期中阶段复习能力提升卷二（第1章～4章）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

期中阶段复习能力提升卷二（第1章～4章） 一、选择题（共16分） 1．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：该几何体的主视图是： ． 2．下列方程中，一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断方程是否为整式方程，再依次判断未知数个数是否为1个、未知数最高次数是否为2，逐步筛选符合条件的选项． 【详解】解：A. ，不是整式方程，不符合题意； B. ，未说明，当时，不是一元二次方程，不符合题意； C. 将展开得，移项整理得，是一元二次方程，符合题意； D. 含有三个未知数，不符合题意． 3．如图，在矩形中，，，，则对角线的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据矩形的性质得到，在中，已知直角边、，利用勾股定理求出斜边的长度． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ． 4．如图，菱形是由菱形向右平移一定距离得到，平移前后两图形的交点分别为、两点，且、分别为边、的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得到，则可求出，根据平移的性质得到，据此可证明四边形 是平行四边形；过点 作 于点 ，解求出的长即可得到答案． 【详解】解：四边形 是菱形， ∴， 分别为 的中点， ； 由平移性质可知 ， ， 四边形 是平行四边形； 过点 作 于点 ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．若，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对第二个方程变形，构造与第一个方程同形式的一元二次方程，结合的条件，利用根与系数的关系求解． 【详解】解：若，则，与题设矛盾， 故． 将两边同时除以，得. ∵　，且即， ∴　，是方程的两个不相等的实数根.由根与系数的关系得， 即． 6．如图，正方形中，为对角线上的一点，连接、，则图中全等三角形有多少对？（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，，，结合公共边利用或判定全等三角形． 【详解】解： 四边形是正方形 ,为对角线， ，，， 在和中 在和中 在和中 综上所述，图中全等三角形共有3对． 7．如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据作图得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线分线段成比例得出，即可得出． 【详解】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意； B．∵， ∴， ∴一定成立，故B不符合题意； C．∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴一定成立，故C不符合题意； D．不一定成立，故D符合题意． 8．如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点定义得到线段倍数关系，然后利用矩形相似得到对应边成比例，再设未知数代入比例建立等式，最后化简计算求出线段比值． 【详解】解：，分别是，的中点， ． 矩形与矩形相似， ． 设，，则． 代入比例式： ， ． ， ． ． 二、填空题（共20分） 9．若为方程的解，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：为方程的解， ，即， ． 10．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 11．若关于x的一元二次方程的解为1、3，则一元二次方程a的解为__________________________ 【答案】， 【分析】把看作整体，利用换元法对应原方程的解，即可求出新方程的解． 【详解】解：令，则方程可化为， ∵原一元二次方程的解为，， ∴的解为，， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴一元二次方程的解为，． 12．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 【答案】 6 【分析】由从上面看到的形状图可知底层小立方块的分布及数量；由从左面看到的形状图可知立体图形的层数及前后排的最高层数；综合两层信息计算最少数量． 【详解】解：由从上面看到的形状图可知，该立体图形底层共有5个小立方块，分为前后两排，其中后排3个，前排2个． 由从左面看到的形状图可知，该立体图形共有两层，且前后两排中，有一排最高为1层，另一排最高为2层 要使小立方块数量最少，则最高为1层的那排所有位置均为1层，最高为2层的那排中仅有1个位置为2层，其余为1层． 最少数量为 （个） 故填：6． 13．为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 【答案】 【分析】已知第一周进场人次和第三周进场人次，周平均增长率为，第一周到第三周间隔周，根据增长率计算方法可列出方程． 【详解】解：∵第一周进场人次，周平均增长率为， ∴第二周进场人次为， ∵第三周在第二周的基础上增长，增长率仍为， ∴第三周进场人次为， 已知第三周进场人次，因此可列方程为． 14．在中，，点G是的重心，如果C到斜边的距离为4，那么G到斜边的距离_________． 【答案】 【分析】设斜边的中点为E，的中点为F，连接，交于重心G，过点C作于点D，过点G作于点H，根据重心的性质可得，再根据，，可得，进而可证，最后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设斜边的中点为E，的中点为F，连接，交于重心G，过点C作于点D，过点G作于点H，如图： ∵点G是的重心，是边上的中线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴ 解得， 综上所述，G到斜边的距离为． 15．如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 【答案】/ 【分析】过点作于点，则四边形是矩形，再证明，进而利用勾股定理求出，即可求出四棱柱的表面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 等腰梯形， ，，， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中，，， ， ， 在中，， 四棱柱的高为， 此四棱柱的表面积为 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，点在第一象限．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先在中，利用勾股定理求出菱形边长，再根据菱形对边平行且相等，轴，确定点纵坐标与相同，横坐标为的长度． 【详解】解：∵，， ∴，，． 在中，由勾股定理得： ． ∵四边形是菱形， ∴，． 又∵在轴上， ∴平行于轴， ∵点坐标为， ∴点的纵坐标为，横坐标为． ∴点的坐标为． 17．已知：如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①③⑤ 【分析】由正方形的性质可得，，证明出，即可得出，从而判断①正确；由全等三角形的性质可得，令交于点，结合三角形内角和定理即可判断③正确；过点作，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理计算得出，即可判断②错误，由勾股定理求出，即可判断⑤正确；连接，由全等三角形的性质可得，再利用计算即可判断④错误． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 令交于点， ∵，，， ∴，即， ∴，故③正确； 过点作，交的延长线于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即点到直线的距离为，故②错误； ∴， ∴，即，故⑤正确； 连接， ∵， ∴， ∴ ，故④错误； 综上所述，正确的有①③⑤． 18．如图，校园内有一块长方形花坛，长15米，宽为8米，花坛下边缘两端点为，，喷泉需设在花坛内部，且满足的面积为30平方米，喷头可在花坛上边缘间自由移动，求的最小值是_______米． 【答案】21 【分析】由 面积确定点 P轨迹为矩形中位线． 最小值为 P到距离． 利用轴对称将转化为 ， 结合两点之间线段最短求解即可． 【详解】解：设点 P到的距离为 ℎ， 如图：过P作交于E，则， ∵的面积为30平方米， ∴，即，解得：． ∵ 矩形宽， ∴ 点 P在平行于且到距离为 4的直线上， 即该直线也是矩形的中位线 ， ∴ 点 P到 的距离为， ∵Q 在 上 ， ∴， 如图：当 时，为最小值， 作点 A关于点 P所在直线的对称点 ，此时和点D重合， ∴ ∴， 当 D、P、B三点共线时， 最小， 最小值为的长， 在 中， ， ∴的最小值为17， ∴的最小值为． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：由， ， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ， ∴， ∴． 20．某几何体的三视图如下图所示，求这个几何体的表面积． 【答案】2108 【分析】根据三视图还原出几何体的形状，再根据几何体的表面积公式进行计算即可得出答案. 【详解】解：由题图可知，这个几何体是从一个长方体中切去一个三棱柱所形成的，如下图所示： 由图可知，这个几何体的表面积为 ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积，判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键． 21．如图，在菱形中，对角线与相交于点． (1)求和的长； (2)求菱形的面积． 【答案】(1)6， (2) 【分析】（1）先根据菱形的性质及等边三角形的判定可得是等边三角形，即可得出，再根据勾股定理求出，进而得出； （2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴； （2）解：菱形的面积． 22．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为，根据最小数与最大数的乘积为105，列方程解答即可； 【详解】解：设这9个数中最小的数为x，根据题意，日历中，同行中相邻数之间差1，同列中相邻数之间差7，得最大数为， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 日历中的数字没有负数， 故舍去， 故 故这九个数中最小的数为5． 23．如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据路程=速度时间列式即可； （2）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：当时，①若，则有， ， 又， 解得； ②由，若，则有， ， 解得（不合题意，舍去）； 当时，点与点重合，如图， ，只有当时，才有， ， 解得， 综上所述，或． 24．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 【答案】(1)等边三角形 (2) 【分析】（1）由图可推，等腰+可知是等边三角形； （2）由（1）可知是等边三角形，所以，又，所以，在中，根据可算出投影的长度． 【详解】（1）等边三角形．理由如下： ， ， 当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， 即， 可得， ， 有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 所以是等边三角形． （2）解：作于， 是等边三角形 ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中， 落在地面上的投影的长为． 25．如图1，菱形中，，边长为8，点E是边上一动点，且，将沿翻折，点B的对应点为． (1)连接，探究与（点A、C、B'三点不共线）的数量关系， 并证明你的结论； (2)如图2，若点M为中点，当时，连接，求的值； (3)如图3，动点P、Q在线段上，且，连接，与的角平分线交于点F，过点F作的垂线，垂足为点H，求的最大值． 【答案】(1)， 证明如下： 设交于， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）设交于，由菱形的性质可得，，则可证明是等边三角形，得到，由折叠的性质可得，则，根据三角形外角的性质可得，，则可证明，进而得到； （2）由三线合一定理得到，求出，得到，由勾股定理得，则；延长交于H，由折叠的性质可得，证明，得到，证明是的中位线，得到，则； （3）过点E作交直线于T，设点M为的中点，连接，由菱形的性质得到，由（2）可得，则（平行线间间距相等），可求出；由角平分线的性质可得点F到的距离都等于的长，根据，可得，则要使的值最大，那么的值要最小，根据，，得到当最小时，能同时取得最小值，进一步可推出当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值，则，，据此计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形，点M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得； 如图所示，延长交于H， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点E作交直线于T，设点M为的中点，连接， ∵四边形是菱形， ∴， 由（2）可得， ∴（平行线间间距相等）， ∵， ∴； ∵与的角平分线交于点F，且， ∴由角平分线的性质可得点F到的距离都等于的长， ∵， ∴， ∴， ∴要使的值最大，那么的值要最小， ∵， ， ∴当最小时，能同时取得最小值， ∵， ∴点E在线段上运动， ∴当点E与点M重合时，此时点A与点T重合，则此时有最小值，最小值为0， 又∵当点P与点A重合时，有最小值，最小值为0， ∴当点E与点M重合，点P与点A重合时，能同时取得最小值， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，三角形中位线定理等等，解（2）的关键在于作出辅助线构造相似三角形求出的长，解（3）的关键在于把求的最大值，转换乘求的最小值． 26．在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2），当点与点重合时停止平移． (1)【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)【发现】当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3），求的长． 活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度（），连接，（如图4）． (3)【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)结论：四边形是平行四边形． 理由：， ，， ， 四边形是平行四边形． (2) (3)结论：， 理由：如图2，延长交于点， 由矩形的性质及旋转的性质知：，又， ，，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ． 【分析】思考：由全等三角形的性质得出，，则，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得出结论； 发现：连接交于点，设，则，得出，由勾股定理构建方程，求出即可； 探究：如图2，延长交于点，证明，得出，，则，可证得，得出，则结论得证． 【详解】（1）略 （2）解：如图1，连接交于点， 四边形为矩形， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷二（第1章～4章） 一、选择题（共16分） 1．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中，一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，，则对角线的长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．7 4．如图，菱形是由菱形向右平移一定距离得到，平移前后两图形的交点分别为、两点，且、分别为边、的中点，若，，则四边形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．若，且，，则（     ） A． B． C． D． 6．如图，正方形中，为对角线上的一点，连接、，则图中全等三角形有多少对？（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 7．如图，在中，O是边的中点．按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点D，交于点E；②以点O为圆心、长为半径画弧，交线段于点F；③以点F为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线同侧；④作直线，交于点M．下列结论不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 8．如图，将一张矩形纸片沿一组对边和的中点连线对折，对折后所得矩形恰好与原矩形相似．则与的比值是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 9．若为方程的解，则的值为_______． 10．在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为________（结果保留根号）． 11．若关于x的一元二次方程的解为1、3，则一元二次方程a的解为__________________________ 12．一个立体图形由若干大小相同的小立方块搭成，图中所示的分别是从它的左面、上面看到的形状图，则这个立体图形至少是用______个小立方块搭成的． 13．为了积极响应《“健康中国”规划纲要》提出的全民健身要求，某体育中心周末向社会免费开放体育场跑道．自开放以来，进场人次逐周增加，第一周进场人次，第三周进场人次．若进场人次的周平均增长率相同，设进场人次的周平均增长率为，则可列方程为________． 14．在中，，点G是的重心，如果C到斜边的距离为4，那么G到斜边的距离_________． 15．如图，等腰梯形是某直四棱柱的俯视图，且，，垂足为点，，，且四棱柱的高为，则此四棱柱的表面积为________． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，边在轴上，点在第一象限．若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___________． 17．已知：如图，在正方形外取一点，连接，，，过点作的垂线交于点．若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④；⑤． 其中正确结论的序号是___________． 18．如图，校园内有一块长方形花坛，长15米，宽为8米，花坛下边缘两端点为，，喷泉需设在花坛内部，且满足的面积为30平方米，喷头可在花坛上边缘间自由移动，求的最小值是_______米． 三、解答题（共64分） 19．解方程： (1)； (2)． 20．某几何体的三视图如下图所示，求这个几何体的表面积． 21．如图，在菱形中，对角线与相交于点． (1)求和的长； (2)求菱形的面积． 22．如图是2026年10月的日历表，可以用一个方框（阴影框）圈出9个数，若圈出的9个数中，最小数与最大数的乘积为105，求这个最小数（请用方程知识解答）． 23．如图，，，动点P，Q分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿边一直运动到点A为止（点P到达点C后，点Q继续运动）． (1)请直接用含t的代数式表示的长和的长； (2)当t等于何值时，与相似？ 24．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，.当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为， (1)的形状是______． (2)求落在地面上的投影的长．（精确到，，） 25．如图1，菱形中，，边长为8，点E是边上一动点，且，将沿翻折，点B的对应点为． (1)连接，探究与（点A、C、B'三点不共线）的数量关系， 并证明你的结论； (2)如图2，若点M为中点，当时，连接，求的值； (3)如图3，动点P、Q在线段上，且，连接，与的角平分线交于点F，过点F作的垂线，垂足为点H，求的最大值． 26．在一次数学研究性学习中，小明将两个全等的直角三角形纸片和拼在一起，使点与点重合，点与点重合（如图1），其中，，，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片沿方向平移，连接，（如图2），当点与点重合时停止平移． (1)【思考】图2中的四边形是平行四边形吗？请说明理由． (2)【发现】当纸片平移到某一位置时，小明发现四边形为矩形（如图3），求的长． 活动二：在图3中，取的中点，再将纸片绕点顺时针方向旋转度（），连接，（如图4）． (3)【探究】当平分时，探究与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $