第四单元《圆》「易错题专项讲练」导图知识卡片+易错点拨+17个易错考点讲练+真题汇编拔尖练 共54题-2026-2027学年人教版数学新教材六年级上册培优讲练
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精品
内容正文：
null2026一2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练
2026-2027学年人教版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」
第四单元《圆》「易错题专项讲练」
(思维导图+知识梳理+17个高频易错考点讲练+实战演练共54题●原卷版)
讲义简介内容梳理
同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习易错讲练培优复习使用，全套
内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含：
1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标；
2.易错点拨：强化巩固易错，点细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点：
3.易错考点讲练：优选高频期中期末考察，点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴
题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍
4.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学
生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。
友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人
教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！
一目录指引内容知晓
【导图指引易错点拨】…
3
【知识梳理易错指引】..
3
一、圆的认识与画法：易错点·
.3
易错点1：半径与直径的概念混淆.·
3
易错点2：忽略“同圆或等圆”这一前提..·..·
4
易错点3：画圆时操作不规范……
易错点4：用半径还是直径代入公式不分清..
二、圆的周长：易错点..
易错点5：圆周率π与3.14混为一谈....·
易错点6：周长公式中d与r用错……
4
易错点7：半圆的周长卡圆周长的一半.
4
易错点8：滚轮、转圈类问题路程与圈数搞反……·
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三、圆的面积：易错点.…
易错点9：把面积与周长公式记混....
5
易错点10：漏平方或先算几后忘记乘2.…
易错点11：面积公式推导中“化曲为直”理解不到位…
①
易错点12：环形面积外半径与内半径弄反或只用一个…
5
四、扇形与圆心角：易错点5
易错点13：圆心角判断错误....
5
易错点14：扇形大小与什么有关判断不清...
6
五、圆的对称性与图案设计：易错点...
6
易错点15：对称轴条数判断错误.·
6
易错点16：组合图形对称轴与基本图形混淆..
6
六、组合图形与拓展应用：易错点……6
易错点17：阴影部分面积只会套公式不会割补………
6
易错点18：周长含线段部分时漏加或错用几..........
6
易错点19：用同样长绳子围图形，面积比较判断错........
6
易错点20：单位不统一就代入计算...…
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七、常用公式与数据速记.......
….7
【易错考点真题讲练】..…
….7
高频考点一圆的概念及特点
高频考点二画圆
……8
高频考点三孤、圆心角、扇形的认识.·..·
高频考点四画扇形……
….9
高频考点五与圆相关的轴对称图形...
10
高频考点六圆的周长.…
10
高频考点七半圆的周长…
高频考点八圆的周长的应用.…
..11
高频考点九含圆的组合图形的周长.·
高频考点十圆的面积……
高频考点十一圆的面积的应用....
13
高频考点十二圆环的面积.14
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高频考点十三求最大面积...
15
高频考点十四含圆的组合图形的面积.·..·
15
高频考点十五方中圆和圆中方的面积问题…
16
高频考点十六用转化法求圆的组合图形的周长与面积……
16
高频考点十七扇形的周长和面积..17
【能力提升真题拔尖】…………
18
导图指引易错点拔
肃1：圆和扇形的认识
女4超合图形的面积
9A生
八圆中常用性质
圆心：圆心决定盟的位置。
半径(r):连痕心和上任意一有的段
方法：分制、添补、平移、旋转
①在同一个圆中：
直径()：透过圆心并且两诚超在现上的战因
圆是生活中常见的围形
公式：S裙合=S分1+S分2一S重叠
·所有半径都相等
学会用圆的知识解决实同
关系：d=2r,r=d+2
常见组合图形及面积：
·所有直径都相等。直径是
扇形：由两条半径和一酸弧国成
圆的认识
问题，让生活更美好到
单格的2倍
3.圈是输对称图开
圆心角：两条半径组成的角
对称轴
半■：母心角是180°的南形。
图环
半置四分之一图
形
四分之一圆：圆心角是90°的扇形
第四单元《图》
5=R2-=号2s=}r2=0r
上活中的圆
知识点梳理思维导图
(n为圆心角的度
②位置关系
·点在圆上台到圆心的距离=
5.圆的应用与解决问题
·点在圆内与到圆心的距惠<
·点在圆外中到圆心的距离>
2,圆的周长
常见类型
探究方法
①求周长，面积
②求腰心角、半径、直径
化曲为直一周
3,圆的面积
③组合图形面积
拉直后测量，
③弧、弦、圈心角关系：
④生活中的实际问题
圆的周长总是它的直径的3倍多一些。
圆的而积公式：
·在同圆或等圆中，相等的弧
S=r2
所对的圆心角相等。
用字母表示：C■πd或C=2
推导思路：
女解题步理
,在同圆或等圆中，相等的弦
T≈3.1415926535，（通常取3.14）
把国平均分成若干份。拼
①审清题意，找准已知条件和所求闷题。
成近的长方形，长方形
所对的圆心角相等
②判断所求与图的哪方面知识有关
A
的长年时，密三厂
应用
图选得合话的方法（画图，转换。计算
。已知周长求直径：d=C+π
oo》
应用
④列式计算，检验并写答
。已知周长求半径：T=C+2n
。已知径求面积：
S=π(d+2
⑧解题技巧
△易错点拨
★画图分析：条件复杂时，先画图帮助理解，
×混清半径和直径：计算时要区分r和d,用铝会导致结果错误。
学好圆的知识
★转化思想：将不规则图形转化为圆、长方形、平行四边形等基本图形
X忘记乘π：周长和面积公式中都含有元，别调乘。
生活处处有数气
★单位统一：计前注愈单位一数（如cmm)。
×圆心角度数误：扇形面积公式中是园心角的度数，不是弧的度数
★估算检查：计算后结合实际情况检查结果是否合理。
×单位换算错误：如m与cm2混用。
0
知识梳理易错指引
本整理依据人教版（新教材)小学数学六年级上册第四单元《圆》编排，涵盖“圆和扇形的认识”“圆
的周长”“圆的面积”“利用圆设计图案”及“整理和复习”的全部内容，按知识板块归纳学生最容
易出错的知识点，每个易错点均给出“易错表现一错因剖析一正确理解一针对练习”，便于查缺补漏。
全文公式与符号均以可直接阅读的文本形式书写，圆周率π取3.14。
一、圆的认识与画法：易错点
易错点1：半径与直径的概念混淆
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错因：把“圆心到圆上任意一点”与“圆上两点间任意线段”混为一谈。
正解：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，用表示；通过圆心且两端都在圆上的线段叫直径，
用d表示。判断直径必须同时满足“过圆心”和“两端在圆上”两个条件，缺一不可，圆内任意一条
两端在圆上的线段未必是直径。
关系：在同圆或等圆中，d=2,r=d÷2。注意这一倍数关系只在“同圆或等圆”中成立。
易错点2：忽略“同圆或等圆”这一前提
错因：笼统地记“所有半径都相等、所有直径都相等”，漏掉限制条件。
正解：必须说“在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等”；不同大小的圆，半径、直
径各不相同。画圆时圆心确定位置，半径确定大小，二者分工不能颠倒。
易错点3：画圆时操作不规范
错因：用圆规画圆时针尖移动、两脚间距变化，导致画出的不是标准圆。
正解：画圆的三步一先在纸上确定一点作圆心0，再把圆规两脚分开（此时两脚间距离就是半径），
最后把带针尖的脚固定不动、旋转带笔的脚一周。画直径不同的圆要改变两脚距离，画半径相同的圆
则两脚距离始终不变。
易错点4：用半径还是直径代入公式不分清
错因：题目给d却当成r代入，或给r又乘了2。
正解：审题先辨单位是半径还是直径。已知r直接用，需要d时再乘2；已知d求周长用Cmd更直接，
求面积须先算出r=d:2再代入。填表题尤其注意r与d的换算关系d=2r。
二、圆的周长：易错点
易错点5：圆周率π与3.14混为一谈
错因：以为“圆周率就是3.14”。
正解：圆周率π是圆的周长与它的直径的比值，即π=周长：直径，它是一个固定的数。π
=3.1415926535…是无限不循环小数，3.14只是计算时常用的近似值。约1500年前祖冲之把圆周率
精确到小数点后7位，比国外早约1000年。
易错点6：周长公式中d与r用错
错因：把C=2πr误写成C-πr,或把Cπd中的d用r代替。
正解：圆周长CTd,也可写成C-2mr(因为d=2r)。求半径可用r=C÷2m,求直径用d=C÷π。已
知直径求半径、又要求周长时，注意Π和2别漏乘。
易错点7：半圆的周长卡圆周长的一半
错因：把半圆周长直接算成πr（即圆周长的一半)。
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正解：半圆的周长是“圆周长的一半再加一条直径”，即半圆周长=πr+2r=πr+d。圆周长的一半只是
弧长，还要加上封闭图形所必需的直径，这是最典型的丢分点。同理，求半圆的面积才是整个圆面积
的一半。
易错点8：滚轮、转圈类问题路程与圈数搞反
错因：压路机前轮前进、车轮转动、分针针尖走路等情境中，分不清“转一圈的路程=周长”与“路程
÷周长=圈数”。
正解：轮子转一圈走过的路程等于它的周长。求“转了多少圈”用路程÷周长（注意单位统一，如4710k
要先化成cm)；求“前进多远”用周长×圈数。分针针尖走的路程=以针长为半径的圆周长×（经过分
钟数÷60)。
三、圆的面积：易错点
易错点9：把面积与周长公式记混
错因：周长、面积公式相互串用，结果单位也弄错。
正解：面积Sπ2，是半径的平方再乘n;周长C2πr或πd,是一次量。面积单位是平方厘米、平
方米等，长度单位是厘米、米等，结果单位必须与所求一致。2表示r×r,切勿与2r混淆一一半径扩
大n倍，面积扩大n2倍，而周长只扩大n倍。
易错点10：漏平方或先算π后忘记乘2
错因：算S=3.14×3误为3.14×3=9.42。
正解：先算r2(r×r),再乘m。如r=3时，r2-9,S=3.14×9=28.26,而不是3.14×3。半径数值较
大或含小数时，先把平方算对再乘π。
易错点11：面积公式推导中“化曲为直”理解不到位
错因：不理解把圆等分拼成近似长方形后，长和宽分别对应什么。
正解：把圆平均分成若干份拼成近似长方形，长方形的长近似于圆周长的一半πr,宽近似于半径，
所以面积=长×宽≈πrXr=T2。拼的份数越多越接近长方形，这正是“化曲为直”的转化思想，也
解释了为什么面积大约是半径平方的3.14倍。
易错点12：环形面积外半径与内半径弄反或只用一个
错因：环形（圆环）面积只算了大圆，或把内、外半径用错。
正解：环形面积S环=πR2-πr2=n(R2-r2),其中R是外圆半径、r是内圆半径。题中给的6cm、内直
径、管壁厚度等要分清是半径还是直径，先各自化成半径再代入。外半径等于内半径加环宽。
四、扇形与圆心角：易错点
易错点13：圆心角判断错误
错因：把顶点不在圆心的角也当成圆心角：
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正解：顶点在圆心的角叫圆心角，两条边必须是半径（顶点在0、两边连到圆上才算）。圆上A、B两
点之间的部分叫弧，记作“弧AB”。
易错点14：扇形大小与什么有关判断不清
错因：以为扇形大小只由圆心角决定，或只由半径决定。
正解：在同一个圆中，扇形的大小由圆心角决定，圆心角越大扇形越大；半径不同的圆，即使圆心角
相同，扇形大小也不同。要记住：以半圆为弧的扇形圆心角是180°，以1/4圆为弧的扇形圆心角是
90°。求扇形面积用对应圆心角占360°的几分之几，去乘整个圆面积。
五、圆的对称性与图案设计：易错点
易错点15：对称轴条数判断错误
错因：认为圆只有几条对称轴，或画对称轴时只画半径不画直径。
正解：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。半圆只
有1条对称轴；圆环、同心的两圆有无数条对称轴；像“三圆组合”等图形要按组合后的整体去数对
称轴。画轴对称图形另一半时，要按对称轴逐点找对应点。
易错点16：组合图形对称轴与基本图形混淆
错因：把“一个大圆和里面一个内切小圆”当作无数条对称轴。
正解：对称轴必须让组合图形沿它折叠后两侧完全重合。两圆相切、内含、外离时，只有过两圆圆心
的那一条直线是对称轴，只有同心圆才有无数条。先找“能否都重合”，再确定条数。
六、组合图形与拓展应用：易错点
易错点17：阴影部分面积只会套公式不会割补
错因：面对正方形里画最大圆、三角形里画圆、扇形拼图形等组合图，无从下手或加减关系弄反。
正解：组合图形面积靠“拼与拆”：先看清阴影由哪些规则图形相加或相减得到。正方形内最大圆，
圆的直径等于正方形边长；圆内接正方形或正方形外接圆，要抓住直径与边长、对角线的关系。常用
思路是用“整体-空白”或“几块相加”，分别求出后加减。
易错点18：周长含线段部分时漏加或错用π
错因：运动场跑道、半圆加长方形等图形，把曲线周长与直线段的关系算错。
正解：像“两端是半圆、中间是长方形”的运动场，周长=两个半圆弧（合起来是一个整圆的周长πd)
+两条直道长；面积=一个整圆面积+中间长方形面积。画线分析每一段是弧还是线段，再分别计算后合
起来。
易错点19：用同样长绳子围图形，面积比较判断错
错因：以为围出的图形面积都一样。
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2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练
正解：周长相等的图形中，圆的面积最大。这正解释了为什么多数植物的根、茎横截面是圆形一用
同样的材料能围出最大的面积。“在操场上用绳子围一块地，怎样围面积最大”的答案是围成圆形。
易错点20：单位不统一就代入计算
错因：直径用米、周长结果用厘米，或千米、米、厘米、毫米、吨、千克混用。
正解：列式前先把所有量化成同一单位再计算，最后按题目要求的单位写答案。涉及“每走一步多少
cm”“直径多少cm却问多少米”时尤其要小心换算。
七、常用公式与数据速记
圆的特征：同圆中d=2；圆心定位置、半径定大小；圆有无数条对称轴（直径所在直线）。
圆的周长：C=πd=2πr;半径r=C÷(2n);直径d=C÷π。半圆周长=πr+d(别漏直径)。
圆的面积：S=πr2(先算r×r再乘n)。半圆面积=πr2÷2;环形面积S环=n(2-r2)。
扇形：扇形大小看圆心角；半圆对应180°，二圆对应90°；扇形面积=圆面积×圆心角/360°。
常用数据：m≈3.14.3.14×1=3.14，×2=6.28，×3=9.42，×4=12.56，×5=15.7，×6=18.84，×
8=25.12,×9=28.26,×10=31.4。熟记可减少计算出错。
变化规律：半径（或直径)扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大㎡倍。
文化常识：圆周率用π表示；约2000年前《周髀算经》有“周三径一”；祖冲之(429一500)将π精
确到小数点后7位，领先世界约1000年。
一〔易错讲练真题汇总
高频考点一圆的概念及特点
【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)用一把直尺和圆规画出两个圆，要求大圆半径是小圆
半径的4倍。若小圆直径2厘米，大圆直径是多少？两圆直径相差多少？
【变式训练】(26-27六年级上·全国·课后作业)方格纸上有圆心为A的圆，要把圆心A移动到新位置，
需要先向右平移6格，再向下平移4格，说一说平移后圆的大小是否改变，为什么？
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高频考点二画圆
【典例精讲】(25-26六年级上·陕西渭南·期中)按要求画圆，并标出圆心、半径和直径。（每个方格
的边长表示0.5cm)
(1)画一个半径是1.5cm的圆。
(2)画一个直径是2cm的圆。
【变式训练】(25-26六年级上·湖北武汉·期末)下面的方格纸中每个口的面积代表1平方厘米。
(1)用圆规在方格纸上画一个面积为16π平方厘米的圆。
(2)算一算这个圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积是多少。
高频考点三弧、圆心角、扇形的认识
【典例精讲】(24-25六年级上山东济南期末)如图，0为小圆的圆心，C为大圆的圆心，C01AB,AC1CB,
三角形AOC的面积是20cm2,求阴影部分的面积。
■
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【变式训练】(25-26六年级上·山西朔州·期末)下列说法正确的是(
）。
A.0.3=30%,所以0.3t=30%t
B.用4个圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。
C.圆的半径扩大到原来的4倍，周长和面积也扩大到原来的4倍。
D.如果把5：7的前项加上35，要使比值不变，后项应加上49。
高频考点四画扇形
【典例精讲】下图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求画一画。
(1)根据对称轴画出轴对称图形的另一半。
(2)画一个周长是30厘米的长方形，长与宽的比是3：2。
(3)画一个周长是12.56厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。
【变式训练】(26-27六年级上·广东深圳·阶段检测)下雨时，雨滴落在水面荡起层层圆形的涟漪。已
知一个水池的池面是边长为4米的正方形，当波纹荡到池边时，在水池面上形成了最大的整圆。
1m
1m
(1)请你在方格纸的正方形中画一个最大的圆，并分别用字母Qr标出它的圆心、半径。
(2)画出所得组合图形的一条对称轴。
(3)在圆中画一个圆心角是45°的扇形，并将其涂上阴影。
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高频考点五与圆相关的轴对称图形
【典例精讲】(26-27六年级上·甘肃白银·期中)圆是中国传统文化中“圆满”的象征，圆形有()
条对称轴，扇形有(
)条对称轴，圆环有(
)条对称轴。
【变式训练】(25-26六年级上·陕西咸阳·期中)画出下面轴对称图形的对称轴。
高频考点六圆的周长
【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)一个圆形跑道，跑道直径80米，小亮绕跑道跑了5圈，
他一共跑了多少米？如果他每分钟跑125.6米，跑完5圈需要几分钟？
【变式训练】(25-26六年级上·福建厦门·期中)如图，两个圆只有一个公共点C,大圆直径Ac为36厘
米，小圆直径BC为27厘米。甲、乙两只蚂蚁同时从点C出发，甲蚂蚁以每秒0.6π厘米的速度沿着大圆圆
周顺时针爬行，乙蚂蚁以同样的速度沿着小圆圆周顺时针爬行。
(1)(
)秒后，甲蚂蚁第一次回到C点。
(2)当甲蚂蚁第一次回到C点时，此时乙蚂蚁(
)。(填序号)
B
A.在BC上方
B.在BC下方
C.在B点
D.在C点处
(3)当乙蚂蚁第一次回到C点时，甲蚂蚁是否已经经过A点？请说明理由。
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高频考点七半圆的周长
【典例精讲】(26-27六年级上·安徽毫州·阶段检测)求下面图形的周长。
8cmt
K-8cm→y
5dm
【变式训练】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末)在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽
15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。
如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？
15米
20米
高频考点八圆的周长的应用
【典例精讲】(26-27六年级上·甘肃定西·期中)阅览室有一扇窗户（如图①），上面是半圆形，下面
是长16分米、宽12分米的长方形。现为这扇窗户钉上一圈木条（如图②），至少需要多长的木条？
←12dm
图①
图②
第11页共22页
2026一2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练
【变式训练】(25-26六年级上·天津河西·期中)下图中的圆形是一根圆柱体钢管的截面，将这根钢管
滚动到墙边，要滚动几圈？
0.5cm
31.9cm
高频考点九含圆的组合图形的周长
【典例精讲】(26-27六年级上·甘肃定西·期中)求出阴影部分的周长。
14cm
5cm
5cm
←-8cm
【变式训练】(26-27六年级上·山东·单元测试)把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图所示（从
底面方向看)的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。
第1组
第2组
第3组
(1)像这样继续捆下去，第4组至少需要多少厘米的绳子？
(2)按照这样的方法继续捆下去，第组至少需要多少厘米的绳子？
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高频考点十圆的面积
【典例精讲】(26-27六年级上·四川宜宾·期中)在格子图中按要求画一画。
(1)画一个以线段AB为直径的圆。
(2)在圆中画一个圆心角是135°的扇形。
(3)这个扇形的面积是所在圆面积的()。
【变式训练】(2026六年级上·辽宁·专题练习)如图中两个圆，小圆半径是3厘米，大圆直径为10厘
米。如果让小圆沿大圆上滚动一周（如图），那么小圆的圆心移动的路程是(
)厘米，小圆在滚动的
过程中扫过的面积是(
)平方厘米。（此题两空都用含有π的式子表示）
高频考点十一圆的面积的应用
【典例精讲】(26-27六年级上·河南周口·阶段检测)草地上有一个小屋，小屋长6米，宽4米。在小
屋的墙角有一个木桩，木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长6米，这只羊的活动范围是多少平方米？
(绳子打结处忽略不计)
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【变式训练】(26-27六年级上·四川宜宾·期中)公园内正在规划绿地和便民休息场所，通过对附近居
民的问卷调查，得出的结论是希望绿地能多一些。为此，公园管理处设计了两种方案（如图），哪种方案
更符合附近居民的需求？把你的思考过程写出来。
绿地
绿地
2m
6m
8m
2m
A方案
B方案
高频考点十二圆环的面积
【典例精讲】(26-27六年级上·全国·单元测试)求下图阴影部分的面积。
2cm
0
12cm
8cm
5.4cm
【变式训练】(25-26六年级上·福建三明·期末)如下图，大圆半径为4厘米，小圆半径为2厘米，现
在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处。
(1)小圆的圆心移动走过的路程是多少厘米？
(2)小圆滚过的面积是多少平方厘米？
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高频考点十三求最大面积
【典例精讲】(26-27六年级上·辽宁·单元测试)第三小组的同学们要在一块长8米、宽6米的空地上
铺设一个圆形或半圆形花坛，要使花坛的占地面积尽可能大，请你帮他们设计一下，在图中画一画，你建
议选择哪个方案？为什么？
丫丫的方案：铺设一个直径是6米的圆形花坛。
航航的方案：铺设一个直径是8米的半圆形花坛。
8米
8米
6米
6米
【变式训练】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如
果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式
或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示）
5m
8m
8m
2m
小羊A
小羊B
图1
图2
高频考点十四含圆的组合图形的面积
【典例精讲】(26-27六年级上·四川资阳·期中)求下图阴影部分的面积。（单位：Cm)
4
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【变式训练】(25-26六年级上·陕西西安·期中)如图，AB=3厘米，则阴影部分的面积是(
平方厘米。
高频考点十五方中圆和圆中方的面积问题
【典例精讲】(26-27六年级上·甘肃定西·期中)按要求画画，做一做。
(1)在下面的正方形中画一个面积最大的圆。
2cm
一
2cm
(2)剪去最大的圆，剩下部分的面积是()cm。
【变式训练】(25-26六年级上·福建厦门·期末)如图是结合“外方内圆”和“外圆内方”的图形设计。
己知大正方形的周长是12cm,那么小正方形的面积是(
）cm。
A.4.5
B.6
C.7.5
D.9
高频考点十六用转化法求圆的组合图形的周长与面积
【典例精讲】(25-26六年级上·浙江杭州·期末)求阴影部分的面积（单位：cm)。
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12
1=5
【变式训练】(24-25六年级上·广东湛江·期中)如图，实线部分的周长是38.84厘米，其中AB=10厘
米，阴影部分的面积是(
)。
A
高频考点十七扇形的周长和面积
【典例精讲】(25-26六年级上·广东深圳·期中)“欲穷千里目，更上一层楼”用数学的知识解释是观
察者站的位置越高，观察到的范围越()。如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径
都是4厘米，图中涂色部分的面积是()平方厘米。
【变式训练】(24-25六年级上·河北石家庄·期末)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”。它可以这
样画出来：以1,1,2,3,5…为半径，依次画圆心角为90°的扇形弧线。第1步中扇形的半径是1cm,按
这种方法画下去，第6步所画扇形的弧长为(
)cm。
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第1步
第2步
第3步
第4步
能力提升真题拔尖
1.(26-27六年级上·山东济南·期中)小刚研究“车轮为什么是圆的”，他动手模拟车轮滚动，发现车
轮中心点的痕迹在一条直线上，这是因为(
)。
A.圆是曲线图形
B.圆上任意一点到圆心的距离都相等
C.圆的位置由圆心决定
D.在同一个圆中，直径是半径的2倍
2.(26-27六年级上·四川达州·期中)一个直径为20cm的纸轮在直路上滚动，整个过程不打滑。滚过
3.14n,纸轮滚动了(
)圈。
A.5
B.10
C.15.7
D.50
3.(26-27六年级上·四川资阳·期中)周长相等的圆、正方形、长方形和梯形，（
)的面积最
大。
A.圆
B.正方形
C.长方形
D.梯形
4.(26-27六年级上·甘肃白银·期中)一个圆环，小圆半径是3cm,环宽2cm,大圆和小圆的周长差是
）cm。
A.4π
B.2n
C.π
D.16m
5.(25-26六年级上·陕西西安·期中)有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它
们捆在一起，如图，则至少需要绳子()分米（结头处绳子不计）。
A.35+5π
B.30+5π
C.70+10π
D.60+10元
6.(26-27六年级上·四川资阳·期中)轩轩在做“影子的形成”实验时，发现把圆形纸片放在手电筒前
的某一位置时，形成的圆形影子的半径扩大到原来的4倍。此时，周长和面积分别扩大到原来的(
倍、()倍。
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7.(26-27六年级上·四川达州·期中)一种玻璃杯杯口直径是7cm,杯底直径是6cm。现在要将这种玻璃
杯杯口朝下一个挨着一个地摆放在一个内底面长是32Cm,宽是26cm的长方形托盘中，这个托盘最多能摆放
()个这样的玻璃杯。
8.(26-27六年级上·四川达州·期中)巴人故里达州的巴文化展馆用一块半圆形板材制作装饰图案，如
图，在大半圆内部，以大半圆直径的一半为直径，挖去两个大小相同的小半圆，阴影部分为剩余部分。如
果大半圆直径为4m,那么阴影部分的面积是()m2,周长是()m。
4m
9.(26-27六年级上·广东惠州·期中)图中，如果一个圆的直径是6厘米，那么一个圆的面积是()
平方厘米：长方形的面积是()平方厘米。
10.(26-27六年级上·四川宜宾·期中)在一个长25cm,宽12cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的
半径是()cm,面积是(
)cm。
11.(2026·湖北武汉·小升初真题)一个直径是14cm的圆，把圆分成若千（偶数）等份，剪开后用这些
近似的小三角形纸片拼成一个近似的长方形.那么这个长方形的长约是
cm,宽约是cm(π取
3.14)。
12.(26-27六年级上·四川资阳·期中)有7根直径是4厘米的塑料管，用一根绳子把它们捆成一捆（如
下图)，此时绳子的长是()厘米。（打结处长度忽略不计）
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13.(26-27六年级上·全国·期中)求阴影部分的面积。
(1)
(2)
6cm
8cm
6cm
14.(2026六年级上·全国·专题练习)如图，有一个直径是8厘米的半圆，让这个半圆绕A点逆时针旋
转45°，此时B点移动到B'点，则涂色部分的面积是多少平方厘米？
B
0
8cm B
15.(26-27六年级上·四川达州·期中)凤凰山公园有一个半径为3m的圆形水池，池外修了一条宽为1m
的环形步行道（如图阴影部分）。这条步行道的面积是多少平方米？
3m
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16.(26-27六年级上·四川达州·期中)手工组有两块边长均为16厘米的正方形软木板。如图，手工组
准备用两种方案切割软木板，甲方案切一个尽可能大的圆片；乙方案切四个同样大的圆片，按每排两个、
共两排摆放，圆片尽可能大。（不计切割损耗）
甲方案
乙方案
(1)两种方案剩余的软木板面积是否相同？分别计算剩余面积并说明。
(2)每块圆片都沿边缘贴一圈装饰线。哪种方案用线多？多多少厘米？
17.(26-27六年级上·甘肃定西·期中)人民公园里有一个圆形鱼池（如下图)，为方便游客观赏，工作
人员打算在该圆形鱼池的周围铺设一条1米宽的小路。这条小路的面积是多少平方米？
鱼池周长为125.6m
18.(26-27六年级上·全国·课后作业)有两个同心圆，内圆半径3厘米，外圆半径6厘米，两个圆中各
画一个圆心角100°的扇形，比较两个扇形面积大小，并说明为什么圆心角相同面积却不相等。
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19.(26-27六年级上·全国·课后作业)一只山羊被一根5米长的绳子拴在正方形院墙的一个外角上（院
墙两侧都有草地，院墙足够长)，这只山羊能吃到草的最大面积是多少平方米？
20.(25-26六年级上·陕西西安·期中)有一个电动玩具，它有一个8.28×5.14的长方形盘（单位：厘
米)和一个半径为1厘米的小圆盘（盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A、B(如图)。如果小圆盘沿着
长方形内壁，从A点出发，不停地滚动（无滑动），最后回到原来位置。
(1)请你计算一下，小圆盘（娃娃脸）在B、C、D位置是是怎样的？并在下图一一画出示意图。
D
5.i4厘米
828厘米
B
(2)小圆盘共自转了几圈？
第22页共22页2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册易错笔记知识讲练
2026-2027学年人教版数学六年级上册单元复习培优讲义「新教材」
第四单元《圆》「易错题专项讲练」
（思维导图+知识梳理+17个高频易错考点讲练+实战演练 共54题●原卷版）
同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习易错讲练培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含：
1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标；
2. 易错点拨：强化巩固易错点细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点；
3. 易错考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍
4. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。
友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！
【导图指引 易错点拨】 3
【知识梳理 易错指引】 3
一、圆的认识与画法：易错点 3
易错点1：半径与直径的概念混淆 3
易错点2：忽略“同圆或等圆”这一前提 4
易错点3：画圆时操作不规范 4
易错点4：用半径还是直径代入公式不分清 4
二、圆的周长：易错点 4
易错点5：圆周率π与3.14混为一谈 4
易错点6：周长公式中d与r用错 4
易错点7：半圆的周长≠圆周长的一半 4
易错点8：滚轮、转圈类问题路程与圈数搞反 5
三、圆的面积：易错点 5
易错点9：把面积与周长公式记混 5
易错点10：漏平方或先算π后忘记乘r² 5
易错点11：面积公式推导中“化曲为直”理解不到位 5
易错点12：环形面积外半径与内半径弄反或只用一个 5
四、扇形与圆心角：易错点 5
易错点13：圆心角判断错误 5
易错点14：扇形大小与什么有关判断不清 6
五、圆的对称性与图案设计：易错点 6
易错点15：对称轴条数判断错误 6
易错点16：组合图形对称轴与基本图形混淆 6
六、组合图形与拓展应用：易错点 6
易错点17：阴影部分面积只会套公式不会割补 6
易错点18：周长含线段部分时漏加或错用π 6
易错点19：用同样长绳子围图形，面积比较判断错 6
易错点20：单位不统一就代入计算 7
七、常用公式与数据速记 7
【易错考点 真题讲练】 7
高频考点一 圆的概念及特点 7
高频考点二 画圆 8
高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 8
高频考点四 画扇形 9
高频考点五 与圆相关的轴对称图形 10
高频考点六 圆的周长 10
高频考点七 半圆的周长 11
高频考点八 圆的周长的应用 11
高频考点九 含圆的组合图形的周长 12
高频考点十 圆的面积 13
高频考点十一 圆的面积的应用 13
高频考点十二 圆环的面积 14
高频考点十三 求最大面积 15
高频考点十四 含圆的组合图形的面积 15
高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 16
高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 16
高频考点十七 扇形的周长和面积 17
【能力提升 真题拔尖】 18
本整理依据人教版（新教材）小学数学六年级上册第四单元《圆》编排，涵盖“圆和扇形的认识”“圆的周长”“圆的面积”“利用圆设计图案”及“整理和复习”的全部内容，按知识板块归纳学生最容易出错的知识点，每个易错点均给出“易错表现—错因剖析—正确理解—针对练习”，便于查缺补漏。全文公式与符号均以可直接阅读的文本形式书写，圆周率π取3.14。
一、圆的认识与画法：易错点
易错点1：半径与直径的概念混淆
错因：把“圆心到圆上任意一点”与“圆上两点间任意线段”混为一谈。
正解：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，用r表示；通过圆心且两端都在圆上的线段叫直径，用d表示。判断直径必须同时满足“过圆心”和“两端在圆上”两个条件，缺一不可，圆内任意一条两端在圆上的线段未必是直径。
关系：在同圆或等圆中，d = 2r，r = d÷2。注意这一倍数关系只在“同圆或等圆”中成立。
易错点2：忽略“同圆或等圆”这一前提
错因：笼统地记“所有半径都相等、所有直径都相等”，漏掉限制条件。
正解：必须说“在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等”；不同大小的圆，半径、直径各不相同。画圆时圆心确定位置，半径确定大小，二者分工不能颠倒。
易错点3：画圆时操作不规范
错因：用圆规画圆时针尖移动、两脚间距变化，导致画出的不是标准圆。
正解：画圆的三步——先在纸上确定一点作圆心O，再把圆规两脚分开（此时两脚间距离就是半径r），最后把带针尖的脚固定不动、旋转带笔的脚一周。画直径不同的圆要改变两脚距离，画半径相同的圆则两脚距离始终不变。
易错点4：用半径还是直径代入公式不分清
错因：题目给d却当成r代入，或给r又乘了2。
正解：审题先辨单位是半径还是直径。已知r直接用，需要d时再乘2；已知d求周长用C=πd更直接，求面积须先算出r=d÷2再代入。填表题尤其注意r与d的换算关系d=2r。
二、圆的周长：易错点
易错点5：圆周率π与3.14混为一谈
错因：以为“圆周率就是3.14”。
正解：圆周率π是圆的周长与它的直径的比值，即π=周长÷直径，它是一个固定的数。π=3.1415926535……是无限不循环小数，3.14只是计算时常用的近似值。约1500年前祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，比国外早约1000年。
易错点6：周长公式中d与r用错
错因：把C=2πr误写成C=πr，或把C=πd中的d用r代替。
正解：圆周长C=πd，也可写成C=2πr（因为d=2r）。求半径可用r=C÷2π，求直径用d=C÷π。已知直径求半径、又要求周长时，注意π和2别漏乘。
易错点7：半圆的周长≠圆周长的一半
错因：把半圆周长直接算成πr（即圆周长的一半）。
正解：半圆的周长是“圆周长的一半再加一条直径”，即半圆周长=πr+2r=πr+d。圆周长的一半只是弧长，还要加上封闭图形所必需的直径，这是最典型的丢分点。同理，求半圆的面积才是整个圆面积的一半。
易错点8：滚轮、转圈类问题路程与圈数搞反
错因：压路机前轮前进、车轮转动、分针针尖走路等情境中，分不清“转一圈的路程=周长”与“路程÷周长=圈数”。
正解：轮子转一圈走过的路程等于它的周长。求“转了多少圈”用路程÷周长（注意单位统一，如4710km要先化成cm）；求“前进多远”用周长×圈数。分针针尖走的路程=以针长为半径的圆周长×（经过分钟数÷60）。
三、圆的面积：易错点
易错点9：把面积与周长公式记混
错因：周长、面积公式相互串用，结果单位也弄错。
正解：面积S=πr²，是半径的平方再乘π；周长C=2πr或πd，是一次量。面积单位是平方厘米、平方米等，长度单位是厘米、米等，结果单位必须与所求一致。r²表示r×r，切勿与2r混淆——半径扩大n倍，面积扩大n²倍，而周长只扩大n倍。
易错点10：漏平方或先算π后忘记乘r²
错因：算S=3.14×3误为3.14×3=9.42。
正解：先算r²（r×r），再乘π。如r=3时，r²=9，S=3.14×9=28.26，而不是3.14×3。半径数值较大或含小数时，先把平方算对再乘π。
易错点11：面积公式推导中“化曲为直”理解不到位
错因：不理解把圆等分拼成近似长方形后，长和宽分别对应什么。
正解：把圆平均分成若干份拼成近似长方形，长方形的长近似于圆周长的一半πr，宽近似于半径r，所以面积=长×宽≈πr×r=πr²。拼的份数越多越接近长方形，这正是“化曲为直”的转化思想，也解释了为什么面积大约是半径平方的3.14倍。
易错点12：环形面积外半径与内半径弄反或只用一个
错因：环形（圆环）面积只算了大圆，或把内、外半径用错。
正解：环形面积S环=πR²−πr²=π(R²−r²)，其中R是外圆半径、r是内圆半径。题中给的6cm、内直径、管壁厚度等要分清是半径还是直径，先各自化成半径再代入。外半径等于内半径加环宽。
四、扇形与圆心角：易错点
易错点13：圆心角判断错误
错因：把顶点不在圆心的角也当成圆心角。
正解：顶点在圆心的角叫圆心角，两条边必须是半径（顶点在O、两边连到圆上才算）。圆上A、B两点之间的部分叫弧，记作“弧AB”。
易错点14：扇形大小与什么有关判断不清
错因：以为扇形大小只由圆心角决定，或只由半径决定。
正解：在同一个圆中，扇形的大小由圆心角决定，圆心角越大扇形越大；半径不同的圆，即使圆心角相同，扇形大小也不同。要记住：以半圆为弧的扇形圆心角是180°，以1/4圆为弧的扇形圆心角是90°。求扇形面积用对应圆心角占360°的几分之几，去乘整个圆面积。
五、圆的对称性与图案设计：易错点
易错点15：对称轴条数判断错误
错因：认为圆只有几条对称轴，或画对称轴时只画半径不画直径。
正解：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。半圆只有1条对称轴；圆环、同心的两圆有无数条对称轴；像“三圆组合”等图形要按组合后的整体去数对称轴。画轴对称图形另一半时，要按对称轴逐点找对应点。
易错点16：组合图形对称轴与基本图形混淆
错因：把“一个大圆和里面一个内切小圆”当作无数条对称轴。
正解：对称轴必须让组合图形沿它折叠后两侧完全重合。两圆相切、内含、外离时，只有过两圆圆心的那一条直线是对称轴，只有同心圆才有无数条。先找“能否都重合”，再确定条数。
六、组合图形与拓展应用：易错点
易错点17：阴影部分面积只会套公式不会割补
错因：面对正方形里画最大圆、三角形里画圆、扇形拼图形等组合图，无从下手或加减关系弄反。
正解：组合图形面积靠“拼与拆”：先看清阴影由哪些规则图形相加或相减得到。正方形内最大圆，圆的直径等于正方形边长；圆内接正方形或正方形外接圆，要抓住直径与边长、对角线的关系。常用思路是用“整体−空白”或“几块相加”，分别求出后加减。
易错点18：周长含线段部分时漏加或错用π
错因：运动场跑道、半圆加长方形等图形，把曲线周长与直线段的关系算错。
正解：像“两端是半圆、中间是长方形”的运动场，周长=两个半圆弧（合起来是一个整圆的周长πd）+两条直道长；面积=一个整圆面积+中间长方形面积。画线分析每一段是弧还是线段，再分别计算后合起来。
易错点19：用同样长绳子围图形，面积比较判断错
错因：以为围出的图形面积都一样。
正解：周长相等的图形中，圆的面积最大。这正解释了为什么多数植物的根、茎横截面是圆形——用同样的材料能围出最大的面积。“在操场上用绳子围一块地，怎样围面积最大”的答案是围成圆形。
易错点20：单位不统一就代入计算
错因：直径用米、周长结果用厘米，或千米、米、厘米、毫米、吨、千克混用。
正解：列式前先把所有量化成同一单位再计算，最后按题目要求的单位写答案。涉及“每走一步多少cm”“直径多少cm却问多少米”时尤其要小心换算。
七、常用公式与数据速记
圆的特征：同圆中 d = 2r；圆心定位置、半径定大小；圆有无数条对称轴（直径所在直线）。
圆的周长：C = πd = 2πr；半径 r = C÷(2π)；直径 d = C÷π。半圆周长 = πr + d（别漏直径）。
圆的面积：S = πr²（先算 r×r 再乘π）。半圆面积 = πr²÷2；环形面积 S环 = π(R²−r²)。
扇形：扇形大小看圆心角；半圆对应180°，圆对应90°；扇形面积 = 圆面积×圆心角/360°。
常用数据：π≈3.14。3.14×1=3.14，×2=6.28，×3=9.42，×4=12.56，×5=15.7，×6=18.84，×8=25.12，×9=28.26，×10=31.4。熟记可减少计算出错。
变化规律：半径（或直径）扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n²倍。
文化常识：圆周率用π表示；约2000年前《周髀算经》有“周三径一”；祖冲之（429—500）将π精确到小数点后7位，领先世界约1000年。
高频考点一 圆的概念及特点
【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）用一把直尺和圆规画出两个圆，要求大圆半径是小圆半径的4倍。若小圆直径2厘米，大圆直径是多少？两圆直径相差多少？
【变式训练】（26-27六年级上·全国·课后作业）方格纸上有圆心为A的圆，要把圆心A移动到新位置，需要先向右平移6格，再向下平移4格，说一说平移后圆的大小是否改变，为什么？
高频考点二 画圆
【典例精讲】（25-26六年级上·陕西渭南·期中）按要求画圆，并标出圆心、半径和直径。（每个方格的边长表示0.5cm）
(1)画一个半径是1.5cm的圆。
(2)画一个直径是2cm的圆。
【变式训练】（25-26六年级上·湖北武汉·期末）下面的方格纸中每个□的面积代表1平方厘米。
(1)用圆规在方格纸上画一个面积为16π平方厘米的圆。
(2)算一算这个圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积是多少。
高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识
【典例精讲】（24-25六年级上·山东济南·期末）如图，为小圆的圆心，为大圆的圆心，，三角形的面积是，求阴影部分的面积。
【变式训练】（25-26六年级上·山西朔州·期末）下列说法正确的是（ ）。
A．0.3＝30%，所以0.3t＝30%t
B．用4个圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。
C．圆的半径扩大到原来的4倍，周长和面积也扩大到原来的4倍。
D．如果把5∶7的前项加上35，要使比值不变，后项应加上49。
高频考点四 画扇形
【典例精讲】下图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求画一画。
（1）根据对称轴画出轴对称图形的另一半。
（2）画一个周长是30厘米的长方形，长与宽的比是3∶2。
（3）画一个周长是12.56厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。
【变式训练】（26-27六年级上·广东深圳·阶段检测）下雨时，雨滴落在水面荡起层层圆形的涟漪。已知一个水池的池面是边长为4米的正方形，当波纹荡到池边时，在水池面上形成了最大的整圆。
(1)请你在方格纸的正方形中画一个最大的圆，并分别用字母O、r标出它的圆心、半径。
(2)画出所得组合图形的一条对称轴。
(3)在圆中画一个圆心角是45°的扇形，并将其涂上阴影。
高频考点五 与圆相关的轴对称图形
【典例精讲】（26-27六年级上·甘肃白银·期中）圆是中国传统文化中“圆满”的象征，圆形有( )条对称轴，扇形有( )条对称轴，圆环有( )条对称轴。
【变式训练】（25-26六年级上·陕西咸阳·期中）画出下面轴对称图形的对称轴。
高频考点六 圆的周长
【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）一个圆形跑道，跑道直径80米，小亮绕跑道跑了5圈，他一共跑了多少米？如果他每分钟跑125.6米，跑完5圈需要几分钟？
【变式训练】（25-26六年级上·福建厦门·期中）如图，两个圆只有一个公共点C，大圆直径AC为36厘米，小圆直径BC为27厘米。甲、乙两只蚂蚁同时从点C出发，甲蚂蚁以每秒0.6π厘米的速度沿着大圆圆周顺时针爬行，乙蚂蚁以同样的速度沿着小圆圆周顺时针爬行。
(1)( )秒后，甲蚂蚁第一次回到C点。
(2)当甲蚂蚁第一次回到C点时，此时乙蚂蚁（ ）。（填序号）
A．在BC上方 B．在BC下方 C．在B点 D．在C点处
(3)当乙蚂蚁第一次回到C点时，甲蚂蚁是否已经经过A点？请说明理由。
高频考点七 半圆的周长
【典例精讲】（26-27六年级上·安徽亳州·阶段检测）求下面图形的周长。
【变式训练】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？
高频考点八 圆的周长的应用
【典例精讲】（26-27六年级上·甘肃定西·期中）阅览室有一扇窗户（如图①），上面是半圆形，下面是长16分米、宽12分米的长方形。现为这扇窗户钉上一圈木条（如图②），至少需要多长的木条？
【变式训练】（25-26六年级上·天津河西·期中）下图中的圆形是一根圆柱体钢管的截面，将这根钢管滚动到墙边，要滚动几圈？
高频考点九 含圆的组合图形的周长
【典例精讲】（26-27六年级上·甘肃定西·期中）求出阴影部分的周长。
【变式训练】（26-27六年级上·山东·单元测试）把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图所示（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。
第1组 第2组 第3组
(1)像这样继续捆下去，第4组至少需要多少厘米的绳子？
(2)按照这样的方法继续捆下去，第n组至少需要多少厘米的绳子？
高频考点十 圆的面积
【典例精讲】（26-27六年级上·四川宜宾·期中）在格子图中按要求画一画。
(1)画一个以线段AB为直径的圆。
(2)在圆中画一个圆心角是135°的扇形。
(3)这个扇形的面积是所在圆面积的( )。
【变式训练】（2026六年级上·辽宁·专题练习）如图中两个圆，小圆半径是3厘米，大圆直径为10厘米。如果让小圆沿大圆上滚动一周（如图），那么小圆的圆心移动的路程是( )厘米，小圆在滚动的过程中扫过的面积是( )平方厘米。（此题两空都用含有的式子表示）
高频考点十一 圆的面积的应用
【典例精讲】（26-27六年级上·河南周口·阶段检测）草地上有一个小屋，小屋长6米，宽4米。在小屋的墙角有一个木桩，木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长6米，这只羊的活动范围是多少平方米？（绳子打结处忽略不计）
【变式训练】（26-27六年级上·四川宜宾·期中）公园内正在规划绿地和便民休息场所，通过对附近居民的问卷调查，得出的结论是希望绿地能多一些。为此，公园管理处设计了两种方案（如图），哪种方案更符合附近居民的需求？把你的思考过程写出来。
高频考点十二 圆环的面积
【典例精讲】（26-27六年级上·全国·单元测试）求下图阴影部分的面积。
【变式训练】（25-26六年级上·福建三明·期末）如下图，大圆半径为4厘米，小圆半径为2厘米，现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处。
(1)小圆的圆心移动走过的路程是多少厘米？
(2)小圆滚过的面积是多少平方厘米？
高频考点十三 求最大面积
【典例精讲】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）第三小组的同学们要在一块长8米、宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形花坛，要使花坛的占地面积尽可能大，请你帮他们设计一下，在图中画一画，你建议选择哪个方案？为什么？
丫丫的方案：铺设一个直径是6米的圆形花坛。
航航的方案：铺设一个直径是8米的半圆形花坛。
【变式训练】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示）
高频考点十四 含圆的组合图形的面积
【典例精讲】（26-27六年级上·四川资阳·期中）求下图阴影部分的面积。（单位：cm）
【变式训练】（25-26六年级上·陕西西安·期中）如图，AB＝3厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米。
高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题
【典例精讲】（26-27六年级上·甘肃定西·期中）按要求画画，做一做。
(1)在下面的正方形中画一个面积最大的圆。
(2)剪去最大的圆，剩下部分的面积是( )cm2。
【变式训练】（25-26六年级上·福建厦门·期末）如图是结合“外方内圆”和“外圆内方”的图形设计。已知大正方形的周长是12cm，那么小正方形的面积是（ ）cm2。
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积
【典例精讲】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。
【变式训练】（24-25六年级上·广东湛江·期中）如图，实线部分的周长是38.84厘米，其中AB＝10厘米，阴影部分的面积是( )。
高频考点十七 扇形的周长和面积
【典例精讲】（25-26六年级上·广东深圳·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”用数学的知识解释是观察者站的位置越高，观察到的范围越( )。如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径都是4厘米，图中涂色部分的面积是( )平方厘米。
【变式训练】（24-25六年级上·河北石家庄·期末）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”。它可以这样画出来：以1，1，2，3，5…为半径，依次画圆心角为90°的扇形弧线。第1步中扇形的半径是1cm，按这种方法画下去，第6步所画扇形的弧长为( )cm。
1．（26-27六年级上·山东济南·期中）小刚研究“车轮为什么是圆的”，他动手模拟车轮滚动，发现车轮中心点的痕迹在一条直线上，这是因为（ ）。
A．圆是曲线图形 B．圆上任意一点到圆心的距离都相等
C．圆的位置由圆心决定 D．在同一个圆中，直径是半径的2倍
2．（26-27六年级上·四川达州·期中）一个直径为20cm的纸轮在直路上滚动，整个过程不打滑。滚过3.14m，纸轮滚动了（ ）圈。
A．5 B．10 C．15.7 D．50
3．（26-27六年级上·四川资阳·期中）周长相等的圆、正方形、长方形和梯形，（ ）的面积最大。
A．圆 B．正方形 C．长方形 D．梯形
4．（26-27六年级上·甘肃白银·期中）一个圆环，小圆半径是，环宽，大圆和小圆的周长差是（ ）。
A． B． C． D．
5．（25-26六年级上·陕西西安·期中）有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，如图，则至少需要绳子（ ）分米（结头处绳子不计）。
A． B． C． D．
6．（26-27六年级上·四川资阳·期中）轩轩在做“影子的形成”实验时，发现把圆形纸片放在手电筒前的某一位置时，形成的圆形影子的半径扩大到原来的4倍。此时，周长和面积分别扩大到原来的( )倍、( )倍。
7．（26-27六年级上·四川达州·期中）一种玻璃杯杯口直径是7cm，杯底直径是6cm。现在要将这种玻璃杯杯口朝下一个挨着一个地摆放在一个内底面长是32cm，宽是26cm的长方形托盘中，这个托盘最多能摆放( )个这样的玻璃杯。
8．（26-27六年级上·四川达州·期中）巴人故里达州的巴文化展馆用一块半圆形板材制作装饰图案，如图，在大半圆内部，以大半圆直径的一半为直径，挖去两个大小相同的小半圆，阴影部分为剩余部分。如果大半圆直径为4m，那么阴影部分的面积是( )，周长是( )m。
9．（26-27六年级上·广东惠州·期中）图中，如果一个圆的直径是6厘米，那么一个圆的面积是( )平方厘米；长方形的面积是( )平方厘米。
10．（26-27六年级上·四川宜宾·期中）在一个长25cm，宽12cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。
11．（2026·湖北武汉·小升初真题）一个直径是14cm的圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后用这些近似的小三角形纸片拼成一个近似的长方形.那么这个长方形的长约是______cm，宽约是______cm（π取3.14）。
12．（26-27六年级上·四川资阳·期中）有7根直径是4厘米的塑料管，用一根绳子把它们捆成一捆（如下图），此时绳子的长是( )厘米。（打结处长度忽略不计）
13．（26-27六年级上·全国·期中）求阴影部分的面积。
14．（2026六年级上·全国·专题练习）如图，有一个直径是8厘米的半圆，让这个半圆绕A点逆时针旋转45°，此时B点移动到点，则涂色部分的面积是多少平方厘米？
15．（26-27六年级上·四川达州·期中）凤凰山公园有一个半径为3m的圆形水池，池外修了一条宽为1m的环形步行道（如图阴影部分）。这条步行道的面积是多少平方米？
16．（26-27六年级上·四川达州·期中）手工组有两块边长均为16厘米的正方形软木板。如图，手工组准备用两种方案切割软木板，甲方案切一个尽可能大的圆片；乙方案切四个同样大的圆片，按每排两个、共两排摆放，圆片尽可能大。（不计切割损耗）
(1)两种方案剩余的软木板面积是否相同？分别计算剩余面积并说明。
(2)每块圆片都沿边缘贴一圈装饰线。哪种方案用线多？多多少厘米？
17．（26-27六年级上·甘肃定西·期中）人民公园里有一个圆形鱼池（如下图），为方便游客观赏，工作人员打算在该圆形鱼池的周围铺设一条1米宽的小路。这条小路的面积是多少平方米？
18．（26-27六年级上·全国·课后作业）有两个同心圆，内圆半径3厘米，外圆半径6厘米，两个圆中各画一个圆心角100°的扇形，比较两个扇形面积大小，并说明为什么圆心角相同面积却不相等。
19．（26-27六年级上·全国·课后作业）一只山羊被一根5米长的绳子拴在正方形院墙的一个外角上（院墙两侧都有草地，院墙足够长），这只山羊能吃到草的最大面积是多少平方米？
20．（25-26六年级上·陕西西安·期中）有一个电动玩具，它有一个的长方形盘（单位：厘米）和一个半径为1厘米的小圆盘（盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A、B（如图）。如果小圆盘沿着长方形内壁，从A点出发，不停地滚动（无滑动），最后回到原来位置。
(1)请你计算一下，小圆盘（娃娃脸）在B、C、D位置是是怎样的？并在下图一一画出示意图。
(2)小圆盘共自转了几圈？
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2. 易错点拨：强化巩固易错点细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点；
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【导图指引 易错点拨】 3
【知识梳理 易错指引】 3
一、圆的认识与画法：易错点 3
易错点1：半径与直径的概念混淆 3
易错点2：忽略“同圆或等圆”这一前提 4
易错点3：画圆时操作不规范 4
易错点4：用半径还是直径代入公式不分清 4
二、圆的周长：易错点 4
易错点5：圆周率π与3.14混为一谈 4
易错点6：周长公式中d与r用错 4
易错点7：半圆的周长≠圆周长的一半 4
易错点8：滚轮、转圈类问题路程与圈数搞反 5
三、圆的面积：易错点 5
易错点9：把面积与周长公式记混 5
易错点10：漏平方或先算π后忘记乘r² 5
易错点11：面积公式推导中“化曲为直”理解不到位 5
易错点12：环形面积外半径与内半径弄反或只用一个 5
四、扇形与圆心角：易错点 5
易错点13：圆心角判断错误 5
易错点14：扇形大小与什么有关判断不清 6
五、圆的对称性与图案设计：易错点 6
易错点15：对称轴条数判断错误 6
易错点16：组合图形对称轴与基本图形混淆 6
六、组合图形与拓展应用：易错点 6
易错点17：阴影部分面积只会套公式不会割补 6
易错点18：周长含线段部分时漏加或错用π 6
易错点19：用同样长绳子围图形，面积比较判断错 6
易错点20：单位不统一就代入计算 7
七、常用公式与数据速记 7
【易错考点 真题讲练】 7
高频考点一 圆的概念及特点 7
高频考点二 画圆 8
高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 11
高频考点四 画扇形 13
高频考点五 与圆相关的轴对称图形 15
高频考点六 圆的周长 16
高频考点七 半圆的周长 18
高频考点八 圆的周长的应用 19
高频考点九 含圆的组合图形的周长 21
高频考点十 圆的面积 22
高频考点十一 圆的面积的应用 24
高频考点十二 圆环的面积 25
高频考点十三 求最大面积 27
高频考点十四 含圆的组合图形的面积 29
高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 31
高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 33
高频考点十七 扇形的周长和面积 35
【能力提升 真题拔尖】 36
本整理依据人教版（新教材）小学数学六年级上册第四单元《圆》编排，涵盖“圆和扇形的认识”“圆的周长”“圆的面积”“利用圆设计图案”及“整理和复习”的全部内容，按知识板块归纳学生最容易出错的知识点，每个易错点均给出“易错表现—错因剖析—正确理解—针对练习”，便于查缺补漏。全文公式与符号均以可直接阅读的文本形式书写，圆周率π取3.14。
一、圆的认识与画法：易错点
易错点1：半径与直径的概念混淆
错因：把“圆心到圆上任意一点”与“圆上两点间任意线段”混为一谈。
正解：连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，用r表示；通过圆心且两端都在圆上的线段叫直径，用d表示。判断直径必须同时满足“过圆心”和“两端在圆上”两个条件，缺一不可，圆内任意一条两端在圆上的线段未必是直径。
关系：在同圆或等圆中，d = 2r，r = d÷2。注意这一倍数关系只在“同圆或等圆”中成立。
易错点2：忽略“同圆或等圆”这一前提
错因：笼统地记“所有半径都相等、所有直径都相等”，漏掉限制条件。
正解：必须说“在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等”；不同大小的圆，半径、直径各不相同。画圆时圆心确定位置，半径确定大小，二者分工不能颠倒。
易错点3：画圆时操作不规范
错因：用圆规画圆时针尖移动、两脚间距变化，导致画出的不是标准圆。
正解：画圆的三步——先在纸上确定一点作圆心O，再把圆规两脚分开（此时两脚间距离就是半径r），最后把带针尖的脚固定不动、旋转带笔的脚一周。画直径不同的圆要改变两脚距离，画半径相同的圆则两脚距离始终不变。
易错点4：用半径还是直径代入公式不分清
错因：题目给d却当成r代入，或给r又乘了2。
正解：审题先辨单位是半径还是直径。已知r直接用，需要d时再乘2；已知d求周长用C=πd更直接，求面积须先算出r=d÷2再代入。填表题尤其注意r与d的换算关系d=2r。
二、圆的周长：易错点
易错点5：圆周率π与3.14混为一谈
错因：以为“圆周率就是3.14”。
正解：圆周率π是圆的周长与它的直径的比值，即π=周长÷直径，它是一个固定的数。π=3.1415926535……是无限不循环小数，3.14只是计算时常用的近似值。约1500年前祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，比国外早约1000年。
易错点6：周长公式中d与r用错
错因：把C=2πr误写成C=πr，或把C=πd中的d用r代替。
正解：圆周长C=πd，也可写成C=2πr（因为d=2r）。求半径可用r=C÷2π，求直径用d=C÷π。已知直径求半径、又要求周长时，注意π和2别漏乘。
易错点7：半圆的周长≠圆周长的一半
错因：把半圆周长直接算成πr（即圆周长的一半）。
正解：半圆的周长是“圆周长的一半再加一条直径”，即半圆周长=πr+2r=πr+d。圆周长的一半只是弧长，还要加上封闭图形所必需的直径，这是最典型的丢分点。同理，求半圆的面积才是整个圆面积的一半。
易错点8：滚轮、转圈类问题路程与圈数搞反
错因：压路机前轮前进、车轮转动、分针针尖走路等情境中，分不清“转一圈的路程=周长”与“路程÷周长=圈数”。
正解：轮子转一圈走过的路程等于它的周长。求“转了多少圈”用路程÷周长（注意单位统一，如4710km要先化成cm）；求“前进多远”用周长×圈数。分针针尖走的路程=以针长为半径的圆周长×（经过分钟数÷60）。
三、圆的面积：易错点
易错点9：把面积与周长公式记混
错因：周长、面积公式相互串用，结果单位也弄错。
正解：面积S=πr²，是半径的平方再乘π；周长C=2πr或πd，是一次量。面积单位是平方厘米、平方米等，长度单位是厘米、米等，结果单位必须与所求一致。r²表示r×r，切勿与2r混淆——半径扩大n倍，面积扩大n²倍，而周长只扩大n倍。
易错点10：漏平方或先算π后忘记乘r²
错因：算S=3.14×3误为3.14×3=9.42。
正解：先算r²（r×r），再乘π。如r=3时，r²=9，S=3.14×9=28.26，而不是3.14×3。半径数值较大或含小数时，先把平方算对再乘π。
易错点11：面积公式推导中“化曲为直”理解不到位
错因：不理解把圆等分拼成近似长方形后，长和宽分别对应什么。
正解：把圆平均分成若干份拼成近似长方形，长方形的长近似于圆周长的一半πr，宽近似于半径r，所以面积=长×宽≈πr×r=πr²。拼的份数越多越接近长方形，这正是“化曲为直”的转化思想，也解释了为什么面积大约是半径平方的3.14倍。
易错点12：环形面积外半径与内半径弄反或只用一个
错因：环形（圆环）面积只算了大圆，或把内、外半径用错。
正解：环形面积S环=πR²−πr²=π(R²−r²)，其中R是外圆半径、r是内圆半径。题中给的6cm、内直径、管壁厚度等要分清是半径还是直径，先各自化成半径再代入。外半径等于内半径加环宽。
四、扇形与圆心角：易错点
易错点13：圆心角判断错误
错因：把顶点不在圆心的角也当成圆心角。
正解：顶点在圆心的角叫圆心角，两条边必须是半径（顶点在O、两边连到圆上才算）。圆上A、B两点之间的部分叫弧，记作“弧AB”。
易错点14：扇形大小与什么有关判断不清
错因：以为扇形大小只由圆心角决定，或只由半径决定。
正解：在同一个圆中，扇形的大小由圆心角决定，圆心角越大扇形越大；半径不同的圆，即使圆心角相同，扇形大小也不同。要记住：以半圆为弧的扇形圆心角是180°，以1/4圆为弧的扇形圆心角是90°。求扇形面积用对应圆心角占360°的几分之几，去乘整个圆面积。
五、圆的对称性与图案设计：易错点
易错点15：对称轴条数判断错误
错因：认为圆只有几条对称轴，或画对称轴时只画半径不画直径。
正解：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴。半圆只有1条对称轴；圆环、同心的两圆有无数条对称轴；像“三圆组合”等图形要按组合后的整体去数对称轴。画轴对称图形另一半时，要按对称轴逐点找对应点。
易错点16：组合图形对称轴与基本图形混淆
错因：把“一个大圆和里面一个内切小圆”当作无数条对称轴。
正解：对称轴必须让组合图形沿它折叠后两侧完全重合。两圆相切、内含、外离时，只有过两圆圆心的那一条直线是对称轴，只有同心圆才有无数条。先找“能否都重合”，再确定条数。
六、组合图形与拓展应用：易错点
易错点17：阴影部分面积只会套公式不会割补
错因：面对正方形里画最大圆、三角形里画圆、扇形拼图形等组合图，无从下手或加减关系弄反。
正解：组合图形面积靠“拼与拆”：先看清阴影由哪些规则图形相加或相减得到。正方形内最大圆，圆的直径等于正方形边长；圆内接正方形或正方形外接圆，要抓住直径与边长、对角线的关系。常用思路是用“整体−空白”或“几块相加”，分别求出后加减。
易错点18：周长含线段部分时漏加或错用π
错因：运动场跑道、半圆加长方形等图形，把曲线周长与直线段的关系算错。
正解：像“两端是半圆、中间是长方形”的运动场，周长=两个半圆弧（合起来是一个整圆的周长πd）+两条直道长；面积=一个整圆面积+中间长方形面积。画线分析每一段是弧还是线段，再分别计算后合起来。
易错点19：用同样长绳子围图形，面积比较判断错
错因：以为围出的图形面积都一样。
正解：周长相等的图形中，圆的面积最大。这正解释了为什么多数植物的根、茎横截面是圆形——用同样的材料能围出最大的面积。“在操场上用绳子围一块地，怎样围面积最大”的答案是围成圆形。
易错点20：单位不统一就代入计算
错因：直径用米、周长结果用厘米，或千米、米、厘米、毫米、吨、千克混用。
正解：列式前先把所有量化成同一单位再计算，最后按题目要求的单位写答案。涉及“每走一步多少cm”“直径多少cm却问多少米”时尤其要小心换算。
七、常用公式与数据速记
圆的特征：同圆中 d = 2r；圆心定位置、半径定大小；圆有无数条对称轴（直径所在直线）。
圆的周长：C = πd = 2πr；半径 r = C÷(2π)；直径 d = C÷π。半圆周长 = πr + d（别漏直径）。
圆的面积：S = πr²（先算 r×r 再乘π）。半圆面积 = πr²÷2；环形面积 S环 = π(R²−r²)。
扇形：扇形大小看圆心角；半圆对应180°，圆对应90°；扇形面积 = 圆面积×圆心角/360°。
常用数据：π≈3.14。3.14×1=3.14，×2=6.28，×3=9.42，×4=12.56，×5=15.7，×6=18.84，×8=25.12，×9=28.26，×10=31.4。熟记可减少计算出错。
变化规律：半径（或直径）扩大n倍，周长扩大n倍，面积扩大n²倍。
文化常识：圆周率用π表示；约2000年前《周髀算经》有“周三径一”；祖冲之（429—500）将π精确到小数点后7位，领先世界约1000年。
高频考点一 圆的概念及特点
【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）用一把直尺和圆规画出两个圆，要求大圆半径是小圆半径的4倍。若小圆直径2厘米，大圆直径是多少？两圆直径相差多少？
【答案】
8厘米；6厘米
【易错点拨】画图步骤：①用直尺量出1厘米作为小圆半径，调整圆规两脚距离为1厘米，固定一点画出小圆；②计算大圆半径：1×4＝4厘米，调整圆规两脚间距为4厘米，另选一点画出大圆。
已知小圆直径2厘米，先用小圆直径除以2求出小圆半径，再根据大圆半径是小圆半径的4倍算出大圆半径，接着用大圆半径乘2求出大圆直径，最后用大圆直径减去小圆直径，求出直径相差的长度。
【完整解答】小圆半径：2÷2＝1（厘米）
大圆半径：1×4＝4（厘米）
大圆直径：4×2＝8（厘米）
直径差：8－2＝6（厘米）
答：大圆直径8厘米，两圆直径相差6厘米，图略。
【变式训练】（26-27六年级上·全国·课后作业）方格纸上有圆心为A的圆，要把圆心A移动到新位置，需要先向右平移6格，再向下平移4格，说一说平移后圆的大小是否改变，为什么？
【答案】平移后圆的大小不变；
理由：圆的大小由半径决定，平移只改变圆心位置，圆规两脚间距（半径）没有变化，因此大小不变。
【易错点拨】在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离移动的图形运动。平移后图形的位置改变，形状、大小、方向不变。圆的大小由半径决定，圆随圆心整体平移时，半径长度不变，因此圆的大小不变。
高频考点二 画圆
【典例精讲】（25-26六年级上·陕西渭南·期中）按要求画圆，并标出圆心、半径和直径。（每个方格的边长表示0.5cm）
(1)画一个半径是1.5cm的圆。
(2)画一个直径是2cm的圆。
【答案】(1)
(2)
【易错点拨】（1）方格边长0.5cm，1.5÷0.5＝3格。在网格任选一点作为圆心，圆规两脚张开3格，绕圆心画圆，最后标出圆心、半径与直径。
（2）由直径求半径，2÷2＝1cm，再换算方格数1÷0.5＝2格。在网格任选一点作为圆心，圆规两脚张开2格，绕圆心画圆，最后标出圆心、半径与直径。
【完整解答】（1）1.5÷0.5＝3（格）
图略
（2）2÷2÷0.5
＝1÷0.5
＝2（格）
【变式训练】（25-26六年级上·湖北武汉·期末）下面的方格纸中每个□的面积代表1平方厘米。
(1)用圆规在方格纸上画一个面积为16π平方厘米的圆。
(2)算一算这个圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积是多少。
【答案】(1)
(2)18.24平方厘米
【易错点拨】（1）圆的面积＝πr2（r为半径）。先求出所画圆的半径；再画圆：将圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；将有针尖的一端固定在一个点上（即圆心）；将装有铅笔尖的一只脚旋转一周，即可画出所需要的圆。
（2）圆所能覆盖的最大正方形的两条对角线是圆的直径，正方形被两条对角线平均分成4个直角三角形且三角形的底和高均为圆的半径。根据三角形的面积＝底×高÷2计算每一个三角形的面积，正方形的面积＝三角形的面积×4；圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积＝圆的面积－正方形的面积。
【完整解答】（1）
因为4×4＝16，所以所画圆的半径是4厘米，画图略。
（2）圆所能覆盖的最大正方形的两条对角线是圆的直径，正方形被两条对角线分成4个直角三角形，如下图所示：
圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积是：
（平方厘米）
高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识
【典例精讲】（24-25六年级上·山东济南·期末）如图，为小圆的圆心，为大圆的圆心，，三角形的面积是，求阴影部分的面积。
【答案】40
【易错点拨】观察图形可知，阴影部分面积＝半圆的面积＋三角形ABC的面积－扇形ACB的面积；根据题意可知，AO＝CO＝OB，所以三角形AOC的面积＝三角形BOC的面积＝三角形ABC面积的一半（等腰直角三角形性质），即三角形ABC的面积＝2×三角形AOC的面积＝2×20＝40，半圆的面积＝小圆面积的一半，扇形ACB的面积＝大圆的面积。根据圆的面积公式S＝πr2，三角形面积＝底×高÷2解答。
【完整解答】设小圆半径为r，大圆半径为R。
三角形AOC的底和高均等于小圆半径r，即r×r÷2＝r2÷2＝20，则r2＝20×2＝40。
三角形ABC的底和高均等于大圆的半径R，即R×R÷2＝R2÷2＝40，则R2＝40×2＝80。
三角形ABC面积：20×2＝40（）
半圆面积（小圆）：πr2
＝×3.14×40
＝×40×3.14
＝20×3.14
＝62.8（）
扇形ACB的面积：πR2
＝×3.14×80
＝×80×3.14
＝20×3.14
＝62.8（）
阴影部分面积：62.8＋40－62.8＝40（）
答：阴影部分面积是40。
【考点再现】本题关键在于利用垂直关系确定线段相等（AO＝CO＝OB），结合三角形面积公式求出关键边长的平方，和圆的面积公式的半径的平方产生联系；再通过“半圆面积＋三角形面积－扇形面积”的组合方式计算阴影部分面积，核心是对图形组成的拆分与面积公式的灵活运用。
【变式训练】（25-26六年级上·山西朔州·期末）下列说法正确的是（ ）。
A．0.3＝30%，所以0.3t＝30%t
B．用4个圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。
C．圆的半径扩大到原来的4倍，周长和面积也扩大到原来的4倍。
D．如果把5∶7的前项加上35，要使比值不变，后项应加上49。
【答案】D
【易错点拨】A．百分数表示一个数是另一个数的百分之几，不能表示具体的量，不能带单位。
B．4个圆心角为90°的扇形，只有当它们的半径相等时才能拼成一个圆。
C．利用假设法，根据圆的周长C＝2πr，圆的面积S＝πr2，算出圆原来的周长和现在的周长以及它们的关系，算出圆原来的面积和现在面积以及它们的关系。
D．比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
【完整解答】A．百分数不能表示具体的量，不能带单位。该选项错误。
B．4个圆心角为90°的扇形，当它们的半径不相等时不能拼成一个圆。该选项错误。
C．设原来圆的半径是1，圆的半径扩大到原来的4倍后是4，那么原来的周长是C＝2×π×1＝2π，现在的周长是C＝2×π×4＝8π，8π÷2π＝4，现在的周长扩大到原来的4倍。
原来的面积是S＝π×12＝π×1＝π，现在的面积是S＝π×42＝π×16＝16π，16π÷π＝16，现在的面积扩大到原来的16倍。原题说法错误。
D．（35＋5）÷5＝40÷5＝8，7×8＝56，56－7＝49，要使比值不变，后项应加上49。该选项正确。
高频考点四 画扇形
【典例精讲】下图中每个小方格都代表边长1厘米的正方形，按要求画一画。
（1）根据对称轴画出轴对称图形的另一半。
（2）画一个周长是30厘米的长方形，长与宽的比是3∶2。
（3）画一个周长是12.56厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是100°的扇形。
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解
【易错点拨】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的另一边画出图形的关键对称点，再连接即可。
（2）已知长与宽的比是3∶2，则把长看作3份，宽看作2份，根据长方形的周长公式，用30÷2即可求出长和宽的和，然后用30÷2÷（3＋2）即可求出每份是多少，进而求出3份和2份，也就是长和宽，最后据此画出长方形。
（3）根据圆周长公式，先求出周长是12.56厘米的圆的半径，然后画出圆，再在圆内画一条半径，以圆心为顶点，以这条半径为一边，另一条半径为另一边画一个100°的角，这两条半径及它们所夹的短弧即所围成的图形就是所画的扇形。
【完整解答】（1）根据对称轴画出轴对称图形的另一半，如下图；
（2）30÷2÷（3＋2）
＝30÷2÷5
＝15÷5
＝3（厘米）
3×3＝9（厘米）
3×2＝6（厘米）
据此画出长方形。
（3）圆的半径：12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
据此画出圆以及圆心角是100°的扇形。
【考点再现】此题是考查作轴对称图形、按比分配以及圆和扇形的画法。
【变式训练】（26-27六年级上·广东深圳·阶段检测）下雨时，雨滴落在水面荡起层层圆形的涟漪。已知一个水池的池面是边长为4米的正方形，当波纹荡到池边时，在水池面上形成了最大的整圆。
(1)请你在方格纸的正方形中画一个最大的圆，并分别用字母O、r标出它的圆心、半径。
(2)画出所得组合图形的一条对称轴。
(3)在圆中画一个圆心角是45°的扇形，并将其涂上阴影。
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
(3)（答案不唯一）
【易错点拨】（1）正方形的边长就是圆的直径，正方形对角线的交点就是圆心。根据“半径＝直径÷2”计算出半径，再画圆：先将圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；然后将有针尖的一端固定在一个点上（即圆心）；再将装有铅笔尖的一只脚旋转一周，即可画出所需要的圆；最后标出半径和圆心。
（2）在同一平面内，如果一个图形沿一条直线对折后两部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此画出对称轴。
（3）扇形是由两条半径和一段弧围成的图形。在方格纸中，正方形的对角线与边的夹角是45°。据此画出符合要求的扇形。
【完整解答】（1）4÷2＝2（米）
即所画圆的半径是2米，图略。
（2）连接正方形上、下两边的中点，所得直线经过圆心，沿这条直线对折，正方形和圆的两边都能完全重合，这条直线就是对称轴。（答案不唯一）
图略。
（3）以圆心为顶点，画一条水平向右的半径，再画一条沿正方形对角线方向（右上方向）的半径，这两条半径的夹角即为45°。将这两条半径和它们之间的弧围成的区域涂上阴影。（答案不唯一）
图略。
高频考点五 与圆相关的轴对称图形
【典例精讲】（26-27六年级上·甘肃白银·期中）圆是中国传统文化中“圆满”的象征，圆形有( )条对称轴，扇形有( )条对称轴，圆环有( )条对称轴。
【答案】 无数 1 无数
【易错点拨】对称轴：如果沿着一条直线对折，对折后直线两边的部分能够完全重合，这条直线就叫做这个图形的对称轴。根据定义判断并数出各个图形的对称轴数目。
【完整解答】圆形：过圆心的任意一条直线都是对称轴，所以有无数条对称轴。
扇形：从圆心出发，平分扇形的那条直线，所以有1条对称轴。
圆环：过圆心的任意一条直线都是对称轴，所以有无数条对称轴。
【变式训练】（25-26六年级上·陕西咸阳·期中）画出下面轴对称图形的对称轴。
【答案】
【易错点拨】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴；圆心不重合的两个大小不一样的圆，对称轴是两圆圆心连线所在的直线。据此解答。
【完整解答】圆心不重合的两个大小不一样的圆，对称轴是两圆圆心连线所在的直线。
高频考点六 圆的周长
【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）一个圆形跑道，跑道直径80米，小亮绕跑道跑了5圈，他一共跑了多少米？如果他每分钟跑125.6米，跑完5圈需要几分钟？
【答案】1256米；10分钟
【易错点拨】绕圆形跑道跑一圈的路程等于圆的周长，据此根据圆的周长公式C＝πd，先求出跑1圈的路程，再乘圈数求出跑5圈，一共跑的路程，最后根据时间＝路程÷速度，求出跑完5圈需要的时间。
【完整解答】一圈周长：（米）
5圈总路程：（米）
跑完5圈的时间：（分钟）
答：他一共跑了1256米，跑完5圈需要10分钟。
【变式训练】（25-26六年级上·福建厦门·期中）如图，两个圆只有一个公共点C，大圆直径AC为36厘米，小圆直径BC为27厘米。甲、乙两只蚂蚁同时从点C出发，甲蚂蚁以每秒0.6π厘米的速度沿着大圆圆周顺时针爬行，乙蚂蚁以同样的速度沿着小圆圆周顺时针爬行。
(1)( )秒后，甲蚂蚁第一次回到C点。
(2)当甲蚂蚁第一次回到C点时，此时乙蚂蚁（ ）。（填序号）
A．在BC上方 B．在BC下方 C．在B点 D．在C点处
(3)当乙蚂蚁第一次回到C点时，甲蚂蚁是否已经经过A点？请说明理由。
【答案】(1)60
(2)B
(3)已经经过A点。已经经过A点，因为两只蚂蚁爬行的速度和时间都相同，乙蚂蚁走27π厘米时，甲蚂蚁也走27π厘米，从A点到C点爬行的是18π厘米，18π厘米＜27π厘米，所以甲蚂蚁已经过A点。
【易错点拨】（1）根据圆的周长C＝πd，先求出大圆的周长，再除以甲蚂蚁的速度即可；
（2）先算小圆周长；两只蚂蚁爬行的速度和时间都相同，当甲蚂蚁第一次回到C点时，甲蚂蚁走一个大圆的周长，乙蚂蚁也走一个大圆的周长；用乙蚂蚁走的总路程和小圆周长进行比较即可。
（3）两只蚂蚁爬行的速度和时间都相同，当乙蚂蚁第一次回到C点时，甲蚂蚁也走一个小圆的周长；用甲蚂蚁走的总路程和大圆周长进行比较即可。
【完整解答】（1）π×36＝36π（厘米）
36π÷0.6π＝60（秒）
所以60秒后，甲蚂蚁第一次回到C点。
（2）小圆周长：π×27＝27π（厘米）
36π里面包括1个27π和9π，也就是36π厘米相当于走了1整圈27π还多9π厘米；
小圆半周长：27π÷2＝13.5π（厘米）
9π＜13.5π，所以乙从C点顺时针爬，走半圈会到达B点，没走完半圈就会处在BC直径的下方。
（3）大圆半圆长：36π÷2＝18π（厘米）
27π＞18π，说明甲蚂蚁早就爬过了半圈的A点。
答：已经经过A点，因为两只蚂蚁爬行的速度和时间都相同，乙蚂蚁走27π厘米时，甲蚂蚁也走27π厘米，而从A点与C点爬行的是18π厘米，18π厘米＜27π厘米，所以甲蚂蚁已经过A点。
高频考点七 半圆的周长
【典例精讲】（26-27六年级上·安徽亳州·阶段检测）求下面图形的周长。
【答案】41.12cm；30.26dm
【易错点拨】第一个图形，该图形的周长由一个圆的周长、上下两条长度为8cm的直边组成，根据圆周长公式：C＝πd，把数据代入计算即可。
第二个图形，由一个半径为5dm半圆的弧长、一个半径为51＝4dm半圆的弧长、以及2条长度1dm的直边，根据半圆弧长＝圆周长÷2，圆周长＝2πr，把数据代入计算后再相加即可。
【完整解答】第一个图形：
3.14×8＝25.12（cm）
25.12＋8×2
＝25.12＋16
＝41.12（cm）
第二个图形：
2×3.14×5÷2＋2×3.14×（51）÷2＋1×2
＝2×3.14×5÷2＋2×3.14×4÷2＋1×2
＝31.4÷2＋25.12÷2＋2
＝15.7＋12.56＋2
＝30.26（dm）
【变式训练】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？
【答案】51.4米
【易错点拨】如图，在长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径相当于长方形的长，为20米，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，即半圆的弧长，再加上一条直径的长度求出半圆的周长，即为篱笆的长度。
【完整解答】3.14×20÷2＋20
＝62.8÷2＋20
＝31.4＋20
＝51.4（米）
答：需要51.4米的篱笆。
【考点再现】在长20米、宽15米的长方形里，最大半圆的直径只能取20米（若取宽15米为直径，半圆会更小），且半径10米小于宽15米，满足半圆完全在长方形内的条件；篱笆是封闭半圆区域的边界，包含半圆弧长和直径两部分。
高频考点八 圆的周长的应用
【典例精讲】（26-27六年级上·甘肃定西·期中）阅览室有一扇窗户（如图①），上面是半圆形，下面是长16分米、宽12分米的长方形。现为这扇窗户钉上一圈木条（如图②），至少需要多长的木条？
【答案】62.84分米
【易错点拨】观察图可知，这一圈木条的长度＝一个直径为12分米的圆的周长的一半＋长方形的一条宽＋长方形的两条长。圆的周长公式：。
【完整解答】3.14×12÷2
＝37.68÷2
＝18.84（分米）
18.84＋12＋16×2
＝30.84＋32
＝62.84（分米）
答：至少需要62.84分米长的木条。
【变式训练】（25-26六年级上·天津河西·期中）下图中的圆形是一根圆柱体钢管的截面，将这根钢管滚动到墙边，要滚动几圈？
【答案】10圈
【易错点拨】
根据圆的周长公式，求出钢管滚动一圈的距离。如图：可知钢管要滚过的路程是cm，再除以钢管滚动一圈的距离就是要求的答案。
【完整解答】圆的周长：
（cm）
钢管要滚过的路程：
（cm）
（圈）
答：将这根钢管滚动到墙边，要滚动10圈。
高频考点九 含圆的组合图形的周长
【典例精讲】（26-27六年级上·甘肃定西·期中）求出阴影部分的周长。
【答案】36.56cm
【易错点拨】观察图可知，阴影部分的周长由梯形的上底、两条腰长和直径为8cm的圆的周长的一半组成。圆的周长＝πd。
【完整解答】14＋5×2＋8×3.14÷2
＝14＋10＋12.56
＝36.56（cm）
【变式训练】（26-27六年级上·山东·单元测试）把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图所示（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。
第1组 第2组 第3组
(1)像这样继续捆下去，第4组至少需要多少厘米的绳子？
(2)按照这样的方法继续捆下去，第n组至少需要多少厘米的绳子？
【答案】(1)57.42厘米
(2)（12n＋9.42）厘米
【易错点拨】观察图形，找出每边圆的个数。第1组每行每列有2个圆，第2组每行每列有3个圆，第3组每行每列有4个圆，所以第4组每行每列有5个圆，第n组每行每列有（n＋1）个圆。
捆扎一圈的绳子由直线部分和曲线部分组成。
曲线部分：绳子在四个角各绕过一段圆弧，每段圆弧占所在圆周长的四分之一，四段合起来恰好是一个完整圆的周长。圆周长＝π×直径。
直线部分：一条边上有k个圆，相邻圆心之间有（k－1）个间隔，每个间隔等于一个直径3厘米，所以一条边的直线段长等于（k－1）个直径，四条边合计等于（k－1）×3×4。
【完整解答】（1）第4组每边5个圆，k＝5
3.14×3＋（5－1）×3×4
＝9.42＋4×3×4
＝9.42＋48
＝57.42（厘米）
答：第4组至少需要57.42厘米的绳子。
（2）第n组每边有（n＋1）个圆，k＝n＋1
一条边的直线段长等于n个直径，即（n＋1－1）×3＝3n（厘米）
四条边的直线段长：4×3n＝12n（厘米）
3.14×3＋3n×4
＝9.42＋12n
＝（12n＋9.42）（厘米）
答：第n组至少需要（12n＋9.42）厘米的绳子。
高频考点十 圆的面积
【典例精讲】（26-27六年级上·四川宜宾·期中）在格子图中按要求画一画。
(1)画一个以线段AB为直径的圆。
(2)在圆中画一个圆心角是135°的扇形。
(3)这个扇形的面积是所在圆面积的( )。
【答案】(1)
(2)
(3)
【易错点拨】（1）直径是AB，圆心就是线段AB的中点，半径等于AB长度的一半。找到中点，以中点为圆心、一半AB长为半径画圆。
（2）圆心角顶点必须在圆心O，两条边是圆的半径。利用方格，先画出90°直角，再加上45°，合起来就是135°，两条半径和圆弧围成扇形。
（3）把整个圆看作单位“1”，整个圆的圆心角是360°，扇形面积占圆面积的几分之几，就是用扇形圆心角÷360°。
【完整解答】（1）半径：6÷2＝3（格）
图略
（2）略
（3）135°÷360°＝＝
【变式训练】（2026六年级上·辽宁·专题练习）如图中两个圆，小圆半径是3厘米，大圆直径为10厘米。如果让小圆沿大圆上滚动一周（如图），那么小圆的圆心移动的路程是( )厘米，小圆在滚动的过程中扫过的面积是( )平方厘米。（此题两空都用含有的式子表示）
【答案】
【易错点拨】小圆的圆心走过的路程是以小圆半径与大圆半径的和为半径的圆的周长，由此利用圆的周长公式解答；
小圆滚过的面的面积是圆环的面积；用外圆的面积减去内圆的面积。外圆的半径是小圆直径与大圆半径的和，根据圆的面积公式，代入数据计算。
【完整解答】（厘米）
（厘米）
（厘米）
（平方厘米）
小圆的圆心移动的路程是厘米，小圆在滚动的过程中扫过的面积是平方厘米。
高频考点十一 圆的面积的应用
【典例精讲】（26-27六年级上·河南周口·阶段检测）草地上有一个小屋，小屋长6米，宽4米。在小屋的墙角有一个木桩，木桩上拴着一只羊（如图），拴羊的绳子长6米，这只羊的活动范围是多少平方米？（绳子打结处忽略不计）
【答案】87.92平方米
【易错点拨】这只羊能活动的范围包括半径为6米的房前半圆，房左圆，半径（6－4）米的房后圆的面积之和。圆的面积S＝πr2。
【完整解答】
＝84.78＋3.14
＝87.92（平方米）
答：这只羊的活动范围是87.92平方米。
【变式训练】（26-27六年级上·四川宜宾·期中）公园内正在规划绿地和便民休息场所，通过对附近居民的问卷调查，得出的结论是希望绿地能多一些。为此，公园管理处设计了两种方案（如图），哪种方案更符合附近居民的需求？把你的思考过程写出来。
【答案】A方案更符合附近居民的需求；根据半圆的面积公式，求出A、B方案的休息场所面积，休息场所面积小的，绿地面积大，休息场所面积大的，绿地面积小。
【易错点拨】在同一个半圆，两种方案中，依据，分别求出A、B方案里小半圆休息场所的面积，比较休息场所面积，如休息场所面积大，则绿地面积小，反之，绿地面积多。
【完整解答】A方案休息场所面积：
＝
＝3.14×（3×3）÷2
＝3.14×9÷2
＝28.26÷2
＝14.13（平方米）
B方案休息场所面积：
＝
＝3.14×（4×4）÷2
＝3.14×16÷2
＝50.24÷2
＝25.12（平方米）
14.13＜25.12
A方案的休息场所面积更小，即绿地面积更大。
答：A方案更符合附近居民的需求。
高频考点十二 圆环的面积
【典例精讲】（26-27六年级上·全国·单元测试）求下图阴影部分的面积。
【答案】251.2cm2；3.12cm2
【完整解答】左边图形是个圆环，利用圆环的面积公式：，将数据代入计算即可求得。
右边图形的面积可以看作是等于梯形的面积减去半圆的面积，根据梯形的面积公式：S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式：S＝πr2，分别求出梯形和半圆的面积，再相减即可。
【解答】3.14×（122－82）
＝3.14×（144－64）
＝3.14×80
＝251.2（cm2）
（2×2＋5.4）×2÷2－3.14×22÷2
＝（4＋5.4）×2÷2－3.14×4÷2
＝9.4×2÷2－12.56÷2
＝18.8÷2－6.28
＝9.4－6.28
＝3.12（cm2）
左边图形的面积是251.2cm2，右边图形的面积是3.12cm2。
【变式训练】（25-26六年级上·福建三明·期末）如下图，大圆半径为4厘米，小圆半径为2厘米，现在让小圆沿着大圆的外侧滚动一周后回到原处。
(1)小圆的圆心移动走过的路程是多少厘米？
(2)小圆滚过的面积是多少平方厘米？
【答案】(1)37.68厘米
(2)150.72平方厘米
【易错点拨】（1）小圆的圆心移动走过的路程为半径为（4＋2＝6）厘米的圆的周长，根据圆的周长＝即可求解。
（2）小圆滚过的面积是外圆半径为（4＋2×2＝8）厘米，内半径为4厘米的圆环的面积，根据圆环的面积＝即可求解。
【完整解答】（1）2×3.14×（4＋2）
＝6.28×6
＝37.68（厘米）
答：小圆的圆心移动走过的路程是37.68厘米。
（2）4＋2×2＝8（厘米）
3.14×（82－42）
＝3.14×（64－16）
＝3.14×48
＝150.72（平方厘米）
答：小圆滚过的面积是150.72平方厘米。
高频考点十三 求最大面积
【典例精讲】（26-27六年级上·辽宁·单元测试）第三小组的同学们要在一块长8米、宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形花坛，要使花坛的占地面积尽可能大，请你帮他们设计一下，在图中画一画，你建议选择哪个方案？为什么？
丫丫的方案：铺设一个直径是6米的圆形花坛。
航航的方案：铺设一个直径是8米的半圆形花坛。
【答案】；
选择丫丫的方案合适，面积更大。
【易错点拨】丫丫的方案：在长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；连接长方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，宽的一半长度作为圆的半径，据此画出这个圆形花坛；根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形花坛的占地面积；
航航的方案：在长方形里画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长；以一条长边的中心为圆心，以长的一半长度为半圆的半径，据此画出这个半圆形花坛；根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形花坛的占地面积。
比较两种方案花坛的占地面积，建议选择面积大的花坛。
【完整解答】作图略
如果选择丫丫的方案：
6÷2＝3（米）
3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
如果选择航航的方案：
8÷2＝4（米）
3.14×42÷2
＝3.14×16÷2
＝25.12（平方米）
28.26＞25.12
答：选择丫丫的方案合适，面积更大。
【变式训练】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示）
【答案】小羊A吃到草的面积大一些，相差3π平方米。
【易错点拨】观察图形可知，小羊A能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的，小羊B能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的一半加上半径是（4－2）米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，分别求出小羊A和小羊B的面积，据此进行计算即可。
【完整解答】
＝
＝12π（平方米）
＝
＝
＝9π（平方米）
12π平方米＞9π平方米
12π—9π＝3π（平方米）
答：小羊A吃到菜的面积大一些，相差3π平方米。
【考点再现】本题考查圆的面积，明确小羊A和小羊B吃草的范围是解题的关键。
高频考点十四 含圆的组合图形的面积
【典例精讲】（26-27六年级上·四川资阳·期中）求下图阴影部分的面积。（单位：cm）
【答案】0.86cm²；6.28cm²
【易错点拨】图1：先计算边长为cm的正方形面积，用到正方形面积公式；空白部分的四个扇形可拼接为一个完整的圆，计算该圆的面积，用到圆的面积公式；用正方形面积减去圆的面积，得到阴影部分面积。
图2：先计算半径为4cm的四分之一圆的面积，用到扇形面积公式；再计算直径为4cm的半圆的面积，用到圆的面积公式推导半圆面积，其中；用四分之一圆的面积减去半圆的面积，得到阴影部分面积。
【完整解答】
【变式训练】（25-26六年级上·陕西西安·期中）如图，AB＝3厘米，则阴影部分的面积是( )平方厘米。
【答案】4.5//
【易错点拨】
如图，连接EF（是小圆直径，长度与AB相等是3厘米），EF中点是小圆圆心，标注为点G，小圆与长方形上边交点标注为H点，连接GH、EH。三角形EGH是直角三角形，GH＝EG是小圆的半径为r（长度是厘米），EH是以长方形长为直径的大圆的半径为R，因为三角形EGH是直角三角形，所以，所以大半圆面积等于小圆的面积。小圆中间空白面积命名为柳叶面积。扇形EHF的面积×2等于大半圆面积，柳叶面积的一半等于扇形EHF的面积减去三角形EHF的面积，即（扇形EHF的面积－三角形EHF的面积）×2＝柳叶面积，三角形EHF的面积＝EF×HG÷2，据此解答。
【完整解答】
（厘米）
从图中可知：EF是小圆直径是3厘米，HG是小圆半径是1.5厘米。
阴影部分面积
＝小圆面积－柳叶面积
＝小圆面积－（扇形EHF面积－三角形EHF面积）×2
＝小圆面积－扇形EHF面积×2＋三角形EHF面积×2
＝小圆面积－大半圆面积＋三角形EHF面积×2
＝三角形EHF面积×2
＝EF×GH÷2×2
（平方厘米）
高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题
【典例精讲】（26-27六年级上·甘肃定西·期中）按要求画画，做一做。
(1)在下面的正方形中画一个面积最大的圆。
(2)剪去最大的圆，剩下部分的面积是( )cm2。
【答案】(1)
(2)0.86
【易错点拨】在正方形中画面积最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。算出正方形的面积，正方形面积（a为正方形边长），再算出圆的面积，圆面积（r为圆半径），剩下部分面积等于正方形面积减去圆的面积。
【完整解答】（1）正方形内最大圆如下，直径d＝2cm
（2）最大圆半径：（厘米）
正方形的面积：（平方厘米）
最大圆的面积：
（平方厘米）
剩下部分的面积：（平方厘米）
答：剩下部分的面积是0.86平方厘米。
【变式训练】（25-26六年级上·福建厦门·期末）如图是结合“外方内圆”和“外圆内方”的图形设计。已知大正方形的周长是12cm，那么小正方形的面积是（ ）cm2。
A．4.5 B．6 C．7.5 D．9
【答案】A
【易错点拨】已知大正方形周长是12cm，正方形周长公式：周长＝边长×4，所以大正方形边长：12÷4＝3cm。由图可知：大正方形的边长＝圆的直径＝小正方形的对角线长度，即小正方形对角线为3cm。正方形的面积可以用对角线乘积的一半计算，求出小正方形的面积。
【完整解答】12÷4＝3（cm）
3×3÷2
＝9÷2
＝4.5（cm2）
所以小正方形的面积是4.5cm2。
故答案为：A
【考点再现】本题的关键在于：大正方形的边长等于圆的直径，而圆的直径又恰好是小正方形的对角线，因此我们可以通过大正方形的周长先求出边长，再利用对角线与正方形面积的关系算出小正方形的面积。
高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积
【典例精讲】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）求阴影部分的面积（单位：cm）。
【答案】47.5cm²
【易错点拨】用割补法将不规则图形转化为规则的几何图形进行计算。
【完整解答】如图：将右侧的弓形割补到左侧，正好拼成一个直角梯形，
上底：12－5＝7（cm）
面积：（12＋7）×5÷2
＝19×5÷2
＝95÷2
＝47.5（cm²）
阴影部分的面积是47.5cm²。
【变式训练】（24-25六年级上·广东湛江·期中）如图，实线部分的周长是38.84厘米，其中AB＝10厘米，阴影部分的面积是( )。
【答案】27.44平方厘米/27.44cm2
【易错点拨】由BC＝AO＝OD，可将实线BC移到虚线OD的位置，实线部分的周长减去AB和OC的长（即2AB的长），即可求得圆的周长的，用其除以，可得圆的周长。根据圆的周长＝2πr，即可求得r。再由阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积×，即可求得阴影部分的面积。
【完整解答】圆的周长的：
38.84－10×2
＝38.84－20
＝18.84（厘米）
圆的周长：
18.84÷
＝18.84×
＝25.12（厘米）
圆的半径：
25.12÷2÷3.14
＝12.56÷3.14
＝4（厘米）
阴影部分面积：
10×4－3.14×42
＝40－3.14×4
＝40－12.56
＝27.44（平方厘米）
【考点再现】实线部分的周长，需要将实线BC移到虚线OD的位置，实线部分的周长减去AB和OC的长（即2AB的长），即可求得圆的周长的，进而求得圆的半径，用长方形的面积减去圆的面积，即可求得阴影部分的面积。
高频考点十七 扇形的周长和面积
【典例精讲】（25-26六年级上·广东深圳·期中）“欲穷千里目，更上一层楼”用数学的知识解释是观察者站的位置越高，观察到的范围越( )。如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径都是4厘米，图中涂色部分的面积是( )平方厘米。
【答案】 大 25.12
【易错点拨】站得越高，视线被遮挡的情况越少，能观察到的范围就越大，符合生活里的观察常识。
三个涂色部分都是分别以三角形三个顶点为圆心的扇形，三角形的内角和是180°，所以这三个扇形的圆心角加起来刚好是180°，拼在一起就刚好是半个整圆，。
【完整解答】
（平方厘米）
“欲穷千里目，更上一层楼”用数学的知识解释是观察者站的位置越高，观察到的范围越大。如图，三角形的顶点分别在三个圆的圆心，三个圆形的半径都是4厘米，图中涂色部分的面积是25.12平方厘米。
【变式训练】（24-25六年级上·河北石家庄·期末）斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”。它可以这样画出来：以1，1，2，3，5…为半径，依次画圆心角为90°的扇形弧线。第1步中扇形的半径是1cm，按这种方法画下去，第6步所画扇形的弧长为( )cm。
【答案】12.56
【易错点拨】根据题意找出半径的变化规律，前面两个半径的和等于下一个半径的长度，所以第6步半径的长度是3＋5＝8cm，由于每个圆弧的长度都是圆的，根据圆的周长公式：C＝2πr（π取3.14），求出对应的圆的周长再乘求出对应的圆弧长度即可。
【完整解答】由题意得：前6步的半径依次是以1cm，1cm，2cm，3cm，5cm，8cm。
第6步所画扇形的弧长为：
2×3.14×8×
＝6.28×8×
＝50.24×
＝12.56（cm）
1．（26-27六年级上·山东济南·期中）小刚研究“车轮为什么是圆的”，他动手模拟车轮滚动，发现车轮中心点的痕迹在一条直线上，这是因为（ ）。
A．圆是曲线图形 B．圆上任意一点到圆心的距离都相等
C．圆的位置由圆心决定 D．在同一个圆中，直径是半径的2倍
【答案】B
【易错点拨】车轮滚动时，圆心到地面的距离始终不变，中心点的轨迹才会是直线，这一特点由圆的基本性质决定。
【完整解答】A．圆是曲线图形，不能解释车轮中心点轨迹为直线的原因，不符合要求；
B．圆上任意一点到圆心的距离都相等，车轮滚动时，圆心到地面接触点的距离始终等于半径，保持恒定，因此中心点的痕迹是直线，符合要求；
C．圆的位置由圆心决定，和滚动时圆心的轨迹形状无关，不符合要求；
D．同一个圆中直径是半径的2倍，与题干现象无关，不符合要求。
2．（26-27六年级上·四川达州·期中）一个直径为20cm的纸轮在直路上滚动，整个过程不打滑。滚过3.14m，纸轮滚动了（ ）圈。
A．5 B．10 C．15.7 D．50
【答案】A
【易错点拨】1m＝100cm，先统一长度单位为cm，再根据圆的周长公式：，代入数据计算出纸轮的周长，最后用滚过的总路程除以周长就能得到滚动的圈数。
【完整解答】3.14m＝314cm
3.14×20＝62.8（cm）
314÷62.8＝5（圈）
纸轮滚动了5圈。
3．（26-27六年级上·四川资阳·期中）周长相等的圆、正方形、长方形和梯形，（ ）的面积最大。
A．圆 B．正方形 C．长方形 D．梯形
【答案】A
【易错点拨】周长相等的平面图形，形状越接近圆，面积越大，据此判断即可。解题时可以运用假设法，设定一个具体的周长数值，分别计算出面积，通过数值比较得出结论。
【完整解答】假设梯形、长方形、正方形和圆的周长均为12.56厘米。
圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
圆的面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（平方厘米）
正方形的边长：12.56÷4＝3.14（厘米）
正方形的面积：3.14×3.14＝9.8596（平方厘米）
周长相等的长方形中，正方形的面积最大，所以长方形面积小于9.8596平方厘米。
假设梯形是直角梯形，上下底之和是7.56厘米，一条腰长（也就是高）是2厘米，另一条腰长是3厘米，此时面积是7.56×2÷2＝7.56（平方厘米）。
12.56＞9.8596＞7.56；12.56最大，也就是圆的面积最大。
4．（26-27六年级上·甘肃白银·期中）一个圆环，小圆半径是，环宽，大圆和小圆的周长差是（ ）。
A． B． C． D．
【答案】A
【易错点拨】先用小圆半径＋环宽求出大圆半径，再利用圆的周长公式分别写出大圆周长和小圆周长的表达式。计算两个周长的差值，化简后得到结果。
【完整解答】大圆半径：（cm）
周长差：
（cm）
5．（25-26六年级上·陕西西安·期中）有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，如图，则至少需要绳子（ ）分米（结头处绳子不计）。
A． B． C． D．
【答案】D
【易错点拨】每处的绳子由6段直边和6段圆弧组成，每段直边的长度就是直径的长度，6段圆弧拼起来正好等于一个圆的周长，先用6段直边的长度加上6段圆弧的长度计算出一处绳子的长度，再乘2求出总绳长。
【完整解答】6段直边的长度为：6×5＝30（分米）。
圆的直径是5分米，周长为：，即6段圆弧的长度是。
一处绳子的长度是，总绳长为：。
6．（26-27六年级上·四川资阳·期中）轩轩在做“影子的形成”实验时，发现把圆形纸片放在手电筒前的某一位置时，形成的圆形影子的半径扩大到原来的4倍。此时，周长和面积分别扩大到原来的( )倍、( )倍。
【答案】 4 16
【易错点拨】根据圆的周长公式，周长由半径与2π相乘得到，半径扩大到原来的几倍，周长就随之扩大相同的倍数；根据圆的面积公式，面积由半径的平方与π相乘得到，半径扩大到原来的4倍，半径的平方就扩大到原来的4乘4倍，面积也随之扩大对应倍数，可直接通过圆的周长、面积公式推导变化规律。
【完整解答】原来的周长：2×π×r
扩大后半径为4r
扩大后的周长：2×π×4r＝4×（2×π×r）
周长扩大到原来的4倍
原来的面积：π×r×r
扩大后的面积：π×4r×4r＝16×（π×r×r）
面积扩大到原来的16倍
7．（26-27六年级上·四川达州·期中）一种玻璃杯杯口直径是7cm，杯底直径是6cm。现在要将这种玻璃杯杯口朝下一个挨着一个地摆放在一个内底面长是32cm，宽是26cm的长方形托盘中，这个托盘最多能摆放( )个这样的玻璃杯。
【答案】
12
【易错点拨】杯口朝下摆放，接触托盘的是杯口，杯口直径7cm。沿着托盘长32cm横向排布，用除法计算可以摆放几个；沿着托盘宽26cm竖向排布，用除法计算可以摆放几个。用横向个数乘竖向个数即可求得摆放总个数。
【完整解答】（个）（cm）
（个）（cm）
（个）
所以，这个托盘最多能摆放12个这样的玻璃杯。
8．（26-27六年级上·四川达州·期中）巴人故里达州的巴文化展馆用一块半圆形板材制作装饰图案，如图，在大半圆内部，以大半圆直径的一半为直径，挖去两个大小相同的小半圆，阴影部分为剩余部分。如果大半圆直径为4m，那么阴影部分的面积是( )，周长是( )m。
【答案】 3.14 12.56
【易错点拨】①由图可知，阴影部分的面积等于直径为4m的圆的面积的一半减去直径为（4÷2＝2）m的圆的面积，再根据圆的面积＝即可求解；
②由图可知，阴影部分的周长等于直径为4m的圆的周长的一半加上直径为（4÷2＝2）m的圆的周长，再根据圆的周长＝即求解。
【完整解答】①4÷2＝2（m）
2÷2＝1（m）
3.14×22÷2－3.14×12
＝3.14×4÷2－3.14×1
＝6.28－3.14
＝3.14（m2）
即阴影部分的面积是3.14m2。
②3.14×4÷2＋3.14×2
＝6.28＋6.28
＝12.56（m）
即阴影部分的周长是12.56m。
9．（26-27六年级上·广东惠州·期中）图中，如果一个圆的直径是6厘米，那么一个圆的面积是( )平方厘米；长方形的面积是( )平方厘米。
【答案】 28.26 72
【易错点拨】圆的面积等于，由直径求出半径再求圆的面积，由题中图可知，长方形的长是两个相同圆的直径和，宽是圆的直径，由长乘宽计算长方形面积即可。（）
【完整解答】圆的半径：6÷2＝3（厘米）
圆的面积：（平方厘米）
长方形的长：6×2＝12（厘米）
长方形的面积：12×6＝72（平方厘米）
10．（26-27六年级上·四川宜宾·期中）在一个长25cm，宽12cm的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是( )cm，面积是( )cm2。
【答案】 6 113.04
【易错点拨】在长方形中画一个最大的圆，圆的直径与长方形的宽相等。半径＝直径÷2，圆的面积＝πr2。
【完整解答】12÷2＝6（cm）
3.14×62
＝3.14×36
＝113.04（cm2）
11．（2026·湖北武汉·小升初真题）一个直径是14cm的圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后用这些近似的小三角形纸片拼成一个近似的长方形.那么这个长方形的长约是______cm，宽约是______cm（π取3.14）。
【答案】 21.98 7
【易错点拨】根据圆的周长公式：周长＝π×直径；代入数据，求出圆的周长，长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，据此解答。
【完整解答】3.14×14÷2
＝43.96÷2
＝21.98（cm）
14÷2＝7（cm）
这个长方形的长约是21.98cm，宽约是7cm。
12．（26-27六年级上·四川资阳·期中）有7根直径是4厘米的塑料管，用一根绳子把它们捆成一捆（如下图），此时绳子的长是( )厘米。（打结处长度忽略不计）
【答案】36.56
【易错点拨】把绳子长度拆分为直线段部分和圆弧段部分分别计算，再求和。
直线段：周围有6个圆，相邻两个外圆的圆心距离等于直径，所以每段直线段长度等于塑料管直径，用直线段的总段数6乘直径4厘米，计算得到直线段总长度。
圆弧段：因为捆扎后相邻两个直线段的夹角对应正六边形的外角，所有圆弧的圆心角之和等于360°，所以圆弧段总长度等于1个直径为4厘米的圆的周长，用圆的周长公式计算该部分长度。
【完整解答】
（厘米）
此时绳子的长36.56厘米。
13．（26-27六年级上·全国·期中）求阴影部分的面积。
【答案】（1）82.24平方厘米；（2）14.13平方厘米
【易错点拨】（1）阴影部分是一个直径为8厘米的圆的面积加上一个底和高都为8厘米的三角形的面积；
（2）阴影部分是个半径为6厘米的圆的面积减个直径为6厘米圆的面积。
【完整解答】（1）3.14×（8÷2）2＋8×8÷2
＝3.14×42＋32
＝3.14×16＋32
＝50.24＋32
＝82.24（平方厘米）
（2）×3.14×62－×3.14×（6÷2）2
＝×3.14×36－×3.14×32
＝28.26－×3.14×9
＝28.26－14.13
＝14.13（平方厘米）
14．（2026六年级上·全国·专题练习）如图，有一个直径是8厘米的半圆，让这个半圆绕A点逆时针旋转45°，此时B点移动到点，则涂色部分的面积是多少平方厘米？
【答案】25.12平方厘米
【易错点拨】根据题意，涂色部分面积可用半圆面积加上圆心角为45°的扇形面积减去空白部分的面积（也是一个半圆）；半圆的面积在计算涂色部分时，与原来的半圆重叠部分抵消，最终涂色部分的面积相当于以AB为半径、圆心角为45°的扇形面积；
圆的面积计算公式为，扇形面积是圆面积的，所以扇形的面积计算方法为，代入数据计算即可。
【完整解答】
＝
＝
＝25.12（平方厘米）
答：涂色部分的面积是25.12平方厘米。
15．（26-27六年级上·四川达州·期中）凤凰山公园有一个半径为3m的圆形水池，池外修了一条宽为1m的环形步行道（如图阴影部分）。这条步行道的面积是多少平方米？
【答案】
21.98平方米
【易错点拨】先根据小圆半径加环宽求出大圆半径，小路面积＝大圆面积－小圆面积，再根据圆的面积，代入计算即可。
【完整解答】大圆半径：（米）
圆环面积：
（平方米）
答：这条步行道的面积是21.98平方米。
16．（26-27六年级上·四川达州·期中）手工组有两块边长均为16厘米的正方形软木板。如图，手工组准备用两种方案切割软木板，甲方案切一个尽可能大的圆片；乙方案切四个同样大的圆片，按每排两个、共两排摆放，圆片尽可能大。（不计切割损耗）
(1)两种方案剩余的软木板面积是否相同？分别计算剩余面积并说明。
(2)每块圆片都沿边缘贴一圈装饰线。哪种方案用线多？多多少厘米？
【答案】(1)
面积相同；55.04平方厘米；
(2)
乙方案；50.24厘米
【易错点拨】（1）根据正方形边长确定两种方案中圆的半径，甲方案中圆的直径就是正方形的边长，乙方案中圆的直径是正方形边长的一半；用正方形面积减去圆的总面积得到剩余面积，再比较是否相等；正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×半径的平方；
（2）计算所有圆的周长总和，比较长短并计算差值；圆的周长＝圆周率×直径。
【完整解答】（1）正方形的面积：（平方厘米）
甲方案的剩余面积：
（平方厘米）
乙方案的剩余面积：
（平方厘米）
，甲方案和乙方案剩余的软木板面积相同
答：两种方案剩余的软木板面积相同，剩余面积都是平方厘米。
（2）甲方案装饰线的长度：（厘米）
乙方案装饰线的长度：
（厘米）
，乙方案用线多
（厘米）
答：乙方案用线多，多厘米。
17．（26-27六年级上·甘肃定西·期中）人民公园里有一个圆形鱼池（如下图），为方便游客观赏，工作人员打算在该圆形鱼池的周围铺设一条1米宽的小路。这条小路的面积是多少平方米？
【答案】128.74平方米
【易错点拨】本题实际是求圆环的面积，内圆是鱼池，外圆是鱼池加小路，先根据半径＝圆的周长÷π÷2求出鱼池的半径，再根据外圆的半径＝内圆（鱼池）的半径＋1，求出外圆的半径，然后根据圆环的面积公式＝π×（R2－r2）求出小路的面积，据此解答即可。
【完整解答】r＝C÷π÷2
＝125.6÷3.14÷2
＝40÷2
＝20（米）
R＝20＋1＝21（米）
S＝π×（R2－r2）
＝3.14×（212－202）
＝3.14×（441－400）
＝3.14×41
＝128.74（平方米）
答：这条小路的面积是128.74平方米。
18．（26-27六年级上·全国·课后作业）有两个同心圆，内圆半径3厘米，外圆半径6厘米，两个圆中各画一个圆心角100°的扇形，比较两个扇形面积大小，并说明为什么圆心角相同面积却不相等。
【答案】外圆半径6厘米的扇形面积更大。
理由：两个扇形圆心角都是100°，圆心角相同时，扇形大小由半径决定，外圆半径6厘米大于内圆半径3厘米，所以圆心角相同的两个扇形半径不同面积就不相等。
【易错点拨】根据扇形面积的计算方法，分别计算面积后比较大小，再结合扇形面积的影响因素，说明面积不相等的原因。
【完整解答】内圆扇形面积：
（平方厘米）
（平方厘米）
因为31.4＞7.85，所以外圆中的扇形面积更大。
答：因为扇形的面积由圆心角度数和所在圆的半径共同决定。两个扇形圆心角相同，外圆半径大于内圆半径，外圆的面积更大，所以圆心角相同的两个扇形半径不同面积就不相等。
19．（26-27六年级上·全国·课后作业）一只山羊被一根5米长的绳子拴在正方形院墙的一个外角上（院墙两侧都有草地，院墙足够长），这只山羊能吃到草的最大面积是多少平方米？
【答案】平方米
【易错点拨】山羊被拴在正方形院墙的外角，院墙挡住了四分之一的方向，所以山羊能吃到草的区域是一个四分之三圆的面积。根据圆的面积公式：计算山羊吃草的面积。
【完整解答】半径米
（平方米）
答：这只山羊能吃到草的最大面积是平方米。
20．（25-26六年级上·陕西西安·期中）有一个电动玩具，它有一个的长方形盘（单位：厘米）和一个半径为1厘米的小圆盘（盘中画有娃娃脸），它们的连接点为A、B（如图）。如果小圆盘沿着长方形内壁，从A点出发，不停地滚动（无滑动），最后回到原来位置。
(1)请你计算一下，小圆盘（娃娃脸）在B、C、D位置是是怎样的？并在下图一一画出示意图。
(2)小圆盘共自转了几圈？
【答案】(1)
(2)3圈
【易错点拨】（1）通过给出比较是1厘米的娃娃脸小圆盘在长方形盘中沿内壁滚动，长方形的长是8.28厘米，宽是5.14厘米，从题干所给的图中可知：娃娃脸在A处是正立的；使用圆的周长公式：，先计算小圆盘的周长；计算小圆盘在长方形每条边滚动的实际路径长度：小圆盘半径为1厘米，那么在长边上的滚动时左右两端留出2个半径（滚动不到的地方）的长度，所以长边上的路径长度为长方形长减去2个1厘米，同样短边上的滚动路径长度为长方形宽减去2个1厘米；分别用各边上的路径长除以小圆盘的周长，计算沿各边滚动的圈数，结合娃娃脸在A处是正立的，对应确定娃娃脸的方向；
（2）计算拐角处的自转圈数：结合娃娃脸的朝向，确定每条边上自转的圈数，把4条边滚动时自转圈数相加，即可求得小圆盘一共自转了几圈。
【完整解答】（1）＝（厘米）
（厘米）
（圈）
从A到B小圆盘一共自转了圈，所以娃娃脸在B处的朝向与A处相同，是正立的；从C到D小圆盘一共自转了圈，所以娃娃脸在D处的朝向与处C相同，是倒立的。
（厘米）
（圈）
从B到C小圆盘一共自转了（半）圈，所以娃娃脸在C处是倒立的；从D到A小圆盘一共自转了（半）圈，所以娃娃脸又回到原处（A处），是正立的；
（图略）
（2）娃娃脸小圆盘沿着长方形内壁，从A点出发，不停地滚动（无滑动），最后回到原来位置，根据小问的计算可知：在长边上自转圈，宽边上自转半（）圈，所以一共自转的圈数是：
（圈）
答：小圆盘共自转了圈。
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