精品解析：河南郑州外国语学校2026-2027学年高三上学期调研3数学试题

郑州外国语学校2026-2027学年高三上期调研3试卷 数 学 （120分钟 150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知角的终边经过点，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 4. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的定义域为（ ） A. B. C. ，其中 D. 6. 定义在上的函数，满足，且，且在上是减函数，如果，是锐角三角形的两个内角，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数．若对任意，存在，使成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为8 10. 已知，下面结论正确的是（ ） A. 若，，且的最小值为，则 B. 存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称 C. 若在上恰有7个零点，则的取值范围是 D. 若在上单调递增，则的取值范围是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是 C. 当时，既存在极大值又存在极小值 D. 当时，恰有3个零点，且 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若为锐角，且，则______． 13. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 14. 已知函数．若恒成立，求实数的最大值________． 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，，所对的边分别为，，，且． （1）若，，求角 （2）设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值． 16. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）延长交椭圆于，若，求直线的方程. 18. 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. （1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； （2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 19. 已知函数，，． （1）若的极值点为1，求实数的值； （2）在（1）的前提下，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2026-2027学年高三上期调研3试卷 数 学 （120分钟 150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 集合，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，从而分类讨论方程的解即可. 【详解】由题意知，而， 方程 ，当时，方程无解，则，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以的取值范围为. 故选：A 2. 已知函数，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数在上单调递增等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在上单调递增，得，解得， 所以“”是“函数在上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 3. 已知角的终边经过点，则的值是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由于， . 4. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数、三角函数、幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】， 因为在是单调递增函数，所以， 因为在是单调递增函数，所以 所以， 故选：C. 5. 已知，则的定义域为（ ） A. B. C. ，其中 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式列出不等式组求解. 【详解】由 当时，由①得，又需满足②，则； 当时，由①得，又需满足②，则； 当且，时，， 则的定义域为． 故选：D． 6. 定义在上的函数，满足，且，且在上是减函数，如果，是锐角三角形的两个内角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的周期以及对称可得在上是增函数，进而根据诱导公式，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】由可得，因此是周期为2的周期函数， 又，故关于对称， 又，因此关于对称， 由于在上是减函数，根据周期可得在上也是减函数，进而根据对称可得在上是增函数， 由于，是锐角三角形的两个内角，故或，因此, 因此，A正确B错误； 由于大小不确定，以及的大小关系不确定，故无法判断CD的正误. 7. 已知函数．若对任意，存在，使成立，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把恒成立及存在问题转化为最值间关系，先根据三角函数值域求，再求二次函数最值求出m的取值范围即可. 【详解】因为对任意，存在，使成立， 所以, , , ,, 存在，成立, . 故选：D. 8. 已知函数，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析，的单调性，确定和都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解. 【详解】由，得，所以在R上单调递增, 由，得，且，所以在上单调递增 因此，对任意，和都是唯一的， 由题意：， ，即，则， 故， 故，根据的是唯一的， 得，即， 故， 令， ，则， 由得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值：， 因此，即：. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若正实数满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最大值为4 C. 的最小值为 D. 的最大值为8 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，正实数满足， 对于A中，由，当且仅当时，等号成立， 可得，解得，所以A正确； 对于B中，由，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以 B正确； 对于C中，由，可得， 则， 当且仅当时，等号成立，所以C正确； 对于D中，由， 因为，所以的最小值为，当且仅当时取得最小值， 所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知，下面结论正确的是（ ） A. 若，，且的最小值为，则 B. 存在，使得的图像向右平移个单位长度后得到的图像关于y轴对称 C. 若在上恰有7个零点，则的取值范围是 D. 若在上单调递增，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知，先对原函数利用余弦的二倍角公式和诱导公式进行化简得到，选项A，可根据条件作出判断；选项B，先对函数进行平移，得到，然后再令，通过赋值求解出的值，然后结合条件给的范围判断即可；选项C，可根据条件直接列式求解；选项D，可根据条件列出不等式直接求解. 【详解】由已知，， 选项A，若，，则的最小值为，故该选项错误； 选项B，的图像向右平移个单位长度后得到的解析式为：，该图像要想关于y轴对称，则需满足：，解得，当时，，故该选项正确； 选项C，令可得， 解得， 又时，；时，， 所以由函数在上恰有7个零点可得：，故该选项正确； 选项D，由函数在上单调递增，且， 可得：， 解得：，又因为，所以的取值范围是，该选项正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，曲线在点处的切线方程为 B. 若对任意的，都有，则实数的取值范围是 C. 当时，既存在极大值又存在极小值 D. 当时，恰有3个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即可判断A；对于B，由题意知在上单调递增，则在上恒成立，构造函数，利用导数求出的最小值，即可判断；对于C，结合B选项，根据极值的定义判断即可；对于D，结合C，再根据零点的存在性定理分析即可判断. 【详解】解：对于A，当时，，所以，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，故A错误； 对于B，因为对任意的，都有， 所以在上单调递增， 即在上恒成立， 令， 则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值， 所以，解得， 即实数的取值范围是，故B正确； 对于C，当时，由B选项知，， 令，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以， 又在上单调递减，所以存在，使得， 又， 又在上单调递增，所以存在，使得， 所以当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 故既存在极大值又存在极小值，故C正确； 对于D，因为， 由C选项知，， 当时，；当时，， 故函数有三个零点，不妨设为，，，（，，）， 又 ， 故有，则， 即当时，恰有3个零点，且，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性问题及极值问题，考查了利用导数解决函数的零点问题，有一定的难度. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若为锐角，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商数关系，辅助角公式，诱导公式及二倍角公式即可求解． 【详解】， 因为， 所以， 将分离出来，得到： ， 已知为锐角，即，所以． 13. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】已知函数的解析式，可以将其拆分为奇函数与常数之和，利用函数的单调性和奇偶性，将抽象的不等式转化为具体的三角函数不等式，最后结合二次函数求最值的方法求出参数的取值范围． 【详解】已知函数，构造， 因为 因此，是奇函数， 函数在上单调递增；函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 将代入不等式中：， ， ， ， ， 又因为在上单调递增， 所以， ，对于恒成立， 因为， 所以， 令，由于，所以， ，， 因为对称轴落在区间内， 所以当时，函数， 所以的最大值为， 所以． 14. 已知函数．若恒成立，求实数的最大值________． 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式变形为，问题等价于构造新函数求最小值即可.. 【详解】 令， 令，在单调递增，， 在存在零点，即 ， 由于在单调递增，故即 在减，在增， 所以. 四．解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，，所对的边分别为，，，且． （1）若，，求角 （2）设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度. （2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出最值. 【小问1详解】 解：因为， 依据正弦定理， 所以， 即， 由余弦定理变形知， 因为，所以． 因为，， 则在中，由正弦定理得： 又， 因为，所以． 【小问2详解】 法一：因为， 是的角平分线， 而， 所以， 即， 所以， 因为，，，且，故AD 当且仅当取等， 所以最大值为． 答：当时，最大值为． 法二：因为, 设，， 在，中由正弦定理知： ①， ②， 因为，所以①②得， ， 令，， 由于， 所以，易得此函数在为单调递增函数， 所以当时，最大值为． 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题． 16. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 解法一：， 在中，，即， ，， ，又， 底面，底面， ，平面且相交于， 平面，又平面， 平面平面. 解法二：. 如图，建立空间直角坐标系，，， 则，， 设是平面的法向量，则，可取， 设是平面的法向量，则，可取， 所以，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）法一，先证明，再证明平面，利用面面垂直的判定定理得证；法二，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面和平面的法向量证明； （2）法一，过作分别平行于，连结，作交于点，连结，证明，说明为平面与平面的夹角，求解得答案；法二，建系求出平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 解法一：在直角梯形中，因为，解得， 过作分别平行于，连结，作交于点，连结， ，且都在面内， 平面， 平面，又平面， ，又，平面且交于， 平面，又平面， ， 为平面与平面的夹角或其补角， 在中，，, ，由等面积法解得，又， . 所以平面与平面夹角的余弦值为. （2）解法二：在直角梯形中，解得， 如图，建立空间直角坐标系，，， 平面的法向量为，又， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得，， 设平面与平面夹角为， 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为为坐标原点，为线段的中点，为椭圆上动点，且面积的最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）延长交椭圆于，若，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和面积关系列式求，进而可得方程； （2）设直线，联立方程，利用韦达定理结合数量积的坐标运算求解即可，注意讨论直线的斜率是否存在. 【小问1详解】 由条件得，即，则， 则，， 解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：，则，且直线与椭圆必相交， 若直线的斜率不存在，可知， 联立方程，解得， 不妨取，则， 可得，不合题意； 若直线的斜率存在，设直线， 则，， 与椭圆联列方程得，消去y得， 可得， 则 ， 可得，解得 所以直线的方程为； 综上所述：直线的方程为. 【点睛】方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法 在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横（纵）坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解. 18. 在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. （1）记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； （2）设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. 【小问2详解】 ①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 19. 已知函数，，． （1）若的极值点为1，求实数的值； （2）在（1）的前提下，若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）证明不等式（其中是自然对数的底数）． 【答案】（1） （2） （3） 由（2）可得当时，，单调递减，所以，， 令，，有； 再由（2）可得，即，则， 即，也即，∴，, ． 则, 所以． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数再应用1是极值点代入求参即可； （2）把存在及恒成立转化为最值问题，先求出，再分类讨论求出计算求参即可； （3）应用，再结合（2）得出，应用不等式的性质计算即可证明. 【小问1详解】 因为的极值点为1，且，所以 所以，经检验符合题意， 因此可得. 【小问2详解】 对，总存在使得成立， 等价于存在使得成立， 由（1），若，，函数单调递增，若，，函数单调递减，所以， 所以存在，使得， ，，当时， ①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意； ②当时，，使得， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减， 即，则，使得，符合题意； ③当时，若，，函数单调递增，， 则，使得，符合题意； 综上可知，所求实数的取值范围是 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $