河南省九师联盟学校2026-2027学年高三上学期期中考试数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答聚后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答策标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数（占35%左右）；导数，三角函数与三角恒等变 换，平面向量（占65%左右）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知角a的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，终边经过点P(一√5，√6)，则sia= A号 B9 c号 2 2.设x∈R,则“x>4”是“x3>64”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3已知集合A=m是x,os名，am子x,B=(z1-1<x<1),则AnB= A恒+，②-} 4 牛，2} c恒+6,5，- D.+5,62,-1 4 4 4.设a=lh3,b=log2,c=log2号，则a,b,c的大小关系是 A.ab>c B.a>c>b C.bc>a D.b>a>c 5已知cosa一cos月-号，sina十sinf-言，则cos(a十g)= A-男 B碧 c-量 n是 6.在平行四边形ABCD中，M是CD的中点，若AC-xAM+yBi,则x十y A号 B号 c是 D.1 【高三数学第1页（共4页）】 10/1-G 7.已知定义域为R的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=x(1一x),若函数g(x)=f(x)一m有3个 零点，则实数m的取值范围是 A(-是) B(-22) C.(-∞，-1)U(1,+∞) D.(o,2) 8.已知直线mx十y一n=0(m<0)与曲线y=(x一1)e相切，则2的最小值为 A.e B.2 C.1 D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导正确的是 A.(e)'=2e B.(sin2x)'=2sin x C.((2x-5)5)'=5(2x-5) D.(n(1-x)'- x-1 10.下列命题正确的是 A.若x0,则z+上≥2 玉酒数y=干+克的最小值为2 C.函数y=22一2+1的最小值为一1 D若实数a,b满足ab≠0，a2+=1,则2+>9 1,已知函数x)的定义城为R,且y一+》一为奇函数，g()一年2则下列结论正确的是 A函数f(x)的图象关于点（侵，号）对称 Bg(22)+(2)+…+e(径829) -1013 C.若f(x)的图象和g(x)的图象交于(x1,),(2y2),…,(6),(),则之(x,十为)=14 D.f()+f1-)+g)+g1-)]=4054 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若函数y=7cos(ar一西)(o>0)的最小正周期为号，则u= 13.已知平面向量a,b满足|a=bl=|a+b=1,则1a-b1= 14.已知函数f(x)=logx,g(x)=2log(2x-m一2)(a>0,且a≠1，m∈R),若存在a,对Hx∈[1,9]， f(x)≥g(x),则m的取值范围是 【高三数学第2页（共4页）】 10/1-G 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 在直角坐标系中，P1(一1,2)，P2(3,4). (1)若点P满足P1P=3PP,求点P的坐标； (2)已知O为原点，求△OPP的面积. 16.(本小题满分15分) 已知函数f(z)-sin'z-cosz+2cos2(x-) (1)求函数f(x)的单调递减区间： (2)若A,B,C分别为△ABC的内角，且f(A)=2,sinA十√2cosB=0,求tanC 17.(本小题满分15分) 已知函数f=x一是-(a+1)1hx,>0, (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：函数f(x)至多有1个零点. 【高三数学第3页（共4页）】 10/1-G 18.(本小题满分17分) 设x∈R,[x]表示不超过x的最大整数，例如：[-2.4]=-3，[1.3]-1，[2]=2. (1)求[π]和[sin10°-cos10]的值； (2)解方程：[x]十2m-10; (3)设n∈N”,求[1+是++…+是]的值， 19.(本小题满分17分) 设函数f(x)=xnx+ax2+bx(a,b∈R),且f(1)=f(1)=0. (1)求a,b的值； (2)若f(x)的极小值点为x0,求证：g(x)=f(x0十x)一f(x0一x)在(0，x)上单调递减； (3)已知m>0,若对Vx∈(0，m),f(m十x)十f(m一x)>2f(m),求实数m的最大值. 【高三数学第4页（共4页）】 10/1-G高三数学参考答案、提示及评分细则 1.B由三角丙数定义，得sn。=5故选B 3+631 2.C因为y=x,x∈R是增函数，所以x>4台x3>64,即x>4是x>64的充要条件.故选C. C因为A=中5,55-1小B=-1长1所以AnB=+5,2,,-小放选C 4 4 4.A由对数函数的性质，得a=h3>lne=1,0<b=log2<lcg3=1,c-log告<1og1=0,所以a>6>c.故选A 5B由题设，得cosa-2 c0sp计cosg号①，sima十2 2sin sin计sim6②，①+@，得2-2os(a+)=务，所以 os(a十9》-亮故选B 6.D由题意，得AC=A店+Ad,Ai=A店+Aò，筋=-+A市，代人AC=xA+前，得A店+A市= (号x-y)A+(x+)AD,所以 2x-y=1, 故选D. x+y=1. x(1一x),x>0, 7.A由奇函数，得f(x)= 0,x=0, 做出函数f(x)的图象如图所示，因为g(x) x(1+x),x<0, 有3个零点，所以直线y=m与函数f(x)的图象恰有3个交点，所以-}<m<子，即 实数m的跟值范围是（一子，），故选A 8.C设函数y=(x-1)e和直线y=一mx十n切于点(x0,-m十n),((x-1)e)'=ae,则 -m=Toe'o, 由m<0知6>0，所以是-(+）一1≥1，当且仅当。=六，即勤=1时取得等号，即 (x0-1)e0=-m,o+n 兴的最小值为1.故选C 9.AD由复合函数求导法则，得(e2)'=e(2x)'=2e2,故A正确；(sinx)'=2sinx(sinx)'=2 sin xcosx=sin2x,故 B错误：(2x-5)/=5c2x一5)(2x-5)=10c2x-5),故C错误：h1-)亡1-)=放D正 确.故选AD. 1aD因为0，所以+十☆≥2.放A正确：令V干=≥，y=+克什子 图为对勾西数=什在红反十)止单河造始所以y=层一的最小值为要，放书结误，令 >0.则y=2一21=-2=-1-1，当1=1，即x=0时y取得最小值-1，放C正确：是十告 (信+青)公+)=5+号+答5+2√·答=9，当且仅当答答，又d+=1,当。=子，6=导时等号 成立，故D正确.故选ACD. 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 10/1-G 1.ABD因为函数f(x+）-之为奇函数，所以(-x+2）-之+(2+x)-号=0，即f(x)+f1-x)=1,所 以函数的图象关于点（宁，号）对称故A正确：g)+g1-)者十千2者十X幸1， 4 4 g(2dz)+s(2)++s(282)=[()+(22】+…+[s(8)+g(20)]-1013,放B正 确：由选项AB知f(x)的图象与g(x)的图象都关于点(3，)对称，由对称性知空(，十y)=1,放C错误；由选项 AB对VN,f)+1-D=1,gD+g1-)=1,所以[/)+/1-0+g)+g1-D]=4054, 故D正确.故选ABD. 123因为函数y=1Qm(r一吾)w>0)的最小正周期为T-=号x,所以。=3 13.√5(a+b1)2=|a|2+|b12+2a·b①，(a-b)2=|a2+|bl2-2a·b②，①+②，得(|a-b1)2=3,所以 |a-b=√5. 14.(-∞，-1门由对Hx∈[1,9]，f(x)≥g(x),得对Hx∈[1,9]，logx≥2log(2x-m-2),当a>1时，y=logx 单调递增，所以对Vx∈[1,9]，x≥(2x-m-2)2,且2x-m一2>0，即0<2x-m2≤√E,所以m≥2x-√-2且m <2x-2对x∈[1,9]恒成立.令1=反∈[1,3]，h()=2x-丘-2=2-1-2，则(1)=2E-1-2=2(-） 号，所以(1)在[1,3]上单调递增，h(Dm=h()=-1,h(0=h(3)=13,即(2--2)=-1， (2x-√元-2)mx=13,又(2x-2)mm=0,所以m≥13且m<0,无解；当0<a<1时，y=logx单调递减，所以对Hx∈ [1,9],x≤(2x-m-2)2,且2x-m-2>0,即Vx≤2x-m-2,所以m≤2x-√E-2且m<2x-2对Hx∈[1,9]恒 成立，又(2x-√五-2)mm=-1,且(2x一2)mm=0,所以m≤-1，即m的取值范围是(-∞，-1门. 15.解：(1)设点P(x,y), 由Pp=3Pp,P(-1,2),P2(3,4),得(x+1,y-2)=3(3-4-y), …3分 x+1=3(3-x), x=2, 所以 解得 7即点P的坐标为(2，子)： …6分 y-2=3(4-y), y=2 (2)因为07=(-1,2).0=(3,4)，所以s0元，0)=0四·0四 --1×3+2×4_5 √5X5 5 ,…8分 OPOP 又0<OP1,OP2)≤x, 所以sin(OP,,Op)=2 5 …10分 所以△OPP的面积S=号1O11OsmO正，O成》=之X5X5×25-5. 13分 16.解：(1)f(z)=(sim2.x+cos2x)(sim2x-cos2x)+1+cos(2x-交）=-cos2x+sin2x+1=/2sin(2x-至)+1. .e..E. …3分 令受+2kx≤2x-≤是x+2km,k∈Z,所以君x+kr≤x≤名x+k,k∈五， 即函数f)的单调递减区间为[冬x十k红，名x十kx],k∈么 …6分 (②由4)=2，得Em(2A-至)+1=2即sm(2A-冬）-号， 又0<A<,所以-<2A-至<子，2A-平=或，解得A=至或受， …9分 当A=平时，由simA+eosB=-0,得cosB=-令，又0<B<x,所以B=受 3 …11分 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 10/1-G 由三角形内角和定理，得C=x一（子+）=卺 质秋mG=m音=m(号冬)1中n香季1中后 …13分 当A=受时，由sinA+/Zeos B=0,得cosB=- 2” 又0<B<x,所以B=平，A+B>,与A+B+C-x矛盾，所以不成立. 综上，tanC=2-√/3. 15分 1n.（)解：f(x)=1+号-_-1)（-a,心0 …2分 若0<a<1,当0<x<a或x>1时，f(x)>0,f(x)在(0，a)和(1，+o∞)上单调递增，当a<x<1时，f(x)<0, f(x)在(a,1)上单调递减： 若a=1,(x)≥0，(x)在(0，十∞)上单调递增；…4分 若a>1,当0x<1或x>a时，f(x)>0,f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，当1<x<a时，f(x)<0,f(x) 在(1，)上单调递减.…6分 综上所述，当0<a<1时，f(x)在(0，a)和(1，+o∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减；当a=1时，f(x)在 (0,+o∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(0,1)和(a,十∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减.…7分 (2)证明：由(1)知，当0<a<1时，f(x)在(0，a)和(1，十∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减，所以f(x)的极小值 为f(1)=1-a>0,极大值为f(a)=a-1-(a+1)lna>0, 所以f(x)在(0，a)上至多有1个零点，在[a,十o∞)上没有零点，即f(x)至多有1个零点：…10分 当a=1时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增且f(1)=0,所以∫(x)在(0，十o∞)上有唯一零点x=1;…11分 当a>1时，f(x)在(0,1)和(a,十∞)上单调递增，在(1，a)上单调递减，所以f(x)的极大值为f(1)=1一a<0,极 小值为f(a)=a-1-(a十1)lna<0,所以f(x)在(0，a]上没有零点，且在(a,十∞)上至多有1个零点，即f(x)至 多有1个零点，… …14分 综上所述，函数f(x)至多有1个零点.… 15分 18.解：(1)由题意知[π]=3，… …1分 因为-1<sin10°-c0s10°<0，所以[sin10°-cos10门=-1.…3分 (2)当-1≤sin0时，[snx]=-1,21=子， 代人[+2m1=10,得[=号又[刀∈乙.无解，.即方程[]+21=10无解：…5分 当0≤sin2<1时，[sinx]=0,2m=1,代人[x]+2m=10,[x]=9,所以9≤x<10,且x∈2kx,2kx+变)U (2kx+变，2kx十元b∈Z,所以x∈[9,3x]；… …7分 当sinx=1时，2m=2,代人[x]+2血=10，得[x]=8,所以8≤<9，且x=2kx十受，k∈乙，无解，即方程[x]十 2m=10,无解.… …9分 综上所述，[x]十2m=10的解集为[9,3π].… ……… 10分 (3)当n=1时，[1]=1，… ……… 11分 1 11 当n≥2时，7<n一1nn' …13分 所以1+安+寸++7<1+(1-)++（片）=2日 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 10/1-G 又>0，所以2-<2，… 15分 所以<1++十…+<2，[1+++…+] 16分 综上所述，[1+++…十]1 17分 19.(1)解：因为f(x)=xnx+ax2+bx,所以f(x)=nx+2ax+b+1,· 1分 a+b=0, 解得 a=-1, 由题设，得∫(1)=∫(1)=0，得 …3分 2a+b+1=0,1 b=1. (2)证明：由(1)知，f(x)=xlnx-x2+x,所以f(x)=lnx-2x+2. 令)=了(，则(0=上-2=2Z(>0),当0K<分时，h()>0,h()即了()单调递增，当>号时， h'(x)<0,h(x)即f'(x)单调递减， 又f(侵)-2-是+2=-名<0f(日)=-1-是+2=1-名>0.（位）c(o.),所以了0在 (侵，。)上有唯一零点m,()=0,ln一2a十2=0，当0<<n时f)<0,fx单调递减，当<< 、1 时，∫(x)>0,f(x)单调递增，所以x0是f(x)唯一的极小值点.… …5分 因为g(x)=f(xm十x)-f(m-x),所以g(x)=f(xo十x)+f(xn-x)=n(十x)-2(m十x)+2+ ln(x-x)-2(xn-x)+2=ln(o+x)+ln(xo-x)-4zo十4，… …7分 令m()=g()e0,)m)=n十-D<0,()在0，)止单调道减， 1 -2x 所以g(x)<g'(0)=2nxm-40十4=4(x-1)-4(x-1)=0, 所以g（x)=f(0十x)一f(xo一x)在(0，m)上单调递减. …9分 (3)解：令n(x)=∫(m十x)+∫(m-x)-2f(m),则n(x)=∫(m十x)-'(m-x), 记fx).m'a分别是函数f).i)的导函数，则)=广(m+)+f(m-),由(2)知，()=是-2 1-24(x>0). x 显然n(0)=(0)=0,n(0)=2(m)=2(-2).… …11分 当m=2时)=f(号+z)+f(分-x）-2f(分)x(0,2), w小r片司 1一一2 一4=0， 13分 所以t()在(0，号)上单调递增，n(x)>W(0)=0,所以u(D在(o,号)上单调递增，n(x)>n(0)=0,即 f(m十x)十f(m-x)>2f(m)成立.…14分 当m>是时，m(x)=(m+)+产(m-)=n-2+n是2=4n2,令m()=0,得x m-x m-x m2-z2 √m-罗（负值舍去）. 当x∈(0m2-受)时，(x)<0,n(x)单调递减，所以1(x)<1(0)=0,即n(x)单调递减，所以n(x)<n(0) =0,即f(m十x)十+f(m-x)<2f(m),与题意矛盾.… …16分 综上所述，实数m的最大值为2 …17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】 10/1-G