段AB上的动点，连接DF交线段AC于点E． （1）如图1，若AE＝AF；①求证：DF平分∠ADB；②求． （2）如图2，连接OF．若∠BOF＝45°+∠ADF，OF＝2，求DE的长． 【答案】见解析 【解答】（1）①证明： ∵△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O， ∴∠ADB＝∠DAC＝∠BAC＝45°， ∵AE＝AF， ∴∠AFE=∠AEF==67.5°， ∴∠ADF=22.5°=∠ADB， ∴∠ADF＝∠BDF， ∴DF平分∠ADB；②解：如图，连接DC，则四边形ABCD为正方形， ∴AB∥CD， ∴△AFE∽△CDE， ∴==（相似三角形的对应边成比例），即CE＝CD，不妨设AB＝CD＝1，则AC=，CE=1， ∴AF=AE=AC-EC=-1， ∴===-1； （2）解： ∵∠BOF＝45°+∠ADF，又 ∵∠BOF+∠AOF＝90°＝45°+∠ADF+∠ODF， ∴∠AOF＝∠ODF（等量代换）， ∵∠EFO＝∠OFD（已知）， ∴△OEF∽△DOF（两角法）， ∴==（相似三角形的对应边成比例）， ∵∠BAO＝∠ABO，∠AEF＝∠OED＝45°+∠ADF＝∠BOF， ∴△AEF∽△BOF， ∴=， ∴==，即AE=OE=OA=OD， ∵OF＝2， ∴===， ∴EF＝1，DF＝4， ∴DE＝DF﹣EF＝4﹣1＝3． （来源：2026•颍泉区校级一模） 26．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是 ；位置关系是 ； （2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB=，AE＝1，求线段DG的长． 【答案】DG＝BE，DG⊥BE 【解答】解： （1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下： ∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形， ∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴BE＝DG；如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H， ∵△ABE≌△DAG， ∴∠ABE＝∠ADG， ∵∠AQB+∠ABE＝90°， ∴∠AQB+∠ADG＝90°， ∵∠AQB＝∠DQH， ∴∠DQH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG，故答案为：DG＝BE，DG⊥BE； （2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：如图3，延长BE交AD于K，交DG于H， ∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形， ∴∠BAD＝∠EAG， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AD＝2AB，AG＝2AE， ∴==， ∴△ABE∽△ADG， ∴==，∠ABE＝∠ADG， ∴DG＝2BE， ∵∠AKB+∠ABE＝90°， ∴∠AKB+∠ADG＝90°， ∵∠AKB＝∠DKH， ∴∠DKH+∠ADG＝90°， ∴∠DHB＝90°， ∴BE⊥DG； （3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）设EG与AD的交点为M， ∵EG∥AB， ∴∠DME＝∠DAB＝90°，在Rt△AEG中，AE＝1， ∴AG＝2AE＝2，根据勾股定理得：EG==， ∵AB=， ∴EG＝AB， ∵EG∥AB， ∴四边形ABEG是平行四边形， ∴AG∥BE， ∵AG∥EF， ∴点B，E，F在同一条直线上，如图5， ∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE===2，由（2）知，△ABE∽△ADG， ∴==，即=， ∴DG＝4． （来源：2026春•秦州区校级月考） 27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为 （用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围． （3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值． 【答案】3t 【解答】解： （1）由题意AP＝2t，AQ＝PQ＝t， ∵PM＝3PQ， ∴PM＝3t．故答案为3t． （2）如图2﹣1中，当点M落在BC上时， ∵PM∥AC， ∴=， ∴=，解得t=如图2﹣2中，当点N落在BC上时， ∵NQ∥AC， ∴=， ∴=，解得t=，综上所述，满足条件的t的值为≤t≤． （3）如图3﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQNM，S＝3t2如图3﹣2中，当＜t＜时，重叠部分是五边形PQNEF．S＝S矩形PQNM﹣S△EFM＝3t2-•[3t-（4﹣2t）]•[3t-（4﹣2t）]=-t2+18t﹣6，综上所述，S=． （4）如图4﹣1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E． ∵∠FAB＝∠FEB＝90°，∠FBA＝∠FBE，BF＝BF， ∴△BFA≌△BFE（AAS）， ∴AF＝EF，AB＝BE＝4，设AF＝EF＝x， ∵∠A＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴BC==5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1，在Rt△EFC中，则有x2+12＝（3﹣x）2，解得x=， ∵PM∥AF， ∴=， ∴=， ∴t=如图4﹣2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F．同法可证：△ECA≌△ECF（AAS）， ∴AE＝EF，AC＝CF＝3，设AE＝EF＝y， ∴BF＝5﹣3＝2，在Rt△EFB中，则有x2+22＝（4﹣x）2，解得x=， ∵PM∥AC， ∴=， ∴=，解得t=．如图4﹣3中，当点M落在△ABC的∠ACB的外角的平分线上时，满足条件．设MC的延长线交BA的延长线于E，作EF⊥BC交BC的延长线于分，同法可证：AC＝CF＝3，EF＝AE，设EF＝EA＝x，在Rt△EFB中，则有x2+82＝（x+4）2，解得x＝6， ∵AC∥PM， ∴=， ∴=，解得t=，综上所述，满足条件的t的值为或或 （来源：2026•长春开学） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷2 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．± 2．（3分）下面说法错误的是（　　） A．点A （x1，y1），B （x2，y2）都在反比例函数y=-图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 B．若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC＝4 （-1）cm C．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形 D．平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积 3．（3分）如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C．= D．= 4．（3分）（2026春•八公山区期末）·函数y=5-xx+2中自变量x的取值范围是（　　） 5．（3分）目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校前年发放给每个经济困难学生389元，今年发放了438元，设每年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确的是（　　） A．438（1+x）2＝389 B．438（1+2x）＝389 C．389（1+2x）＝438 D．389（1+x）2＝438 6．（3分）如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形（阴影部分）与△EFG相似的是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）如图，在菱形ABCD中，连接AC，BD交于点O，点M，N分别是BD，AC上的动点，且MN＝2，点P是MN的中点，若AC＝6，BD＝8，则点P到线段AB的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、E、O在同一直线上，且EF=，AB＝4，给出下列结论：①∠AOD＝135°；②AE＝4+；③CF＝AD=；④S△COF+S△EOF＝3．其中正确的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为 　　　　 ． 10．（3分）已知菱形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，添加条件 　　　　 可使菱形ABCD成为正方形． 11．（3分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件：　　　　 ，使四边形ABCD是菱形． 12．（3分）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状相同的枫叶图案，则x的值为 　　　　 ． 13．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是 　　　　 ． 14．（3分）对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1，请结合上述材料，解决问题：若M{5x，x2，﹣3}＝min{x2，﹣3}，则x＝　　　　 ． 15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连结AC，分别以点A和点C为圆心，大于AC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，直线MN分别交AD、BC于点E、F，连结CE、AF．给出下面四个结论：①AB⊥BC；②四边形AECF是菱形；③AC•EF＝AE•AB④∠DEC＝2∠DAC．上述结论中，所有正确结论的序号是 　　　　 ． 16．（3分）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG，则在下列说法中：①△ADE≌△CDG；②四边形EFGD是正方形；③∠ACG的大小随着点E的运动不断改变；④CE+CG的值是定值；正确的有 　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值． 18．（6分）已知a，b，c，d为四个不为0的数． （1）如果=3，求与的值； （2）如果=(a≠b，c≠d)，求证：=． 19．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D＝∠CAE． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）若AC＝6，CE＝4，求BD的长度． 20．（6分）△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A按顺时针旋转α得到△AEF，连接BE，CF，交于D点， （1）求证：BE＝CF． （2）当α＝100°时，求∠FCB的度数． （3）当AC∥BE时，求旋转角α． 21．（6分）如图1，AB∥CD，AD∥BC，点P为BC边上一动点，连接AP，DP． （1）求证：∠ABC＝∠ADC； （2）当AP平分∠BAD，DP平分∠ADC时，求证：∠APD＝90°； （3）在点P移动的过程中，当AP的长最小时，此时点P恰好也在∠ADC的平分线上，∠ABC＝60°，求∠APD的度数． 22．（6分）如图，一个边长为8m的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD中，点G，E，F分别在CD，AD，AB上，且DG＝1m，AE＝AF＝x，在△AEF，△DEG，五边形EFBCG三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． （1）当x＝2时，小正方形ABCD种植花卉所需的费用； （2）试用含有x的代数式表示五边形EFBCG的面积； （3）当x为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 23．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与点BC重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE．设∠BAC＝α，∠DCE＝β． （1）求证：△DAB≌△EAC． （2）当点D在线段BC上运动时，①α＝50°，则β＝　　　　 °．②猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论进行证明． （3）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上运动时，猜想α与β之间的数量关系，并对你的结论给出证明． 24．（8分）根据以下素材，解决生活问题 【素材背景】某超市以40元/箱的价格购进A品牌纯牛奶．售价60元/箱时，每星期可卖出300箱．市场调查表明：每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件． 【问题解决】 （1）若调整后的售价为x元（x为正整数），每星期销售A品牌纯牛奶的数量为y箱，求y与x的函数关系； （2）该超市想获得最大周利润，请你帮助他们确定A品牌纯牛奶销售价格（整箱销售）； （3）若该超市想每周获得利润不少于6000元，请确定A品牌纯牛奶售价的范围． 25．（10分）如图，△ABC，△ABD均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝∠BAD＝90°，斜边AC和BD交于点O，点F是线段AB上的动点，连接DF交线段AC于点E． （1）如图1，若AE＝AF；①求证：DF平分∠ADB；②求． （2）如图2，连接OF．若∠BOF＝45°+∠ADF，OF＝2，求DE的长． 26．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE． （1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是　　　　 ；位置关系是　　　　 ； （2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由； （3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB=，AE＝1，求线段DG的长． 27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM＝3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM．设点P的运动时间为t秒． （1）线段MP的长为　　　　 （用含t的代数式表示）． （2）当线段MN与边BC有公共点时，求t的取值范围． （3）当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式． （4）当点M到△ABC任意两边所在直线距离相等时，直接写出此时t的值． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $