专题04 整式的乘法60道计算题15大题型（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

专题04 整式的乘法60道计算题15大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 同底数幂的乘法及其逆用 题型02 幂的乘方与积的乘方 题型03 同底数幂的除法 题型04 幂的混合运算 题型05 幂的新定义运算 题型06 整式乘法 题型07 整式乘法的化简求值 题型08 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型09 多项式乘法中的规律性问题 题型10 乘法公式计算 题型11 通过对完全平方公式变形求值 题型12 求完全平方式中的字母系数 题型13 乘法公式中的配方法 题型14 乘法公式新定义运算 题型15 整式乘法中的整体思维 ▌题型01 同底数幂的乘法及其逆用 【典例】（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）计算： (1) (2) 【变式1】（2026八年级上·全国·专题练习）解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【变式2】（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 【概念理解】规定两数之间的一种运算，记作，如果，我们叫为“雅对”．例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即． 【问题解决】 (1)根据上述规定，填空：___；____；_____． (2)计算： 【变式3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[说理]记，试说明； (3)[应用]若，求t的值． ▌题型02 幂的乘方与积的乘方 【典例】（26-27七年级上·上海普陀·期中）计算： 【变式1】（26-27八年级上·重庆九龙坡·期中）按要求解答问题： (1)计算：； (2)已知，求的值． 【变式2】（26-27八年级上·内蒙古通辽·期中）根据条件求值： (1)已知，，求的值； (2)已知n为正整数，且，求的值． 【变式3】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）解决下列问题： (1)计算下面两组算式： ①与； ②与； (2)根据以上计算结果猜想：________； (3)猜想与验证：当为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由； (4)利用上述结论，求的值． ▌题型03 同底数幂的除法 【典例】（26-27八年级上·吉林·期中）下面这道题目小明不会做，请你帮他写出解答过程． 如果，求m的值． 【变式1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【变式2】（26-27八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求： (1) (2) (3) 【变式3】（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)已知，，用含p，q的式子表示． ▌题型04 幂的混合运算 【典例】（2026八年级上·全国·专题练习）计算 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）计算： (1)； (2) ▌题型05 幂的新定义运算 【典例】（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； (2)记，，．求证：． 【变式1】（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 【变式2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）规定两正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：． 证明如下：设， 根据定义可得：， 因为， 所以，即， 所以． 根据前面的经验完成下面各题： (1)求的值； (2)求的值． 【变式3】（25-26八年级上·北京·阶段检测）对于正数和，如果数满足，定义一种能求出的新运算：． 例如：因为，所以； (1)填空：___________，___________； (2)若，求的值； (3)这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若，则”是假命题：___________，___________，___________． ②，该性质的证明过程如下： 设， 则． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：． ▌题型06 整式乘法 【典例】（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)． 【变式1】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果． (1)求出，的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【变式3】（26-27七年级上·上海·阶段检测）探究应用： (1)计算：__________； __________． (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，归纳总结： 新的乘法公式是__________（请用含、的式子表示）． (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（     ） A．；    B．； C．；    D．． (4)直接用公式计算： __________； __________． ▌题型07 整式乘法的化简求值 【典例】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【变式3】（2026·青海西宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． ▌题型08 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含的一次项．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？ 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期中）现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． ▌题型09 多项式乘法中的规律性问题 【典例】（25-26七年级下·四川成都·期末）观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 【变式1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表，原书佚失．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． (1)【应用体验】的展开式中的系数是 ；的所有系数和是 ． (2)利用上面的规律计算：． (3)【实际应用】今天是星期二，请直接写出天后是星期几？ 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： … (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简： ▌题型10 乘法公式计算 【典例】（上海市虹口区2026-2027学年七年级数学第一学期期中试题）计算：． 【变式1】（26-27七年级上·上海青浦·期中）已知，求的值． 【变式2】（26-27八年级上·四川眉山·期中）先化简或先因式分解，再求值：，其中． 【变式3】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知：，． (1)求； (2)试说明：． ▌题型11 通过对完全平方公式变形求值 【典例】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按要求回答问题 (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【变式1】（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）解答： (1)已知，求和的值． (2)若，求和的值． 【变式2】（26-27八年级上·四川遂宁·阶段检测）阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴，， ∴且， ∴ ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【变式3】（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． ▌题型12 求完全平方式中的字母系数 【典例】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）按要求完成下列各题 (1)在横线上填上适当的式子使等式成立：； (2)形如的式子称为完全平方式，若是完全平方式，则________； (3)已知，求的值． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【变式3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：，．例如；，． (1)若，求x的值； (2)若是一个完全平方式，求k的值． ▌题型13 乘法公式中的配方法 【典例】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求、的值； (3)当为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ (4)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【变式2】（25-26七年级下·广东梅州·阶段检测） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； (2)已知，则 ； (3)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (4)已知实数x、y满足，求的最大值． 【变式3】（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． ▌题型14 乘法公式新定义运算 【典例】（25-26七年级下·江苏连云港·期末）定义：我们把一个整数a平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，，我们就将9，0，25这些数都称为完全平方数． 请解答下列问题： (1)写出满足的一对正整数m和n的值：____________________； (2)通过计算说明：的值是一个完全平方数； (3)n是正整数，如果和都是完全平方数，求n的值． 【变式1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（，为正整数）的形式_______； (2)探究：设，请将表示成“完美数”的形式， 并求当为何整数时，最小，求出的最小值； (3)应用：已知（，为整数，是常数），要使S为“完美数”，求的值，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）定义：任意两个数a，b，按规律运算得到一个新数c，称c为a，b的“和差数”． (1)求2，的“和差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和差数”，求的值． (3)若，，求a，b的“和差数”c． 【变式3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． ▌题型15 整式乘法中的整体思维 【典例】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值问题中应用极为广泛，例如：已知，在求多项式的值时，我们常常将多项式写成的形式，再将代入即可得到．请同学们尝试利用“整体思想”解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)若关于x的多项式化简后的结果中项的系数为1，若，，求代数式的最小值． 【变式1】（25-26七年级下·安徽宣城·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的整体或某一部分通过恒等变形，化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式：______； （2）已知，求的值； 【探究问题】 （3）已知（x是正整数，y是大于1的正整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件k的值，并说明理由． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）阅读下列材料，解答下列问题： 例：若x满足，求的值． 解：设，，则，． ∴． 上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你运用这种方法解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 【变式3】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）【问题背景】在数学活动课上，同学们利用拼图探究整式乘法公式，通过对同一面积的不同表达和比较来理解公式，是我们学习的重要方法，如图，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图），且在分割过程中面积没有变化． 【探索归纳】 (1)若将图中的大正方形看作一个整体，则它的面积是 （用含，的式子表示）； 图中四部分的面积之和是 （用含，的式子表示）；因此，可以得到等式 ； 【学以致用】 (2)若，，分别求和的值； 【拓展应用】 (3)若，直接写出的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法60道计算题15大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 同底数幂的乘法及其逆用 题型02 幂的乘方与积的乘方 题型03 同底数幂的除法 题型04 幂的混合运算 题型05 幂的新定义运算 题型06 整式乘法 题型07 整式乘法的化简求值 题型08 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型09 多项式乘法中的规律性问题 题型10 乘法公式计算 题型11 通过对完全平方公式变形求值 题型12 求完全平方式中的字母系数 题型13 乘法公式中的配方法 题型14 乘法公式新定义运算 题型15 整式乘法中的整体思维 ▌题型01 同底数幂的乘法及其逆用 【典例】（26-27八年级上·宁夏吴忠·阶段检测）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂的乘法法则计算，再合并同类项． （2）直接利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（2026八年级上·全国·专题练习）解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂乘法法则拆分指数，整体代入已知条件即可求值； （2）先把常数改写为，等式左边化为同底数幂，底数相同则指数相等，列方程解出． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 【概念理解】规定两数之间的一种运算，记作，如果，我们叫为“雅对”．例：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即． 【问题解决】 (1)根据上述规定，填空：___；____；_____． (2)计算： 【答案】(1)；； (2) 【分析】（）根据新定义求解即可； （）设，根据新定义得到，根据同底数幂的乘法得到． 【详解】（1）解：∵，∴； ∵，∴； ∵，∴； （2）解：设，则， 故， 则， 即． 【变式3】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空： ， ； (2)[说理]记，试说明； (3)[应用]若，求t的值． 【答案】(1)2；3 (2)见解析 (3)48 【分析】（1）根据，结合所给定义即可得到答案； （2）根据定义可得，则可求出，进而得到，据此可证明； （3）设，则，可求出，，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． ▌题型02 幂的乘方与积的乘方 【典例】（26-27七年级上·上海普陀·期中）计算： 【答案】 【详解】解：原式， ． 【变式1】（26-27八年级上·重庆九龙坡·期中）按要求解答问题： (1)计算：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【变式2】（26-27八年级上·内蒙古通辽·期中）根据条件求值： (1)已知，，求的值； (2)已知n为正整数，且，求的值． 【答案】(1)48 (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，幂的乘方，计算即可； （2）根据幂的乘方，结合求代数式的值，解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：，且n为正整数， ，， ． 【变式3】（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）解决下列问题： (1)计算下面两组算式： ①与； ②与； (2)根据以上计算结果猜想：________； (3)猜想与验证：当为正整数时，等于什么？请你利用乘方的意义说明理由； (4)利用上述结论，求的值． 【答案】(1)①，；②，． (2) (3)当为正整数时，．理由如下： ∵表示个相乘，即，表示个相乘，即， ∴ ， ∵个相乘可表示为， ∴． (4) 【分析】（1）根据乘方和乘法运算法则计算即可； （2）根据（1）即可得到答案； （3）根据乘方的运算法则证明即可； （4）根据（3）中的公式进行计算即可． 【详解】（1）解：①，； ②，． （2）解：； （3）略 （4）解： ． ▌题型03 同底数幂的除法 【典例】（26-27八年级上·吉林·期中）下面这道题目小明不会做，请你帮他写出解答过程． 如果，求m的值． 【答案】． 【分析】同底数幂相乘、相除时指数相加、相减，计算时先把不同底数的幂统一化为同底数，再比较指数列方程，是解题的关键．先将9、27都化为以3为底的幂，再利用同底数幂的乘法、除法运算法则把等式左边化为3的一个幂，最后根据同底数幂相等则指数相等，列出方程求出m的值． 【详解】解： ． ， ， 解得． 【变式1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则． 你能利用上面的结论解决下面的问题吗？试试看，相信你一定行！已知： (1)求的值； (2)若，求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用逆用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方法则，结合题干给出的结论：若（且）则，对所求式子进行变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：由（1）知， ∴． ∵， ∴ ， ∴，解得． （3）解：∵， ∴． 【变式2】（26-27八年级上·甘肃天水·期中）已知，，求： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把 写成 ，再用同底数幂的除法性质代入； （2）把 看作 的平方，直接由（1）的结果求值； （3）先把 、 化成以 为底的幂，再用幂的乘方把待求式化为 与 的整指数幂． 【详解】（1）解：． （2）解：． ∵ ， ∴ ． （3）解：∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【变式3】（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）按要求解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)已知，，用含p，q的式子表示． 【答案】(1)27； (2)． 【分析】（1）根据同底数幂及幂的乘方运算法则对原式进行变形，再代入求值即可； （2）根据积的乘方及幂的乘方运算法则进行变形即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解： ，， ． ▌题型04 幂的混合运算 【典例】（2026八年级上·全国·专题练习）计算 【答案】 【详解】解： ． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘法以及整式的加减运算． 解题的关键是严格遵循幂的运算规则，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】0 【分析】此题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，解题关键在于掌握运算法则； 先根据幂的乘方法则，同底数幂的乘法法则化简，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据各自的运算法计算即可． （1）先计算幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，最后合并同类项即可． （2）先利用积的乘法的逆运算计算，然后再计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ▌题型05 幂的新定义运算 【典例】（26-27八年级上·吉林长春·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么．我们叫为“雅对”．例如：，；，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立．证明如下： 设，，则，． ． ， 即． (1)根据上述规定，填空： ①________②若，则________；③________； (2)记，，．求证：． 【答案】(1)①3；②；③14 (2)证明：∵，，， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ． 【分析】（1）①根据“雅对”的定义计算即可；②根据“雅对”的定义可得，解方程即可；③设，仿照示例求解即可； （2）根据题意可得，，，则可证明，根据推出，据此证明即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴， ∴； ③设， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）略 【变式1】（26-27八年级上·河南南阳·阶段检测）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式． 请阅读下列材料：若，，则a，b的大小关系是． 解：，，且，，． 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)【知识生成】上述求解过程中，运用了哪一条幂的运算性质________． A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C．幂的乘方；D．积的乘方． (2)【结论运用】已知，试比较与的大小． (3)【思维拓展】定义一种新运算：若，则．例如：，则．已知，请直接写出________． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）材料中把 写成 、把 写成 ，底数与指数同时变化，运用的是幂的乘方性质； （2）先由绝对值与平方的非负性求出 ， 的值，再把 化为 、 化为 ，化同指数后比较底数即可； （3）把新运算还原为幂的形式：设 ，，，则 ，，，由 逆用同底数幂的乘法得 ，从而求出 ． 【详解】（1）解：材料中 ，，都是把幂化为指数相同的形式，运用了幂的乘方性质， 故选： C． （2）解：，且 ，， ，， ，， ，， ， ， ． （3）解：设 ，，， 由新运算的定义，得 ，，， ， ， ， ， 即 ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）规定两正数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：． 证明如下：设， 根据定义可得：， 因为， 所以，即， 所以． 根据前面的经验完成下面各题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查了新定义下实数的运算． （1）利用规定的运算法则即可求解． （2）利用规定的运算法则，逐步运算，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：3； （2）解： ． 故答案为：6． 【变式3】（25-26八年级上·北京·阶段检测）对于正数和，如果数满足，定义一种能求出的新运算：． 例如：因为，所以； (1)填空：___________，___________； (2)若，求的值； (3)这个新运算的性质与我们所学的幂运算有联系，探究它的性质． ①举一个反例说明“若，则”是假命题：___________，___________，___________． ②，该性质的证明过程如下： 设， 则． 由此新运算的定义可得：． 请参考以上方法，证明性质：． 【答案】(1)，． (2)的值为； (3) ，，（答案不唯一） 证明：设，，则，， ∴ ． ∴ ． 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算，举反例说明命题为假命题，同底数幂相乘． （1）由新定义运算，结合有理数乘方的逆运算，即可求解； （2）由新定义运算，可得，结合，，即可得的值； （3）根据新定义运算，结合有理数乘方的逆运算，举反例即可；设，，则，，由新定义运算，结合同底数幂的乘法，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵． ∴，． 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． （3）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴“若，则”是假命题． ∴，，． 故答案为：，，．（答案不唯一） 略 ▌题型06 整式乘法 【典例】（26-27八年级上·山西临汾·阶段检测）计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式1】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）甲、乙两位同学共同计算整式乘法：．甲抄错的符号，得到结果；乙漏抄第二个多项式的系数，得到结果． (1)求出，的值； (2)计算这道整式乘法的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据甲、乙的错误分别写出对应的整式乘法算式，利用多项式相等时对应项系数相等列方程，联立求解，的值； （2）将，的值代入原式计算，得到正确的整式乘法结果． 【详解】（1）解：∵甲抄错的符号， ∴甲计算的整式为， ， ∵甲的结果为， ∴①， ∵乙漏抄第二个多项式的系数，即第二个多项式变为， ∴乙计算的整式为， ， ∵乙的结果为， ∴②， ②①得：， 解得， 将代入②得， 解得， ∴； （2）解：将，代入原式， ． 【变式2】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 【变式3】（26-27七年级上·上海·阶段检测）探究应用： (1)计算：__________； __________． (2)上面的整式乘法计算结果很简洁，归纳总结： 新的乘法公式是__________（请用含、的式子表示）． (3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（     ） A．；    B．； C．；    D．． (4)直接用公式计算： __________； __________． 【答案】(1)； (2) (3)A、C (4)； 【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据（1）中规律，总结公式即可； （3）观察是否符合所总结的公式特征作出选择即可； （4）根据所总结的公式计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：归纳总结：新的乘法公式是； （3）解：由总结的公式特征，则符合公式特征的是：A、 C； （4）解：； ． ▌题型07 整式乘法的化简求值 【典例】（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【详解】解： ； 当时， 原式 ． 【变式1】（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ， 时，原式． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据完全平方公式，多项式乘多项式计算，再计算括号内，然后利用多项式除以单项式运算法则计算括号外的，再把，代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ； 当，时 原式． 【变式3】（2026·青海西宁·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】先根据完全平方公式、多项式乘多项式及单项式乘多项式的运算法则将原式展开，合并同类项后，再整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 原式 ． ▌题型08 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例】（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知多项式乘法的展开式中不含项和x项，求p，q的值． 【答案】， 【详解】解： ， 因为展开式中不含项和x项， 所以，， 所以，． 【变式1】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）若的积中不含x与项， (1)求______，______； (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)12 【分析】（1）首先根据多项式乘以多项式法则进行计算，然后根据“积中不含x与项”可得，求解即可获得答案； （2）首先将原式整理为，然后代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的积中不含x与项， ∴，解得； （2）解：由（1）可知，， ∴ ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西西安·期中）琳琳准备完成题目“计算：”时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水污染了，她把被污染的一次项系数猜成5． (1)请你帮她完成“计算：”； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含的一次项．”请通过计算说明原题中被污染的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 则 ， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 【变式3】（25-26七年级下·河南郑州·期中）现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，，规定，等号右边是通常的减法和乘法运算．例如：． 请解答下列问题 (1)填空：______； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)求的值，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义计算求解即可； （2）根据新定义求出，再根据不含的一次项，令含的一次项的系数为 0 进行求解即可； （3）根据新定义求出，再利用整体代入法代值计算即可； 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解： ， ∵代数式中不含的一次项， ， ． （3）解：， ， ， 原式． ▌题型09 多项式乘法中的规律性问题 【典例】（25-26七年级下·四川成都·期末）观察下列等式： ； ； ； (1)请根据以上等式的规律猜想并填空： ________（其中为正整数，且）； (2)利用（1）的结论计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察已知等式的结果指数和结构，总结规律即可得到猜想结论； （2） 将所求算式变形为符合（1）结论的形式，根据（1）中规律即可求解； 【详解】（1）解：观察已知等式可得时，； 时，； 时，； ...， 因此可得猜想：（其中为正整数，且）； （2）解：根据（1）中规律可得： ． 【变式1】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）【文化赏析】北宋数学家贾宪于公元11世纪在其著作《黄帝九章算法细草》中创立“开方作法本源”三角形图表，原书佚失．南宋数学家杨辉在13世纪所著《详解九章算法》中引用了此图表（见图1），人们称这个三角形图表为“贾宪三角”或“杨辉三角”．如图2，此表呈现出（为非负整数）的展开式的系数规律． (1)【应用体验】的展开式中的系数是 ；的所有系数和是 ． (2)利用上面的规律计算：． (3)【实际应用】今天是星期二，请直接写出天后是星期几？ 【答案】(1)10；256 (2) (3)星期三． 【分析】（1）根据“杨辉三角”的规律写出展开式，即可求解； （2）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （3）由，可得出都能被7整除，则除以7余1，则可得出答案． 【详解】（1）解：， ∴展开式中的系数是10； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 展开式中所有项的系数和为； 根据规律可得展开式中所有项的系数和为； （2）解： ； （3）解：∵（a，b，c等为各项的系数） ∵都能被7整除， ∴除以7余1， ∴今天是星期二，往后推1天就是星期三． 【变式2】（25-26七年级下·江苏无锡·期末）“杨辉三角”是我国古代数学的杰出成就．南宋数学家杨辉借助三角数表，阐释了二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，这一数表也因此得名．如下图，该三角形图表两条斜边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和． 例如，此三角形中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着展开式中的各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．利用上面的规律，完成以下问题： (1)请写出的展开式为 ； (2)的展开式中共有 项，从左往右第三项的系数是 ； (3)代数推理：已知x为整数，求证：能被24整除． 【答案】(1) (2)8，21 (3)证明：根据二项和（，2，3，4，…）展开式的系数规律，可得 ， ∵x为整数， ∴是整数， ∴是24的倍数，即能被24整除． 【分析】(1)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律先确定展开式中各项的系数，再确定每一项中对应的次数即可得到展开式； (2)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律得到展开式的项数比n大1，即项数为，可得的展开式中的项数，再根据展开式中的系数规律得到从左到右各项的系数即可得出答案； (3)根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数及系数的规律将代数式展开并化简，再提取公因数即可证得结论． 【详解】（1）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，5，10，10，5，1，每一项中a的次数按降幂排列从5降到0，b的次数按升幂排列从0升到5， ∴； （2）解：根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的项数规律可知，展开式的项数比n大1，即项数为， ∴的展开式中共有(项)； 根据二项和（，2，3，4，…）展开式中的系数规律可知，的展开式中从左到右各项的系数为1，7，21，35，35，21，7，1， ∴的展开式中从左到右第三项的系数是21； （3）略 【变式3】（25-26七年级下·安徽合肥·期末）观察以下等式： … (1)按以上等式的规律填空：； (2)试利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； (3)利用（1）中的公式化简： 【答案】(1) (2)左边 右边； (3) 【分析】（1）根据规律填空即可； （2）利用多项式的乘法法则，计算即可证明结论成立； （3）利用规律解答即可． 【详解】（1）解：由题意得； （2）证明：略 （3）解： ． ▌题型10 乘法公式计算 【典例】（上海市虹口区2026-2027学年七年级数学第一学期期中试题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】（26-27七年级上·上海青浦·期中）已知，求的值． 【答案】 【分析】首先根据平方差公式、单项式乘多项式运算法则进行计算，进而合并同类项完成化简，再将整理为，然后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式 ． 【变式2】（26-27八年级上·四川眉山·期中）先化简或先因式分解，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 【变式3】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知：，． (1)求； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)∵， 又， ∴， 即， ∴． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）略 ▌题型11 通过对完全平方公式变形求值 【典例】（26-27八年级上·河南新乡·阶段检测）按要求回答问题 (1)已知，求的值； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)11 (2)3 【详解】（1）解： ； （2）解：，， 得， 解得． 【变式1】（26-27七年级上·上海闵行·阶段检测）解答： (1)已知，求和的值． (2)若，求和的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据完全平方公式得①，②，再将两式相加减即可解答； （2）把含的项、含的项拆分常数项分别凑完全平方，再根据非负数的性质求解即可； 【详解】（1）解：∵①，②， ∴得：， 化简得， ∴， 得：， 化简得， 解得：； （2）解：∵可变形为， ∴， ∵，， ∴，， 解得，． 【变式2】（26-27八年级上·四川遂宁·阶段检测）阅读材料：若，求m、n的值． 解：∵， ∴，， ∴且， ∴ ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，______； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1，0； (2)4； (3)11． 【分析】（1）将式子分组配方，写成两个完全平方相加等于0的形式，利用平方数非负性，两个平方和为0，则每一个平方都等于0，求出a，b． （2）重新分组，对多项式配方，得到两个完全平方相加等于0，根据平方非负性求出x，y，再代入计算． （3）拆分常数项，直接分组凑完全平方，求出a，b的值，再根据三角形三边关系确定第三边的正整数值，最后计算三角形周长． 【详解】（1）解：， ， ，， ，， ，， 解得：，． （2）解：， ， ， ，， ，， 解得，． ． （3）解：， ， ， ， ，， ，， 解得，． 为三边，根据三角形三边关系： ，即． 是正整数， ． 周长． 【变式3】（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式将原式变形为含和的形式，代入已知条件计算； （2）先将四次式变形，利用完全平方公式逐步计算出中间结果后代入求值． 【详解】（1）解： 代入， 则； （2）解： 代入得，． ▌题型12 求完全平方式中的字母系数 【典例】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）按要求完成下列各题 (1)在横线上填上适当的式子使等式成立：； (2)形如的式子称为完全平方式，若是完全平方式，则________； (3)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）对比完全平方公式，确定与，然后补全等式即可； （2）根据题意，，因此； （3）将所求代数式变形为，代入求值即可． 【详解】（1）解：由完全平方公式对比可得，，， ∴， ∴； （2）解：∵是完全平方式， ∴， ∴； （3）解：． 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·阶段检测）【阅读材料】所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使，则称A是完全平方式，例如：；． （1）下列各式中是完全平方式的编号有 ； ①；      ②；      ③ ；   ④． 【类比探究】 （2）若和都是完全平方式，求的值； 【延伸提升】 （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出答案） 【答案】（1）①③；（2）或；（3），，， 【分析】（1）将各式先变形，利用完全平方式的结构特征判断即可； （2）利用完全平方公式的结构特征求出m与n的值，代入原式计算即可得到结果； （3）可将给出的两项看作完全平方式的前两项或第一项和第三项，分别求得第三项和第二项，而给出的二项式的两项本身都是完全平方式，还可去掉其中一项，由此即可得解． 本题考查完全平方公式，完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【详解】解：（1）①， ②， ③ ， ④　． ∴是完全平方式的有①③． 故答案为：①③． （2）∵和都是完全平方式， ∴， ∴， ， ∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）若我们规定三角“”表示为 ，方框“”表示为例如，请根据这个规定解答下列问题． (1)计算=__________． (2)代数式为完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，定义新运算， 对于（1），根据题中的新定义解答即可； 对于（2），根据新定义可得原式，再根据完全平方公式可得，即可得出答案. 【详解】（1）解：根据题意，原式； 故答案为：； （2）解：原式， ∵为完全平方公式，即 ∴， 解得. 【变式3】（24-25七年级下·陕西汉中·期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，我们规定：，．例如；，． (1)若，求x的值； (2)若是一个完全平方式，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，完全平方公式，完全平方式，解题关键是掌握完全平方公式． （1）利用新定义运算，列出关于的方程求解； （2）利用新定义运算，列出式子，再根据它是一个完全平方式，求出k的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵是一个完全平方式， ∴是一个完全平方式， ，即． ▌题型13 乘法公式中的配方法 【典例】（25-26九年级上·江苏淮安·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“智能数”．例如，13是“智能数”，理由：因为． 解决问题： （1）①已知17是“智能数”，请将它写成（a，b是整数）的形式______； ②已知，则______； 探究问题： （2）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“智能数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数x，y满足，求的最大值． 【答案】 （1）① ；② （2）当 时， 为“智能数”， 理由： ， 令，即， 此时，、是整数，则、是整数，符合“智能数”的定义． 答：符合条件的一个值为13． （3） 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质及代数式的最值求解，解题的关键是通过配方法将式子化为完全平方式，结合“智能数”的定义或非负数的意义解决问题． （1）①寻找两个整数的平方和表示17； ②用配方法将等式化为完全平方式的和，利用非负数性质求、； （2）对配方，凑成两个完全平方式的和以满足“智能数”的定义； （3）用表示，代入代数式后配方求最大值． 【详解】（1）①解：∵， 故答案为：． ②解：， ∵，， ∴，，解得，， ∴． 故答案为：． （2）略 （3）解：由，得， ∴， 配方得：， ∵， ∴的最大值为． 答：的最大值为． 【变式1】（24-25八年级上·四川宜宾·期中）阅读并解决问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 解： ． 像这样，先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”． (1)利用“配方法”分解因式：． (2)若，求、的值； (3)当为何值时，二次三项式有最小值？最小值为多少？ (4)如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，式有最小值，最小值为1； (4) 【分析】本题主要考查配方法的应用，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式． （1）该式变形为，再利用平方差公式分解可得； （2）先化为，根据可得答案； （3）先化为，进而可得答案； （4）设，，则，再开勇完全平方公式变形可得答案 【详解】（1）解： ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴当时，式有最小值，最小值为1； （4）设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积 【变式2】（25-26七年级下·广东梅州·阶段检测） 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式 ； (2)已知，则 ； (3)已知 x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (4)已知实数x、y满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 当时，S为“完美数”，理由如下： 把代入， 得 ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； (4)． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把29拆成两个整数的平方即可； （2）利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，代入计算即可得解； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （4）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． （3）解：略． （4）解：∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴当时，的值最大，为． 【变式3】（24-25七年级下·福建三明·期中）阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方式的逆写，即，例如二次三项式的配方过程如下：． (1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方： ①_________ ②_________ (2)若，请尝试用以上方法求出x的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2)， (3) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方根的定义、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）①利用完全平方公式把式子变形即可；②利用完全平方公式把式子变形即可； （2）利用完全平方公式把式子变形，再根据平方根的定义解方程即可； （3）利用完全平方公式把式子变形，再根据非负数的性质求出、的值，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． ▌题型14 乘法公式新定义运算 【典例】（25-26七年级下·江苏连云港·期末）定义：我们把一个整数a平方后得到的数称为完全平方数．例如：，，，我们就将9，0，25这些数都称为完全平方数． 请解答下列问题： (1)写出满足的一对正整数m和n的值：____________________； (2)通过计算说明：的值是一个完全平方数； (3)n是正整数，如果和都是完全平方数，求n的值． 【答案】(1) (答案不唯一) (2)理由： ∵是整数， ∴是完全平方数； (3) 【分析】（1）先利用完全平方公式计算得到，则，写出任意一组满足条件的正整数即可； （2）将原式重新分组计算，再通过平方差公式变形，即可证明原式为完全平方数； （3）设两个完全平方数，利用平方差公式分解得到两数和差的乘积，结合37是质数得到方程组，求解即可得到的值． 【详解】（1）解： ∴ ∵为正整数， ∴ 任取正整数，得， 即满足条件的一对正整数为； （2）略 （3）解：设，，其中都是非负整数，且 ∴ ∴ ∵是质数，都是非负整数， ∴ 解得 将代入得， 答：的值为． 【变式1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）定义：若一个整数能表示成（，为整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如：5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)尝试：已知25是“完美数”，请将它写成（，为正整数）的形式_______； (2)探究：设，请将表示成“完美数”的形式， 并求当为何整数时，最小，求出的最小值； (3)应用：已知（，为整数，是常数），要使S为“完美数”，求的值，并说明理由． 【答案】(1) (2)时，最小，最小值为 (3) 解： ， ，为整数， ，为整数， 要使S为“完美数”，则， ， 即当时S为“完美数”． 【分析】（1）利用“完美数”的定义可得； （2）利用配方法，将其配成完美数，可求出最小值； （3）根据完全平方公式，将其配成完美数，可求的值． 【详解】（1）解：； （2）解：， 即， 当即时，最小，最小值为； （3）略 【变式2】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）定义：任意两个数a，b，按规律运算得到一个新数c，称c为a，b的“和差数”． (1)求2，的“和差数”． (2)若两个非零数a，b的积是a，b的“和差数”，求的值． (3)若，，求a，b的“和差数”c． 【答案】(1)39 (2)0 (3)16 【详解】（1）解：根据“和差数”的定义，计算如下： ； （2）解：根据题意，得到： 移项，利用完全平方公式得， 解得： 原式． （3）解： ． 【变式3】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 【答案】(1)是 (2)10 (3) 【分析】本题考查完全平方公式； （1）利用完全平方公式配方后判断即可； （2）利用完全平方公式配方得到，再根据双平方多项式列方程求解即可； （3）先计算，即可比较大小． 【详解】（1）解： ∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式． （2）解： ， ∵多项式是双平方多项式， ∴， 解得． （3）解： ∵，， ∴，即， ∴． ▌题型15 整式乘法中的整体思维 【典例】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在代数式的化简与求值问题中应用极为广泛，例如：已知，在求多项式的值时，我们常常将多项式写成的形式，再将代入即可得到．请同学们尝试利用“整体思想”解决下列问题： (1)已知，求代数式的值； (2)已知，求代数式的值； (3)若关于x的多项式化简后的结果中项的系数为1，若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)16 (2)2 (3) 【分析】（1）根据已知条件可得，根据逆用幂的乘方与同底数幂的乘法，即可求解； （2）根据已知条件可得，进而可得，代入代数式，即可求解； （3）根据题意可得，代入代数式，得出，根据完全平方公式的变形，根据偶次幂的非负性，即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， ∴ （2）∵ ∴ ∴ ∴原式 （3）解： ； 依题意，系数为1 ∴ ∴ ∵，，， ∴原式 ∴最小值为． 【点睛】本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，代数式求值，完全平方公式，整体代入法求解代数式的值，熟练的构造整体是解本题的关键． 【变式1】（25-26七年级下·安徽宣城·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的整体或某一部分通过恒等变形，化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个正整数能表示成（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是正整数）的形式：______； （2）已知，求的值； 【探究问题】 （3）已知（x是正整数，y是大于1的正整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件k的值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）13，理由见解析 【分析】（1）根据“完美数”的定义，即可求解； （2）可化为，可得，，即可求解； （3）可化为，根据“完美数”的定义，可得，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得 ， 故答案：； （2）由题意得 ， 即， ，， ，， 解得：，， 则； （3）当时，S为“完美数”，理由如下： ， S为“完美数”， ， 解得：， 是正整数，y是大于1的正整数， ，也是正整数， 是一个“完美数”． 【点睛】本题考查了新定义，配方法，理解新定义，掌握配方法是解题的关键． 【变式2】（25-26七年级下·四川成都·期中）阅读下列材料，解答下列问题： 例：若x满足，求的值． 解：设，，则，． ∴． 上述解题过程中，把某个式子看成一个整体，用一个变量来代替它，从而使问题得到简化，用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你运用这种方法解答下列问题： (1)若x满足，求的值． (2)若x满足，求的值． 【答案】(1)120 (2)2017 【分析】（1）利用整体思想和完全平方公式可求； （2）利用整体思想和完全平方公式可求，可求解． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式是解题的关键． 【变式3】（26-27八年级上·河南周口·阶段检测）【问题背景】在数学活动课上，同学们利用拼图探究整式乘法公式，通过对同一面积的不同表达和比较来理解公式，是我们学习的重要方法，如图，边长为的大正方形可分割成两个较小的正方形和两个大小相同的长方形（如图），且在分割过程中面积没有变化． 【探索归纳】 (1)若将图中的大正方形看作一个整体，则它的面积是 （用含，的式子表示）； 图中四部分的面积之和是 （用含，的式子表示）；因此，可以得到等式 ； 【学以致用】 (2)若，，分别求和的值； 【拓展应用】 (3)若，直接写出的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)5 【分析】（1）根据长方形和正方形的面积公式求解即可； （2）根据，求解即可； （3）设，则，，根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图1中的大正方形的边长为，则其面积为； 图中四部分的面积之和是， 因此，可以得到等式； （2）解：∵，， ∴， ； （3）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $