2025-2026学年上海市青浦区九年级上学期期中数学练习卷

2025-2026学年上海市青浦区九年级（上）期中数学练习卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，且，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.已知都是非零向量，在下列选项中不能判定的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，平行四边形中，，分别为，边上两点，，，连接，交于点，若的面积为，则的面积为(    ) A. B. C. D. 4.在中，，，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，一根米长的竹竿斜靠在墙边，倾斜角为，当竹竿的顶端下滑到点时，底端向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.如果，那么        ． 8.如图，在中，是边的中点，点在线段上，且满足：：，设向量，，那么向量        用，表示 9.已知点为的重心，，且，，则点到边的距离为          ． 10.某水库大坝，其坡面的坡度，则斜坡的坡角的度数为____． 11.如图，在中，，，点是边上的一个动点，点在上，在点运动的过程中始终保持． 当时，            ； 当点在上运动时，线段的最大值为            ． 12.已知线段，点为线段的黄金分割点，且，则           ． 13.如图，在中，，，，四边形为内接正方形，那么：：为        ． 14.如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为          ． 15.如图，点，，分别在的边，，上，，，．         ． 点是的中点，连接并延长交于点，则值是        ． 16.如图，小明同学在东西方向的环海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，在处正东米的处，测得海中灯塔在北偏东方向上，则灯塔到环海路的距离等于        米 17.如图，已知∽，则，          ，          ，                    ． 18.如图，在矩形中，，交于点，于点，若，则           三、计算题：本大题共1小题，共11分。 19.计算： 四、解答题：本题共6小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 如图，在中，是的重心，连接并延长交于点 如果，那么        ；结果用表示 已知，，点在边上，且，求与的面积比 21.本小题分 如图，中，，，，，，求的长． 22.本小题分 如图，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成角，求旗杆的高度．，精确到米 23.本小题分 如图，在中，，点在边上，已知，边交于点 求证：∽ 连接，如果，求证： 24.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接． 求一次函数与反比例函数的表达式． 当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集． 过点作平行于轴，交于点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25.本小题分 在菱形中，，点在的延长线上，点是直线上的动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． 如图，当点与点重合时，请直接写出线段与的数量关系； 如图，当点在上时，请写出线段，，之间的数量关系，并给出证明； 当点在直线上时，若，，，请直接写出线段的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 答案和解析 1.【答案】  2.【答案】  【解析】解：，，可以判定，不符合题意．  B.仅能说明两个向量的模长度相等，方向不确定，不能判定，符合题意．  C.，说明与方向相同，，可以判定，不符合题意．  D.，说明，都与方向相同，因此，可以判定，不符合题意，  故选：． 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项逐一判断，找出不能判定平行的选项即可． 本题根据平行向量的定义，掌握其相关知识点是解题的关键． 3.【答案】  【解析】解：过点作交于点，如图，  四边形为平行四边形，  ，，  ，  ，  ∽，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ∽，  ，  ，    故选：． 过点作交于点，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明∽得到，所以，接着证明∽得到，然后根据三角形面积公式得到，所以 本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了平行四边形的性质． 4.【答案】  5.【答案】  【解析】【分析】 此题考查解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得出，的长．根据三角函数得出，进而得出，利用解答即可．【解答】 解：一根米长的竹竿斜靠在墙边，倾斜角为，， ， 米， 同理可得米， 米． 故选：． 6.【答案】  【解析】解：，，  ，由作图可知：，为的角平分线，  ，故正确，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，故正确，  ，，  ∽，  ，即，  整理得：，  ，  ，  故错误，  ，，  ∽，  ：：，  ，  ，，，  ，故正确．  故选：． 根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数可判定正确；进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定正确；根据，为公共角证明∽，根据相似三角形的性质可判定错误；证明可得结论正确． 此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：， ， ， 故答案为：． 由得到，代入计算即可得到结果． 此题考查了比例性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：是边的中点，， ， ， ， ：：， ， ， 故答案为：． 根据中点定义求出，根据三角形法则求，根据线段比例关系求出，然后根据三角形法则求得答案． 本题主要考查了三角形的重心，平面向量，掌握其相关知识点是解题的关键． 9.【答案】  10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了解直角三角形的应用中的坡度，坡角的定义，以及特殊角的三角函数值，注意坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比，又叫做坡比．根据坡度，坡角的定义可得出的值，继而可得出斜坡的坡角的度数．  【解答】 解：设坡角为， 由题意得，， 则． 故答案为． 11.【答案】   【解析】解：，  ，  ，，  ，  ，  ∽，  ：：，  时，，  ，  ：：，  ，  故答案为：；  设，  --，  由知∽，：：，  ：：，  ，  线段的最大值为  故答案为：． 由等腰三角形的性质推出，由三角形的外角性质推出，判定∽，推出：：，即可求出；  设，由∽，推出：：，得到，即可得到线段的最大值为． 本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，关键是判定∽，推出：：． 12.【答案】  【解析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，据此可得答案． 【详解】解：点为线段的黄金分割点，且， ， ， ， 故答案为：． 13.【答案】：：  【解析】解：如图，过点作于点，交于点， 在中，，，， 由勾股定理得：， ，即， 解得：， 四边形为内接正方形， ， ， ∽， ， 设正方形的边长为， ， ， 解得：， ， ， ， ∽， ， ， 解得：； 同理，∽， ， ， 解得：， ． 故答案为：：：． 过点作于点，交于点，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式，求出，根据相似三角形的判定，则∽，设正方形的边长为，求出正方形的边长，根据相似三角形的判定，则∽，∽，再分别求出，，即可求解． 本题考查相似三角形的应用，勾股定理的运用，正方形的性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 14.【答案】  【解析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握这两个定理，通过作辅助线构建比例关系是解题的关键．通过作辅助线，利用平行线分线段成比例定理，逐步推导得出与的关系，进而求出的长． 【详解】解：过点作 交于点． 是的中点， ， ，  平行线分线段成比例定理．，  ， 设，则，， ，且， ， 解得， 故答案为：． 15.【答案】   【解析】解：， ， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ， 故答案为：． 如图，取的中点，连接， ， 设，则，， ， 点是的中点，点是的中点， ， ∽， ， ， 故答案为：． 先证出∽，根据相似三角形的性质可得，再证出∽，根据相似三角形的性质求解即可得； 取的中点，连接，先根据三角形的中位线定理可得，再证出∽，然后根据相似三角形的性质求解即可得． 本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 16.【答案】  【解析】解：小明同学在东西方向的环海路处，测得海中灯塔在北偏东方向上，如图，过作于，则就是灯塔到环海路的距离， 依题意，，， ， ， ， ， 故答案为：． 过作于，根据等腰三角形的判定得出，在中解直角三角形即可解答． 本题考查解直角三角形的应用方向角问题，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】   18.【答案】  19.【答案】【小题】 【小题】   【解析】 ； ． 先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可； 先运用特殊角的三角函数值以及绝对值化简，然后再根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值成为解题的关键． 20.【答案】【小题】 【小题】  是的重心，， ， ，， ∽， ， ， ， 由条件可知，   【解析】解：， ， 如图，延长，取，连接， 由重心性质可知为的中线， ， ， ≌， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：；  是的重心，， ， ，， ∽， ， ， ， 由条件可知， ． 根据题意推出，延长，取，连接，证明≌，推出，，进而得到，结合向量的运算推出，再根据三角形重心性质求解，即可解题． 根据三角形重心性质推出，证明∽，利用相似三角形性质推出，再结合三角形中线性质求解，即可解题． 熟练掌握平面向量，三角形的重心性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 21.【答案】解：，，，， ， ， 又， ∽， ， ， ．  【解析】解：，，，， ， ， 又， ∽， ， ， ． 先根据两组对应边成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，得出∽，再由相似三角形对应边成比例可得出的长． 本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 22.【答案】解：过点作交的延长线于点，  过点作交于点图略  在中，，，，，，太阳光线与水平地面成角，  在中，，，，，，四边形为平行四边形，，米  答：旗杆的高度约为米．  23.【答案】【小题】， ， ， ， ， ∽ 【小题】如图，连接， ，， ∽， ， ， ∽， ，   【解析】证明：， ， ， ， ， ∽； 如图，连接， ，， ∽， ， ， ∽， ， ． 利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定解答即可； 利用相似三角形的判定与性质解答即可． 本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 24.【答案】解：反比例函数过， ， 反比例函数为：， 把代入 得：， ， ， 解得：， 一次函数为； 观察函数图象可得，当时，的解集为：； 存在， ， 直线的解析式为：， 过点作平行于轴，交于点， ， ， 当四边形为平行四边形时，在轴的正半轴上， ， ， 当四边形为平行四边形时，在轴的负半轴上， ， ． 综上所述：点或．  【解析】【分析】 本题考查利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合思想解题是解题的关键． 利用可得反比例函数为，再求得，用待定系数法可得一次函数的解析式即可； 由一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，结合可得答案； 求出的解析式，由，可得，，再根据平行四边形的性质解题即可． 25.【答案】解：， 证明，连接， 将线段绕点逆时针得到线段，点与点重合， ，， 为等边三角形， ，， 菱形中，， ，， 为等边三角形， ，， ， ≌， ， ， ； 结论：． 证明：如图，过点作交的延长线于点， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ≌， ， 即， ，， ， ． 如图，当点在线段上时， 由可知． ， ， ，， ，， ； 如图，当点在的延长线上时， 则和都是等边三角形， 同可证≌， ， ， ， ， ，， ． 综合以上可得的长为或．  【解析】连接，由旋转的性质得出，，得出为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； 过点作交的延长线于点，证明是等边三角形，由等三角形的性质得出，得出是等边三角形，可证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； 分两种情况画出图形，由等边三角形的性质及全等三角形的性质可得出答案． 本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $