精品解析：吉林省吉林市亚桥桃源路中学校2026-2027学年度八年级上学期期中考试数学试卷

八年级数学试卷 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 3. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 4. 为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ） A. 4处 B. 3处 C. 2处 D. 1处 5. 如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 8. 如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 9. 已知点与点关于轴对称，则的值为__________． 10. 如图所示，，为平分线上一点，交于点，于点，若，则的长为__________． 11. 用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中 . 13. 观察与思考： ；① ；② （1）算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 （2）计算： 14. 如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 15. 在中，，，是的角平分线，求的度数． 16. 如图，在Rt中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接与交于点．求证：垂直平分． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）直接写出点A，B，C关于x轴的对称点，，的坐标； （3）在x轴上找到一点P，使的和最小．（标出点P位置，直接写出点P的坐标） 18. 如图，已知点、在的边上，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 19. 如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，过点，且，交于点． （1）求的度数． （2）求证：是等边三角形． 20. 为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器、标杆、皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得． 观测者从点沿着南偏东的方向走到点，此时恰好测得． ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点，，在一条直线上，且； ②测得，；③在的延长线上取点，使得； ④测得的长 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段__________的长度； （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽； （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明：如果不可行，请说明理由． 21. 解答下列问题： （1）探索发现： 如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系__________． （2）阅读分析： 小明遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．并说明理由． （3）类比探究： 如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且， ①全等的两个三角形为__________． ②若，的面积为，直接写出的面积：_________． 22. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． 【小试牛刀】 （1）观察图1，其中两个相同的直角三角形边，在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，验证勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方即． 【知识运用】 （2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为__________千米（直接写答案）． （3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，直接写出的长． 【知识迁移】 （4）借助上面的思考过程与几何模型，请直接写出代数式的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A 、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确． 2. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 3. 如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（ ） A. 等角对等边 B. 等腰三角形三线合一的性质 C. 两点之间线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， ， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质． 4. 为进一步美化校园，我校计划在校园绿化区增设3条绿化带，如图所示，绿化带，绿化带交绿化带于，交绿化带于．若要建一喷灌处到三条绿化带的距离相等，则可供选择的喷灌处修建点有（ ） A. 4处 B. 3处 C. 2处 D. 1处 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的交点到角边的距离相等，两同旁内角平分线的交点满足条件；这样的点有2个，可得可供选择的地址有2个． 【详解】解：∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∵和的平分线的交点到、、距离相等， ∴这两个角的平分线的交点满足条件； ∴满足这条件的点有2个； 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，小心漏解． 5. 如图，在中，以点为圆心，以小于线段长的一半为半径画弧分别交边于点，在线段上取一点（点不与点重合），以点为圆心以线段长为半径画弧交线段于点，再以点为圆心，以点之间的距离为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，平行线的判定和性质，根据作图得到，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于D选项，∵根据作图，可知， ∴， ∴．故D选项正确． 对于A选项，得不出，故A选项错误； 对于B选项，只有当F为中点时，才成立，故B选项错误； 对于C选项，点不与点重合，没有条件证明，故C选项错误． 6. 如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（ ） A. 4或 B. 6 C. 或1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，， 即， 解得， 当时，，， 即，， 解得， 故， 解得， 故的值为或， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，一块三角形模具不慎被打碎为三块．若只带其中一块去商店配一块与原来一样的三角形模具，应带________（填序号①②③）． 【答案】① 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案． 【详解】解：由图形可知，只带①的一块碎片到商店去合适，①有完整的两角与夹边，由“”可以作出与原三角形全等的三角形； ②没有完整的边或角，③只有一个完整的角，由全等三角形的判定方法，②和③都不可以作出与原三角形全等的三角形． 8. 如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【答案】27 【解析】 【分析】连接，结合等边三角形的性质、角平分线的定义以及垂直平分线的性质证明为等边三角形，易得，进而可得，可证明，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的平分线交于点O，和的垂直平分线交于E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 9. 已知点与点关于轴对称，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，即，， ∴， ∴． 10. 如图所示，，为平分线上一点，交于点，于点，若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ， 交于点，， ， ． 11. 用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”． 20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：（其中表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形，有两种剖分方式（即：），请你用上面的公式计算______． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现．根据，可得出，由可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为14． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中 . 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查单项式乘多项式，解题关键在于掌握运算法则． 首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 13. 观察与思考： ；① ；② （1）算式①的运算依据是________，算式②的运算依据是________； A．同底数幂的乘法 B．积的乘方 C．幂的乘方 （2）计算： 【答案】（1）A；C （2）9 【解析】 【分析】本题主要考查了积乘方逆用，同底数幂乘法，幂的乘方运算及其逆用，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行判断即可； （2）逆用积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：算式①的运算依据是A同底数幂乘法，算式②的运算依据是C幂的乘方． 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，首先根据角平分线的定义得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证． 【详解】略 15. 在中，，，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】根据角的数量关系结合三角形的内角和定理求出的度数，角平分线求出的度数，三角形的内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴，， ∴. 16. 如图，在Rt中，，，的垂直平分线交于点，垂足为点，连接与交于点．求证：垂直平分． 【答案】证明：∵是的垂直平分线， ∴为中点， ∴． ∵在中，，， ∴， ∵为中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，即平分， ∵是等边三角形，平分， ∴，且平分， 即垂直平分． 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到为中点，再证明是等边三角形，得到，再得到，即平分，进一步得出，且平分，可得结论． 【详解】略 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在格点上，点A的坐标为． （1）画出关于y轴对称的； （2）直接写出点A，B，C关于x轴的对称点，，的坐标； （3）在x轴上找到一点P，使的和最小．（标出点P位置，直接写出点P的坐标） 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． （3）图见解析，点P的坐标为 【解析】 【分析】本题考查画轴对称图形，求三角形面积以及最短路径问题，能够找到P点是解题关键． （1）找到相对应的点，然后依次连接即可； （2）直接利用关于x轴的对称的点的特征直接写出坐标即可； （3）找到点，连接与x轴的交点即为P点，再利用等面积法即可求出P点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 【小问3详解】 如图，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求． 设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点P的坐标为． 18. 如图，已知点、在的边上，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：如图，过点作于， ，， ， ，， ， ， 即； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）过点作于，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，相加后即可得到正确的结论； （2）根据等边三角形的判定得到是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 是等边三角形， ， ， ， 又， ， ． 19. 如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，过点，且，交于点． （1）求的度数． （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得，再结合点是的中点可推出，最后由垂直的定义及可得答案； （2）根据等边三角形的性质及中点的条件得，，继而得到，，证明得，即可得证． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是； 【小问2详解】 略． 20. 为了测量一条东西走向两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器、标杆、皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观察者从点向东走到点，此时恰好测得． 观测者从点沿着南偏东的方向走到点，此时恰好测得． ①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点，，在一条直线上，且； ②测得，；③在的延长线上取点，使得； ④测得的长 测量示意图 （1）第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段__________的长度； （2）第二小组测得米，请你帮他们求出河宽； （3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明：如果不可行，请说明理由． 【答案】（1） （2）米 （3）第三小组的方案可行， 证明：∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第三小组的方案可行． 【解析】 【分析】（1）证明为等腰直角三角形得出，从而即可得出结果； （2）由三角形外角的定义与性质求出，从而可得，即可得出结果； （3）先证明，从而可得，由全等三角形的性质可得，再结合，从而即可得证． 【小问1详解】 解：∵恰好在的正北方向， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴第一小组认为要知道河宽，最简单的方法是测量线段的长度； 【小问2详解】 解：如图， 由题意可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴米； 【小问3详解】 略． 21. 解答下列问题： （1）探索发现： 如图1，在中，点在边上，与的面积分别记为与，试判断与的数量关系__________． （2）阅读分析： 小明遇到这样一个问题：如图2，在中，，，射线交于点，点、在上，且，试判断、、三条线段之间的数量关系．并说明理由． （3）类比探究： 如图3，在四边形中，，与交于点，点、在射线上，且， ①全等的两个三角形为__________． ②若，的面积为，直接写出的面积：_________． 【答案】（1） （2）解：． 理由：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）结论：，利用等高模型即可解决问题； （2）证明，即可解决问题， （3）①由，，，根据证明，即可解决问题， ②利用全等三角形的性质以及等高模型即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵与的面积分别记为与， ∴，， ∴， 即与的数量关系为； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：①∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴全等的两个三角形为； ②∵，的面积为， ∴，， ∴， 由①知：， ∴， ∴， ∴， 即的面积为． 22. 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明从未停止过探索，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． 【小试牛刀】 （1）观察图1，其中两个相同的直角三角形边，在一条直线上，请利用几何图形之间的面积关系，验证勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方即． 【知识运用】 （2）如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距24千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为__________千米（直接写答案）． （3）在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，直接写出的长． 【知识迁移】 （4）借助上面的思考过程与几何模型，请直接写出代数式的最小值． 【答案】（1） 证明：， 又∵， ， ， ； （2） （3）的长为千米 （4） 【解析】 【分析】（1）利用等面积建立等式即可得解； （2）连接，作于点，可得的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得 ，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称-最短路线的求法即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：两个村庄的距离为千米，理由如下： 如图2，两点（看作直线上的两点）相距千米，千米，千米， ，，连接，过点作于点， ， ∴四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 在直角三角形中，由勾股定理得： （千米）， 即两个村庄之间的距离为千米， 【小问3详解】 解：如图3，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求，连接， ， ， 在中，由勾股定理得： 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米， 即的长为千米； 【小问4详解】 解：如图4，设，则，作点关于的对称点，连接，过点作于点， 则， ， ∴要求代数式的最小值，则可求最小值， 由轴对称可得：， ，当点三点共线时取等，此时最小值为， 由勾股定理可得， ∴代数式的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $