第15讲·分式的乘法与除法·培优讲义 ·2026--2027学年人教版八年级数学上册

第15讲·分式的乘法与除法·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握分式的乘法法则，能进行分式乘法运算 · 掌握分式的除法法则，会把除法转化为乘法 · 掌握分式的乘方法则，能计算分式乘方 · 能进行含乘方的分式乘除混合运算 · 能运用分式乘除运算解决实际应用问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 用式子表示：·= 运算步骤：先因式分解分子分母，再约分，最后结果化为最简分式 注意：当分子或分母是多项式时，先分解因式再约分 概念辨析例题：下列计算错误的是（　　）A．÷=　B．·=-　C．÷=　D．·= 答案：D 解析：逐项验证：A、B、C均计算正确；D中·=·=x，而非，故选D。 ✅️ 2.分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 用式子表示：÷=·= 乘除同级运算按从左到右的顺序进行，不能先算后面的乘法 注意：除式（除数）不能为0，运算结果要化为最简分式 概念辨析例题：计算a÷b·的正确结果是（　　）A．a　B．b　C．　D． 答案：C 解析：乘除是同级运算，按从左到右的顺序计算：原式=a··=，故选C。 ✅️ 3.分式的乘方 乘方法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方 用式子表示：()n=（n为正整数） 注意符号：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，如(-)3=- 含乘方的乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，同级按从左到右顺序 概念辨析例题：计算(-)3的结果是（　　）A．　B．-　C．　D．- 答案：B 解析：把分子、分母分别乘方：(-)3=(-1)3·=-，故选B。 ✅️ 4.分式的乘除混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除；乘除为同级运算，按从左到右的顺序进行 除法变乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数，注意只颠倒除式的分子分母 因式分解：分子分母是多项式时先分解因式，再约分化为最简分式 综合应用：利用分式乘除运算列式解决实际问题，注意结果要化简 概念辨析例题：某净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为。现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为（　　）A．　B．　C．　D．1 答案：B 解析：根据题意，杂质含量为1的水经2单位量净水材料过滤一次后，水中杂质含量为=，故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 分式的乘法 分子乘分子，分母乘分母 先分解因式再约分，结果化为最简 分式的除法 除以一个分式等于乘以它的倒数 只颠倒除式的分子分母 分式的乘方 分子、分母分别乘方 注意负数的奇次幂为负 乘除混合运算 先乘方再乘除，同级从左到右 除法变乘法后统一约分 最简分式 分子分母无公因式 系数、符号要正确处理 📩 核心考点 【考点1】分式的乘法与乘方（第1-13题） · 分式乘法：分子乘分子、分母乘分母，先分解因式再约分 · 分式乘方：分子分母分别乘方，注意奇次幂的负号 · 判断运算正误：逐项按法则验算，先因式分解再约分化简 1．（25-26八年级上·北京·课后作业）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西河池·期末）下列各式计算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·贵州铜仁·阶段检测）下列分式运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·模拟预测）计算：（   ） A．3 B． C． D．0 5．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段检测）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河南信阳·期末）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·河北保定·期末）甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·山东淄博·阶段检测）计算的正确结果是（　　） A． B． C． D． 10．（2024·安徽合肥·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·河南周口·期中）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·全国·周测）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【考点2】分式的除法运算（第14-26题） · 除法转化为乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数 · 只颠倒除式的分子分母，被除式不变 · 乘除同级运算按从左到右顺序，结果化为最简分式 · 结合因式分解求值，注意约分时机 14．（25-26八年级下·全国·课后作业）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可以是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26八年级下·全国·周测）化简后的结果为，则“△”所表示的代数式是（   ） A．1 B． C． D． 16．（2025·四川南充·三模）若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·全国·期末）的计算结果为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·河南南阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24八年级上·山东聊城·期中）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2025·安徽淮北·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·重庆·期末）已知有序代数式串：x，，（，1）对其进行如下操作： 第1次操作：用第二个式子除以第一个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，； 第2次操作：用第三个式子除以第二个式子得到一个新代数式，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，； 依次进行上述操作，下列说法： ①第3次操作后得到的代数式串为：x，，，，； ②第10次操作后得到的新代数式与第20次操作后得到的新代数式相同； ③第2024次操作后得到的代数式串之积为； 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 22．（24-25八年级下·山西晋中·期末）化简： 的结果为_____________． 23．（2024·江西九江·二模）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了行军时的后勤供应情况：人负米六斗，卒自携五日干粮，人食日二升．其大意为在行军过程中，一个民夫可以背负六斗（60升）米，一个士兵可以自己背5天的干粮（5天的干粮为一斗米，即10升米），民夫和士兵每人行军一天都会消耗2升米．在没有其他粮食补充的情况下，若两个士兵雇佣个民夫随其一同行军，则背负的米最多支持行军______天．（用含的式子表示） 24．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）______； （2）______； （3）______； （4）______． 25．（2026·河南平顶山·三模）化简：__________． 26．（25-26八年级下·山西太原·期中）计算：______． 【考点3】分式的乘除混合运算（第27-39题） · 先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右 · 乘方后再统一把除法变乘法，分子分母交叉约分 · 分子分母是多项式时先因式分解 · 利用已知代数式的值整体代入求值 27．（20-21八年级上·湖南郴州·期末）计算：__________ 28．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：_________． 29．（2023·河南驻马店·模拟预测）计算：________． 30．（030课时6分式的乘除（1）八年级数学下册苏科版）若，则__________． 31．（23-24八年级上·山东日照·阶段检测）已知，则___________． 32．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：________． 33．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：________． 34．（2025·湖北·二模）化简：________． 35．（24-25八年级下·重庆·期中）计算：______． 36．（23-24八年级上·福建厦门·期末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨．现改用喷灌方式，可使同样m吨的水量多用5天．漫灌方式每天的用水量是喷灌方式每天用水量的_____倍． 37．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知被除式和商求除式已知被除式和商求除式中的某一项 若，则m的值为________． 38．（24-25八年级上·全国·期末）计算： ________． 39．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为_______． 【考点4】分式乘除运算综合应用（第40-52题） · 综合题先明确运算顺序，再逐项化简 · 阅读探究题按题目要求构造分式并化简求值 · 实际应用题正确列式，比较大小注意通分 · 化简结果必须为最简分式或整式 40．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于，，我们定义两种运算：，．则__________． 41．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算的结果为___________． 42．（25-26八年级上·全国·周测）计算：______． 43．（20-21八年级下·辽宁本溪·阶段检测）计算： __________． 44．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简：______． 45．（2025·四川自贡·二模）在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取_____． 46．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算：______． 47．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： （1）____________； （2）____________． 48．（25-26八年级上·全国·课后作业）现有两个圆，A圆的半径为，B圆的半径为，则A圆的面积是B圆面积的______倍． 49．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算的结果为_________． 50．（25-26八年级上·河南安阳·期末）先化简，再选取一个合适的数作为a的值代入求值． 51．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 52．（23-24八年级上·山东烟台·期末）计算： (1)； (2)． 课后巩固 🍬 复习建议 · 分式乘法：分子乘分子、分母乘分母，先因式分解再约分 · 分式除法：除以一个分式等于乘以它的倒数，只颠倒除式 · 分式乘方：分子分母分别乘方，负数的奇次幂为负 · 乘除混合：先乘方再乘除，同级运算从左到右 · 运算结果要化为最简分式，实际应用注意正确列式 【作业 1】（24-25八年级上·山东济宁·阶段检测）计算下列各题： (1)； (2)． 【作业 2】（25-26八年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)　　　； (2)　　　； (3)　　　； (4)　　　． 【作业 3】（25-26八年级上·北京·阶段检测）计算：． 【作业 4】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【作业 5】（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【作业 6】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)． 【作业 7】（25-26八年级上·北京·课后作业）计算：． 【作业 8】（23-24八年级上·山西大同·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)． 【作业 9】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【作业 10】（25-26八年级下·吉林长春·期中）计算： (1)； (2)； (3)． 【作业 11】（25-26八年级下·江苏南京·阶段检测）计算： (1)； (2)． 【作业 12】（25-26八年级上·全国·单元复习）计算：． 某同学给出了如下解答过程： 解：． 该同学的解答过程是否正确？如有错误，请指出来，并写出正确的解答过程． 【作业 13】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【作业 14】（25-26八年级上·全国·单元复习）计算： 【作业 15】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【作业 16】（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 【作业 17】（26-27八年级上·全国·课后作业）在解答题目“已知，求的值”时，小明误将看成了，但算出的结果仍然正确，你能解释原因吗？ 【作业 18】（24-25八年级下·江苏南京·期中）某净水装置，将杂质含量为的水用单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为．利用此净水装置，小亮进行了进一步的探究： 现有杂质含量为1的水． (1)用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为 ； (2)小亮共准备了单位量的净水材料，设计了如下的三种方案：方案是将单位量的净水材料一次性使用，对水进行过滤；方案和方案均为将单位量的净水材料分成两份，对水先后进行两次过滤．三种方案的具体操作及相关数据如下表所示： 方案编号 第一次过滤用净水材料的单位量 水中杂质含量 第二次过滤用净水材料的单位量 第二次过滤后水中杂质含量 / / ①请将表格中方案的数据填写完整； ②通过计算回答：在这三种方案中，哪种方案的最终过滤效果最好？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲·分式的乘法与除法·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版八年级数学上册 参考答案与试题解析 🍔 思维导图 🍟 课程目标 · 掌握分式的乘法法则，能进行分式乘法运算 · 掌握分式的除法法则，会把除法转化为乘法 · 掌握分式的乘方法则，能计算分式乘方 · 能进行含乘方的分式乘除混合运算 · 能运用分式乘除运算解决实际应用问题 🍗 知识梳理 ✅️ 1.分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 用式子表示：·= 运算步骤：先因式分解分子分母，再约分，最后结果化为最简分式 注意：当分子或分母是多项式时，先分解因式再约分 概念辨析例题：下列计算错误的是（　　）A．÷=　B．·=-　C．÷=　D．·= 答案：D 解析：逐项验证：A、B、C均计算正确；D中·=·=x，而非，故选D。 ✅️ 2.分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘 用式子表示：÷=·= 乘除同级运算按从左到右的顺序进行，不能先算后面的乘法 注意：除式（除数）不能为0，运算结果要化为最简分式 概念辨析例题：计算a÷b·的正确结果是（　　）A．a　B．b　C．　D． 答案：C 解析：乘除是同级运算，按从左到右的顺序计算：原式=a··=，故选C。 ✅️ 3.分式的乘方 乘方法则：分式乘方，把分子、分母分别乘方 用式子表示：()n=（n为正整数） 注意符号：负数的奇次幂为负、偶次幂为正，如(-)3=- 含乘方的乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，同级按从左到右顺序 概念辨析例题：计算(-)3的结果是（　　）A．　B．-　C．　D．- 答案：B 解析：把分子、分母分别乘方：(-)3=(-1)3·=-，故选B。 ✅️ 4.分式的乘除混合运算 运算顺序：先算乘方，再算乘除；乘除为同级运算，按从左到右的顺序进行 除法变乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数，注意只颠倒除式的分子分母 因式分解：分子分母是多项式时先分解因式，再约分化为最简分式 综合应用：利用分式乘除运算列式解决实际问题，注意结果要化简 概念辨析例题：某净水装置，将杂质含量为n的水用m单位量的净水材料过滤一次后，水中的杂质含量为。现有杂质含量为1的水，用2单位量的净水材料将水过滤一次后，水中杂质含量为（　　）A．　B．　C．　D．1 答案：B 解析：根据题意，杂质含量为1的水经2单位量净水材料过滤一次后，水中杂质含量为=，故选B。 🧀 知识总结表 核心概念 定义/法则 注意事项 分式的乘法 分子乘分子，分母乘分母 先分解因式再约分，结果化为最简 分式的除法 除以一个分式等于乘以它的倒数 只颠倒除式的分子分母 分式的乘方 分子、分母分别乘方 注意负数的奇次幂为负 乘除混合运算 先乘方再乘除，同级从左到右 除法变乘法后统一约分 最简分式 分子分母无公因式 系数、符号要正确处理 📩 核心考点 【考点1】分式的乘法与乘方（第1-13题） · 分式乘法：分子乘分子、分母乘分母，先分解因式再约分 · 分式乘方：分子分母分别乘方，注意奇次幂的负号 · 判断运算正误：逐项按法则验算，先因式分解再约分化简 1． 【答案】D 【知识点】分式乘方、分式乘法、分式除法 【分析】本题考查了分式的乘法和除法，分式的乘方运算，正确分解因式是解题的关键．根据各个运算法则逐项计算即可得解． 【详解】解：A. ，计算正确，该选项不符合题意； B. ，计算正确，该选项不符合题意； C. ，计算正确，该选项不符合题意； D. ，计算错误，该选项符合题意； 故选：D． 2． 【答案】D 【知识点】分式乘法、分式除法 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算．根据分式的乘除运算法则计算，即可求解． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D． 3． 【答案】D 【知识点】分式乘方、分式乘法 【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的运算法则解题． 【详解】解：A. ，故A错误，不符合题意； B. ，故B错误，不符合题意； C. ，故C错误，不符合题意； D. ，正确，故D符合题意 故选：D． 4． 【答案】A 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式乘法运算，熟练掌握分式乘法运算法则是解题的关键．根据分式乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 5． 【答案】B 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式的乘法运算，根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，再进行约分即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 6． 【答案】D 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式乘方运算，根据分式性质结合乘方法则进行运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 7． 【答案】B 【知识点】列代数式、分式乘法、分式除法 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，先分别求出两者的速度，再求比值即可． 【详解】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 故选：B． 8． 【答案】B 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查分式的乘方运算；将分式的分子、分母分别乘方，并注意负数的奇次幂为负． 【详解】解：， 故选：B． 9． 【答案】C 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题重点考查​分式乘除运算顺序​，​熟练掌握同级运算从左到右的规则和分式乘除法的运算法则是解题的关键． 根据分式的乘除法运算计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：C． 10． 【答案】B 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算，先计算乘方，再计算乘法，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 11． 【答案】A 【知识点】分式乘法 【详解】解： 12． 【答案】D 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、积的乘方运算 【分析】本题考查分式的乘方运算，运用指数运算法则：及幂的运算性质是解题的关键． 逐个选项运用分式乘方法则和幂的运算性质计算，判断结果是否正确，注意符号和指数的运算． 【详解】解：A、∵，∴A错误，不符合题意； B、∵， ∴B错误，不符合题意； C、∵，∴C错误，不符合题意； D、∵，∴ ， 与右边相等，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 13． 【答案】A 【知识点】分式乘除混合运算、平方差公式分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查了分式的乘除运算，因式分解，掌握分式乘除运算的步骤是解题的关键． 将除法转化为乘法，并对各多项式进行因式分解，然后约分化简． 【详解】解： 原式 = = ∵ ，， ∴ 原式 = =   =   = ∴ 化简结果为，对应选项A． 故选：A． 【考点2】分式的除法运算（第14-26题） · 除法转化为乘法：除以一个分式等于乘以它的倒数 · 只颠倒除式的分子分母，被除式不变 · 乘除同级运算按从左到右顺序，结果化为最简分式 · 结合因式分解求值，注意约分时机 14． 【答案】D 【知识点】整式的判断、完全平方公式分解因式、分式除法 【分析】先将分式除法化为乘法并化简，再根据“结果为整式”的条件，判断“□”中的式子必须是含有因式的整式，从而选出正确选项．需要注意因式的定义：把一个整式写成几个整式的积的形式，这几个相乘的整式就叫做这个整式的因式． 【详解】解：设“□”中的式子为， ， 原式， 原式， 运算结果为整式， 需要为含有因式的整式． 故选：． 15． 【答案】C 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】先对原式括号内的部分通分合并，再将除法转化为乘法，然后把每个选项代入“”的位置，化简后检验结果是否为． 【详解】解：∵ 原式 = = 又 ∵ ∴ 原式 = = = ． 又 ∵ 化简结果为 ． ∴ ∴ ． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的通分、约分及乘除运算法则，通过化简原式建立关于“”的等式来求解． 16． 【答案】A 【知识点】等式的性质2、分式除法 【分析】本题考查了等式的性质，分式的除法，根据等式的性质即可求解，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，同时掌握分式除法运算法则． 【详解】解：由可得， ∴， ∴， ∴， 故选：． 17． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式、分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法运算，熟知运算法则和因式分解是解题的关键．通过因式分解分母并利用符号变化简化表达式． 【详解】解：原式 = ， 故选： C． 18． 【答案】A 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】此题考查了含乘方的分式乘除法混合运算．先乘方，再根据分式乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 19． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确、分式乘方、分式乘法、分式除法 【分析】本题主要考查了分式的乘方，分式的基本性质，分式的除法，熟练掌握分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，是解题的关键．根据分式的乘方法则，分式的基本性质，分式的除法法则，逐一计算判断即可． 【详解】A. ， ∵， ∴A错误； B. ， ∵， ∴B正确； C. ， ∵， ∴C错误； D. ， ∵， ∴D错误． 故选：B． 20． 【答案】B 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、分式乘方、同底数幂的除法运算 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方、分式乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A不符合题意； B. ，故选项B符合题意； C. 与，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意． 故选：B． 21． 【答案】B 【知识点】分式除法 【分析】本题考查规律类探索、分式的除法，根据所给操作规则找出所得代数式串的变化规律，利用规律逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，第3次操作时，用第四个式子除以第三个式子得到新代数式， ，将得到的代数式作为新代数式串的最后一项，即得到新的代数式串：x，，，，，故①正确； 依次类推，第4次操作后得到新的代数式串：x，，，，，， 第5次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x， 第6次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，， 第7次操作后得到新的代数式串：x，，，，，，x，，， …… 观察可知，从第7次操作开始，第n次操作与第次操作后得到的新代数式相同，因此第10次操作后得到的新代数式与第16次、第22次操作后得到的新代数式相同，与第20次操作后得到的新代数式不同，故②错误； 观察可知，从第5次操作开始，新代数式串按照x，，，，，的顺序循环，每个循环的积为1， 第2024次操作后所得新代数式串有2026个代数式，，因此前2022个代数式的积为1，第2023至2026个代数式的积为：， 第2024次操作后得到的代数式串之积为，故③错误； 综上可知，正确的个数是1， 故选B． 22． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】此题是分式的乘法运算．先把分子分母能因式分解的进行因式分解，再进行约分化简． 【详解】解： ． 故答案为：． 23． 【答案】 【知识点】约分、分式除法 【分析】本题本题主要考查了列代数式和分式的除法，两个士兵n个农夫总共可背升米，每天总共消耗升，根据背负的米能除以每天的消耗量等于支持行军的天数即可求解． 【详解】解：根据题意，背负的米最多支持行军为：(天)， 故答案为∶ ． 24． 【答案】 【知识点】约分、分式乘法、分式除法 【分析】本题考查分式的约分及分式乘除法，掌握分式的性质是解题的关键． （1）根据分式的性质进行约分即可； （2）先因式分解，再根据分式的性质进行约分即可； （3）根据分式的乘法运算法则计算即可； （4）根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：（1） ． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． （3） ． 故答案为：． （4） ． 故答案为：． 25． 【答案】x 【知识点】分式除法 【详解】解： 26． 【答案】 【知识点】分式乘方、分式除法 【分析】根据分式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【考点3】分式的乘除混合运算（第27-39题） · 先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右 · 乘方后再统一把除法变乘法，分子分母交叉约分 · 分子分母是多项式时先因式分解 · 利用已知代数式的值整体代入求值 27． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘法．根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 28． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：， 故答案为：． 29． 【答案】 【知识点】分式乘方、分式除法 【分析】本题考查分式的乘除，先算乘方再算除法即可． 【详解】原式， 故答案为：． 30． 【答案】 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式乘法，掌握运算法则是解题关键． 按分式乘法法则进行运算即可． 【详解】， 故答案为：． 31． 【答案】23 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式乘方、通过对完全平方公式变形求值、分式除法 【分析】本题考查了等式的性质及分式性质，完全平方公式的运用，求得是解题的关键．由，将等式两边都除以,再用完全平方公式计算代入即可求解 【详解】，将等式两边都除以，得： ∴ 故答案为：23 32． 【答案】/ 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查了分式的乘法运算，分式相乘的法则是：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并将乘积化为既约分式或整式，作分式乘法时，也可先约分后计算． 【详解】解：． 故答案为：． 33． 【答案】 【知识点】分式乘方、分式除法 【分析】本题考查的是分式的乘方及除法运算，熟练掌握分式的乘方及除法运算法则是解题关键，应用分式的乘方及除法运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 34． 【答案】1 【知识点】分式除法 【分析】根据分式的乘除混合运算解答即可． 本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：1． 35． 【答案】/ 【知识点】分式除法 【分析】通过原式约分即可得到结果．此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 36． 【答案】 【知识点】列代数式、分式除法 【分析】此题考查列代数式（分式），掌握基本的数量关系：水的总量天数每一天的用水量是解决问题的关键．首先求得漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨，用原来的减去现在的列出算式，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：漫灌方式每天的用水量为吨，喷灌方式每天的用水量为吨， 根据题意，得． 故答案为： 37． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】利用分式的除法计算法则求解即可，考虑到． 【详解】解：由题意可知，，，故且 ∵ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式除法的运算，熟练掌握是解决本题的关键． 38． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】此题考查分式的除法，将分式的分子和分母因式分解，将除法化为乘法，计算乘法即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 39． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 【考点4】分式乘除运算综合应用（第40-52题） · 综合题先明确运算顺序，再逐项化简 · 阅读探究题按题目要求构造分式并化简求值 · 实际应用题正确列式，比较大小注意通分 · 化简结果必须为最简分式或整式 40． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题为新定义运算题，先根据给定的两种运算定义，将目标式中的新运算转化为常规分式，再依据分式除法法则及平方差公式进行化简计算即可． 【详解】解：根据新定义运算：，，则， ∴ ． 41． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，掌握因式分解和分式的约分是解题的关键． 先将分式的除法转化为乘法，然后对分子和分母进行因式分解，最后通过约分简化表达式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 42． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．先算乘方，将除法转化为乘法，再进行约分计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 43． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是熟练掌握分式的乘除法运算法则． 利用分式的乘除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 44． 【答案】 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为：． 45． 【答案】2 【知识点】分式有意义的条件、分式除法 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件进行分析求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， 在化简过程中，消去了， 因此． 因此，只能取2． 故答案为：2． 46． 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，根据分式的乘除混合运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 47． 【答案】 【知识点】因式分解的应用、分式除法 【分析】本题考查分式的除法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先化为分式的乘法，然后约分为最简分式即可； （2）先化为分式的乘法，然后约分为最简分式即可． 【详解】解：（1）； （2）． 故答案为：，，， ． 48． 【答案】 【知识点】分式除法 【分析】本题主要考查了分式的乘除法，解题的关键是熟记圆的面积公式． 利用圆的面积公式列式求解即可． 【详解】解：由题意，得． 故答案为：． 49． 【答案】 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键． 先算乘方运算，再把除法化为乘法运算，再计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 50． 【答案】；当时，原式（答案不唯一） 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． 先对分子分母进行因式分解，然后将除法化为乘法，再进行分式的乘法计算，最后代入合适的数值求解即可． 【详解】解：原式 ， ∵时分式无意义， ∴a取2， 当时，原式（答案不唯一）． 51． 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法 【分析】本题主要考查了分式的乘法计算，熟知分式的乘法计算法则是解题的关键． （1）先把乘号后面的分式的分母分解因式，再约分即可得到答案； （2）先把乘号后面的分式的分子分解因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 52． 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据积的乘方，分式乘法和除法运算法则进行计算即可； （2）根据分式乘除运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 课后巩固 🍬 复习建议 · 分式乘法：分子乘分子、分母乘分母，先因式分解再约分 · 分式除法：除以一个分式等于乘以它的倒数，只颠倒除式 · 分式乘方：分子分母分别乘方，负数的奇次幂为负 · 乘除混合：先乘方再乘除，同级运算从左到右 · 运算结果要化为最简分式，实际应用注意正确列式 【作业 1】 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、分式乘法 【分析】本题考查的是分式的除法与乘法运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）先计算乘方运算，再把除法化为乘法运算，再约分即可； （2）先把分式的分子与分母先分解因式，再约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 【作业 2】 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式乘方 【分析】本题主要考查了分式的乘方运算，熟知分式的乘方运算法则是解题的关键． （1）根据分式的乘方运算法则求解即可； （2）根据分式的乘方运算法则求解即可； （3）根据分式的乘方运算法则求解即可； （4）根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【作业 3】 【答案】 【知识点】分式乘方、分式乘法 【分析】本题考查分式的混合运算，先根据分式的乘方计算，再计算分式的乘法即可． 【详解】解：． 【作业 4】 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘方 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式乘方法则计算即可. （1）根据分式的乘方法则计算即可； （2）根据分式的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【作业 5】 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （）由分式的乘除和约分计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ． 【作业 6】 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘法 【分析】本题考查分式的乘法，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． （1）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【作业 7】 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式化简，先把除法变乘法，再运用平方差公式、完全平方公式把分子分母分解因式，最后约分即可． 【详解】解： ． 【作业 8】 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式乘除混合运算、多项式除以单项式 【分析】本题考查多项式除以单项式，分式的约分化简： （1）把多项式的每一项除以单项式，再把所得商相加即可； （2）分子、分母约分化简即可； （3）先利用平方差公式和完全平方公式分解因式，变分式除法为乘法，最后约分化简． 【详解】（1）解： （2）解： （3） 【作业 9】 【答案】(1) (2) 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算； （1）先把除法化为乘法运算，然后根据分式的性质化简即可求解； （2）先把除法化为乘法运算，然后根据分式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【作业 10】 【答案】(1) (2)2 (3) 【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【作业 11】 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查分式的乘除运算，解题思路为将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约去公因式，即可计算得到结果，用到分式乘除运算法则和因式分解的知识． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 【作业 12】 【答案】 解：该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的顺序为从左到右． 正确的解答过程如下： ． 【知识点】分式乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的乘除，熟练掌握分式乘除法运算法则是解题的关键．先判断分式乘除法混合运算的运算顺序是否正确，再按照从左到右的顺序依次进行运算． 【详解】略 【作业 13】 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分式除法 【分析】本题考查分式的乘除法以及乘法公式．熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （2）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可； （3）按照分式的乘除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 【作业 14】 【答案】 【知识点】分式乘除混合运算、平方差公式分解因式、提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查分式的乘除混合运算，平方差公式，完全平方公式，提公因式，分式的约分． 先将除法变成乘法，并因式分解，最后约分即可． 【详解】解：原式 ． 【作业 15】 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、分式乘方 【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【作业 16】 【答案】(1) (2) 【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算 【分析】此题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可； （2）把分式的除法变为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= 【作业 17】 【答案】解：理由如下： ． 原式结果是常数2，与的值无关， 小明误将看成了，其结果仍然是正确的. 【知识点】含乘方的分式乘除混合运算 【详解】略 【作业 18】 【答案】(1) (2)①，；②方案的最终过滤效果最好 【知识点】分式乘除混合运算、按要求构造分式 【分析】本题主要考查了分式的应用，涉及分式的混合运算， （1）根据水中的杂质含量为计算即可； （2）①根据（1）中的方法，列式即可作答；②利用分式的简化运算比较两个分数的大小即可作答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：① 根据题意：第一次过滤后水中杂质含量为：， 第二次过滤后水中杂质含量为：， 故答案为：，； ② =． ∵， ∴， ． ∴ ． ∴ ． 同理，可得 ． ∴ ． ∴方案C的最终过滤效果最好． 学科网（北京）股份有限公司 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