精品解析：河南平顶山市鲁山县第五教研区2026-2027学年九年级上学期10月期中数学试题

2026-2027学年上学期学情调研作业（二） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100 分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，，且a，b，c的长度分别为1，2，4，则d的长为（ ） A. 2 B. 4.5 C. 18 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， 将，，代入得， 解得． 2. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，进而得到，利用三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：四边形是菱形，  ， ， ， ． 3. 图中三种视图对应的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：从四个选项中立体图形的俯视图判断，只有B选项的俯视图与题中所给三视图的俯视图一致． 4. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理求解即可． 【详解】解：检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，依据是对角线相等的平行四边形是矩形， 5. 如图，直线，直线，，对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，可以求出，，根据平行线分线段成比例定理即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是，，， ，， ， ． 6. 小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得 第一步 二次项系数化为1，得① 第二步 配方，得② 第三步 ①②处应分别填入的数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先将二次项系数化为1得到①，再根据配方的规则求出②即可． 【详解】解： 把常数项移到方程的右边，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得． 因此①为，②为． 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ） A. B. 点A，O，三点在同一直线上 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴，点A，O，三点在同一直线上，， ，即， ∴四个选项中只有C选项的说法不正确，符合题意． 8. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 9. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（ ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断③；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断④． 【详解】解：①若方程的两个根为和1，则， ∴， ∴，即，故①正确； ② ， ∴将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则， ∵，即， ∴，， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数解， ∴由根与系数的关系可知，原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，故③正确； ④若，则都是关于的一元二次方程的实数根， ∵关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根， ∴是可以存在这种情况的，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个． 10. 如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（ ） A. 3或1 B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15 分） 11. 一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【解析】 【分析】在投影中，由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，判断光源类型即可得出结论． 【详解】解：∵灯光属于点光源， ∴该投影属于中心投影． 12. 已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出两个三角形的相似比，即可得到周长之比． 【详解】解：，与的面积之比为， 与的相似比为， 相似三角形的周长比等于相似比， 与的周长之比为． 13. 如图，分别以点A，B为圆心，以13为半径画弧，两条弧分别交于M，N两点，已知，则以A，B，M，N四点为顶点的四边形的面积是___________． 【答案】120 【解析】 【分析】首先得到四边形是菱形，进而得到，，然后利用勾股定理得到，求出，最后利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意可得，， ∴四边形是菱形， ∴设和交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 14. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是____．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．先根据黄金分割的定义得，进而得，再根据列方程求解即可． 【详解】解：、两点都是的黄金分割点， ， ， ， ， 而， ， ． 故答案为：． 15. 如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】先证四边形和都是矩形，由是等腰直角三角形，M是的中点，可得．由“矩形的对角线相等且互相平分”可得，且N是的中点．根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ． 又， ， ， ∴四边形和都是矩形， ． ． ， 是等腰直角三角形． ∵M是的中点， ， ． ∵四边形是矩形， ． 又∵N是的中点， ∴N是的中点， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用合适的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）变形后用因式分解法求解； （2）用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ． ∴，或． 解得，． 【小问2详解】 解： 这里 ． 17. 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴． 18. 根据要求完成下列问题： （1）如图1，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段．用尺规作出同一时刻标杆在地面上的影子； （2）如图2，添线补全下面物体的三视图． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，过点D作直线交于点M，在的上方作，直线交于点F，线段即为所求； （2）根据左视图少一条横的虚线，俯视图少一条竖的实线补全即可．． 【小问1详解】 解：图略； 理由：根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段， ∴线段就是标杆在地面上的影子； 【小问2详解】 略． 19. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据，证明，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：木杆的高度为． 20. 如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形性质即可证明． （2）根据菱形性质和等边三角形性质，利用勾股定理即可计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理， ∴， ∴的长为． 21. 6月15日，全省2026年推进常态化帮扶持续巩固拓展脱贫攻坚成果工作会议召开，深入学习贯彻习近平总书记关于“三农”工作的重要论述和在河南考察时的重要讲话精神，落实全国推进常态化帮扶持续巩固拓展脱贫攻坚成果工作会议部署．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： （1）如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? （2）如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】（1）在墙上借用的的长为 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，，由题意，得，解方程即可； 【小问1详解】 解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． 答：在墙上借用的的长为； 【小问2详解】 解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由于长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 22. 我们规定：两条对角线相等的四边形叫做等对角线四边形． （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，_________一定是等对角线四边形（填写图形名称）； （2）如图（1），若分别是等对角线四边形四边，，，的中点，当对角线、还要满足_________时，四边形是正方形，请说明理由； （3）如图2，已知四边形是等对角线四边形，，，，，求四边形的面积． 【答案】（1）矩形 （2）当时，四边形是正方形．理由如下： 如图1中，分别是等对角线四边形四边、、、的中点， ，， ，， ， ， ∴四边形是菱形， 当时，， 由，可知，， ， ∴四边形是正方形； （3） 【解析】 【分析】（1）通过新定义等对角线四边形（两条对角线相等的四边形叫做等对角线四边形）的理解，即可得出答案； （2）因为对角线相等，再由三角形中位线的性质可得出四边形是菱形，只需要再满足四边形的内角是即可，证明方法类似； （3）过点作的边上的高，把四边形分成一个梯形和一个直角三角形，然后分别计算两个图形面积相加即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，作于点， 在中，，，， ， ，， ， 四边形是等对角线四边形， ， 在中，， ，， ， 四边形是直角梯形， ， ， ． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】如图1，在矩形中，，，E，F分别是，上的两点，连接，，于点G，则___________； （2）【深入探究】如图2，在矩形中，，分别交，于点E，F，分别交，于点H，G．求证：； （3）【拓展延伸】如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交于点F．若，，请直接写出的长． 【答案】（1） （2）证明：如图所示，过点A作交于点S，过点D作交于点R， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可证明， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到； （2）过点A作交于点S，过点D作交于点R，则可证明四边形和四边形都是平行四边形，得到，证明，得到，则可证明； （3）求出的长，则可证明是等边三角形，推出，据此根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期学情调研作业（二） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100 分钟． 2．请按要求把答案填写在试卷或答题卡上． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，，且a，b，c的长度分别为1，2，4，则d的长为（ ） A. 2 B. 4.5 C. 18 D. 8 2. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 图中三种视图对应的几何体是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，小明能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线长就可以判断了，他的依据是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 有三个角是直角的四边形是矩形 5. 如图，直线，直线，，对应刻度尺上的刻度读数分别是，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 小亮用配方法解方程的部分过程如下： 把常数项移到方程的右边，得 第一步 二次项系数化为1，得① 第二步 配方，得② 第三步 ①②处应分别填入的数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（ ） A. B. 点A，O，三点在同一直线上 C. D. 8. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙不对 B. 甲不对，乙对 C. 两人都对 D. 两人都不对 9. 对于一元二次方程，下列说法正确的个数为（ ） ①若方程的两个根为和1，则； ②若，则方程一定有解； ③若，且，则方程的两实数解一定互为相反数； ④若，则 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（ ） A. 3或1 B. 或 C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共15 分） 11. 一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 12. 已知，与的面积之比为，则与的周长之比为______． 13. 如图，分别以点A，B为圆心，以13为半径画弧，两条弧分别交于M，N两点，已知，则以A，B，M，N四点为顶点的四边形的面积是___________． 14. 符合黄金分割比例形式的图形很容易使人产生视觉上的美感．如图所示的五角星中，，且、两点都是的黄金分割点，若，则的长是____．（结果保留根号） 15. 如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 用合适的方法解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，点D，E分别在边、上，且，连接，求证：． 18. 根据要求完成下列问题： （1）如图1，地面上竖立着电线杆和标杆（均与地面垂直）．某一时刻电线杆在阳光下的影子为线段．用尺规作出同一时刻标杆在地面上的影子； （2）如图2，添线补全下面物体的三视图． 19. “准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 20. 如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，，求的长． 21. 6月15日，全省2026年推进常态化帮扶持续巩固拓展脱贫攻坚成果工作会议召开，深入学习贯彻习近平总书记关于“三农”工作的重要论述和在河南考察时的重要讲话精神，落实全国推进常态化帮扶持续巩固拓展脱贫攻坚成果工作会议部署．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： （1）如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? （2）如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 22. 我们规定：两条对角线相等的四边形叫做等对角线四边形． （1）在“平行四边形、矩形、菱形”中，_________一定是等对角线四边形（填写图形名称）； （2）如图（1），若分别是等对角线四边形四边，，，的中点，当对角线、还要满足_________时，四边形是正方形，请说明理由； （3）如图2，已知四边形是等对角线四边形，，，，，求四边形的面积． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，张老师要求学生对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边之间的数量关系进行探究，下面是他们的探究过程． （1）【数学思考】如图1，在矩形中，，，E，F分别是，上的两点，连接，，于点G，则___________； （2）【深入探究】如图2，在矩形中，，分别交，于点E，F，分别交，于点H，G．求证：； （3）【拓展延伸】如图3，在中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，且的延长线交于点F．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $