精品解析：广东湛江市第二十一中学2026-2027学年高一上学期10月阶段考试数学试题

湛江市第二十一中学2026-2027学年度第一学期10月高一阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合是小于的正整数，，，则（　　） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 6 6. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式的解集是，则的范围是（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 当时，的最小值为 D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则实数的值为__________． 13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 14. 若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）判断在上的单调性并加以证明. 17. 某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件． （1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 18. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数对任意，都有，且当时，. （1）证明：为奇函数； （2）证明：为减函数， （3）若，试求关于的不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市第二十一中学2026-2027学年度第一学期10月高一阶段性 数学考试 考试时间：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 已知集合是小于的正整数，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题可知全集，， 故. 2. 命题“”的否定是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是，选C. 考点：全称命题与存在性命题. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 已知函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，应代入， 得. 5. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由“1”的代换，转化为基本不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时取等号，结合可得此时. 所以的最小值为. 6. 不等式 的解集是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】方法一：由，得， 所以，即， 即，所以， 所以不等式的解集是. 方法二： ，得或， 解得或， 所以不等式的解集是. 7. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，列出方程组，得到，结合基本不等式的性质，即可求解. 【详解】设，可得，即， 解得，即， 因为，，可得， 所以，即. 8. 若不等式的解集是，则的范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是否等于0分情况讨论，结合一元二次不等式恒成立列不等式组求解即可. 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为， 当，即时，若不等式的解集是， 则，解得， 综上所述，的取值范围为． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中是偶函数，且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【详解】是奇函数，A错； 是偶函数，且在上是减函数，B对； 是偶函数，且在上是增函数，C错； 是偶函数，且在上是减函数，D对. 10. 已知关于x的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质进行逐一判断即可. 【详解】因为关于x的不等式的解集是或， 所以有， 因此选项A正确； ， 因此选项B正确； ，因此选项C正确； ，因此选项D不正确， 故选：ABC 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 当时，的最小值为 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，根据分母不为零可求得函数定义域；B选项，根据反比例函数的单调性判断的单调性；C选项，由函数的单调性知的最小值不存在；D选项，根据反比例函数的对称性及函数图像的变换可求出的对称中心. 【详解】令，解得，所以的定义域为，A正确； ，在上单调递减，在上单调递减，B错误； 在上单调递减，最小值不存在，C错误； 因为的图象是由的图象先向右平移6个单位再向上平移1个单位得到的，且的对称中心为，所以的图象关于点中心对称，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论计算结合互异性计算求解. 【详解】由分两种情况讨论： 若，则，不满足集合元素的互异性，舍去； 若，解得舍或，因此实数的值为； 13. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当时，_______． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 则， 又因为是奇函数，所以， 即当时，. 14. 若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合，根据交集、并集的定义直接求出和即可；（2）由已知条件可得，分和两种情况，求出实数a的取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，则，； 【小问2详解】 由“”是“”的必要不充分条件，则， 当时，则，解得，即，满足； 当时，则，解得，所以， 综上，当“”是“”的必要不充分条件时，实数a的取值范围为. 16. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）判断在上的单调性并加以证明. 【答案】（1）1；（2）是奇函数，证明见解析；（3）在上是增函数，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用列方程，求得的值.（2）先求得函数定义域，然后利用奇偶性的定义，判断出函数为奇函数.（3）根据函数单调性的定义，计算，由此证得函数在上的是增函数. 【详解】（1）由已知有，解得，所以的值为1. （2）奇函数，证明如下： 函数的定义域为, 是奇函数. （3）在上是增函数，证明如下： 任取两数且,则 ， ,，即， ，即， 在上是增函数. 【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查函数奇偶性的判断和证明，考查函数单调性的判断和证明，属于中档题. 17. 某厂家举行大型的促销活动，经测算，当某产品促销费用为x（万元）时，销售量t（万件）满足（其中）．现假定产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件． （1）将该产品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数； （2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 【答案】（1）；（2）促销费用投入1万元时，厂家的利润最大为17万元. 【解析】 【分析】（1）由题意，得，把代入整理后得答案； （2）由（1）中求得的函数解析式，利用基本不等式求最值． 【详解】（1）由题意，得， 将代入化简，得； （2）由（1）得， ， 当且仅当，即（满足时，上式取等号． 故促销费用投入1万元时，厂家的利润最大． 18. 已知关于的不等式. （1）若，求不等式的解集； （2）若，求关于的不等式的解集； （3），恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，解集为或， 当时，解集为或 .当时，解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）代入的值，得到具体的一元二次不等式，先化为标准形式再因式分解，结合二次函数开口方向即可写出解集； （2）因式分解后比较两个根和的大小，分三种情况写解集即可； （3）先整理不等式，分离参数转化为，换元结合基本不等式求在区间上的最大值即可. 【小问1详解】 当时，则，即， 因式分解可得：， 所以或， 则不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为或； 若，即时，不等式解集为或； 若，即时，不等式解集为； 综上所述，当时，解集为或； 当时，解集为或；当时，解集为. 【小问3详解】 ，恒成立， 化简可得：，恒成立， 等价于在恒成立， 由于恒成立， 可得在恒成立， 则只需，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 19. 设函数对任意，都有，且当时，. （1）证明：为奇函数； （2）证明：为减函数， （3）若，试求关于的不等式的解集. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用特殊值求出的值，进而令，则有，然后由奇函数的定义可得结论， （2）设，分析可得，再由单调性的定义可得结论， （2）由已知可得，所以不等式可转化为，再由函数的单调性可得，从而可求出结果 【小问1详解】 证明：因为函数对任意，都有， 所以令，则，得， 令，则有， 所以，即， 所以为奇函数 【小问2详解】 证明：设，则，而时，有，则 ， 所以， 所以为减函数 【小问3详解】 因为为奇函数，，所以， 所以， 所以， 所以不等式可转化为 ， 因为为减函数， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $