精品解析：河南省平顶山市鲁山县第二初级中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

鲁山县二中2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列命题中错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 正方形的对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键在于了解平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定及菱形的性质，属于基础题，比较简单．利用平行四边形的判定、正方形的判定、矩形的判定及菱形的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A项：两组对边分别相等的四边形即为平行四边形，说法正确，不符合题意； B项：菱形的性质之一包括其对角线互相垂直，说法正确，不符合题意； C项：对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形的对角线也相等，因此该说法错误，符合题意； D项：正方形的对角线相等，说法正确，不符合题意． 故选：C． 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后；二是一个未知数；三是未知数的最高次数为2；四是二次项系数不等于0；五是整式方程．根据一元二次方程的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是分式方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是一元三次方程，不符合题意， 故选C． 3. 下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 4. 从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，当次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值为（ ） A. 0.83 B. 0.52 C. 0.15 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率在大量重复试验下趋近于概率是解题的关键．根据频率估计概率的知识，质地均匀的硬币抛大量次时，正面朝上频率接近概率，而硬币正面朝上概率为，据此分析选项即可． 【详解】解：因为抛掷质地均匀的硬币，正面朝上的概率． 当试验次数很大时，频率趋近于概率． 各选项中只有最接近． 故选：B． 5. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项分析即可得解，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵（，）， ∴，，，故ABD正确，C不正确， 故选：C． 6. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A. B. C. 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数为2且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ，， ． 故选 ：B． 7. 如图，，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，理解平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，即，解得：． 故选：C． 8. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（ ） A. B. 4.2 C. 4.5 D. 5.8 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理，图形的折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质可得，再由为边的中点，可得，设，则，，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ∵为边的中点， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：D． 9. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似的概念、位似多边形的性质等知识点，掌握位似多边形的周长的比等于相似比是解题的关键．先根据题意求出两个相似多边形的相似比，再根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心为点O，， ∴，即四边形与四边形位似比为， ∴． 故选：C． 10. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以D，， 为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】根据题意得，，. 连接，，，. 故，∴. 同理可找到，和相似.故选B. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定方法“三边对就成比例，两三角形相似”,　理解题意，会根据勾股定理计算边的长度是关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据二次根式的性质，当被开方数相同时，可以直接合并系数. 【详解】解：. 故答案为 ． 12. 如图，四边形四边形，若，，，则______. 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟记相似多边形的对应角相等是解题的关键．根据相似多边形的对应角相等，以及四边形内角和为度求解即可． 【详解】解：四边形四边形， ， 又，， ， 故答案为：． 13. 是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解并代入方程求参数是解题的关键．将代入求解即可． 【详解】解：将代入， 得， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 14. 菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积之和． 故答案为：6 15. 已知关于x的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中a的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中b的值，则取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的应用，涉及到了一元二次方程的根的判别式，解题关键是牢记概率公式和一元二次方程根的判别式． 用画树状图依次确定满足方程有两个不相等的实数根的情况数和总的情况数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 共有6种等可能的情况， ， 时方程有两个不相等的实数根， 当和时，这两种情况均有，即方程有两个不相等的实数根， ∴取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用公式法求解； （4）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 或， ∴或； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则或， ∴，． 【小问3详解】 解： ∵， ∴， 则 ∴，； 【小问4详解】 解： ， 则， ∴或， ∴，． 17. 若且，求k的值． 【答案】 3 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，正确表示出各数是解题关键． 直接利用已知比例式假设出，，的值，进而利用，得出答案． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质．根据菱形的性质可得，，结合已知的，利用“”可证得，最后根据全等三角形的对应边相等即可． 【详解】略 19. 已知关于 x 的方程． （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若是该方程的一个根，求 k 的值 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入，得， 解得． 20. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 第一次 第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 21. 如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． （1）求的度数； （2）求边的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上） （1）在第三象限中画出，使得以点为位似中心，与位似比为； （2）在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为（______，______）； （3）在第二象限中画，使且面积是的倍． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）， （3） 解：如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质画图即可； （）根据位似图形的坐标变换规律即可求解； （）根据相似三角形的性质画图即可； 本题考查了位似作图，位似图形的性质，画相似三角形，掌握位似图形和相似三角形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 略 23. 黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”． （1）①若C是线段的黄金分割点，则与的比值是_______； ②如图①，学校元旦晚会的舞台长为，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为_______m． （2）如图②，请将内角分别为的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数． （3）如图③，已知等腰三角形为“黄金三角形”，为的平分线．求证：D是的黄金分割点． 【答案】（1） ①；② （2） 如图所示即为所求： （3） 证明：， ． 又为的平分线， ， ， 即． 又 ， 是的黄金分割点． 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、黄金三角形以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）①根据黄金分割点的定义，可得； ②由①得，将代入求解即可． （2）根据黄金三角形的定义，将的角向对边作角平分线，将原三角形分割即可； （3）由题意可得，故；再根据可证进而可得，整理变形即可． 【小问1详解】 解：①C是线段的黄金分割点， ． 故答案为： ②长为，C是线段的黄金分割点， ． 解得m． 故答案为：． 【小问2详解】 解：有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”． 可以将的角向对边作角平分线，将原三角形分割 如图： 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鲁山县二中2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列命题中错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 菱形的对角线互相垂直 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 正方形的对角线相等 2. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币，当次数很大时，落下后正面朝上的频率最有可能接近的数值为（ ） A. 0.83 B. 0.52 C. 0.15 D. 1 5. 已知（，），下列等式中变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（　　） A. B. C. 2 D. 不能确定 7. 如图，，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 8. 如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（ ） A. B. 4.2 C. 4.5 D. 5.8 9. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，则四边形的周长与四边形的周长之比是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，和的顶点都在格点上(小正方形的顶点).，，，，是边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与相似，所有符合条件的三角形的个数为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 如图，四边形四边形，若，，，则______. 13. 是关于x的一元二次方程的一个根，则______． 14. 菱形的对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．若，，则与的面积之和为__________． 15. 已知关于x的一元二次方程，现从，1，2三个数中任取一个数作为方程中a的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中b的值，则取得的a，b的值能使该一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 若且，求k的值． 18. 如图，在菱形中，点E，F分别在边上，，求证：． 19. 已知关于 x 的方程． （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）若是该方程的一个根，求 k 的值 20. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 21. 如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． （1）求的度数； （2）求边的长度． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格上） （1）在第三象限中画出，使得以点为位似中心，与位似比为； （2）在（）条件下，若为内部的任意一点，则变换后点的对应点的坐标为（______，______）； （3）在第二象限中画，使且面积是的倍． 23. 黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为的等腰三角形称为“黄金三角形”． （1）①若C是线段的黄金分割点，则与的比值是_______； ②如图①，学校元旦晚会的舞台长为，主持人小明学习了相关的数学知识后，认为站在点C处更自然得体（已知C是线段上靠近点B的黄金分割点），则此时小明与点A的距离为_______m． （2）如图②，请将内角分别为的等腰三角形分割成三个“黄金三角形”，并标出每个“黄金三角形”内角的度数． （3）如图③，已知等腰三角形为“黄金三角形”，为的平分线．求证：D是的黄金分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $