云南省玉溪第一中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题（特长级部）

玉溪一中2026一2027学年上学期 高二年级特长级部期中考数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 正确填涂 考 号 注意事项 1. 答题前请将姓名、班 级、考场、准考证号填写清 [o] [o] [o] [0] [o] [o] 缺考标记 楚。 [1] [1] [1] [1] [1] [1] 口 2.客观题答题，必须使用 [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2B铅笔填涂，修改时用橡皮 [3] [3] [3] [3] [31 回回 擦干净。 [4] [4] [4 [4] [4] [4] 3.必须在题号对应的答题 [5] 51 [5] [5] [5] [5] 问期 区域内作答，超出答题区域 [6] [6] [6] [6] [6] [6] 书写无效。 [7] 7] [7] [7] [7] [8] 8] [8 [8] 8] 8 [9] [9] [9] [9] [9] [9] 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是正确的。 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 二、 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分。 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 13 14 囚囚■ 第1页共6页 四、解答题：共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) ◆频率组距 0.100 0.070 0.030 0.015 0.010 01 15 913172125 囚囚■ 第2页共6页 16.(15分) ■ 第3页共6页 17.(15分) E B I I I I 囚■ㄖ 第4页共6页 18.(17分) 囚■囚 第5页共6页 ▣ 19.(17分) ■ 第6页共6页Sheet1 玉溪一中2026-2027学年高二上学期特长级部期中考试数学学科双向细目表 题型 题号 主题 知识 模块 考 查 内 容 教材对应点 对应课标要求 情境创设 学科素养 关键能力 难度 易 中 难 单选 1 复数几何意义 复数 复数对应点所在象限 必修二第七章7.1 理解复数的几何意义 数学情境 数学抽象、直观想象 概念辨析 √ 2 四分位数 统计与概率 样本数据下四分位数 必修二第九章9.2 理解四分位数，会计算 现实数据情境 数据分析 数据处理 √ 3 直线点斜式 解析几何 倾斜角与点斜式方程 选必一第二章2.2 掌握点斜式方程 数学情境 数学运算 运算求解 √ 4 对数运算 函数 对数运算法则 必修一第四章4.3 掌握对数运算性质 数学情境 数学运算 运算求解 √ 5 棱台体积 立体几何 正四棱台体积 必修二第八章8.3 掌握棱台体积公式 几何情境 直观想象 数学运算 空间想象、运算求解 √ 6 半角公式 三角 半角正切 必修一第五章5.5 掌握半角公式 数学情境 数学运算 运算求解 √ 7 外接球表面积 立体几何 直三棱柱外接球半径与表面积 必修二第八章 理解组合体外接球，会求表面积 几何情境 直观想象 数学运算 空间想象、运算求解 √ 8 椭圆性质 解析几何 焦点、顶点、斜率乘积、平行四边形面积 选必一第三章3.1 掌握椭圆几何性质及综合应用 数学情境 逻辑推理 数学运算 综合求解 √ 多选 9 倾斜角与斜率 解析几何 倾斜角范围、斜率关系、平行条件 选必一第二章2.1 理解倾斜角与斜率关系 数学情境 逻辑推理 概念辨析 √ 10 圆锥曲线方程 解析几何 圆、椭圆、双曲线方程条件、焦距、渐近线 选必一第三章3.1—3.2 掌握方程类型与性质 数学情境 逻辑推理 数学运算 分类讨论 √ 11 圆系与位置关系 解析几何 焦点、顶点、斜率乘积、平行四边形面积 选必一第三章3.1 掌握椭圆几何性质及综合应用 数学情境 逻辑推理 数学运算 综合求解 √ 填空 12 向量平行 平面向量、三角 向量平行坐标表示、同角三角函数关系 必修二第六章6.3 掌握向量平行条件 数学情境 数学运算 运算求解 √ 13 圆的弦长 解析几何 过定点弦长、正整数弦条数 选必一第二章2.5 掌握弦长公式与圆对称性 几何情境 直观想象、逻辑推理 综合求解 √ 14 双曲线离心率 解析几何 双曲线定义、圆切线、相似、离心率 选必一第三章3.2 掌握双曲线定义与几何性质 几何情境 逻辑推理、数学运算 综合推理 √ 解答 15 频率分布直方图 统计与概率 参数、中位数、平均数估计 必修二第九章9.2 会由直方图估计数字特征 现实数据情境 数据分析、数学运算 数据处理 √ 16 椭圆中点弦 解析几何 弦长、中点弦方程 选必一第三章3.1 掌握直线与椭圆位置关系 数学情境 数学运算、逻辑推理 运算求解 √ 17 空间向量应用 立体几何 二面角余弦值、点到平面距离 选必一第一章1.4 掌握空间向量求角与距离 几何情境 直观想象、数学运算 空间想象、运算求解 √ 18 解三角形 三角 正余弦定理、四点共圆综合 必修二第六章6.4 掌握正余弦定理及综合应用 几何情境 逻辑推理、数学运算 综合求解 √ 19 椭圆综合 解析几何 椭圆方程、定值证明、面积最值 选必一第三章3.1 掌握椭圆综合与最值 数学情境 逻辑推理、数学运算 综合求解 √ 满分：150分 考试时间：120分钟 预估均分：100 $ 玉溪一中2026—2027学年上学期高二年级特长级部 期中考数学学科试卷 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人: 金志文 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。 1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．样本数据5，8，9，10，12，14的下四分位数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 4．（    ） A．0 B． C．1 D．2 5．在正四棱台中，，高为，则该四棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知直三棱柱的顶点都在球上，若，，，，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线与椭圆交于，两点，则（   ） A．椭圆的焦距为1 B． C．直线和的斜率的乘积为 D．当以P，Q，F，B四个点为顶点的四边形为平行四边形时，该四边形的面积为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列叙述错误的是（   ） A．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 B．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 C．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 D．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行 10．已知方程为，则（   ） A．若为圆方程，则该圆面积为 B．若，则方程的焦距为． C．若为焦点落在x轴的椭圆，则实数m的取值范围为． D．若，则方程渐近线方程为 11．如图，有一组圆都内切于点，圆，设直线与圆在第二象限的交点为，若，则下列结论正确的是（   ） A．圆的圆心都在直线上 B．圆的方程为 C．若，则圆与轴有交点 D．设直线与圆在第二象限的交点为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设平面向量，，且，则______． 13．已知圆，则过原点O恰好可以作__________条长度为正整数的弦. 14．已知双曲线的右焦点为F，在双曲线左支上取一点M，若直线MF与以双曲线实轴为直径的圆相切于N，若向量，则双曲线C的离心率为__________. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤  15．（13分）某样本的频率分布直方图中，数据为连续分组区间． (1)求直方图中参数a的值； (2)估计样本数据的中位数； (3)估计样本数据的平均数． 16．（15分）已知椭圆，点为椭圆内一点，过点的直线与椭圆交于、两点， (1)若直线的斜率为1，求线段的长度； (2)若为线段的中点，求直线的方程. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)求点到平面的距离． 18．（17分）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，． （i）若，求． （ii）若四点共圆，求． 19．（17分）已知椭圆的左右两焦点为，，焦距为，过点且与坐标轴不平行的直线与椭圆相交于两点，的周长为. (1)求椭圆的标准方程; (2)若过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值; （ii）求面积的最大值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026年10月3日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C B B A D C BCD ACD 题号 11 答案 ABC 1．D 【详解】由，则复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 2．D 【详解】样本容量为6，，所以下四分位数为第二个，即下四分位数为8. 3．C 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 4．B 【详解】. 5．B 【分析】根据棱台的体积公式求解即可. 【详解】下底面边长，面积， 上底面边长，面积. 所以. 6．A 【详解】由，可知，， 且，解得或． 因为，所以，所以. 7．D 【分析】利用底面直角三角形的性质求出底面外接圆半径，结合直棱柱高度确定球心位置及球心到底面的距离，根据求出球半径，进而计算表面积。 【详解】由，知为直角三角形，斜边为其外接圆直径. 计算， 故底面外接圆半径. 直三棱柱的高，球心位于上下底面外心连线的中点， 故球心到底面的距离. 设球半径为，则. 球的表面积. 8．C 【分析】利用给定的椭圆基本量求出焦距长度判断A，利用椭圆的对称性合理转化长度判断B，利用平行四边形性质求出的坐标，再求解平行四边形面积判断D，设出关键点的坐标，利用点在椭圆上消去参数，判断斜率乘积为定值求解C即可. 【详解】对于A，由，得到， 可得椭圆C的焦距为2，故A错误； 对于B，如图，设椭圆的左焦点为，连接 由椭圆的对称性有，故B错误； 对于C，由，设点的坐标分别为， 代入椭圆中有．又由， ，故C正确． 对于D，由题意得，且， 又因为四边形为平行四边形，有， 可得点的坐标，代入椭圆中，得到， 解得，即的坐标为， 则平行四边形的面积为，故D错误； 故选：C． 9．BCD 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，逐项判断各项的正误即可. 【详解】对于A，与轴垂直的直线的倾斜角为，与轴垂直的直线的倾斜角为， 所以与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或，故A正确； 对于B：由于直线倾斜角的取值范围是， 因此不在此范围内时不是直线的倾斜角， 如当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故B错误； 对于C，设直线的倾斜角为， 当，斜率，当，斜率，故C错误； 对于D，若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行或重合，故D错误. 故选：BCD. 10．ACD 【分析】根据二元二次方程表示圆，椭圆，双曲线的条件，结合圆面积，椭圆焦距，双曲线渐近线方程的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：若方程表示圆，则，解得，此时圆方程为，半径为， 该圆的面积为，故A正确； 对B：若，原方程为，其表示焦点在轴上的双曲线，， 故，解得，故焦距，B错误； 对C：若为焦点落在轴的椭圆，则，即，也即， 则实数的取值范围为，故C正确； 对D：若，原方程为，其表示焦点在轴上的双曲线，，， 则渐近线方程为，故D正确. 11．ABC 【分析】求出连心线所在直线方程判断A；求出圆的方程判断B；求出圆的圆心到y轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断C；求出点的纵坐标判断D. 【详解】圆的圆心，直线的方程为，即， 由两圆内切连心线必过切点，得圆的圆心都在直线上，即圆的圆心都在直线上，故A正确； 显然，设点，则，而， 解得，，因此圆的圆心，半径为， 圆的方程为， 则圆的方程为，故B正确； 圆的圆心为，半径， 圆心到轴的距离为， 由两边平方得， ，，而 所以当时，圆与轴有交点，C选项正确. 在中，令，得点的纵坐标为，因此，故D错误． 故选：ABC. 12． 【分析】由向量平行坐标表示结合同角三角函数关系可得答案. 【详解】因，则. 13．9 【详解】圆的半径，点在圆内，直径是最长的弦，长度为8. 以下分析过点的最短的弦， 由垂径定理知，弦长，其中为圆心到弦的距离， 要使得最短，则最大，，当时取等号， 所以当时，最大，弦长最短，计算得 根据圆的对称性，能作9条长度为正整数的弦，其长度分别是. 故答案为：9 14． 【分析】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为，可得相似于，且相似比为，结合双曲线的定义可得，在直角中，由勾股定理得出的等量关系，再由双曲线的离心率公式即可求解. 【详解】连接，取双曲线的左焦点为，连接，过作的垂线，垂足为， 直线与圆相切， ， ， 为的中点，， 相似于，且相似比为， 故. . 在双曲线中，由双曲线定义知， . 为直角三角形， ，即，解得， 故双曲线的离心率为. 故答案为:. 15．(1) (2)中位数为 (3)平均数为 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1列方程求解即可. （2）判断中位数所在区间，列方程求解即可. （3）根据用频率分布直方图估计样本数据的平均数公式求解即可. 【详解】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，得 ， 化简得，解得. （2）第一组频率， 前两组累计频率， 故中位数在区间内. 设中位数为，则， 解得. （3）各组中点依次为3,7,11,15,19,23， 对应频率依次为， 因此平均数为 . 16．(1) (2) 【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以.所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 17．(1) (2) 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （2）求出向量，再由向量法求解. 【详解】（1）因为平面，且， 所以，如图以点为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得， 因为为棱的中点，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，取，则， 则， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）因为， 所以点到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 18．(1) (2) 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. (i) 在中, （ii）解法一 连接CD，因为ACED四点共圆，，所以CE为直径，所以. 因为，所以.因为，所以 因为ACED四点共圆， 所以 在中, 解得AE= 所以 解法二 以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 而 所以 化简得解得 进一步所以 所以所以 19．(1)； (2)（i）0；（ii） 【分析】（1）根据焦距得到，由椭圆定义和三角形周长得到，，故，得到椭圆方程； （2）（i）当直线斜率为0时，，当直线斜率不为0时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，计算出； （ii）由（i）可得，由基本不等式得到面积最大值，得到答案. 【详解】（1）由题意可得椭圆焦点在x轴上， 因为焦距为，所以，解得， 由椭圆定义可得， 的周长为，故， 解得， 又，故， 所以椭圆的方程为； （2）（i）由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立， 则， 设，则， 所以， 因为 ， 所以，综上，为定值0； （ii）由（i）可得， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以△ABF1面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $