专题15分式及其基本性质同步培优讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题15分式及其基本性质同步培优讲义 ✺知识框架 1.分式概念：分式定义，分式有意义、无意义、值为零的条件 2.分式基本性质：分式恒等变形的依据，分式符号变化规律 3.约分：最简分式的定义，分式约分的方法 4.通分：最简公分母的确定，异分母分式通分 5.性质应用：借助分式基本性质进行变形、求值 ✺学习目标 1.理解分式的定义，准确区分整式与分式；熟练掌握分式有意义、无意义、值为零的条件。 2.掌握分式的基本性质，能依据性质完成分式的恒等变形，熟练运用分式符号法则。 3.理解约分与最简分式的概念，规范完成分式的约分运算。 4.理解通分的意义，能够确定最简公分母，对异分母分式正确通分。 5.灵活运用分式基本性质做代数式变形与求值，提升代数恒等变换能力。 ✺题型归纳 题型1.分式的判断 题型2.分式无意义的条件 题型3.分式有意义的条件 题型4.分式值为零的条件 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型6.判断分式变形是否正确 题型7.求使分式变形成立的条件 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型9.将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型10.将分式的分子分母各项系数化为整数 题型11.求使分式值为整数时未知数的整数值 题型12.约分 题型13.最简分式 题型14.最简公分母 题型15.通分 题型16.课堂小练 ✺知识清单 知识点01分式的概念 1.一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A是分子，B是分母。 2.分式有意义：分母B≠ 0； 分式无意义：分母B=0； 分式的值为0：分子A=0，且分母 B≠0。 知识点02分式的基本性质 1.性质内容：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.性质公式：=  ，=(C≠0)，（其中C是不等于0的整式） 分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 知识点03分式的符号法则 分式的分子、分母、分式本身三处符号，任意同时改变两处，分式的值不变。 ==-, = 知识点04约分与最简分式 1.依据分式的基本性质，约去分式分子与分母公因式的变形，称为约分。 2.分子、分母不含公因式的分式，叫做最简分式。 3.约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去二者的公因式，结果化为最简分式或整式。 知识点05通分与最简公分母 1.依据分式的基本性质，将若干异分母分式化为和原分式相等的同分母分式，这个过程叫做通分。 2.取各分母所有因式最高次幂的积作为公分母，该公分母称为最简公分母。 3.最简公分母确定方法：系数取各分母系数的最小公倍数；选取全部出现的因式，相同因式取最高次幂。 ✺题型精讲 题型1.分式的判断 1．下列各式：，，，5，，，，分式有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有______________．（只填序号） 3．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ ． 题型2.分式无意义的条件 1．当时，分式无意义，则表示的代数式可以是（     ） A． B． C． D． 2．如果分式无意义，则__________． 3．已知：代数式． (1)当为何值时，该式无意义？ (2)当为何整数时，该式的值为正整数？ 题型3.分式有意义的条件 1．使分式有意义的的取值是（     ） A． B． C． D． 2．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 3．当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型4.分式值为零的条件 1．若分式的值为0，则a的值是（     ） A．-1 B．1 C．0 D．3 2．如果分式无意义，的值为0，则的值是______． 3．已知分式． (1)当x为何值时，分式有意义？ (2)当x为何值时，分式的值为0？ 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 3．当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 题型6.判断分式变形是否正确 1．下列变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，且，则代表的整式是______． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型7.求使分式变形成立的条件 1．运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 2．根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填_______；_________；________． （2）；序号中应分别填_______；_________；________． （3）；序号中应分别填_______；_________；________． （4）．序号中应分别填_______；_________；________． 3．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（     ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 2．若，则________． 3．若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的有哪些？ (1)； (2)； (3)； (4)． 题型9.将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 题型10.将分式的分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1）_______． （2）_______． 3．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 题型11.求使分式值为整数时未知数的整数值 1．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 2．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是为整数，且“雅中式”的值也为整数，则所有符合条件的的值为_______． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 题型12.约分 1．下列约分结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．化简时，应约去的分子分母的公因式是________． 3．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数x的值． 题型13.最简分式 1．下列各式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 3．已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 题型14.最简公分母 1．分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 2．分式与的最简公分母是________． 3．求分式 与 的最简公分母． 题型15.通分 1．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 2．将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 3．通分： (1)； (2)． ✺课堂小练 一、单选题 1．根据下列表格中的信息，y 代表的分式可能是（     ） x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． * 0 * 无意义 * ．．． A． B． C． D． 2．如果下列各式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 3．若，，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．2 4．下列说法正确的是（     ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 二、填空题 5．已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 6．填空： （1）括号内应填_________；         （2）括号内应填_________； （3）括号内应填_________；     （4）括号内应填_________． 7．如果分式的值为正整数，则所有满足题意的整数的值的和为_________． 三、解答题 8．通分： (1)； (2)． 9．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 10．多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法：，，，， ． 方法：，将分式的分子、分母同时除以，得： … (1)“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是____ (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15分式及其基本性质同步培优讲义 ✺知识框架 1.分式概念：分式定义，分式有意义、无意义、值为零的条件 2.分式基本性质：分式恒等变形的依据，分式符号变化规律 3.约分：最简分式的定义，分式约分的方法 4.通分：最简公分母的确定，异分母分式通分 5.性质应用：借助分式基本性质进行变形、求值 ✺学习目标 1.理解分式的定义，准确区分整式与分式；熟练掌握分式有意义、无意义、值为零的条件。 2.掌握分式的基本性质，能依据性质完成分式的恒等变形，熟练运用分式符号法则。 3.理解约分与最简分式的概念，规范完成分式的约分运算。 4.理解通分的意义，能够确定最简公分母，对异分母分式正确通分。 5.灵活运用分式基本性质做代数式变形与求值，提升代数恒等变换能力。 ✺题型归纳 题型1.分式的判断 题型2.分式无意义的条件 题型3.分式有意义的条件 题型4.分式值为零的条件 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型6.判断分式变形是否正确 题型7.求使分式变形成立的条件 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型9.将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型10.将分式的分子分母各项系数化为整数 题型11.求使分式值为整数时未知数的整数值 题型12.约分 题型13.最简分式 题型14.最简公分母 题型15.通分 题型16.课堂小练 ✺知识清单 知识点01分式的概念 1.一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A是分子，B是分母。 2.分式有意义：分母B≠ 0； 分式无意义：分母B=0； 分式的值为0：分子A=0，且分母 B≠0。 知识点02分式的基本性质 1.性质内容：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 2.性质公式：=  ，=(C≠0)，（其中C是不等于0的整式） 分式的基本性质是分式约分、通分的理论基础，也是分式化简的核心依据。 知识点03分式的符号法则 分式的分子、分母、分式本身三处符号，任意同时改变两处，分式的值不变。 ==-, = 知识点04约分与最简分式 1.依据分式的基本性质，约去分式分子与分母公因式的变形，称为约分。 2.分子、分母不含公因式的分式，叫做最简分式。 3.约分步骤：先对分子、分母因式分解，再约去二者的公因式，结果化为最简分式或整式。 知识点05通分与最简公分母 1.依据分式的基本性质，将若干异分母分式化为和原分式相等的同分母分式，这个过程叫做通分。 2.取各分母所有因式最高次幂的积作为公分母，该公分母称为最简公分母。 3.最简公分母确定方法：系数取各分母系数的最小公倍数；选取全部出现的因式，相同因式取最高次幂。 ✺题型精讲 题型1.分式的判断 1．下列各式：，，，5，，，，分式有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵，，，，的分母均不含字母（为常数）， ∴均不是分式； ∵，的分母含有字母， ∴是分式； ∴分式共有2个 2．下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有______________．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 3．下列有理式中，哪些是整式？哪些是分式？ ． 【答案】 整式为，；分式为，. 【分析】根据整式和分式的定义判断分类，核心判断依据是分母中是否含有字母. 【详解】略 题型2.分式无意义的条件 1．当时，分式无意义，则表示的代数式可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母为零无意义计算即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴的值为0， 当时，， ， ， ， 则表示的代数式可以是． 2．如果分式无意义，则__________． 【答案】 【分析】分式无意义的条件是分母等于，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵分式无意义时，分母的值为， ∴， 解得． 3．已知：代数式． (1)当为何值时，该式无意义？ (2)当为何整数时，该式的值为正整数？ 【答案】(1) (2)或0 【分析】（1）根据分母等于0计算即可； （2）根据值为整数进行判断求解即可； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：代数式的值为正整数， 或， 解得：或0． 【点睛】本题主要考查了分式的值，准确分析，列出方程是解题的关键． 题型3.分式有意义的条件 1．使分式有意义的的取值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式有意义仅由分母是否为决定，与分子取值无关． 【详解】解：分式有意义需分母不为，即，解得． 2．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】且 【分析】分式有意义的前提是分母不为0，据此令分式的分母不等于0，求解得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式在实数范围内有意义的条件是分母不为0， ∴， ∴， ∵平方等于1的实数为和， ∴且． 3．当x取什么值时，下列分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：要使分式有意义，则需满足； （2）解：要使分式有意义，则需满足， ∴； （3）解：要使分式有意义，则需满足， ∴； （4）解：要使分式有意义，则需满足， ∴． 题型4.分式值为零的条件 1．若分式的值为0，则a的值是（     ） A．-1 B．1 C．0 D．3 【答案】D 【分析】分式的值为的条件是分子为，且分母不为，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 由得， 当时，，符合题意． 2．如果分式无意义，的值为0，则的值是______． 【答案】6 【分析】根据分母为0时，分式无意义，分子为0，分母不为0时，分式的值为零，求出的值即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得， ∵的值为0，， ∴，解得， 把，代入得：． 3．已知分式． (1)当x为何值时，分式有意义？ (2)当x为何值时，分式的值为0？ 【答案】(1)当且时，分式有意义 (2)当时，分式的值为0 【分析】（1）根据分式有意义的条件为分式的分母不为零，列式得，解不等式求出x的值； （2）根据分式的值为零的条件为分式的分母不为零且分子为零，通过列方程和不等式求出x的值． 【详解】（1）解：要使分式有意义，则， 解得：且； （2）要使分式的值为零，则且， 解得． 题型5.求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 1．下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴不论a为何值时，都有意义，故①正确； ②∵当时，， 此时分式无意义， ∴②错误； ③∵的值为负，， ∴， ∴，故③正确； ④∵有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且，故④正确． 故选：B 2．若分式的值为负数，则x的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据分式的值为负数的条件，结合分子为正数，得到分母小于零，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， ， 解得． 3．当的取值范围是多少时， (1)分式有意义； (2)分式值为负数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分式有意义的条件是分母不为0，进行计算即可得到答案； （2）分式值是负数的条件是分子分母异号，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 时，分式有意义； （2）解：，， ， ， 时，分式值为负数． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件以及分式值的符号的确定方法． 题型6.判断分式变形是否正确 1．下列变形中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，，变形正确． B选项，，变形正确． C选项，，变形错误． D选项，，变形正确． 2．已知，且，则代表的整式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，利用分式的基本性质，分子分母同乘一个不为0的数，分式的值不变，求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故答案为：． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (2)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 (3)分式的分子与分母同乘以得到等式的右边 (4)分式的分子与分母同除以得到等式的右边 【分析】本题考查分式的基本性质， （1）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （2）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （3）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； （4）直接利用分式的基本性质分别判断得出答案； 正确观察分式的分子与分母变化是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （2）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边； （3）∵， ∴分式的分子与分母同乘以得到等式的右边； （4）∵， ∴分式的分子与分母同除以得到等式的右边． 题型7.求使分式变形成立的条件 1．运用分式基本性质，等式中的A为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式基本性质，观察分母的变化，给分子做相同的变形即可求出A 【详解】解：∵ 原等式左边分母为，右边分母为， ∴分母乘了， ∴ 分子也需要同乘， ∴ 2．根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填_______；_________；________． （2）；序号中应分别填_______；_________；________． （3）；序号中应分别填_______；_________；________． （4）．序号中应分别填_______；_________；________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （2）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （3）根据分母从变为求出①②，进而可求出③； （4）根据分子从变为可知①②其中一个为，进而根据平方差公式作答即可． 【详解】解：（1） 故答案为：，，； （2） 故答案为：，，； （3） 故答案为：，，； （4） 故答案为：，，． 3．写出下列各等式中未知的分子或分母： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，对已知分子或分母因式分解，对比变形前后的变化，即可计算得到未知项． 【详解】（1）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都除以可得右边的分式， ∴； （2）解：∵ ， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （3）解：∵， ∴把的分子和分母都乘以可得左边的分式， ∴； （4）解：∵， ∴把左边分式的分子和分母都乘以可得右边的分式， ∴． 题型8.利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．若把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（     ） A．扩大2倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】A 【详解】解：∵把和都扩大2倍后，新分式的分子为，分母为， ∴新分式为， ∴分式的值扩大2倍． 2．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【详解】解：设，其中， 则，， ∴． 3．若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的2倍，分式值保持不变的有哪些？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分式值保持不变 (2)分式值改变 (3)分式值保持不变 (4)分式值改变 【分析】根据分式的性质依次进行求解即可． 【详解】（1）解：把分式中的a和b都变为原来的2倍，则有， ∴分式的值保持不变； （2）解：把分式中的a和b都变为原来的2倍，则有， ∴分式的值改变； （3）解：把分式中的a和b都变为原来的2倍，则有， ∴分式的值保持不变； （4）解：把分式中的a和b都变为原来的2倍，则有， ∴分式的值改变． 题型9.将分式的分子分母的最高次项化为正数 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 2．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 3．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“－”号． (1)； (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】对于一个分式有三个符号，分式本身，分子，分母，由分式的基本性质可得：这三个符号同时改变两个，分式的值不变，根据此原理逐一解答各题： （1）把的分子，分母的符号都改为“+”，可得答案； （2）把的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“-”，可得答案； （3）把的分母的符号改为“+”，分式本身的符号改为“-”，可得答案； （4）的分子的符号改为“+”，分数本身的符号都改为“+”，可得答案． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【点睛】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变.”是解题的关键. 题型10.将分式的分子分母各项系数化为整数 1．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数化为整数，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质将分子分母同乘适当的数，即可在不改变分式值的前提下把系数化为整数． 【详解】解：分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘一个不等于的整式，分式的值不变， 将原分式的分子分母同时乘以，可得：． 2．将分式的分子与分母中的各项系数化为整数． （1）_______． （2）_______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的基本性质． （1）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以10，分式的值不变． （2）不改变分式的值就是依据分式的基本性质进行变形，分子分母同时乘以6，分式的值不变． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：；． 3．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母各项的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据分式的基本性质解答即可； （）根据分式的基本性质解答即可； 本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11.求使分式值为整数时未知数的整数值 1．已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先对分式变形分离常数，再根据代数式的值为整数得到是的约数，求出所有符合条件的后求和即可． 【详解】解：对分式变形得， ∵代数式的值为整数，为整数，分式有意义要求， ∴是的整数约数， 即或或或， 解得， 解得， 解得， 解得， ∴所有符合条件的的和为． 2．我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2．已知分式是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是为整数，且“雅中式”的值也为整数，则所有符合条件的的值为_______． 【答案】0、2、3 【分析】由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的约数，从而可得答案． 【详解】解：根据“雅中式”的定义，可得， 即， 因式分解得，对等式左边通分得： ， 因此， 展开计算得： ， 因此， 分式有意义，则，即，约分可得， 因为为整数，的值为整数，所以是的约数，即， 解得或或或， 又因为分式有意义需满足，，即且， 故舍去， 因此所有符合条件的的值为0、2、3． 3．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①；    ②；    ③； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： ； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①②③ (2) (3)整数的值为或或或 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义逐个判断即可； （2）根据，利用完全平方公式进行化简即可； （3）先得出为整数，再结合（2）的结论，得出所有可能的取值，由此即可得． 【详解】（1）解：①， ②， ③， 则属于“和谐分式”的是①②③． （2）解： ． （3）解：∵为整数， ∴也为整数， 由（2）已得：， 要使“和谐分式”的值为整数，则需的值为整数， ∴所有可能的值为，，，， ∴所有可能的值为，，，， 即当整数的值为或或或时，“和谐分式”的值为整数． 题型12.约分 1．下列约分结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵与没有公因式， ∴与不能约分，故A选项不符合题意； B、∵与没有公因式， ∴不能约分，故B选项不符合题意； C、，故C选项符合题意； D、，故D选项不符合题意． 2．化简时，应约去的分子分母的公因式是________． 【答案】 【分析】分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，两者乘积即为分子分母的公因式． 【详解】解：∵ 分子为，分母为， 先确定系数部分：和的最大公约数是， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 仅出现在分子中，不纳入公因式， ∴ 分子分母的公因式为． 3．阅读资料，解决问题： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，，这样的分式就是真分式；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，，这样的分式就是假分式，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：． (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为带分式； (3)如果分式的值为整数，求所有符合条件的负整数x的值． 【答案】(1)假分式 (2) (3)符合条件的负整数的值为，， 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据题干给定的方法，进行求解即可； （3）先将假分式化为带分式，再根据分式的值为整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，分式是假分式； （2）解：； （3）解：， 若使原分式的值为整数，则的值为整数， 或， ，，，， 符合条件的负整数的值为，，． 题型13.最简分式 1．下列各式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：选项A中，的分子、分母含有公因式，不是最简分式； 选项B中，，的分子、分母含有公因式，不是最简分式； 选项C中，，的分子、分母含有公因式，不是最简分式； 选项D中，与无公因式，是最简分式． 2．下列分式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是最简分式的为______．（填序号） 【答案】①⑤ 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③，不是最简分式； ④，不是最简分式； ⑤是最简分式； ⑥，不是最简分式； 综上，是最简分式的有①⑤． 3．已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【答案】(1) (2) 选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2） 略 题型14.最简公分母 1．分式，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出系数的最小公倍数和各字母的最高次幂，再相乘得到结果． 【详解】三个分母的系数分别为，，，它们的最小公倍数是， 相同字母的最高次幂为，相同字母的最高次幂为， ∴三个分式的最简公分母为． 2．分式与的最简公分母是________． 【答案】 【分析】先求分母系数的最小公倍数，再取各字母因式的最高次幂，两者相乘即可得到最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为，第二个分式的分母为，首先计算系数的最小公倍数，和的最小公倍数是， 再确定各字母的最高次幂，的最高次幂是，的最高次幂是，的最高次幂是， 因此两个分式的最简公分母为． 3．求分式 与 的最简公分母． 【答案】 【分析】求系数的最小公倍数，各字母的最高次幂的积即可； 【详解】解：根据题意，得系数的最小公倍数是12，的最高次幂是 ， 的最高次幂是 ， 因此最简公分母为 ． 题型15.通分 1．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 2．将分式，，通分，第二个分式分母所乘的单项式为________． 【答案】 【分析】把分式的通分，先确定三个分式的最简公分母，再用最简公分母除以第二个分式的分母，即可得到所求单项式． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， 最简公分母为， 计算得． 3．通分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：两个分式的最简公分母为， 故； （2）解：， 故两个分式的最简公分母为， 故 ✺课堂小练 一、单选题 1．根据下列表格中的信息，y 代表的分式可能是（     ） x ．．． 0 1 2 ．．． y ．．． * 0 * 无意义 * ．．． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知，当时，无意义，此时分式分母为0； 当时，，此时分式分子为0且分母不为0； A选项：，时，分母，不符合，排除； B选项：，时，分母，符合；时，分子，分母，符合，满足条件； C选项：，时，分母，不符合，排除； D选项：，时，分子，不符合，排除． 2．如果下列各式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质，判断，扩大为原来的倍后分子与分母是否扩大相同倍数，即可确定分式值是否变化． 【详解】解：将，扩大为原来的倍，即替换为，分别代入各选项： 选项：，与原分式值相等； 选项：，与原分式值不相等； 选项：，与原分式值不相等； 选项：，与原分式值不相等． 3．若，，则的值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．2 【答案】A 【分析】将所求分式的分子用完全平方公式展开，代入已知条件化简求值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 4．下列说法正确的是（     ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵最简公分母是系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意实数都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 二、填空题 5．已知当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值是________． 【答案】 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，分别求出和的值，再计算． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴，解得 ． ∵时，分式的值为， ∴， 解得 ． ∴． 6．填空： （1）括号内应填_________；         （2）括号内应填_________； （3）括号内应填_________；     （4）括号内应填_________． 【答案】 【分析】（1）根据分式的基本性质，观察分母的变化，确定同乘以对应非零整式，即可得到括号内的结果； （2）对原式分子因式分解，观察分子的变化，确定同除以对应非零整式，即可得到括号内的结果； （3）根据分式的基本性质，观察分母的变化，确定同除以对应非零整式，即可得到括号内的结果； （4）对原式分子因式分解，观察分子的变化，确定同除以对应非零整式，即可得到括号内的结果； 【详解】解： （1） 原分式分母从变为，计算得，根据分式基本性质，分子需同乘，得，因此括号内填； （2） 先对原分式因式分解，得 ， 分子从变为，是除以，因此分母需同除以，得，因此括号内填； （3） 原分式分母从变为，计算得，对原分子因式分解得，分子同除以得，因此括号内填； （4）对原分式因式分解，得 ， 分子从变为，是除以，因此分母需同除以，得，因此括号内填． 7．如果分式的值为正整数，则所有满足题意的整数的值的和为_________． 【答案】 【分析】分式的值为正整数，说明是4的正约数，先找出所有符合条件的整数，再计算这些的和． 【详解】解：∵分式的值为正整数，且分子， ∴分母，且是4的正约数， ∴或或， ∴对应的整数为或或， ∴所有满足条件的整数x的和为． 三、解答题 8．通分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】先确定最简公分母，再根据分式的基本性质通分即可； 先确定最简公分母，再根据分式的基本性质通分即可． 【详解】（1）解：分式的最简公分母为， ∴，，； （2）解：∵，， ∴分式的最简公分母为， ∴，． 9．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 10．多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法：，，，， ． 方法：，将分式的分子、分母同时除以，得： … (1)“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是____ (2)请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整． 【答案】(1)分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 (2)原式 ， ， 原式． 【分析】（1）根据分式的基本性质进行求解即可； （2）根据分式基本性质进行化简，然后代入数值，计算即可． 【详解】（1）解：“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （2）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $