精品解析：云南昆明市云南师范大学附属中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

云南师大附中2026~2027学年上学期期中考试试题 高二年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以. 2. 抛物线的焦点坐标 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由抛物线方程知焦点在x轴正半轴，且p=4，所以焦点坐标为 ，所以选B． 3. 已知是与的等差中项，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由于是与的等差中项，则，即，解得． 4. 某校有名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组人，B组人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A、B两组的平均成绩分别为分和分，则在这次测试中这名学生的平均成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意可知，A组人数占总人数的权重为，B组人数占总人数的权重为， 因此50名学生的平均成绩 分． 5. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是上一点，满足，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得即解． 【详解】如图所示： 由，得，， 因为，所以， 由，得， 故椭圆的离心率． 6. 已知直线过点，圆：，则被截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程确定圆心与半径，判断点A在圆内，利用过圆内一点的最短弦为与该点和圆心连线垂直的弦的性质，结合弦长公式求解. 【详解】 对整理得 ， 因此圆心，半径， ， 由于，故点在圆内部， 根据圆的性质，过圆内一点的所有弦中，当直线与该点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， 圆心到直线的最大距离为，所以最短弦长为. 7. 在数列中，，（，），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由及递推公式，依次计算得 ， ， ， 可知数列是以3为周期的周期数列，故. 8. 数学中将由含参数方程表示、具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系．现有直线系：，若从中选出条直线围成正方形，则该正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线系就是圆的所有切线的集合进行求解． 【详解】将直线化为， 则点到直线的距离， 所以直线系方程的几何意义是：所有直线到定点的距离恒为， 因此直线系就是圆的所有切线的集合. 若从中选出条直线围成正方形，则4条直线为：， 如图所示： 则该正方形的面积为． 二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上的值域为 D. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A，已知，由周期公式，与选项表述相符，故A正确； 选项B，将代入函数解析式，得，即该点不在平衡位置上，不是对称中心，与选项表述矛盾，故B错误； 选项C，当时，，由正弦函数图象知，故，与选项中不符，故C错误； 选项D，将的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为，显然为偶函数，其图象关于轴对称，故D正确. 10. 如图，在平行六面体中，各棱长均为，，则下列说法正确的是（ ） A. 不能作为空间的一个基底 B. C. D. 直线与底面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得，可判断A；利用，求得判断B；求得，可得，可判断C；求得平面的一个法向量，可求得直线与底面所成角的正弦值判断D. 【详解】对于A，，所以是共面向量， 所以不能作为空间的一个基底，故A正确； 对于B，在平行六面体中，各棱长均为，， 所以， 同理可得，， 因为， 所以 ， 所以，故B正确； 对于C，又因为， 所以 ， 所以，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量为， 则， 令，则，所以平面的法向量为， 所以， ，所以， 设直线与底面所成的角为， 所以， 所以直线与底面所成角的正弦值为，故D错误. 11. 已知为抛物线：的焦点，是直线：上的一动点，过作的两条切线，切点分别为，，是线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 轴 B. 直线过定点 C. 若直线过点，则 D. 若直线，分别交轴于点，，则外接圆面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题以抛物线的切线为载体,综合考查切线方程、切点弦所在直线的定点问题以及三角形外接圆面积的最值.解题的关键是把过点的两条切线的斜率,转化为方程的两根,再用韦达定理把各选项中的几何量统一用,表示;判断面积最值时,先建立外接圆面积关于的表达式,再用点到直线的距离把问题转化为垂线段最短. 【详解】由得,设,则. 联立与消去得,其判别式小于零,故直线上的点都在抛物线外部,过的两条切线都存在. 设过的切线方程为,与联立得,由得,所以切线方程为,切点坐标为. 将代入得,设两条切线的斜率分别为,,则,. 于是,. 对于A,线段的中点的横坐标为,与点的横坐标相同,所以轴,A正确. 对于B,直线的斜率为,结合得直线的方程为,即. 由得,代入上式整理得,令,,解得,,所以直线恒过定点,B正确. 对于C,若直线过焦点,代入得,即,此时,即,所以,C错误. 对于D,切线与轴交于点,故,,而. 设外接圆的圆心为,由得,化简得. 于是外接圆半径的平方. 又,所以,外接圆面积. 点到直线的距离,当时取得最小值,此时为在上的投影.由的判别式,两条切线存在且,即,不重合;又,所以不在轴上,即,,三点不共线. 所以的最小值为,D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，根据与平行可得，再利用点到直线的距离公式可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线与直线平行， 所以， 则双曲线的方程为，右焦点坐标为， 其中一条渐近线方程为， 则双曲线的右焦点到直线的距离是. 故答案为：. 13. 根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为________． 【答案】 13 【解析】 【分析】根据抛物线的光学性质及定义，将光线路径的各段长度转化为点的横坐标与焦准距之和进行计算. 【详解】由抛物线方程可知，即， 所以焦点的坐标为，准线方程为. 设光线在抛物线上的两个反射点分别为，. 因为光线平行于抛物线的对称轴，根据抛物线的光学性质，反射光线必经过焦点， 又因为光线经过焦点，根据抛物线的光学性质，反射光线必平行于抛物线的对称轴. 由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离， 所以，. 因为三点共线，所以. 由题意及题图可知，点在点的右侧，点在点的右侧， 所以，. 则该光线经过的路程为 .  14. 已知圆：，椭圆：，为坐标原点，过点的直线在第一象限内与交于点，与交于点，为的中点，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】设过原点的直线方程，利用圆的性质将转化为，联立直线与椭圆方程得到点坐标，再结合二次函数性质求最大值. 【详解】 圆的圆心为，半径为，验证可知原点在圆上. 设过原点的直线的方程为，设. 因为是弦的中点，由圆的垂径定理得，即， 因此 ，  联立直线与椭圆的方程  代入整理得，由在第一象限得， 因此 ，  令，则，代入得： .  令，则上式. 二次函数在时取得最小值，故，当时取等号. 因此. 四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）求及其最小值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列及其前项和的性质，列出方程组，求出首项和公差，写出通项公式； （2）根据数列首项和公差，直接写出前项和公式，进而根据二次函数性质，求出最小值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，可得，解得， 所以. 【小问2详解】 可得， 可知，所以当时，取得最小值． 16. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，为坐标原点．若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的顶点和焦距的概念，写出参数，进而求出，直接写出标准方程即可； （2）根据直线所过的定点，设出方程，联立椭圆标准方程，根据韦达定理以及椭圆弦长公式，求出直线斜率，进而根据点到直线距离公式求出三角形的高，直接求出面积. 【小问1详解】 由题可知，可得，则， 所以椭圆标准方程为. 【小问2详解】 设点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组得，消去得， 当时，即时，即或时， 直线与椭圆存在两个交点，此时， 可知， 可得，化简得，解得，即， 由对称性可知，或时，的面积相同， 当时，直线方程为，即， 此时原点到直线的距离为， 则的面积为. 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）若，求； （2）若点在边上且，求的取值范围． 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）先用余弦定理求出边长，再结合正弦定理求；（2）先利用向量关系表示出，再两边平方化简可得，最后结合三角形三边关系求出取值范围即可. 【小问1详解】 由，，则由余弦定理可得， 所以，即，解得或（舍），则， 在中，，由正弦定理可得， 即，解得； 【小问2详解】 由，则，两边同时平方得， 化简整理得，又，所以， 由余弦定理可得，所以， 由三角形三边关系满足，则，所以，则， 所以，即，所以的取值范围为. 18. 如图，在矩形中，，，四边形满足，且，记二面角所成平面角的大小为．点在直线上（不与点重合），且平面． （1）求证：； （2）若平面和平面垂直： （i）求的值； （ii）求几何体的体积． 【答案】（1）证明：如图，因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1） 利用线面垂直性质，由平面得，结合矩形中，证平面，推出； （2）（i）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，利用面面垂直则法向量点积为0得到； （ii）拆分几何体体积为两部分，代入的值算出总体积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由，，知， ，，又， 就是二面角的平面角，则， 又，， 由（1）知，平面，则平面， 故在平面内过点D作的垂线，交直线于点G， 以D为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，， 所以， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以； 因为平面和平面垂直，所以， 即， 整理可得； （ii）由题意知，几何体的体积， 由，知， 因为， ，所以， ， 所以， 所以几何体的体积为． 19. 已知双曲线：（，）的离心率为，实轴长为． （1）求的方程； （2）设，分别为的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，过的直线交的左支于，两点，其中在第三象限，直线，分别交直线于点，，直线与相交于点． （i）求点的轨迹方程； （ii）求的最小值． 【答案】（1）； （2）（i）； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用实轴长与离心率先求出，再借助算出，直接写出标准方程； （2）（i）设直线联立双曲线，用韦达定理证为定值，再联立两条直线消参得到轨迹并标注范围； （ii）设参数表示两条直线斜率，套用夹角公式化简，再用基本不等式求的最小值. 【小问1详解】 由题意，双曲线实轴长，因此，离心率，代入得， 由，可得，因此双曲线的标准方程为； 【小问2详解】 （i）由双曲线方程，得左顶点，右顶点，左焦点，右焦点， 设过的直线方程为，设，，由在第三象限知， 将代入双曲线方程，消去并整理得 ， 因为位于左支，其纵坐标异号， 故由韦达定理得，所以，即， . 直线过和，其点斜式方程为， 令，得点纵坐标， 代入，得，因此， 同理，直线交直线于，得， ， 将韦达定理代入分母化简得， 因此纵坐标乘积为定值， 直线过和，斜率，方程为， 直线过和，斜率，方程为， 设为两直线交点，将代入，得， 整理化简得 ，即， 得 ， 已知 ，联立方程 的左支上半支正根为 ，代入 并利用平方差化简得 ，令 ， 函数在上单调递增，在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 为直线：与直线：的交点， 因此，整理得 因为，因此 ，得， 整理得， 解得，令，，所以的横坐标为， 由，得，故，因此， 同时始终在轴下方，即， 最终点的轨迹方程为； （ii）是直线与的交点，由 三点共线， 三点共线，可知与互为邻补角，即， 点的轨迹是以为长轴顶点的椭圆，椭圆中心为的中点，短半轴（ 长度的一半）， 以为直径作圆，半径为，椭圆（除长轴顶点外）全部落在该圆内部， 根据圆的性质：圆内的点对直径两端点的张角为钝角，因此， 故，即为锐角， 因此即直线与的夹角， 设，由得， 结合在第三象限（），得， 两直线斜率分别为， 由两直线夹角的正切公式， ，， 因此， 由基本不等式， 当且仅当，即（）时，等号成立， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中2026~2027学年上学期期中考试试题 高二年级数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标 A. B. C. D. 3. 已知是与的等差中项，且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 某校有名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组人，B组人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A、B两组的平均成绩分别为分和分，则在这次测试中这名学生的平均成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 分 D. 分 5. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是上一点，满足，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过点，圆：，则被截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在数列中，，（，），则（ ） A. B. C. D. 8. 数学中将由含参数方程表示、具有某一共同特征的所有直线的集合叫做直线系．现有直线系：，若从中选出条直线围成正方形，则该正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点中心对称 C. 在上的值域为 D. 的图象向左平移个单位长度后关于轴对称 10. 如图，在平行六面体中，各棱长均为，，则下列说法正确的是（ ） A. 不能作为空间的一个基底 B. C. D. 直线与底面所成角的正弦值为 11. 已知为抛物线：的焦点，是直线：上的一动点，过作的两条切线，切点分别为，，是线段的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 轴 B. 直线过定点 C. 若直线过点，则 D. 若直线，分别交轴于点，，则外接圆面积的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离是__________． 13. 根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点．如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为________． 14. 已知圆：，椭圆：，为坐标原点，过点的直线在第一象限内与交于点，与交于点，为的中点，则的最大值是________． 四．解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）求及其最小值． 16. 已知椭圆：的一个顶点为，焦距为． （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，为坐标原点．若，求的面积． 17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且，． （1）若，求； （2）若点在边上且，求的取值范围． 18. 如图，在矩形中，，，四边形满足，且，记二面角所成平面角的大小为．点在直线上（不与点重合），且平面． （1）求证：； （2）若平面和平面垂直： （i）求的值； （ii）求几何体的体积． 19. 已知双曲线：（，）的离心率为，实轴长为． （1）求的方程； （2）设，分别为的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，过的直线交的左支于，两点，其中在第三象限，直线，分别交直线于点，，直线与相交于点． （i）求点的轨迹方程； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $