2026-2027学年北师大版数学九年级上册期中复习卷1

北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）x=是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 3．（3分）（2026•大新县二模）·在函数y=2x+1中，自变量x的取值范围是（　　） 4．（3分）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形ABCD的周长不变 B．四边形ABCD的面积不变 C．AD＝AB D．AB＝CD 5．（3分）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a：b等于（　　） A．：1 B．1： C．1： D．：1 6．（3分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 7．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 8．（3分）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　） A．30 B．27 C．14 D．32 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如果4是x和8的比例中项，那么x＝　　　　 ． 10．（3分）已知=，则= 　　　　 ． 11．（3分）已知△ABC∽△DEF，面积比为1：4，AC＝2，则DF的长为　　　　 ． 12．（3分）a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 　　　　 ． 13．（3分）如图，BD平分∠ABC，且AB＝2，BC＝3，则当BD＝　　　　 时，△ABD∽△DBC． 14．（3分）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，要想使四边形ABCD变成一个矩形，只需添加的一个条件是 　　　　 ． 15．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，请你添加一个条件，使菱形ABCD成为正方形．你添加的条件是 　　　　 ． 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为2．正确的有　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 18．（6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上且DE∥BC，=． （1）求证：EF∥DC； （2）若AF＝3，FD＝6，DE=6，求BC的值． 19．（6分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交线段BA的延长线于点E．…任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 　　　　 ． 20．（6分）如图，等边△ABC的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，CE＝4，∠BAD＝∠E． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）求AD的长． 21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，BD为对角线，点P在CD上，作PQ⊥BD，垂足为Q． （1）求证：△PQD∽△BCD； （2）连结BP，AQ，求证：BP=AQ． 22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 23．（8分）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？（2）在图（2）中，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 24．（8分）如图1，半径为R的⊙O内接一个正十边形，AB是其中一条边． （1）用R和含18°的三角函数的式子表示边长AB． （2）如图2，作∠ABO的平分线与半径OA交于点C，试猜想（1）中18°的三角函数和黄金比（Φ=）有怎样的关系，并说明理由． 25．（10分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 26．（10分）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF． （1）如图1，求证：△ADE≌△CDF； （2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（0，a），（b，0），（a，c），其中a，b，c满足关系式（a+3）2++|c+5|＝0． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段AB的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 参考答案与解析 1．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，故A不符合题意；根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，故B不符合题意；一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，故C符合题意；根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，故D不符合题意；故选：C． （来源：2024秋•三明期末） 2．（3分）x=是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 【答案】A 【解答】解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：x=，故符合题意；B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：x=，故不符合题意；C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：x==，故不符合题意；D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：x=，故不符合题意．故选：A． （来源：2024春•仓山区校级期末） 3．（3分）（2026•大新县二模）·在函数y=2x+1中，自变量x的取值范围是（　　） 【答案】解：根据题意得：x+1＞0， 解得x＞﹣1， 故选：C． （来源：2026•大新县二模） 4．（3分）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形ABCD的周长不变 B．四边形ABCD的面积不变 C．AD＝AB D．AB＝CD 【答案】D 【解答】解：由题意可知，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，故D符合题意，随着一张纸条在转动过程中，AD不一定等于AB，四边形ABCD周长、面积都会改变，故ABC不符合题意，故选：D． （来源：2025•大方县模拟） 5．（3分）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a：b等于（　　） A．：1 B．1： C．1： D．：1 【答案】A 【解答】解： ∵b：=a：b， ∴a2＝2b2， ∴a=b，则a：b=：1．故选：A． （来源：2025春•烟台期末） 6．（3分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 【答案】B 【解答】解：由题意得，底面长方形的长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， ∵要使长方体盒子的底面积为300cm2， ∴（50﹣2x）（30﹣2x）＝300，故选：B． （来源：2026•鼓楼区校级开学） 7．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 【答案】A 【解答】解：根据题意可得：，解得k＝﹣2．故选：A． （来源：2024秋•蓝山县期末） 8．（3分）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　） A．30 B．27 C．14 D．32 【答案】A 【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，CD∥AB，BC∥AB， ∴△BEF∽△AED， ∵=， ∴=， ∴=()2=， ∵△BEF的面积为4， ∴S△AED＝25， ∴S四边形ABFD＝S△AED﹣S△BEF＝21， ∵AB＝CD，=， ∴=， ∵AB∥CD， ∴△BEF∽△CDF， ∴=()2=()2=， ∴S△CDF＝9， ∴S平行四边形ABCD＝S四边形ABFD+S△CDF＝21+9＝30，故选：A． （来源：2026•聊城校级开学） 9．（3分）如果4是x和8的比例中项，那么x＝ ． 【答案】2 【解答】解： ∵4是x和8的比例中项， ∴42＝8x， ∴x＝2．故答案为2． （来源：2025春•黄浦区期末） 10．（3分）已知=，则= ． 【答案】 【解答】解：由题意，设x＝3k，y＝5k， ∴==．故答案为： （来源：2025•灵武市二模） 11．（3分）已知△ABC∽△DEF，面积比为1：4，AC＝2，则DF的长为 ． 【答案】4 【解答】解： ∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4， ∴（AC：DF）2＝1：4，解得AC：DF＝1：2， ∵AC＝2， ∴DF＝4．故答案为：4． （来源：2026•罗湖区校级开学） 12．（3分）a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 ． 【答案】2022 【解答】解： ∵a是方程x2﹣x+1＝0的一个根， ∴a2﹣a﹣1＝0， ∴a2﹣a＝1， ∴2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022．故答案为：2022． （来源：2024•深圳模拟） 13．（3分）如图，BD平分∠ABC，且AB＝2，BC＝3，则当BD＝ 时，△ABD∽△DBC． 【答案】 【解答】解： ∵△ABD∽△DBC， ∴=， ∵AB＝2，BC＝3， ∴BD2＝6， ∴BD=．故答案为：． （来源：2026•红塔区校级开学） 14．（3分）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，要想使四边形ABCD变成一个矩形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】∠ADC＝90° 【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ADC＝90°．注：答案不唯一，如：AC⊥BD． （来源：2024春•西安区校级月考） 15．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，请你添加一个条件，使菱形ABCD成为正方形．你添加的条件是 ． 【答案】AB⊥BC或AC＝BD 【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形， ∴当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形ABCD为正方形， ∴当AB⊥BC或AC＝BD时，菱形ABCD为正方形，故答案为：AB⊥BC或AC＝BD． （来源：2025•佳木斯一模） 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为2．正确的有 ． 【答案】①②③④ 【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，AD＝DC，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°， ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°， ∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°， ∴DG=GE，BG=GF， ∵G为BD的中点， ∴DG＝BG， ∴GE＝GF， ∴四边形GFCE是正方形，故①正确；连接GC， ∵四边形GFCE是矩形， ∴EF＝GC，在△ADG与△CDG中，， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴AG＝GC， ∴AG＝EF，故②正确； ∵∠EGD＝∠EDG＝45°， ∴GE＝ED， ∵四边形GFCE是矩形， ∴GF＝CE， ∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝4，即GE+GF的值为定值4，故③正确； ∵EF＝GC， ∴当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小，在Rt△BCD中，BD=CD=4， ∵S△BCD=BD⋅CG=BC⋅CD， ∴4CG=4×4， ∴CG=2， ∴线段EF的最小值为2，故④正确； ∴正确的有①②③④故答案为：①②③④． （来源：2026春•单县期末） 17．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0或x﹣3＝0x1＝1，x2＝3． （来源：2025•罗湖区模拟） 18．（6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上且DE∥BC，=． （1）求证：EF∥DC； （2）若AF＝3，FD＝6，DE=6，求BC的值． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵DE∥BC， ∴=， ∵=， ∴=，又∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACD， ∴∠AEF＝∠ACD， ∴EF∥DC； （2）解： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∵=， ∴=， ∴====， ∵DE=6， ∴BC=3DE=18． （来源：2026•固镇县一模） 19．（6分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交线段BA的延长线于点E．…任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ． 【答案】9+3 【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E， ∵CE∥AD， ∴=，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴=； （2）解：如图3， ∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°， ∴AC＝10， ∵AD平分∠BAC， ∴=，即=， ∴BD=BC＝3， ∴AD===3， ∴△ABD的周长＝3+6+3=9+3．故答案为：9+3． （来源：2024•朝阳区校级开学） 20．（6分）如图，等边△ABC的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，CE＝4，∠BAD＝∠E． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）求AD的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠ECA＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BAD＝∠E， ∴△ABD∽△ECA． （2）解： ∵等边△ABC的边长为2，CE＝4， ∴BA＝CA＝BC＝2， ∵△ABD∽△ECA， ∴===， ∴BD=CA=×2＝1， ∴ED＝BD+BC+CE＝1+2+4＝7， ∵∠BAD＝∠E，∠D＝∠D， ∴△ABD∽△EAD， ∴=， ∴AD2＝BD•ED＝1×7＝7， ∴AD=或AD=-（不符合题意，舍去）， ∴AD的长为． （来源：2026秋•西安校级月考） 21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，BD为对角线，点P在CD上，作PQ⊥BD，垂足为Q． （1）求证：△PQD∽△BCD； （2）连结BP，AQ，求证：BP=AQ． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝90°， ∵PQ⊥BD， ∴∠PQD＝90°， ∴∠C＝∠PQD，又 ∵∠PDQ＝∠BDC， ∴△PQD∽△BCD； （2）证明：由（1）得△PQD∽△BCD， ∴=， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝CD，∠ADQ＝∠BDC＝45°，∠BAD＝90°， ∴=，即=，又 ∵∠BDP＝∠ADQ＝45°， ∴△ADQ～△BDP， ∴=，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴BD==AD， ∴BP=AQ． （来源：2026•南安市一模） 22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝∠DEC＝90°， ∵∠DBC＝45°， ∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝45°， ∴BE＝DE， ∵BF⊥CD， ∴∠BFC＝90°， ∴∠C+∠FBC＝90°， ∵∠C+∠CDE＝90°， ∴∠FBC＝∠CDE， ∴△BEH≌△DEC（ASA）， ∴BH＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴AB＝BH； （2） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝45°，∠ABH＝∠BFC＝90°， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADB＝135°， ∵AB＝BH， ∴∠BAH＝∠BHA＝45°， ∴∠AHG＝180°﹣∠BHA＝135°， ∴∠BDG＝∠AHG， ∵∠G＝∠G， ∴△GDB∽△GHA， ∴=， ∴AH•BG＝AG•BD． （来源：2026•静安区校级模拟） 23．（8分）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？（2）在图（2）中，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵=，=， ∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似； （2） ∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． （来源：2024秋•玄武区校级月考） 24．（8分）如图1，半径为R的⊙O内接一个正十边形，AB是其中一条边． （1）用R和含18°的三角函数的式子表示边长AB． （2）如图2，作∠ABO的平分线与半径OA交于点C，试猜想（1）中18°的三角函数和黄金比（Φ=）有怎样的关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）过点O作AB的垂线，垂足为M， ∵OA＝OB， ∴∠AOM=∠AOB，AM＝MB． ∵AB是⊙O内接正十边形的一边， ∴∠AOB==36°， ∴∠AOM＝18°．在Rt△AOM中，sin∠AOM=， ∴AM＝Rsin18°， ∴AB＝2AM＝2Rsin18°． （2）sin18°=． ∵BC平分∠OBA， ∴∠ABC=∠ABO． ∵OA＝OB，∠AOB＝36°， ∴∠OAB＝∠OBA＝72°， ∴∠ABC＝36°， ∴∠ABC＝∠AOB，又 ∵∠CAB＝∠BAO， ∴△ABC∽△AOB． ∴=．又 ∵∠O＝∠OBC＝36°，∠BAC＝∠BCA＝72°， ∴OC＝BC，BC＝AB， ∴AC＝R﹣AB， ∴=，解得AB=R（舍负），则R=2Rsin18°， ∴sin18°=，即sin18°=． （来源：2024•鄞州区校级一模） 25．（10分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵矩形花圃，设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，篱笆长80m，围成的矩形面积为Sm2， ∴AB+BC+CD＝80m，AB＝CD＝xm，BC＝ym， ∴x+y+x＝80， ∴y＝80﹣2x， ∵墙长42m， ∴0＜80﹣2x≤42，解得：19≤x＜40， ∴y＝80﹣2x（19≤x＜40）；又 ∵矩形面积S＝BC•AB＝y•x＝（80﹣2x）x＝﹣2x2+80x； （2）围成的矩形花圃面积能为750m2；理由如下：当S＝750时，得：﹣2x2+80x＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，此时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×375＝1600﹣1500＝100＞0， ∴一元二次方程x2﹣40x+375＝0有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为750m2； ∴x=，解得：x1＝25，x2＝15， ∵19≤x＜40， ∴x＝25； （3） ∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且﹣2＜0， ∴S有最大值，又 ∵19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取得最大值，此时S＝800，即当x＝20时，S的最大值为800． （来源：2025秋•湄潭县期末） 26．（10分）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF． （1）如图1，求证：△ADE≌△CDF； （2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°． ∵DE＝DF，∠EDF＝90°． ∴∠ADC＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P． ∵∠ADP＝90°， ∴∠DAP+∠DPA＝90°． ∵△ADE≌△CDF， ∴∠DAE＝∠DCF． ∵∠DPA＝∠GPC， ∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°． ∴∠PGN＝90°， ∵BM⊥AG，BN⊥GN， ∴四边形BMGN是矩形， ∴∠MBN＝90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°． ∴∠ABM＝∠CBN．又 ∵∠AMB＝∠BNC＝90°， ∴△AMB≌△CNB． ∴MB＝NB． ∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，此时△AMB≌△AHD． ∴BM＝AH． ∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4， ∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2． ∴BM最小值＝AH最小值=2．由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形， ∴BG最小值=BM=2． （来源：2026•金川区校级模拟） 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（0，a），（b，0），（a，c），其中a，b，c满足关系式（a+3）2++|c+5|＝0． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段AB的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵（a+3）2++|c+5|＝0， ∴a+3＝0，b+4＝0，c+5＝0， ∴a＝﹣3，b＝﹣4，c＝﹣5； （2）存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等，理由如下：如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则CE∥x轴，由（1）可知，a＝﹣3，b＝﹣4，c＝﹣5， ∴A（0，﹣3），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣5）， ∴OA＝3，OB＝4，CE＝3，OE＝5， ∴AE＝OE﹣OA＝5﹣3＝2， ∴S△ABC＝S梯形OBCE﹣S△ACE﹣S△AOB=×（3+4）×5-×2×3-×3×4=， ∵△AOP的面积＝△ABC的面积， ∴×3×|m|=，解得：m＝±， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为（-，1）； （3）分两种情况：①∠ABP＝90°，AB＝PB时，如图2，过点P作PF⊥x轴于点F，则∠PFB＝90°＝∠BOA， ∴∠BPF+∠PBF＝90°， ∵∠ABO+∠PBF＝90°， ∴∠BPF＝∠ABO，又 ∵BP＝AB， ∴△BFP≌△AOB（AAS）， ∴BF＝AO＝3，PF＝BO＝4，当点P在第二象限时，OF＝OB﹣BF＝4﹣3＝1， ∴点P的坐标为（﹣1，4）；当点P在第三象限时，OF＝OB+BF＝4+3＝7， ∴点P的坐标为（﹣7，﹣4）；②∠BAP＝90°，AB＝PA时，如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°＝∠BOA，同①得：△PGA≌△AOB（AAS）， ∴PG＝AO＝3，AG＝BO＝4，当点P在第一象限时，OG＝AG﹣OA＝4﹣3＝1， ∴点P的坐标为（3，1）；当点P在第三象限时，OG＝AG+OA＝4+3＝7， ∴点P的坐标为（﹣3，﹣7）；综上所述，此题中的“小K点”的坐标为（﹣1，4）或（﹣7，﹣4）或（3，1）或（﹣3，﹣7）． （来源：2026春•黄石港区校级月考） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 学校：__________　　班级：__________　　姓名：__________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共27小题，满分130分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在左侧密封线内。 3．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，将答案字母填在「选择题答题栏」对应题号下；如需改动，擦净后重填。 4．回答第Ⅱ卷时，用黑色签字笔将答案写在题目相应位置；作图题用2B铅笔作答，并保留作图痕迹。 5．考试结束后，将本试卷一并交回。 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 选择题答题栏 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）x=是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 3．（3分）（2026•大新县二模）·在函数y=2x+1中，自变量x的取值范围是（　　） 4．（3分）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形ABCD的周长不变 B．四边形ABCD的面积不变 C．AD＝AB D．AB＝CD 5．（3分）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a：b等于（　　） A．：1 B．1： C．1： D．：1 6．（3分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 7．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 8．（3分）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　） A．30 B．27 C．14 D．32 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）如果4是x和8的比例中项，那么x＝　　　　 ． 10．（3分）已知=，则= 　　　　 ． 11．（3分）已知△ABC∽△DEF，面积比为1：4，AC＝2，则DF的长为　　　　 ． 12．（3分）a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 　　　　 ． 13．（3分）如图，BD平分∠ABC，且AB＝2，BC＝3，则当BD＝　　　　 时，△ABD∽△DBC． 14．（3分）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，要想使四边形ABCD变成一个矩形，只需添加的一个条件是 　　　　 ． 15．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，请你添加一个条件，使菱形ABCD成为正方形．你添加的条件是 　　　　 ． 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为2．正确的有　　　　 ． 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 18．（6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上且DE∥BC，=． （1）求证：EF∥DC； （2）若AF＝3，FD＝6，DE=6，求BC的值． 19．（6分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交线段BA的延长线于点E．…任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 　　　　 ． 20．（6分）如图，等边△ABC的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，CE＝4，∠BAD＝∠E． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）求AD的长． 21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，BD为对角线，点P在CD上，作PQ⊥BD，垂足为Q． （1）求证：△PQD∽△BCD； （2）连结BP，AQ，求证：BP=AQ． 22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 23．（8分）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？（2）在图（2）中，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 24．（8分）如图1，半径为R的⊙O内接一个正十边形，AB是其中一条边． （1）用R和含18°的三角函数的式子表示边长AB． （2）如图2，作∠ABO的平分线与半径OA交于点C，试猜想（1）中18°的三角函数和黄金比（Φ=）有怎样的关系，并说明理由． 25．（10分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 26．（10分）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF． （1）如图1，求证：△ADE≌△CDF； （2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值． 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（0，a），（b，0），（a，c），其中a，b，c满足关系式（a+3）2++|c+5|＝0． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段AB的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 考试时间：120分钟　满分：130分 答 题 卷 （选择题用2B铅笔填涂，其余用黑色签字笔作答） 学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿＿　　考场号：＿＿＿＿＿　座位号：＿＿＿＿＿ 注意事项： 1. 答题前，考生先填写自己的学校、姓名、考场号、座位号、准考证号。准考证号必须用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂，如需修改，请用橡皮擦干净；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔作答。 3. 请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠、弄皱、弄破。 准考证号填涂区 (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (0) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (2) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (3) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (5) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (6) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (7) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (8) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) (9) 正确填涂： 缺考： 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1． A B C D 2． A B C D 3． A B C D 4． A B C D 5． A B C D 6． A B C D 7． A B C D 8． A B C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 题号 答案 题号 答案 题号 答案 9．（3分） 10．（3分） 11．（3分） 12．（3分） 13．（3分） 14．（3分） 15．（3分） 16．（3分） 三、解答题（本大题共11小题，共82分） 17．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 20．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22．（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 26．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 27．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 北师大版2026-2027学年数学九上_期中复习卷1 考查范围：第一章 特殊平行四边形、第二章 一元二次方程、第三章 图形的相似 参考答案与解析 1．（3分）下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不能判定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，故A不符合题意；根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形，故B不符合题意；一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形，故C符合题意；根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形，故D不符合题意；故选：C． （来源：2024秋•三明期末） 2．（3分）x=是下列哪个一元二次方程的根（　　） A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝0 【答案】A 【解答】解：A．方程2x2+3x+1＝0的解为：x=，故符合题意；B．方程2x2﹣3x+1＝0的解为：x=，故不符合题意；C．方程2x2+3x﹣1＝0的解为：x==，故不符合题意；D．方程2x2﹣3x﹣1＝0的解为：x=，故不符合题意．故选：A． （来源：2024春•仓山区校级期末） 3．（3分）（2026•大新县二模）·在函数y=2x+1中，自变量x的取值范围是（　　） 【答案】解：根据题意得：x+1＞0， 解得x＞﹣1， 故选：C． （来源：2026•大新县二模） 4．（3分）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A．四边形ABCD的周长不变 B．四边形ABCD的面积不变 C．AD＝AB D．AB＝CD 【答案】D 【解答】解：由题意可知，AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，故D符合题意，随着一张纸条在转动过程中，AD不一定等于AB，四边形ABCD周长、面积都会改变，故ABC不符合题意，故选：D． （来源：2025•大方县模拟） 5．（3分）如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD与矩形ABCD相似，则a：b等于（　　） A．：1 B．1： C．1： D．：1 【答案】A 【解答】解： ∵b：=a：b， ∴a2＝2b2， ∴a=b，则a：b=：1．故选：A． （来源：2025春•烟台期末） 6．（3分）如图，在一张长宽分别为50cm和30cm的长方形纸板上剪去四个边长为xcm的小正方形，并用它做成一个无盖的小长方体盒子，若要使长方体盒子的底面积为300cm2，求x的值，根据题意，可列得的方程为（　　） A．（50﹣x）（30﹣x）＝300 B．（50﹣2x）（30﹣2x）＝300 C．（50﹣2x）（30﹣x）＝300 D．1500﹣4x2＝300 【答案】B 【解答】解：由题意得，底面长方形的长为（50﹣2x）cm，宽为（30﹣2x）cm， ∵要使长方体盒子的底面积为300cm2， ∴（50﹣2x）（30﹣2x）＝300，故选：B． （来源：2026•鼓楼区校级开学） 7．（3分）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4＝0的常数项为0，则k的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．4或﹣2 【答案】A 【解答】解：根据题意可得：，解得k＝﹣2．故选：A． （来源：2024秋•蓝山县期末） 8．（3分）如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（　　） A．30 B．27 C．14 D．32 【答案】A 【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，CD∥AB，BC∥AB， ∴△BEF∽△AED， ∵=， ∴=， ∴=()2=， ∵△BEF的面积为4， ∴S△AED＝25， ∴S四边形ABFD＝S△AED﹣S△BEF＝21， ∵AB＝CD，=， ∴=， ∵AB∥CD， ∴△BEF∽△CDF， ∴=()2=()2=， ∴S△CDF＝9， ∴S平行四边形ABCD＝S四边形ABFD+S△CDF＝21+9＝30，故选：A． （来源：2026•聊城校级开学） 9．（3分）如果4是x和8的比例中项，那么x＝ ． 【答案】2 【解答】解： ∵4是x和8的比例中项， ∴42＝8x， ∴x＝2．故答案为2． （来源：2025春•黄浦区期末） 10．（3分）已知=，则= ． 【答案】 【解答】解：由题意，设x＝3k，y＝5k， ∴==．故答案为： （来源：2025•灵武市二模） 11．（3分）已知△ABC∽△DEF，面积比为1：4，AC＝2，则DF的长为 ． 【答案】4 【解答】解： ∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：4， ∴（AC：DF）2＝1：4，解得AC：DF＝1：2， ∵AC＝2， ∴DF＝4．故答案为：4． （来源：2026•罗湖区校级开学） 12．（3分）a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 ． 【答案】2022 【解答】解： ∵a是方程x2﹣x+1＝0的一个根， ∴a2﹣a﹣1＝0， ∴a2﹣a＝1， ∴2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022．故答案为：2022． （来源：2024•深圳模拟） 13．（3分）如图，BD平分∠ABC，且AB＝2，BC＝3，则当BD＝ 时，△ABD∽△DBC． 【答案】 【解答】解： ∵△ABD∽△DBC， ∴=， ∵AB＝2，BC＝3， ∴BD2＝6， ∴BD=．故答案为：． （来源：2026•红塔区校级开学） 14．（3分）如图，平行四边形ABCD对角线AC，BD交于点O，要想使四边形ABCD变成一个矩形，只需添加的一个条件是 ． 【答案】∠ADC＝90° 【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形，且∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ADC＝90°．注：答案不唯一，如：AC⊥BD． （来源：2024春•西安区校级月考） 15．（3分）如图，已知四边形ABCD是菱形，AC、BD交于点O，请你添加一个条件，使菱形ABCD成为正方形．你添加的条件是 ． 【答案】AB⊥BC或AC＝BD 【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形， ∴当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形ABCD为正方形， ∴当AB⊥BC或AC＝BD时，菱形ABCD为正方形，故答案为：AB⊥BC或AC＝BD． （来源：2025•佳木斯一模） 16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，G是对角线BD上一动点，GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F，连接EF，给出四种情况：①若G为BD的中点，则四边形CEGF是正方形；②若G为BD上任意一点，则AG＝EF；③点G在运动过程中，GE+GF的值为定值4；④点G在运动过程中，线段EF的最小值为2．正确的有 ． 【答案】①②③④ 【解答】解： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠C＝90°，AD＝DC，∠CBG＝∠CDG＝∠ADG＝45°， ∵GE⊥CD于点E，GF⊥BC于点F， ∴∠GEC＝∠GED＝∠GFC＝∠GFB＝90°， ∴四边形GFCE是矩形，∠EGD＝∠EDG＝45°，∠FGB＝∠CBG＝45°， ∴DG=GE，BG=GF， ∵G为BD的中点， ∴DG＝BG， ∴GE＝GF， ∴四边形GFCE是正方形，故①正确；连接GC， ∵四边形GFCE是矩形， ∴EF＝GC，在△ADG与△CDG中，， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴AG＝GC， ∴AG＝EF，故②正确； ∵∠EGD＝∠EDG＝45°， ∴GE＝ED， ∵四边形GFCE是矩形， ∴GF＝CE， ∴GE+GF＝ED+CE＝CD＝4，即GE+GF的值为定值4，故③正确； ∵EF＝GC， ∴当CG最小时，EF最小， ∴当CG⊥BD时，CG最小，在Rt△BCD中，BD=CD=4， ∵S△BCD=BD⋅CG=BC⋅CD， ∴4CG=4×4， ∴CG=2， ∴线段EF的最小值为2，故④正确； ∴正确的有①②③④故答案为：①②③④． （来源：2026春•单县期末） 17．（6分）解方程：x2﹣4x+3＝0． 【答案】见解析 【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0或x﹣3＝0x1＝1，x2＝3． （来源：2025•罗湖区模拟） 18．（6分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上且DE∥BC，=． （1）求证：EF∥DC； （2）若AF＝3，FD＝6，DE=6，求BC的值． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵DE∥BC， ∴=， ∵=， ∴=，又∠A＝∠A， ∴△AEF∽△ACD， ∴∠AEF＝∠ACD， ∴EF∥DC； （2）解： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∵=， ∴=， ∴====， ∵DE=6， ∴BC=3DE=18． （来源：2026•固镇县一模） 19．（6分）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则=．下面是这个定理的部分证明过程．证明：如图2，过点C作CE∥DA．交线段BA的延长线于点E．…任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ． 【答案】9+3 【解答】（1）证明：如图2，过C作CE∥DA．交BA的延长线于E， ∵CE∥AD， ∴=，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴=； （2）解：如图3， ∵AB＝6，BC＝8，∠ABC＝90°， ∴AC＝10， ∵AD平分∠BAC， ∴=，即=， ∴BD=BC＝3， ∴AD===3， ∴△ABD的周长＝3+6+3=9+3．故答案为：9+3． （来源：2024•朝阳区校级开学） 20．（6分）如图，等边△ABC的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，CE＝4，∠BAD＝∠E． （1）求证：△ABD∽△ECA； （2）求AD的长． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°， ∴∠ABD＝∠ECA＝180°﹣60°＝120°， ∵∠BAD＝∠E， ∴△ABD∽△ECA． （2）解： ∵等边△ABC的边长为2，CE＝4， ∴BA＝CA＝BC＝2， ∵△ABD∽△ECA， ∴===， ∴BD=CA=×2＝1， ∴ED＝BD+BC+CE＝1+2+4＝7， ∵∠BAD＝∠E，∠D＝∠D， ∴△ABD∽△EAD， ∴=， ∴AD2＝BD•ED＝1×7＝7， ∴AD=或AD=-（不符合题意，舍去）， ∴AD的长为． （来源：2026秋•西安校级月考） 21．（6分）如图，四边形ABCD为正方形，BD为对角线，点P在CD上，作PQ⊥BD，垂足为Q． （1）求证：△PQD∽△BCD； （2）连结BP，AQ，求证：BP=AQ． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝90°， ∵PQ⊥BD， ∴∠PQD＝90°， ∴∠C＝∠PQD，又 ∵∠PDQ＝∠BDC， ∴△PQD∽△BCD； （2）证明：由（1）得△PQD∽△BCD， ∴=， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝CD，∠ADQ＝∠BDC＝45°，∠BAD＝90°， ∴=，即=，又 ∵∠BDP＝∠ADQ＝45°， ∴△ADQ～△BDP， ∴=，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD， ∴BD==AD， ∴BP=AQ． （来源：2026•南安市一模） 22．（6分）如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 【答案】见解析 【解答】证明： （1） ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝∠DEC＝90°， ∵∠DBC＝45°， ∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝45°， ∴BE＝DE， ∵BF⊥CD， ∴∠BFC＝90°， ∴∠C+∠FBC＝90°， ∵∠C+∠CDE＝90°， ∴∠FBC＝∠CDE， ∴△BEH≌△DEC（ASA）， ∴BH＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴AB＝BH； （2） ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝45°，∠ABH＝∠BFC＝90°， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADB＝135°， ∵AB＝BH， ∴∠BAH＝∠BHA＝45°， ∴∠AHG＝180°﹣∠BHA＝135°， ∴∠BDG＝∠AHG， ∵∠G＝∠G， ∴△GDB∽△GHA， ∴=， ∴AH•BG＝AG•BD． （来源：2026•静安区校级模拟） 23．（8分）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？（2）在图（2）中，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵=，=， ∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似； （2） ∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． （来源：2024秋•玄武区校级月考） 24．（8分）如图1，半径为R的⊙O内接一个正十边形，AB是其中一条边． （1）用R和含18°的三角函数的式子表示边长AB． （2）如图2，作∠ABO的平分线与半径OA交于点C，试猜想（1）中18°的三角函数和黄金比（Φ=）有怎样的关系，并说明理由． 【答案】见解析 【解答】解： （1）过点O作AB的垂线，垂足为M， ∵OA＝OB， ∴∠AOM=∠AOB，AM＝MB． ∵AB是⊙O内接正十边形的一边， ∴∠AOB==36°， ∴∠AOM＝18°．在Rt△AOM中，sin∠AOM=， ∴AM＝Rsin18°， ∴AB＝2AM＝2Rsin18°． （2）sin18°=． ∵BC平分∠OBA， ∴∠ABC=∠ABO． ∵OA＝OB，∠AOB＝36°， ∴∠OAB＝∠OBA＝72°， ∴∠ABC＝36°， ∴∠ABC＝∠AOB，又 ∵∠CAB＝∠BAO， ∴△ABC∽△AOB． ∴=．又 ∵∠O＝∠OBC＝36°，∠BAC＝∠BCA＝72°， ∴OC＝BC，BC＝AB， ∴AC＝R﹣AB， ∴=，解得AB=R（舍负），则R=2Rsin18°， ∴sin18°=，即sin18°=． （来源：2024•鄞州区校级一模） 25．（10分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，围成的矩形面积为Sm2． （1）求y与x，S与x的关系式． （2）围成的矩形花圃面积能否为750m2，若能，求出x的值． （3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵矩形花圃，设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC为ym，篱笆长80m，围成的矩形面积为Sm2， ∴AB+BC+CD＝80m，AB＝CD＝xm，BC＝ym， ∴x+y+x＝80， ∴y＝80﹣2x， ∵墙长42m， ∴0＜80﹣2x≤42，解得：19≤x＜40， ∴y＝80﹣2x（19≤x＜40）；又 ∵矩形面积S＝BC•AB＝y•x＝（80﹣2x）x＝﹣2x2+80x； （2）围成的矩形花圃面积能为750m2；理由如下：当S＝750时，得：﹣2x2+80x＝750，整理得：x2﹣40x+375＝0，此时，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣40）2﹣4×375＝1600﹣1500＝100＞0， ∴一元二次方程x2﹣40x+375＝0有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为750m2； ∴x=，解得：x1＝25，x2＝15， ∵19≤x＜40， ∴x＝25； （3） ∵S＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，且﹣2＜0， ∴S有最大值，又 ∵19≤x＜40， ∴当x＝20时，S取得最大值，此时S＝800，即当x＝20时，S的最大值为800． （来源：2025秋•湄潭县期末） 26．（10分）已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF． （1）如图1，求证：△ADE≌△CDF； （2）直线AE与CF相交于点G．①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形；②如图3，连接BG，若AB＝4，DE＝2，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值． 【答案】见解析 【解答】（1）证明： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°． ∵DE＝DF，∠EDF＝90°． ∴∠ADC＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）①证明：如图2中，设AG与CD相交于点P． ∵∠ADP＝90°， ∴∠DAP+∠DPA＝90°． ∵△ADE≌△CDF， ∴∠DAE＝∠DCF． ∵∠DPA＝∠GPC， ∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°． ∴∠PGN＝90°， ∵BM⊥AG，BN⊥GN， ∴四边形BMGN是矩形， ∴∠MBN＝90°． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°． ∴∠ABM＝∠CBN．又 ∵∠AMB＝∠BNC＝90°， ∴△AMB≌△CNB． ∴MB＝NB． ∴矩形BMGN是正方形；②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M，此时△AMB≌△AHD． ∴BM＝AH． ∵AH2＝AD2﹣DH2，AD＝4， ∴DH最大时，AH最小，DH最大值＝DE＝2． ∴BM最小值＝AH最小值=2．由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形， ∴BG最小值=BM=2． （来源：2026•金川区校级模拟） 27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为（0，a），（b，0），（a，c），其中a，b，c满足关系式（a+3）2++|c+5|＝0． （1）求a，b，c的值； （2）如果在第二象限内有一点P（m，1），是否存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如果在平面直角坐标系中存在一个点P，使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，则称点P为线段AB的“小K点”，请直接写出此题中的“小K点”的坐标． 【答案】见解析 【解答】解： （1） ∵（a+3）2++|c+5|＝0， ∴a+3＝0，b+4＝0，c+5＝0， ∴a＝﹣3，b＝﹣4，c＝﹣5； （2）存在点P，使△AOP的面积与△ABC的面积相等，理由如下：如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，则CE∥x轴，由（1）可知，a＝﹣3，b＝﹣4，c＝﹣5， ∴A（0，﹣3），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣5）， ∴OA＝3，OB＝4，CE＝3，OE＝5， ∴AE＝OE﹣OA＝5﹣3＝2， ∴S△ABC＝S梯形OBCE﹣S△ACE﹣S△AOB=×（3+4）×5-×2×3-×3×4=， ∵△AOP的面积＝△ABC的面积， ∴×3×|m|=，解得：m＝±， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为（-，1）； （3）分两种情况：①∠ABP＝90°，AB＝PB时，如图2，过点P作PF⊥x轴于点F，则∠PFB＝90°＝∠BOA， ∴∠BPF+∠PBF＝90°， ∵∠ABO+∠PBF＝90°， ∴∠BPF＝∠ABO，又 ∵BP＝AB， ∴△BFP≌△AOB（AAS）， ∴BF＝AO＝3，PF＝BO＝4，当点P在第二象限时，OF＝OB﹣BF＝4﹣3＝1， ∴点P的坐标为（﹣1，4）；当点P在第三象限时，OF＝OB+BF＝4+3＝7， ∴点P的坐标为（﹣7，﹣4）；②∠BAP＝90°，AB＝PA时，如图3，过点P作PG⊥x轴于点G，则∠PGA＝90°＝∠BOA，同①得：△PGA≌△AOB（AAS）， ∴PG＝AO＝3，AG＝BO＝4，当点P在第一象限时，OG＝AG﹣OA＝4﹣3＝1， ∴点P的坐标为（3，1）；当点P在第三象限时，OG＝AG+OA＝4+3＝7， ∴点P的坐标为（﹣3，﹣7）；综上所述，此题中的“小K点”的坐标为（﹣1，4）或（﹣7，﹣4）或（3，1）或（﹣3，﹣7）． （来源：2026春•黄石港区校级月考） 第 1 页 / 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $