专题18.1 分式及其基本性质（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦分式及其基本性质核心知识点，系统梳理分式的定义、有意义或值为0的条件、基本性质及约分通分等内容，搭建从整式到分式运算的学习支架，夯实分式运算基础。 资料通过15类分层题型（例+变式）、探究式学习（如“巧数对”问题）及复盘笔记设计，以错误分析培养推理意识，探究活动发展创新意识，助力课中教学高效实施与课后学生查漏补缺。

简一数理 初中专题讲义 专题18.1 分式及其基本性质 （新教材人教版） 知识点一、分式及其性质 2 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 2 知识点三、分式的基本性质 2 知识点四、分式的约分 3 知识点五、分式的通分 3 知识点六、判断分式运算的错误步骤 3 【题型1 分式的判断】 4 【题型2 分式无意义的条件】 5 【题型3 分式有意义的条件】 7 【题型4 分式值为0的条件】 8 【题型5 求分式值为正（负）时未知数的取值范围】 10 【题型6 判断分式变形是否正确】 11 【题型7 求使分式变形成立的条件】 13 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 15 【题型9 将分式的分子分母的最高次项的系数化为正数】 16 【题型10 将分式的分子分母的各项系数化为整数】 17 【题型11 求使分式值为整数时未知数的整数值】 20 【题型12 约分】 22 【题型13 最简分式】 24 【题型14 最简公分母】 25 【题型15 通分】 28 【探究式学习】 30 【课后检测】 32 【复盘笔记】 40 知识点一、分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点三、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点四、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点五、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： （1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. （2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点六、判断分式运算的错误步骤 常见错误类型： 1）错在颠倒运算顺序，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 【题型1 分式的判断】 【例1】下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式；逐一检查每个表达式的分母是否含有字母即可. 【详解】解： ∵分式的定义是分母中含有字母， ∴检查每个表达式： ：分母是3，是数字，不是分式； ：分母是，是字母，是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，是常数，不是字母，不是分式； ：分母是2，是数字，不是分式； ：分母是，含有字母，是分式； ∴ 是分式的有2个； 故选：A. 【变式1-1】下列是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义即可判断，掌握分式的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是分式，故选项符合题意； B、不是分式，故选项不符合题意； C、不是分式，故选项不符合题意； D、不是分式，故选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】A、，分母为，含有字母，符合分式定义，是分式； B、，分母为常数，不含字母，属于整式中的系数形式，不是分式； C、，分母为常数（圆周率），不含字母，不是分式； D、，分母为常数，不含字母，不是分式． 故选：A． 【变式1-3】有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意是常数不是字母． 【详解】解：①，③是分式，②，④不是分式， 故选：C． 【题型2 分式无意义的条件】 【例2】若分式无意义，则x的值为（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】根据分式无意义时分母为0，列方程求解即可得到结果． 【详解】解：∵分式无意义， ∴分式的分母为，可得方程， 解得． 【变式2-1】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 2 3 … … 0 无意义 ☆ 无意义 ☆ … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，结合表格提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】解：根据表格信息可得三个条件∶①当时，无意义，即时分母为； ②当时，无意义，即时分母为； ③当时，，即时分子为且分母不为． A选项：，时，分母，有意义，不符合条件①，排除A． B选项：，时，分母，有意义，不符合条件②，排除B． C选项：，时，分子，，不符合条件③，排除C． D选项：，时，分母，无意义，符合条件①；时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，故D符合题意． 【变式2-2】已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】分式无意义时分母为0，分式值为0时分子为0且分母不为0，据此求出和的值，然后求的值即可． 【详解】解：∵时，分式无意义， ∴此时分母， 把代入得 ，解得：． ∵时，分式的值为0， ∴此时分子，且分母不为0， 把代入分子得 ，解得， 验证分母：时，，符合要求， ∴． 【变式2-3】当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据当分母为零时分式的值不存在得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值不存在时， ∴， ∴， 故选：D． 【题型3 分式有意义的条件】 【例3】下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是判断分母是否恒不为零． 分别分析每个选项的分母，判断其是否可能为零，若分母恒不为零，则该分式无论取何值都一定有意义． 【详解】解：A、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； B、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； C、当时，分母，分式无意义，此选项不符合题意； D、， ，分母恒不为零，无论取何值，分式都有意义，此选项符合题意． 故选：D． 【变式3-1】若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 【答案】A 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不为零是解题的关键． 第一个分式有意义要求分母不为零，即，解得且，第二个分式的分母为，当 时，分母不为零，因此第二个分式总有意义． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，即， ∴ 且 ． 对于分式，分母时有意义， ∵， ∴， ∴分式 有意义． 故选：A ． 【变式3-2】分式有意义的条件是_____． 【答案】 【分析】根据分式有意义，分母不为，即可得出结果． 【详解】解：若分式有意义， 则， 得． 【变式3-3】若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得，再求出解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 所以实数x的取值范围是． 【题型4 分式值为0的条件】 【例4】若代数式的值等于0，则_________． 【答案】 【分析】由分式值为0得出分式分子为0，且分母不为0，列出不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 【变式4-1】若分式的值为零，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件：需满足分子为零，同时分母不为零，进行解答即可． 【详解】解：分式的值为零， ，且， 解得，，且，且， ． 【变式4-2】当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值为______． 【答案】 【分析】先根据分式无意义的条件求出的值，再根据分式值为的条件求出的值，最后代入计算即可． 【详解】解：当时，分式无意义 ， 使得分母等于0，即 ， 解得， 当时，分式的值为， ， 将代入得，满足条件， 解得， ． 【变式4-3】若分式的值为，则的值为__________． 【答案】 【分析】分式值为零需满足分子为零且分母不为零，先求解分子为零对应的的值，再根据分母不为零舍去不符合条件的解，即可得到结果． 【详解】解：若分式的值为，则需同时满足： ， 解方程，得， 由不等式，得， 故舍去，可得． 【题型5 求分式值为正（负）时未知数的取值范围】 【例5】写出一个使分式的值大于1的x值：________． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】先对不等式变形求解，得到的取值范围，再在取值范围内写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：由题意得 ， 移项得 ， 通分计算得 ， 化简得 ， 所以 ，解得 ． 取，满足条件． 【变式5-1】当________时，分式的值为负． 【答案】 【分析】由分式的值为负结合非负数的性质可得，解不等式即可． 【详解】解：∵的值为负， 又∵， ∴， ∴． 【变式5-2】若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了求分式的值． 分式的值为负，需分子和分母异号，即且，结合分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为负数， ∴分子和分母异号， ∵， ∴且， 解得：且， ∵分母不能为零， ∴， 综上所述，的取值范围是且． 故答案为：且． 【变式5-3】已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为负数， ∴， 解得：； 或， 解得：， ∴x的取值范围是或； 故答案为：或． 【题型6 判断分式变形是否正确】 【例6】下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故A不符合题意； B．，a必定不为0，故B符合题意； C．，故C不符合题意； D．当时，此时无意义，故D不符合题意． 【变式6-1】如果，，那么下列各式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法，乘法，除法法则，解答即可； 【详解】解：∵， ∴同号； ∵， ∴.， ∴，故D错误，A，C无法确定； 【变式6-2】下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据分式的基本性质及符号变化规律判断各选项等式是否成立． 【详解】解：选项A：将的分子、分母同乘，得，与不相等，等式不成立； 选项B：无法分解为含因式的整式，不能约分得，等式不成立； 选项C：将的分母提取，得，与右侧相等，等式成立； 选项D：将的分子分母同时乘以，得，与不相等，等式不成立． 【变式6-3】若则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A，D：分式分子分母进行同加或同平方运算，不符合分式基本性质，均错误； 选项B：由有意义得，即且，分子分母同除以得，正确； 选项C：，错误． 【题型7 求使分式变形成立的条件】 【例7】无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 【变式7-1】若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质逐一进行判断即可，灵活运用分式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能说明，原选项不正确，符合题意； 、∵， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴ ∴， ∴， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式7-2】将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 【变式7-3】若，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、代数式求值等知识点，掌握等式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入运用分式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例8】已知均为正数，且，分式，分式，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且均为正数， ，， ， ， ， ， ． 【变式8-1】将下列分式中a，b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将扩大后的，替换原分式中的，，化简后与原分式比较，值相等的即为正确选项． 【详解】解：A、，分式值变为原来的，不符合要求； B、，与原分式值相等，符合要求； C、，分式值变为原来的倍，不符合要求； D、，分式值变为原来的倍，不符合要求． 【变式8-2】若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的3倍，分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将、分别替换为原来的3倍，代入各选项化简后，与原分式对比，即可判断分式值是否改变； 【详解】解：将换为，换为，依次化简判断： A、，分式值改变，不符合题意； B、，分式值改变，不符合题意； C、，替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意； D、，分式值改变，不符合题意． 【变式8-3】若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质，将x，y分别替换为，，化简后与原式对比，值保持不变的即为正确选项． 【详解】解：将，的值均扩大为原来的2倍，即用替换，替换，分别计算各选项： A．替换后得，不符合要求； B．替换后得，与原式相等，符合要求； C．替换后得，不符合要求； D．替换后得，不符合要求． 【题型9 将分式的分子分母的最高次项的系数化为正数】 【例9】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式9-1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式9-2】把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　） A．﹣ B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，把分子分母都乘﹣1即可. 【详解】分子分母都乘﹣1，得， 原式=， 故选C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 【变式9-3】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 【题型10 将分式的分子分母的各项系数化为整数】 【例10】下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，分式的化简等知识，逐项计算验证，A、B、C均不成立，D选项化简后成立． 【详解】解：A：∵，， ∴ ，而， ∴，A错误． B：∵， ∴，而， ∴，B错误． C：左边分式分子分母同乘10，得 ，右边为， ∵分母不同， ∴除非，否则不相等，C错误． D：， ∵左边右边， ∴D正确． 故选：D． 【变式10-1】下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一排除即可，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项错误，符合题意； 、，原选项正确，不符合题意； 、，原选项正确，不符合题意． 故选：． 【变式10-2】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的基本性质、代数式求值、分式的基本性质等知识点，运用等式的基本性质得到成为解题的关键． 根据等式的基本性质得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式10-3】下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】根据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、分式的值为零，则的值为，选项错误，不符合题意； B、当时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 【题型11 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例11】已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】先对分式变形分离常数，再根据代数式的值为整数得到是的约数，求出所有符合条件的后求和即可． 【详解】解：对分式变形得， ∵代数式的值为整数，为整数，分式有意义要求， ∴是的整数约数， 即或或或， 解得， 解得， 解得， 解得， ∴所有符合条件的的和为． 【变式11-1】当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【答案】C 【分析】先确定x的取值范围，再根据分式有意义的条件排除无意义的取值，化简分式后根据结果为整数的条件分析计算，即可得到最终结果． 熟练掌握分式的值为整数的条件是解决本题的关键，注意讨论分式的值的前提是要使分式有意义． 【详解】解：由题意得，x是不超过6的正整数，因此x的可能取值为， 又， ∵分式有意义时，分母不为0， ∴， 得且，排除， ∵分式结果为整数， ∴为整数， 又x是正整数， 因此x是3的正因数， 或， 又由分式有意义的条件可知， ， 代入化简后的分式得， 因此分式的整数值是． 【变式11-2】已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了整式运算、分式运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据，即可判断结论①；根据，即可判断结论②；由，易得若为正整数，则有或1或，分别求解即可判断结论③． 【详解】解：根据题意，， ①∵， ∴恒成立，该结论正确； ②∵， 又∵， ∴， ∴的最小值是； 的最小值是，该结论正确； ③∵， ∴若为正整数，则有或1或， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， 当时，解得，经检验，符合题意， ∴整数值有3个，该结论正确． 综上所述，正确的有①②③，为3个． 故选：A． 【变式11-3】若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，解题的关键需要分离常数，转化思考． 先将分式分离常数得到，再将问题转化为为整数的问题求解． 【详解】解：， ∵的值为整数，为整数， ∴为整数， ∴或， ∴或2或5或1， 故选：D． 【题型12 约分】 【例12】下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式约分需先确定分子与分母的公因式，多项式形式的分子或分母需先因式分解，再约去公因式． 【详解】解：对选项A：，错误； 对选项B：无法分解出因式，无公因式可约，错误； 对选项C：，错误； 对选项D：，正确． 【变式12-1】下面四个式子的约分运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A中，无公因式可约，不能直接约去指数，运算错误； 选项B中，是分子分母的项而非公因式，不能直接约分，运算错误； 选项C中，由得，运算错误； 选项D中，由得，运算正确. 【变式12-2】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分子分母分别因式分解，再约去公因式得到结果． 【详解】解： ． 【变式12-3】下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的约分，正确约分是解题的关键．依据分式约分法则，即分子分母同时除以公因式，多项式先因式分解再判断，逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵选项A中，分子无法分解出因式，不能将分子的与分母的约分，∴A错误； ∵选项B中，，并非，∴B错误； ∵选项C中，分母，分子与分母的公因式为（），∴，C正确； ∵选项D中，分子与分母没有公因式，不能约分，∴D错误． 故选：C． 【题型13 最简分式】 【例13】下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，有公因式，不是最简分式． B、，有公因式，不是最简分式． C、的分子分母有公因数，不是最简分式． D、分子无法因式分解，与分母无公因式，是最简分式． 【变式13-1】下列说法正确的是（     ） A．分式值为0，则的值为 B．分式是最简分式 C．无论为何值总有意义 D．代数式是分式 【答案】C 【详解】解： A选项，分式值为0需要满足且，解得，故错误； B选项，∵，∴分子分母有公因式，∴不是最简分式，故错误； C选项，∵，∴，∴分母恒不为0，∴无论为何值总有意义，故正确； D选项，∵是常数，分母不含字母，∴是整式，不是分式，故错误． 【变式13-2】分式，，中，最简分式有（     ）个 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】逐个判断每个分式的分子分母是否存在公因式，统计最简分式的个数即可． 【详解】解：最简分式的定义为：分子与分母没有公因式的分式，逐个判断如下： 对于，分子与分母没有公因式，因此是最简分式． 对于，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 对于，对分母因式分解得，分子分母有公因式，约分后为，因此不是最简分式． 综上，最简分式共个． 【变式13-3】关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 【题型14 最简公分母】 【例14】下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【答案】C 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件，最简公分母的确定，分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质。 【详解】解：A选项，因为分式有意义的条件是分母不为，即，不是，所以A错误； B选项，因为确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，所以分式与的最简公分母是，不是，所以B错误； C选项，因为对任意都有，所以，分子，所以恒成立，所以C正确； D选项，因为分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，所以，D错误． 【变式14-1】下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关基础概念，包括分式有无意义的条件、最简公分母的确定、分式值为0的条件以及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式的基本性质． 【详解】解：A，∵分式无意义的条件是分母，当时，分母，分式有意义， ∴A错误； B，∵最简公分母取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积， ∴分式与的最简公分母是，不是， ∴B错误； C，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即， ∴，不是， ∴C错误； D，∵对任意都有， ∴，分子， ∴恒成立， ∴D正确． 【变式14-2】下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查分式的相关概念，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题关键是掌握分式相关的基本性质． 【详解】解：对于A选项，∵分式有意义的条件是分母不为，即，不是，∴A错误； 对于B选项，∵确定最简公分母需取系数最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积，∴分式与的最简公分母是，不是，∴B错误； 对于C选项，∵分式值为需满足分子为且分母不为，由得，又即，∴，不是，∴C错误； 对于D选项，∵对任意都有，∴，分子，∴恒成立，∴D正确． 故选：D． 【变式14-3】下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】逐个分析选项的正确性，需要对每个选项所涉及的分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件是分母不为零、最简公分母的确定：确定几个分式的最简公分母时，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母；分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式，分式的值不变；以及分式的正负性判断． 【详解】解：A、当时，分式有意义，故本选项说法错误，不符合题意； B、分式与的最简公分母是，故本选项说法错误，不符合题意； C、分式中，都扩大倍，分式的值扩大倍；故本选项说法错误，不符合题意； D、无论为何值，的值总为正数，说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查分式相关概念进行分析判断，包括分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式的基本性质以及分式值的正负性判断，解题的关键是熟知分式的特点与性质． 【题型15 通分】 【例15】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的通分，关键是确定最简公分母，根据分式的基本性质将分子同乘相应式子得到结果即可． 【详解】解：∵两个分式的分母分别为和， ∴最简公分母为， ∵要将通分，需给分子分母同乘， ∴分子变为， 故选：A． 【变式15-1】把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 【变式15-2】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了通分，整式混合运算，关键是根据分式的基本性质对分式进行通分． 先找出三个分式的最简公分母，再根据分式的基本性质进行通分计算，最后把通分后的分式的分子相加，根据整混合法则计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ， 故选：A． 【变式15-3】计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 【探究式学习】 1．小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【答案】(1)① (2)，2（答案不唯一） (3)当，或时，可以找到“巧数对”． 【分析】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简． （1）根据立方差公式，可以发现小普从第①步开始出现错误； （2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如，； （3）将化简，可得，化简得，即或，即当，或时，可以找到“巧数对”． 【详解】（1）解：因为， 所以小普从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （2）解：将，代入可得： ， ， 即， 所以，． 故答案为：，2．（答案不唯一） （3）解：∵， 即， 即， 得， ， 即或， 得或， 即当，或时，可以找到“巧数对”． 2．已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案； （2）仿照题意得到或，然后解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得，即不等式组无解， ∴； （2）解：∵， ∴或， 解不等式组得，解不等式组得， ∴或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，分式的性质，正确理解题意是解题的关键． 【课后检测】 1．分式的值为0，则的值是（     ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】分式的值为0时，需同时满足分子为0，且分母不为0，二者缺一不可． 【详解】解：由题意得，，且， ，且， ． 2．若，则的值是（     ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用已知等式将三次项降次，代入分式化简求值． 【详解】∵， ∴， 则． 3．下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式的基本性质为：分式的分子与分母同乘或除以同一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质判断各选项变形是否正确即可． 【详解】解：A．该变形为分子分母同时减，不符合分式基本性质，变形错误． B．该变形分子分母同乘，未保证，当时变形无意义，变形错误． C．原式分母，分式有意义可推出且，∴分子分母同除以，可得，变形正确． D．，变形错误． 4．下列从左到右的变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式基本性质逐一判断变形是否正确即可，分式基本性质为：分式的分子和分母同乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变. 【详解】解：对于选项A，中在分母位置，因此，分子分母同除以可得，变形正确； 对于选项B，未说明，若，变形后无意义，变形错误； 对于选项C，分子乘分母乘，不是乘同一个整式，不符合分式基本性质，变形错误； 对于选项D，分子分母同时加1，不符合分式基本性质，变形错误. 5．根据下列表格中的信息，代表的分式可以是（     ） … … … 无意义 * * … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式无意义的条件（分母为时分式无意义）和分式值为的条件（分子为且分母不为时分式值为），结合表格信息判断选项即可． 【详解】解：根据表格信息可得三个条件：① 当时，无意义，可知时，分式分母为；② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为；③ 当时，，代入验证即可； A、中，当时，分母，有意义，不符合条件①，排除； B、中，当时，分母，无意义，符合条件①；当时，分子，分母，符合条件②；当时，，符合条件③，故该选项符合题意； C、中，当时，分母，有意义，不符合条件①，排除； D、中，当时，分子，，不符合条件②，排除． 6．下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】本题考查分式值为零的条件、分式的基本性质、最简分式的定义以及分式值的变化规律，根据相关概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A．分式值为零需满足分子为零且分母不为零，对于， 解得，当时，分母，分式无意义， 只能为，故A错误； B．分式的基本性质要求分子分母同乘同一个不为零的整式， 当时，，等式不成立，选项未说明，故B错误； C．当都扩大3倍后，新分式为， 分式值变为原来的3倍，故C错误； D．分子与分母没有公因式，在实数范围内不可分解， 该分式是最简分式，故D正确； 故选：D． 7．若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将、分别替换为原来的2倍，代入各选项化简后，与原分式对比，即可判断分式值是否改变. 【详解】解：将换为，换为，依次化简判断： A、，分式值改变，不符合题意； B、，分式值改变，不符合题意； C、，替换后与原分式相等，分式值不变，符合题意； D、，分式值改变，不符合题意． 8．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】要使分式的值为正数，需满足两个条件，一是分式有意义，分母不为0，二是分子分母同号，根据平方的非负性判断分母符号后，求解分子的不等关系即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母，即， ∵任意非零数的平方都是正数， ∴当时，， ∵要使分式的值为正数，需分子与分母同号， ∴分子， 解不等式得， 综上，分式的值为正数的条件是且． 9．若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为零需同时满足两个条件：分子为零，分母不为零，据此计算即可得到答案． 【详解】解：分式的值为， ，且， 解得，且， 的值为． 10．若分式中的和都扩大为原来的2倍后，分式的值不变，则可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式值不变的条件推导出分子需要满足的关系，再验证选项即可． 【详解】解：∵x和y都扩大为原来的2倍， ∴新的分母为，即分母扩大为原来的2倍， ∵分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需要扩大为原来的2倍，即当x，y都变为原来的2倍时，新的； 选项A：原，，，，不符合要求； 选项B：原，，满足条件，符合要求； 选项C：原，，不符合要求； 选项D：原，，不符合要求． 11．，括号内应填_________． 【答案】 【分析】先对原式的分母因式分解，再约去分子分母的公因式，即可得到括号内的结果； 【详解】解：． 12．若分式的值为零，则________． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件：分子为零，且分母不为零，据此结合绝对值的解法求解即可． 【详解】解：分式的值为零 ，且 由得 或 解得或 又，即 ． 13．若，则________． 【答案】 【分析】根据已知的比例关系，设参数表示出和，再代入所求分式化简计算即可得到结果． 【详解】解：设，其中， 则，， ∴． 14．下列有理式中、、、，哪些是整式__________哪些是分式____________；当______时，分式有意义；当______时，分式的值为0． 【答案】 、 、 【详解】解：整式与分式区分：分母不含字母的是整式，含字母的是分式，为常数，因此、是整式，、是分式； 分式有意义：分母，解得； 分式值为0：分子，得， 分母得， 因此． 15．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 【答案】(1)， ， (2)的值为或 【分析】（1）仿照例题求解即可； （2）仿照例题得到，则可推出是整数，结合x为正整数得到或，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ∵分式的值为正整数， ∴为正整数， ∴一定是整数， ∵x为正整数， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去，此时的值为负数）． 16．约分：． 【答案】 【详解】解：先因式分解：分子 ， 分母 ， 约去公因式 ，得 ； 17．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【详解】（1）解： ； （2）不变 ； （3） ； （4）； 18．计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 【答案】(1)整数的值为 (2)整数的值为 【详解】（1）由分式有意义的条件知，故， 因为3的整数因数为3,1，，， 故， 解得 （2），故分式的值为整数即的值为整数，且， 由第（1）问知 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题18.1 分式及其基本性质 （新教材人教版） 知识点一、分式及其性质 2 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 2 知识点三、分式的基本性质 2 知识点四、分式的约分 3 知识点五、分式的通分 3 知识点六、判断分式运算的错误步骤 3 【题型1 分式的判断】 4 【题型2 分式无意义的条件】 4 【题型3 分式有意义的条件】 5 【题型4 分式值为0的条件】 5 【题型5 求分式值为正（负）时未知数的取值范围】 5 【题型6 判断分式变形是否正确】 5 【题型7 求使分式变形成立的条件】 6 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 6 【题型9 将分式的分子分母的最高次项的系数化为正数】 6 【题型10 将分式的分子分母的各项系数化为整数】 7 【题型11 求使分式值为整数时未知数的整数值】 8 【题型12 约分】 8 【题型13 最简分式】 9 【题型14 最简公分母】 9 【题型15 通分】 10 【探究式学习】 11 【课后检测】 12 【复盘笔记】 15 知识点一、分式及其性质 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母. 知识点二、分式有意义、无意义或值为0的条件 对于分式A/B来说 条件 分式有意义 分母不等于零，即B≠0 分式无意义 分母等于零，即B=0 分式值为0 A=0且B≠0 注意：分式的值是在分式有意义的前提下考虑的. 知识点三、分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 字母表示：或，其中A，B，C是整式且B•C≠0. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. 【补充】改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数. 【易错易混】运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0. 知识点四、分式的约分 分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 【补充说明】约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 知识点五、分式的通分 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数. 确定最简公分母的方法： （1）分母为单项式:①取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； ②取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. （2）分母为多项式:①对每个分母进行因式分解； ②找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母； ③若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 知识点六、判断分式运算的错误步骤 常见错误类型： 1）错在颠倒运算顺序，例如：，错误原因：运算顺序错误，应先算括号里的，再算括号外的. 2）错在去分母，例如：，错误原因：上述解法把分式通分与解方程混淆，要注意分式计算式等式代换，不能去分母. 【题型1 分式的判断】 【例1】下列各式： 中，是分式的共有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】下列是分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各式：，，，，其中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【题型2 分式无意义的条件】 【例2】若分式无意义，则x的值为（     ） A． B．0 C． D．1 【变式2-1】根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（     ） … 0 2 3 … … 0 无意义 ☆ 无意义 ☆ … A． B． C． D． 【变式2-2】已知时，分式无意义，时，分式的值为零，则的值是（     ） A．0 B．2 C．4 D．8 【变式2-3】当取哪个数时，分式的值不存在（　　） A． B． C． D． 【题型3 分式有意义的条件】 【例3】下列分式中，无论a取何值，一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】若分式有意义，则分式（   ） A．有意义 B．无意义 C．值为0 D．值不为0 【变式3-2】分式有意义的条件是_____． 【变式3-3】若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【题型4 分式值为0的条件】 【例4】若代数式的值等于0，则_________． 【变式4-1】若分式的值为零，则的值为_______ 【变式4-2】当时，分式无意义；当时，分式的值为0，则的值为______． 【变式4-3】若分式的值为，则的值为__________． 【题型5 求分式值为正（负）时未知数的取值范围】 【例5】写出一个使分式的值大于1的x值：________． 【变式5-1】当________时，分式的值为负． 【变式5-2】若分式值为负数，则的取值范围是__________． 【变式5-3】已知分式的值为负数，则x的取值范围是______． 【题型6 判断分式变形是否正确】 【例6】下列从左到右变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如果，，那么下列各式中一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】下列等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】若则下列分式化简正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型7 求使分式变形成立的条件】 【例7】无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】若四条均不相等线段的长度分别为，，，，且满足，则下列各式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【变式7-3】若，则的值为__________． 【题型8 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例8】已知均为正数，且，分式，分式，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】将下列分式中a，b的值同时扩大为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】若a、b均不为0，将下列分式中的a和b都变为原来的3倍，分式的值保持不变的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【题型9 将分式的分子分母的最高次项的系数化为正数】 【例9】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【变式9-1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】把分式的分子、分母的最高次项的系数都化为正数的结果为（　　） A．﹣ B． C． D． 【变式9-3】不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型10 将分式的分子分母的各项系数化为整数】 【例10】下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式10-2】已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】下列说法正确的是（        ） A．分式的值为零，则的值为 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 【题型11 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例11】已知x为整数，则能使代数式的值为整数的所有x的和为（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式11-1】当x取不超过6的正整数时，分式的整数值是（   ） A．2 B．0 C． D．0或 【变式11-2】已知实数，有，对于，有以下结论： ①对任意实数，恒成立；②的最小值是；③若为正整数，则整数值有3个．其中正确的个数为（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式11-3】若的值为整数，则符合要求的整数x的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型12 约分】 【例12】下列约分正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】下面四个式子的约分运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式12-3】下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型13 最简分式】 【例13】下列分式中是最简分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列说法正确的是（     ） A．分式值为0，则的值为 B．分式是最简分式 C．无论为何值总有意义 D．代数式是分式 【变式13-2】分式，，中，最简分式有（     ）个 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式13-3】关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【题型14 最简公分母】 【例14】下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．无论x为何值，的值总为正数 D．当分式值为0时， 【变式14-1】下列说法正确的是（    ） A．当时，分式无意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论为何值，的值总为正数 【变式14-2】下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式值为0时， D．无论x为何值，的值总为正数 【变式14-3】下列说法正确的是（   ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．分式中，都扩大倍，分式的值不变 D．无论为何值，的值总为正数 【题型15 通分】 【例15】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式15-2】将通分后，各分式的分子之和为（   ） A． B． C． D． 【变式15-3】计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【探究式学习】 1．小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 2．已知分式；试解答下列问题： 阅读材料：若分式的值大于0（即），则或 (1)根据上面这段阅读材料，若分式，求x的取值范围 (2)根据以上内容，自主採究：若分式，求x的取值范围（要求：写出探究过程）． 【课后检测】 1．分式的值为0，则的值是（     ） A．0 B． C．2 D．2或 2．若，则的值是（     ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 3．下列各式中，从左到右变形正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列从左到右的变形一定正确的是（     ） A． B． C． D． 5．根据下列表格中的信息，代表的分式可以是（     ） … … … 无意义 * * … A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（   ） A．分式的值为零，则x的值为 B．根据分式的基本性质，等式恒成立 C．分式中的，都扩大3倍，分式的值不变 D．分式是最简分式 7．若、均不为0，将下列分式中的和都变为原来的2倍，分式的值保持不变的是（     ）． A． B． C． D． 8．分式的值为正数的条件是（     ） A． B．且 C． D． 9．若分式的值为0，则x的值为（     ） A． B． C． D． 10．若分式中的和都扩大为原来的2倍后，分式的值不变，则可能是（     ） A． B． C． D． 11．，括号内应填_________． 12．若分式的值为零，则________． 13．若，则________． 14．下列有理式中、、、，哪些是整式__________哪些是分式____________；当______时，分式有意义；当______时，分式的值为0． 15．对于形如的分式，可通过配凑变形，化为一个常数与分子为常数的分式相加的形式：（m，n为常数），该方法称为分离常数法． 例如：． (1)将分式化为形式，并写出m，n的值． (2)若x为正整数，且分式的值为正整数，求x的值． 16．约分：． 17．将下列各分式通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．计算 (1)当a取什么整数时，分式的值为整数？ (2)当a取什么整数时，分式的值为整数？ 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 40 页 第 1 页 共 40 页 学科网（北京）股份有限公司 $