1.1认识特殊平行四边形-1.2菱形的性质与判定分层卷2026～2027 学年北师大版九年级上册数学

1.1认识特殊平行四边形-1.2菱形的性质与判定分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.1 认识特殊平行四边形、1.2 菱形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中，不正确的是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】 D 【解析】 选项 A、B、C 分别是菱形、矩形、正方形的定义，说法都正确； 选项 D：一组对边平行、另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形就是反例； 判定平行四边形需要「两组对边分别平行（或分别相等）」等条件； 所以不正确的是 D． 【解题提示】「一组对边平行，另一组对边相等」是平行四边形判定中最常见的陷阱，等腰梯形恰好满足这个说法却不是平行四边形． 2．如图，在菱形 ABCD 中，边长为 ，则该菱形的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 菱形的四条边都相等； 每条边长为 ，周长为 ．选 B． 【解题提示】菱形周长等于边长乘 ；选项 是误按 计算，选项 是只数了边数． 3．如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O。若 ，，则该菱形一边的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 菱形的对角线互相垂直且互相平分； 所以 ，； 在直角三角形 AOB 中，．选 A． 【解题提示】已知两条对角线求边长，先取各自的一半，再在由对角线一半围成的直角三角形中用勾股定理． 4．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，相交于点 O，若 ，则四边形 ABCD 的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】 对角线互相平分的四边形是平行四边形； 对角线又互相垂直，所以这个平行四边形是菱形； 菱形四条边相等，周长为 ．选 C． 【解题提示】「对角线互相垂直平分」同时给出了两条信息：平分保证它是平行四边形，垂直进一步保证它是菱形． 5．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 菱形的对角线平分一组对角，所以 ； 菱形的对角线互相垂直，所以 ； 在直角三角形 DOC 中，．选 A． 【解题提示】菱形两条对角线的夹角恒为 ，求角时优先在对角线截出的直角三角形中利用「两锐角互余」． 6．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知菱形的边 ，且两条对角线长之和满足 ，则这个菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 对角线互相平分，所以 ； 对角线互相垂直，在直角三角形 AOB 中，； 由 得 ； 所以 ； 菱形面积 ．选 D． 【解题提示】本题不必单独求出两条对角线：把 看成整体，它恰好就是菱形的面积． 7．中国结寓意团圆美满。小丰家有一个菱形中国结装饰，其示意图为菱形 ABCD，测得 ，，则菱形 ABCD 的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半； ．选 B． 【解题提示】对角线互相垂直的四边形，面积都可以用「对角线乘积的一半」计算，不要漏掉分母 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCO 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A 在 y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 ，则顶点 C 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 设 。菱形 ABCO 中 ，OA 在 y 轴方向，所以 BC 也竖直，点 C 的横坐标与点 B 相同，为 ； 由菱形四边相等得 ，即 ； 两边平方得 ，解得 ，即菱形边长为 ； 由 且 C 在 B 的下方，得 ，即 ．选 A． 【解题提示】坐标系中的菱形先利用平行关系确定点的横（纵）坐标，再利用边长相等列方程；也可用平行四边形坐标关系「点 B 的坐标等于 A、C 坐标之和」直接求 C． 9．如图，在菱形 ABCD 中，，，点 E 在边 BC 上，将 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 F 落在 BC 的延长线上，则 CF 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】 D 【解析】 由折叠的性质，，，所以 AE 是等腰三角形 ABF 底边 BF 上的中线，也是高； 由 ，直角三角形 ABE 是等腰直角三角形，，所以 ； 所以 ； 菱形中 ，点 F 在 BC 的延长线上， ．选 D． 【解题提示】折叠前后对应线段相等；点 B 的对应点落在直线 BC 上，说明折痕 AE 恰好是等腰三角形 ABF 的「三线合一」线． 10．如图，在菱形 ABCD 中，，动点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DC-CB 匀速运动，到点 B 停止。设点 P 运动的路程为 x， 的面积为 y，其示意图与 y 随 x 变化的图象如图所示，图象终点处 。根据图象信息，下列结论正确的是（　　） A． B．当 时，点 P 一定是 AD 的中点 C． D．菱形 ABCD 的面积为 【答案】 C 【解析】 点 P 走过的总路程为 ，菱形三边相等，所以边长 ，即 ，A 错； ，菱形的高为边长乘 ，即 ； 当 P 在 DC 上运动时，三角形 APB 的底 AB 不变、高恒为菱形的高，所以图象水平段的高度 ，C 正确； 菱形面积为 ，D 错； 当 P 在 AD 的中点时 ，但由菱形的对称性，P 运动到 CB 上对称位置时面积同样为 ，所以「一定」不成立，B 错． 综上选 C． 【解题提示】动点函数图象要分段读：上升段、水平段、下降段分别对应 P 在三条边上；水平段的高度就是菱形的高，而「一定」类结论还要考虑对称位置． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是菱形 ABCD，当 时， 的度数为　　． 【答案】 【解析】 菱形中 ，三角形 ABC 是等腰三角形，所以 ； ； 菱形的对角相等，所以 ． 【解题提示】菱形的邻边相等，对角线分出的三角形常为等腰三角形；求角时配合「对角相等」进行转化． 12．如图，分别以点 A、B 为圆心，以 为半径画弧，两条弧分别相交于点 M、N，连接 AM、AN、BM、BN、AB、MN。若 ，则以 A、B、M、N 四点为顶点的四边形的面积为　　． 【答案】 【解析】 由作图，，所以四边形 AMBN 是菱形，AB 与 MN 互相垂直平分； 设 AB 与 MN 相交于点 O，则 ，； 在直角三角形 AOM 中，，所以 ； 四边形 AMBN 的面积为 ． 【解题提示】四条连线相等先判定菱形，再把所求面积转化为两条对角线乘积的一半；画图时圆规半径就是菱形的边长． 13．科技节活动中有「纸牌承重」项目：小颖用若干张相同的纸牌搭成「纸牌承重桌」（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），两张纸牌的长边对接，与地面围成一个等边三角形，再在上面搭放同样的一层，共两层。已知每张纸牌的尺寸为 ，则该纸牌承重桌的高度为　　． 【答案】 【解析】 纸牌与地面围成等边三角形，其边长等于纸牌的宽 ； 一层等边三角形的高为 ； 承重桌共两层，总高度为 ． 【解题提示】等边三角形的高等于边长乘 ；两层结构的总高等于两个等边三角形的高相加，注意取纸牌的宽 而不是长 ． 14．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，，。直线 EF 是边 BC 的垂直平分线，与 BC 相交于点 E，与 BD 相交于点 F，连接 CF，则三角形 CDF 的周长为　　． 【答案】 【解析】 菱形对角线互相垂直平分，，； 在直角三角形 COD 中，； 因为 EF 垂直平分 BC，点 F 在 EF 上，所以 ； 三角形 CDF 的周长为 ． 【解题提示】垂直平分线上的点到线段两端距离相等；把 等量替换成 后，折线段 正好拼成整条对角线 BD． 15．如图，在菱形 ABCD 中，，，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 上（点 E、F 均可与线段的端点重合），且 ，则 的最小值为　　． 【答案】 【解析】 建立坐标系：取 B 为原点、BC 所在直线为 x 轴。由 ，边长为 ，得各点坐标为 ，，，； 设 （），则 ，； 由勾股定理，，； 把两条线段看成直角边分别为 与 的两个直角三角形的斜边，由两点之间线段最短， ； 当且仅当 （即 E 与 A 重合、F 与 C 重合）时取等号，所以 的最小值为 ． 【解题提示】线段和的最小值问题，先设参数表示出两条线段，再借助「两点之间线段最短」（或将军饮马模型）处理；本题允许 E、F 与端点重合，等号可以取得． 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，，，点 P 是菱形内部一点，且 ，则 AP 的长为　　． 【答案】 或 【解析】 由 可知点 P 在线段 BD 的垂直平分线上；菱形中 AC 垂直平分 BD，所以点 P 在 AC 上； 由 ，，三角形 ABD 是等边三角形，，所以 ； 在直角三角形 AOB 中，； 在直角三角形 POB 中，； 点 P 可能在 O 靠近 A 的一侧，也可能在 O 靠近 C 的一侧： ； 或 ． 【解题提示】到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；点在对角线交点的两侧都可能出现，注意分两种情况讨论，不要漏解． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、BC 上的点，且 。求证：。 【答案】 【解析】 因为四边形 ABCD 是菱形，所以 ； 又 ，所以 ，即 ； 在三角形 ABF 和三角形 CBE 中， ，，； 所以 （SAS）； 所以 ． 【解题提示】菱形只提供「边相等、角的关系」，证明线段相等的核心仍是找全等三角形；公共角 不要漏写． 18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 P 是 OC 上的一点，连接 PB、PD，且 。求证：平行四边形 ABCD 是菱形。 【答案】 平行四边形 ABCD 是菱形 【解析】 因为四边形 ABCD 是平行四边形，对角线互相平分，所以 ； 在三角形 POB 和三角形 POD 中，，，； 所以 （SSS），所以 ，即 ； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形 ABCD 是菱形． 【解题提示】由「点在一条对角线上且到另一条对角线两端距离相等」，可以推出两条对角线互相垂直，这是判定菱形的常用路径． 19．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，，点 E 是边 BC 的中点，且 AC 平分 ∠DAE。求证：四边形 ADCE 是菱形。 【答案】 四边形 ADCE 是菱形 【解析】 因为 E 是 BC 的中点，所以 ； 又 ，所以 ； 由 AD∥BC，即 AD∥EC，且 ，所以四边形 ADCE 是平行四边形； 因为 AC 平分 ，所以 ； 由 AD∥BC，内错角相等，； 所以 ，； 一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以四边形 ADCE 是菱形． 【解题提示】本题分两步走：先由「一组对边平行且相等」证平行四边形，再借助角平分线与平行线推出等腰三角形，得到一组邻边相等． 20．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，EF∥AB，且 。 (1) 求证：四边形 CDEF 是菱形； (2) 若四边形 CDEF 的周长为 ，且 ，求 AE 的长。 【答案】 (1) 四边形 CDEF 是菱形；(2) 【解析】 (1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AB∥CD，AD∥BC； 由 EF∥AB，得 EF∥CD；又 ED∥FC，所以四边形 CDEF 是平行四边形； 又 ，一组邻边相等，所以平行四边形 CDEF 是菱形； (2) 菱形 CDEF 的周长为 ，所以 ； 由 ，得 ． 【解题提示】第 (2) 问的周长是「四边形 CDEF 的周长」，审题时不要错看成平行四边形 ABCD 的周长． 21．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 ，。 (1) 求证：； (2) 当 AB、AD 满足什么条件时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由。 【答案】 (1) （AAS）；(2) 【解析】 (1) 由 AB∥CD，内错角相等，； 由 ，两边同时加上 EF，得 ，即 ； 又 ， 所以 （AAS）； (2) 当 时，四边形 BEDF 是菱形，理由如下： 连接 BD，交 AC 于点 O。由 (1) 中三角形全等，得 ，，所以 BF∥DE； 所以四边形 BEDF 是平行四边形； 当 时，平行四边形 ABCD 的一组邻边相等，ABCD 是菱形，所以 ； 平行四边形 BEDF 的对角线 EF 与 BD 互相垂直，所以 BEDF 是菱形． 【解题提示】第 (2) 问是条件开放题：先看四边形 BEDF 已经具备什么（由全等得到的平行四边形），再补「对角线垂直」或「邻边相等」所需的条件即可． 22．（6 分）如图 1，在 △ABC 中，，点 P 是底边 BC 上的一个动点，PD∥AC 交 AB 于点 D，PE∥AB 交 AC 于点 E。 (1) 用含 a 的式子表示四边形 ADPE 的周长； (2) 点 P 运动到什么位置时，四边形 ADPE 是菱形？请说明理由； (3) 如图 2，如果 ，其他条件不变，那么点 P 运动到什么位置时，四边形 ADPE 是菱形？（不必说明理由） 【答案】 (1) 四边形 ADPE 的周长为 ；(2) 当 P 为 BC 的中点时，四边形 ADPE 是菱形；(3) 当点 P 运动到 的平分线上时，四边形 ADPE 是菱形 【解析】 由 PD∥AC，PE∥AB，得四边形 ADPE 是平行四边形； (1) 由 PD∥AC，得 ；由 ，得 ，所以 ，； 平行四边形 ADPE 的周长为 ； (2) 当 P 为 BC 的中点时，连接 AP。由 及三线合一，AP 平分 ，即 ； 由 PE∥AB，得 ，所以 ，； 平行四边形 ADPE 一组邻边相等，所以它是菱形； (3) 当点 P 运动到 的平分线上时，四边形 ADPE 是菱形． 【解题提示】等腰三角形「三线合一」是第 (2) 问的关键；去掉 后，结论改为「P 在顶角的平分线上」，这正是一般情形下的判定条件． 23．（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，，点 M 在边 BC 上，点 N 在对角线 AC 上，且 ，连接 DM。 (1) 如图 1，当点 N 与对角线 AC、BD 的交点 O 重合时，求 的度数； (2) 如图 2，当点 N 在 AC 上运动时， 的度数是否发生变化？请说明理由。 【答案】 (1) ；(2) 不发生变化，恒为 【解析】 (1) 菱形中 ，又 ，所以三角形 BCD 是等边三角形，； 当 N 与 O 重合时，N 在 BD 上，且 ；又 ，所以 ； 由 ，，三角形 BMN 为等边三角形，； 而 B、N、D 共线，所以 ； 等腰三角形 DMN 中，； (2) 不发生变化，始终为 ，理由如下： 菱形的对角线 AC 垂直平分 BD，点 N 在 AC 上，所以 ； 又 ，所以 ，即 B、D、M 三点都在以 N 为圆心、NB 为半径的圆上； 是圆周角，它所对的圆心角 ； 在等腰三角形 DMN 中，，，与点 N 的位置无关． 【解题提示】抓住两条不变量：N 在 AC 上所以 ，加上题设 ，三条线段相等；用「同弧所对的圆心角是圆周角的两倍」可直接得到 ，再求底角． 24．（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，，点 P 在对角线 BD 上，以 AP 为边向 AP 的右侧作等边三角形 APE。 (1) 如图 1，当点 E 在菱形内部时，直线 CE 交 BD 于点 F。 ① 判断 BP 与 CE 的数量关系，并求 的度数（温馨提示：连接 AC，AC 与 BD 相交于点 H）； ② 若 ，，求 FD 的长； (2) 如图 2，当点 E 在菱形外部时，直线 CE 交 BD 于点 F，若 ，，直接写出 BD 的长为　　． 【答案】 ① ，；② ；(2) 【解析】 ① 连接 AC。菱形中 ，，所以三角形 ABC 是等边三角形，，； 三角形 APE 是等边三角形，，； ， 所以 （SAS），得 ，且 ； BD 平分 ，，所以 ； 又 ，所以 ； 在三角形 BCF 中，，所以 ； ② 过点 E 作 于点 M。在直角三角形 EFM 中，，所以 ，，； 点 F 在 P、M 之间，所以 ； 由 ，，CE 公共，得 ，所以 ； 又 ，所以 ，三角形 EPD 是等腰三角形；EM 是底边 PD 上的高，所以 M 是 PD 的中点，； 所以 ； (2) 同理有 ，且点 P 在 F 靠近 D 的一侧。过 E 作 于点 M，在直角三角形 EFM 中，，； ，同理由等腰三角形 EPD 三线合一，M 是 PD 的中点，，所以 ； 菱形对角线 BD 垂直平分 AC，故 ；又 ，所以 。在直角三角形 PEM 中， ； 设 。在直角三角形 CFH 中，，所以 ，； 在直角三角形 CPH 中，，所以 ， 整理得 ，解得 （负值舍去），所以 ； C、F、E 共线且 F 在 C、E 之间，； 由 得 ，； 所以 ． 【解题提示】这是「手拉手」模型：等边三角形 ABC 与等边三角形 APE 共顶点 A，旋转 即得全等三角形；计算时多次用到等腰三角形「三线合一」、含 的直角三角形和勾股定理，注意 (1)、(2) 两问中点 P、F 在对角线上的先后顺序不同． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1认识特殊平行四边形-1.2菱形的性质与判定分层卷2026~2027 学年北师大版九年级上册数学 本卷包含小节：1.1 认识特殊平行四边形、1.2 菱形的性质与判定 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列说法中，不正确的是（　　） A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的平行四边形是矩形 C．一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 2．如图，在菱形 ABCD 中，边长为 ，则该菱形的周长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，菱形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O。若 ，，则该菱形一边的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，相交于点 O，若 ，则四边形 ABCD 的周长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，已知菱形的边 ，且两条对角线长之和满足 ，则这个菱形的面积为（　　） A． B． C． D． 7．中国结寓意团圆美满。小丰家有一个菱形中国结装饰，其示意图为菱形 ABCD，测得 ，，则菱形 ABCD 的面积为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCO 的顶点 O 为坐标原点，顶点 A 在 y 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为 ，则顶点 C 的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在菱形 ABCD 中，，，点 E 在边 BC 上，将 沿 AE 折叠，点 B 的对应点 F 落在 BC 的延长线上，则 CF 的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在菱形 ABCD 中，，动点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DC-CB 匀速运动，到点 B 停止。设点 P 运动的路程为 x， 的面积为 y，其示意图与 y 随 x 变化的图象如图所示，图象终点处 。根据图象信息，下列结论正确的是（　　） A． B．当 时，点 P 一定是 AD 的中点 C． D．菱形 ABCD 的面积为 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请把答案填在题中的横线上） 11．如图是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是菱形 ABCD，当 时， 的度数为_____________． 12．如图，分别以点 A、B 为圆心，以 为半径画弧，两条弧分别相交于点 M、N，连接 AM、AN、BM、BN、AB、MN。若 ，则以 A、B、M、N 四点为顶点的四边形的面积为_____________． 13． 科技节活动中有「纸牌承重」项目：小颖用若干张相同的纸牌搭成「纸牌承重桌」（桌面与地面平行，桌面厚度和纸牌厚度忽略不计），两张纸牌的长边对接，与地面围成一个等边三角形，再在上面搭放同样的一层，共两层。已知每张纸牌的尺寸为 ，则该纸牌承重桌的高度为_____________． 14．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，，。直线 EF 是边 BC 的垂直平分线，与 BC 相交于点 E，与 BD 相交于点 F，连接 CF，则三角形 CDF 的周长为_____________． 15．如图，在菱形 ABCD 中，，，点 E 在边 AD 上，点 F 在边 BC 上（点 E、F 均可与线段的端点重合），且 ，则 的最小值为_____________． 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，，，点 P 是菱形内部一点，且 ，则 AP 的长为_____________． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6 分）如图，在菱形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、BC 上的点，且 。求证：。 18．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 P 是 OC 上的一点，连接 PB、PD，且 。求证：平行四边形 ABCD 是菱形。 19．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，，点 E 是边 BC 的中点，且 AC 平分 ∠DAE。求证：四边形 ADCE 是菱形。 20．（6 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AD、BC 上，EF∥AB，且 。 (1) 求证：四边形 CDEF 是菱形； (2) 若四边形 CDEF 的周长为 ，且 ，求 AE 的长。 21．（6 分）如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，点 E、F 是对角线 AC 上的两点，且 ，。 (1) 求证：； (2) 当 AB、AD 满足什么条件时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由。 22．（6 分）如图 1，在 △ABC 中，，点 P 是底边 BC 上的一个动点，PD∥AC 交 AB 于点 D，PE∥AB 交 AC 于点 E。 (1) 用含 a 的式子表示四边形 ADPE 的周长； (2) 点 P 运动到什么位置时，四边形 ADPE 是菱形？请说明理由； (3) 如图 2，如果 ，其他条件不变，那么点 P 运动到什么位置时，四边形 ADPE 是菱形？（不必说明理由） 23．（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，，点 M 在边 BC 上，点 N 在对角线 AC 上，且 ，连接 DM。 (1) 如图 1，当点 N 与对角线 AC、BD 的交点 O 重合时，求 的度数； (2) 如图 2，当点 N 在 AC 上运动时， 的度数是否发生变化？请说明理由。 24．（8 分）如图，在菱形 ABCD 中，，点 P 在对角线 BD 上，以 AP 为边向 AP 的右侧作等边三角形 APE。 (1) 如图 1，当点 E 在菱形内部时，直线 CE 交 BD 于点 F。 ① 判断 BP 与 CE 的数量关系，并求 的度数（温馨提示：连接 AC，AC 与 BD 相交于点 H）； ② 若 ，，求 FD 的长； (2) 如图 2，当点 E 在菱形外部时，直线 CE 交 BD 于点 F，若 ，，直接写出 BD 的长为　　． 学科网（北京）股份有限公司 $