精品解析：北京大学附属中学2026—2027学年度第一学期期中练习八年级数学学科试卷

2026-2027学年度第一学期期中练习 八年级数学学科试卷 考生需知： 1．本试卷共8页，26道题，满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题符合题意的选项只有一个． 1. 在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 画的高，以下画图正确的是（ ） A.     B.     C.     D.     【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，根据的高应是过点垂直于的线段即可判断求解，理解三角形高的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的高应是过点垂直于的线段， ∴图、图、图中的都不是高，只有图中的是高， 故选：． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C错误； D、，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 4. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】无需验证全部两边之和，只需比较两短边之和与最长边的大小，即可判断能否组成三角形． 【详解】解：A．，不能组成三角形； B．，不能组成三角形； C．，能组成三角形； D．，不能组成三角形． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等，三角形内角和定理即可求出结果． 【详解】解：如图， ∵，， ∴ ∵两个三角形全等，同时在第二个三角形中，为边b的对角， ∴对应第一个三角形中的， ∴． 故选：B． 6. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由作法得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作图过程可知， 在与中， ， ∴， ∴． 7. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列代数式，不规则图形的面积，掌握相关知识是解决问题的关键．将题目中的阴影部分进行不同的组合，可求得阴影部分的面积，逐项判断即可． 【详解】A． 是表示整个长方形的面积减去空白部分的面积，可以表示阴影部分的面积，故此选项不符合题意；   B． 是表示上面两个长方形的面积和加上右下方的长方形面积，可以表示阴影部分的面积，故此选项不符合题意；     C． ，是表示右侧两个长方形的面积和加上左上方的正方形面积，可以表示阴影部分的面积，故此选项不符合题意；      D． 不能表示阴影部分的面积，符合题意；   故选D． 8. 若，则m的值为（　　） A. -8 B. 2 C. -2 D. -5 【答案】B 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应项的系数相等列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，恒等原理等，熟练掌握多项式乘以多项式的法则，恒等的两个代数式对应项系数相等，是求解的关键． 9. 为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为3，，若的形状、大小是唯一确定的，则的可能取值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据点B到射线的距离及的长，结合三角形唯一确定的条件（垂线段最短或边长大于等于已知边），确定x的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：如图，设点B到射线的垂足为D， ∴ ∵ ∴ ∵的形状、大小是唯一确定的 ∴点C在射线上的位置唯一 当时，此时点C和点D重合，， ∴此时为直角三角形，唯一确定； 当时，以点B为圆心，长度为半径画弧，与射线有两个交点， ∴此时的形状、大小不唯一； 当时，以点B为圆心，长度为半径画弧，与射线只有一个交点， ∴此时的形状、大小唯一， ∴x的取值范围是或， ∴观察选项，的可能取值是7． 10. 如图锐角中，，点是边上一动点，在边上存在点，边上存在点，给出下列结论：①存在唯一一个使其周长最小；②当且仅当为中点时，存在唯一确定的点，使得的周长为最小；③在边上任意位置都存在点和，使得的周长恰与长度相等；其中包含所有正确结论的选项是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】利用轴对称性质将的周长转化为线段的长，确定、的位置；结合证明为等边三角形，从而得出周长与的关系． 【详解】解：作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，分别交、于点、，如图， 则， 此时的周长为最小值； 对于上任意确定的点，点、唯一确定，线段唯一确定， 点、唯一确定，故①正确，②错误； 连接、、，由轴对称性质可知，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 即的最小周长等于的长， 在边上任意位置都存在点和（即周长最小时的点），使得的周长恰与长度相等，故③正确， 综上所述，正确的结论是①③． 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如图，已知为的外角，，，那的度数是__________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据“三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和”，求的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 12. 点M(a，5)与点N(-3，b)关于Y轴对称，则a + b =______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点得a =3，b=5，即可求解． 【详解】解：∵点M（a，5）和点N（-3，b）关于y轴对称， ∴a =3，b=5， ∴a + b =8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标特点：点P（a，b）关于x轴的对称的点的坐标为P1（a，-b）；点P（a，b）关于y轴的对称的点的坐标为P2（-a，b）． 13. 如图，线段AB与CD相交于点O，且OA＝OD，连接AC，BD，要说明△AOC≌△DOB，还需添加的一个条件是_____．（只需填一个条件即可） 【答案】OC＝OB或AB＝CD或∠A＝∠D或∠B＝∠C．（答案不唯一） 【解析】 【分析】已知条件中OA=OD，且∠AOC=∠DOB为对顶角相等，则还需添加这一对角的另一对对应边相等或另一组对应角相等即可． 【详解】∵OA=OD，且∠AOC=∠DOB，∴添加OC=OB或AB=CD时，依据SAS即可判定△AOC≌△DOB； 添加∠A=∠D或∠B=∠C，依据ASA或AAS即可判定△AOC≌△DOB． 故答案为OC=OB或AB=CD或∠A=∠D或∠B=∠C．（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 14. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形． 【答案】30°或75°或120° 【解析】 【分析】分三种情况当点O，点A，点P为等腰三角形顶角，利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：当点O为等腰三角形顶点时，∠A=75°， 当点A为等腰三角形顶点时，∠A=120°， 当点P为顶点时，∠A=30°， 故答案为30°或75°或120°． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，三角形内角和，分类讨论思想，对于等腰三角形求角度，分类考虑点O，点A，点P为等腰三角形顶角是解题关键． 15. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 【答案】7 【解析】 【分析】过点作，由题意可得，然后进行求解即可． 【详解】解：过点作交于点E，如图所示， 由题可知，平分， 又， ∴， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，等边顶点坐标为，顶点，在轴上，过点作直线，点关于直线的对称点为点（点不与点重合）． ①当直线平行于轴时，线段与线段的数量关系为____________； ②若存在直线使点在线段上，则的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质结合解30度直角三角形求得点B和点C的坐标； ①根据题意得出直线l的解析式，利用轴对称的性质得出点D的坐标，通过两点之间的距离公式分别计算出和的值，从而求得最终结果； ②根据题意可得出直线与轴负半轴的夹角为，利用待定系数法先求出直线的解析式，设直线交轴于点，直线交于点，则为中点， 利用解30度直角三角形得到点E的坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式，根据中点坐标公式的应用列出关于点M的横坐标的一元一次不等式即可求得p的取值范围． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，， 在中，， ∴，即， ∴，解得：， ∴， 同理可得：， ①由题意知，直线l的解析式为， ∵点关于直线的对称点为点（点不与点重合）， ∴， ∴，， ∴， ∴，即； ②∵点是点关于直线 的对称点， ∴垂直平分线段， ∵点在线段上， ∴点都在直线上， ∴， ∵， ∴直线与轴的负半轴的夹角为，  设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图，设直线交轴于点，直线交于点，则为中点，  在 Rt 中，， ∴，则， ∴， 由图象可知，， 设直线的解析式为， 代入点得：， ∴， ∴ 直线的解析式为， 联立，解得， ∵点在线段上，且不与重合， ∴点在线段上，且，， ∴，即， 解得， ∴的取值范围是． 三、解答题（本题共52分，17题-18题每题4分，19题-22题每题5分，23-26题每题6分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 19. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 【答案】 证明：∵∠1=∠2， ∴∠1+ECA=∠2+∠ACE，即∠ACB=∠DCE． 在△ABC和△DEC中， ∵CD=CA，∠ACB=∠DCE，BC=EC， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴DE=AB． 【解析】 【分析】由已知证得∠ACB=∠DCE，从而根据三角形全等SAS的判定，证明△ABC≌△DEC，继而可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，解决此题的关键是证明∠ACB=∠DCE． 20. 已知：，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】先展开化简代数式，变形出整体代入求值． 【详解】解：原式， 由可得， 则原式． 21. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据作线段垂直平分线的作法作图即可； （2）先求出，再求出，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等边对等角求出，根据三角形外角的性质求出，根据等角对等边得出，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹）． 【答案】（1） 解：如图，即为所求，点，，的坐标分别为，，． （2）解：如图，点D即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-轴对称变换，利用轴对称求最短距离问题，熟练掌握利用轴对称的性质作图与求最短距离是解题的关键． （1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再首尾顺次连接即可，然后根据所作图形可得，，三个点坐标； （2）作出点B关于y轴的对称点，连接，则与y轴的交点即是点D的位置，此时，最小，即可得到结论； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，在中，，是角平分线，是高，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，进一步求解即可得． 【详解】解：∵在中，是高，， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，直线经过点C，于点D，于点E． （1）求证：； （2）在线段上取一点F，使得，连接，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）证明出是等腰直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 小明在学习“互逆命题”时，对下面这个命题产生了浓厚的兴趣： 命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）请你帮小明写出这个命题的逆命题： 逆命题：在直角三角形中，如果____________，那么____________． （2）小明结合（1）中写出的逆命题，画出了如图所示的图形，并写出了“已知”，请你帮他补全“求证”的内容．已知：如图，在中，，且． 求证：____________． （3）请你写出（2）中的证明过程． 【答案】（1）一条直角边等于斜边的一半，它所对的角是 （2） （3）证明：如图，延长到D，使，连接， ∵，即， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又，， ∴． 【解析】 【分析】（1）明确逆命题的构造方法，交换原命题的题设与结论即可得到所求逆命题； （2）根据（1）中命题的结论即可解答； （3）延长到D，使，连接，证明是等边三角形，然后根据三线合一的性质即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 26. 如图，在中，，过点A作，延长至点E，使得，连接、． （1）求证：； （2）过点D作于点H，当时，探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明：， ， ∵， ，， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图，过作于，在上取点，且，， ∴是线段，线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用证明. （2）如图，过作于，在上取点，且，，可得，再证明，，可得，进一步证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期期中练习 八年级数学学科试卷 考生需知： 1．本试卷共8页，26道题，满分100分，时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1-10题符合题意的选项只有一个． 1. 在美术字中，有些汉字可以看成是轴对称图形．下列汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 画的高，以下画图正确的是（ ） A.     B.     C.     D.     3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则m的值为（　　） A. -8 B. 2 C. -2 D. -5 9. 为锐角，，点在射线上，点到射线的距离为3，，若的形状、大小是唯一确定的，则的可能取值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 7 10. 如图锐角中，，点是边上一动点，在边上存在点，边上存在点，给出下列结论：①存在唯一一个使其周长最小；②当且仅当为中点时，存在唯一确定的点，使得的周长为最小；③在边上任意位置都存在点和，使得的周长恰与长度相等；其中包含所有正确结论的选项是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 如图，已知为的外角，，，那的度数是__________． 12. 点M(a，5)与点N(-3，b)关于Y轴对称，则a + b =______． 13. 如图，线段AB与CD相交于点O，且OA＝OD，连接AC，BD，要说明△AOC≌△DOB，还需添加的一个条件是_____．（只需填一个条件即可） 14. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝______________ 时，△AOP为等腰三角形． 15. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的面积为___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，等边顶点坐标为，顶点，在轴上，过点作直线，点关于直线的对称点为点（点不与点重合）． ①当直线平行于轴时，线段与线段的数量关系为____________； ②若存在直线使点在线段上，则的取值范围是____________． 三、解答题（本题共52分，17题-18题每题4分，19题-22题每题5分，23-26题每题6分） 17. 计算： 18. 计算： 19. 如图，CD＝ CA，∠1 ＝ ∠2，EC＝BC． 求证：DE＝AB． 20. 已知：，求代数式的值． 21. 如图，在中，，，是的角平分线． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） （2）求证：． 22. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形，其中点，，的对称点分别为，，，直接写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使的值最小，在图中画出点（保留必要的画图痕迹）． 23. 如图，在中，，是角平分线，是高，，，求和的度数． 24. 如图，在中，，，直线经过点C，于点D，于点E． （1）求证：； （2）在线段上取一点F，使得，连接，求证：． 25. 小明在学习“互逆命题”时，对下面这个命题产生了浓厚的兴趣： 命题：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． （1）请你帮小明写出这个命题的逆命题： 逆命题：在直角三角形中，如果____________，那么____________． （2）小明结合（1）中写出的逆命题，画出了如图所示的图形，并写出了“已知”，请你帮他补全“求证”的内容．已知：如图，在中，，且． 求证：____________． （3）请你写出（2）中的证明过程． 26. 如图，在中，，过点A作，延长至点E，使得，连接、． （1）求证：； （2）过点D作于点H，当时，探究线段与的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $