16.2 整式的乘法（第4课时 整式的除法）（教学课件）数学新教材人教版八年级上册

16.2 整式的乘法 第4课时 整 式 的 除 法 第十六章 整式的乘法 人教版（新教材）·八年级上册 学 习 目 标 1 2 3 理解同底数幂除法的运算性质及零指数幂的意义，能说明其成立的条件（a≠0，m、n都是正整数，m＞n），并会运用性质进行同底数幂的除法运算。 掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，能熟练运用法则进行整式的除法及整式混合运算，发展运算能力与综合解题能力。 经历从特殊到一般探究整式除法法则的过程，体验类比（由数的除法类比到整式的除法）、转化（化整式除法为同底数幂除法、化多项式除法为单项式除法）的数学思想与方法，发展推理能力和有条理的表达能力。 知识回顾 1.同底数幂相乘，底数　　，指数　　， 2．直接写出结果： (1)同底数幂乘法公式为：　 ； (2)同底数幂乘法公式的推广：　 ； (3)计算：a2·a3＝　 　；(－x)5·x3＝　 . 3．除法的意义： 已知两因数的积和其中一个因数，求　 的运算． 不变 相加 另一个因数　 am·an＝am＋n（m，n都是正整数）　 am·an·ax＝am＋n＋x（m，n，x都是正整数）　 a5 －x8　 3 新课导入 2 一种数码照片的文件大小是28 K，一个存储量为26 M(1 M＝210 K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片？ 移动器的存储量单位与文件大小的单位不一致，先统一单位． 移动存储器的容量： 26 M =26×210＝216 K． 所以它能存储这种数码照片的数量为： 216÷28 …… 同底数幂相除如何计算呢？ 216，28是同底数幂， 新课导入 2 张大爷家有一块长方形田地，它的面积是(6a2+2ab) m2，宽为2a m。聪明的你能帮助张大爷求出这块田地的长吗？ ∵长方形面积公式：面积＝长×宽， ∴田地的长＝面积÷宽， ∴列式为：(6a2+2ab)÷2a。 2a m (6a2+2ab) m2 ？ m 正如利用数的乘法来研究数的除法，也可以利用整式的乘法来研究整式的除法。 这就是今天我们要研究的“整式的除法”。 （1）计算： (1)25×23= （ ） (2)x6×x4=（ ） 28 x10 ——想乘算除法 新知探究 探究点1 同底数幂相除、零指数幂 讨论 （2）利用练习，下面的式子该如何计算? (1)28÷23= （ ） (2)x10÷x4=（ ） 28÷23= （ ） x10÷x6=（ ） 25×23= （ ） x6×x4=（ ） 28 x10 x4 25 除法是乘法的逆运算 新知探究 探究点1 同底数幂相除、零指数幂 （3）观察计算结果，有什么发现？ 28÷23= （ ） x10÷x6=（ ） x4 25 (4)把指数换成字母，2m÷2n（ m，n都是正整数， m＞n）等于多少？ 8 – 3 = 5 10 – 6 = 4 规律： ①都是同底数幂的除法； ②底数不变，指数相减. 因为 2m – n · 2n = 2(m – n) + n = 2m， 可得: 2m ÷ 2n = 2m – n. 讨论 ——想乘算除法 新知探究 探究点1 同底数幂相除、零指数幂 如果把底数2也换成字母a，即am÷an（a≠0，m、n都是正整数，m＞n），猜想结论是否仍然成立？ 计算am÷an，就是求一个式子，使它与an的积等于am。 因为：am-n·an=a(m-n)+n=am， 所以：am÷an=am-n。 讨论 ——想乘算除法 仍然成立： ①都是同底数幂的除法； ②底数不变，指数相减. am ÷ an = am–n ( a ≠ 0， m，n 为正整数，m＞n) 即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 同底数幂相除法则： 思考 a为什么不能为0？ 0不能作除数，底数为0无意义. 新知探究 探究点1 同底数幂相除、零指数幂 典例分析 探究点1 同底数幂相除、零指数幂 例1 计算： (1) x8÷x2； 　(2) (ab)5÷(ab)2。 解：（1）x8÷x2 =x8-2 =x6； (2) (ab)5÷(ab)2 =(ab)5-2 =(ab)3 =a3b3。 （ ab ）看成一个整体，进行同底数幂除法运算 积的乘方化简 新知探究 探究点1 同底数幂相除、零指数幂 如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，结果是多少？ 当 a ≠ 0 时，am ÷ am = = . 根据除法的意义，相同的两个不为零的数相除，商为_____. 1 另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算， am-m a0 任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1. a0 = 1（ a ≠ 0 ） 规定 思考 11 典例分析 探究点1 同底数幂相除、零指数幂 例2 .小丽在学习了“任何不等于0的数的0次幂都等于1”后,遇到这样一道题:如果(x-2)x+3=1,求x的值.她解答出来的结果为x=-3.老师说她考虑问题不够全面,你能帮小丽解答这个问题吗? 解: 当x-2=1，即x=3时，(3-2)3+3=16=1，满足题意; 当x-2=-1，即x=1时，(1-2)1+3=(-1)4=1，满足题意; 当x=-3时，(-3-2)-3+3=(-5)0=1，满足题意. ∴当(x-2)x+3=1时，x的值为3或1或-3. 新知探究 探究点2 单项式除以单项式 （1）同底数幂的除法我们是运用了乘法的逆运算来计算，单项式除以单项式可不可以用同样的方法来计算？ 如何计算单项式除以单项式？尝试计算(12a3b2x3)÷(3ab2) （2）观察商式4a2x3，你能发现什么？ 就是要求一个单项式，使它与3ab2的乘积等于12a3b2x3。 商式的系数：4=12÷3， a的指数：2=3-1， b的指数：0=2-2（而b0=1）， x的指数：3=3-0。 思考 ——想乘算除法 --系数的商是结果上的系数 --同底数幂的指数相减 --只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 ( • • )·(3ab2)=12a3b2x3 4 a2 x3 即 (4a2x3)·(3ab2)=12a3b2x3， 所以：(12a3b2x3)÷(3ab2)=4a2x3。 (12a3b2x3) ÷ (3ab2) = 新知探究 探究点2 单项式除以单项式 单项式除以单项式的运算法则： 一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 4 a2 x3 1 典例分析 探究点2 单项式除以单项式 例3计算： (28x4y2)÷(7x3y)； (2) (-5a5b3c)÷(15a4b)。【·教材P109例5(1)(2)】 解：（1）(28x4y2)÷(7x3y) =(28÷7)x4-3y2-1 =4xy； (2) (-5a5b3c)÷(15a4b) =((-5)÷15)a5-4b3-1c =-ab2c。 新知探究 探究点3 多项式除以单项式 （1）根据单项式成多项式你能计算(am+bm)÷m? 根据乘除互逆，就是要求一个多项式，使它与m的积等于am+bm。 由分配律，有 (a + b)m = am + bm ， ∴得 (am + bm)÷m = (______). ① 又 am÷ (___) + bm÷ (___) = a + b， ② 由①=②，得 (am + bm)÷m = (__________________) a + b m m am÷m + bm÷m (am + bm)÷m = ___________. a + b 思路： 单项式÷单项式 转化 多项式÷单项式 思考 ——想乘算除法 16 新知探究 探究点3 多项式除以单项式 （2）如何用文字叙述多项式除以单项式的方法？ 多项式除以单项式的运算法则： 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 思考 (am + bm)÷m = ___________. a + b 新知探究 探究点3 多项式除以单项式 （3）你能解决课前导入的问题吗？ 张大爷家有一块长方形田地， 它的面积是(6a2+2ab) m2，宽为2a m。 聪明的你能帮助张大爷求出这块田地的长吗？ 解：由题意得： (6a2+2ab)÷2a =6a2÷2a+2ab÷2a =3a+b， 答：张大爷家田地的长为(3a+b) m。 2a m (6a2+2ab) m2 ？ m 思考 典例分析 探究点3 多项式除以单项式 例4计算： (1)(12a3-6a2+3a)÷(3a)。   (3)(-2x2y3z3+8xy2z-4xz)÷(-4xz) =(-2x2y3z3)÷(-4xz)-(8xy2z)÷(-4xz)+(-4xz)÷(-4xz) =xy3z2-2y2+1. (3)(-2x2y3z3+8xy2z-4xz)÷(-4xz). (2)(5a3-15a2+25a)÷(5a); 解：(1)12a3-6a2+3a)÷(3a) =(12a3)÷(3a)-(6a2)÷(3a)+(3a)÷(3a) =4a2-2a+1。 (2)(5a3-15a2+25a)÷(5a) =(5a3)÷(5a)-(15a2)÷(5a)+(25a)÷(5a) =a2-3a+5. 典例分析 例5　计算：（1） (-8x5)÷(3x3)÷(-x)。 【点拨】 乘除混合运算要按从左到右的顺序依次进行，除法没有交换律，不能随意调换运算顺序； 同时要正确确定每一步结果的符号。 解：(-8x5)÷(3x3)÷(-x) =((-8)÷3)x5-3÷(-x) =-x2÷(-x)=x。 (2)2y3·(－2y2)2÷(8y4)； 解：原式＝2y3·4y4÷(8y4) =8y7÷(8y4) ＝y3 例6.先化简，再求值：， 其中， 满足 . 解：原式 . ， ，， ， ， 原式 . 典例分析 新知巩固 教材P109 1．计算： （1）x7÷x5；　 (2) m8÷m8；　 (3) (-a)10÷(-a)7； 　(4) (xy)5÷(xy)3。 解：(1) x7÷x5 = x7-5 =x2； (2) m8÷m8 = m8-8 =m0 =1； (3) (-a)10÷(-a)7 =(-a)3 =-a3； (4) (xy)5÷(xy)3 =(xy)2 =x2y2。 新知巩固 教材P109练习 2．计算： (10ab3)÷(-5ab)； (2) (-8a2b3)÷(6ab2)； (3) (-21x2y4)÷(-3x2y3)；　 (4) (6×108)÷(3×105)。 解：(1) (10ab3)÷(-5ab) = [10÷(–5)]a1 – 1b3 – 1 =-2b2； 解： (2) (-8a2b3)÷(6ab2) = [(–8)÷6]a2–1b3–2 =-ab； 新知巩固 教材P109练习 2．计算： (10ab3)÷(-5ab)； (2) (-8a2b3)÷(6ab2)； (3) (-21x2y4)÷(-3x2y3)；　 (4) (6×108)÷(3×105)。 解： (4) (6×108)÷(3×105) = (6÷3)×108–5 =2×103 =2000。 解： (3) (-21x2y4)÷(-3x2y3) = [(–21)÷(–3)]x2–2y4–3 =7y； 新知巩固 教材P109 3．计算： (1) (6ab+5a)÷a；　 (2) (15x2y-10xy2)÷(5xy)。 解：(1) (6ab+5a)÷a = (6ab)÷a + (5a)÷a = 6b+5； 解： (2) (15x2y-10xy2)÷(5xy) = (15x2y)÷(5xy) – (10xy2)÷(5xy) =3x-2y。 拓展提升 1.计算: (1)(-2)2-12 024+; (2)+π0+(-1)2 022; (3)(-2)2+4×(-1)2 023-|-23|+(π-)0. 解：　(3)原式=4+4×(-1)-8+1 =4-4-8+1=-7. 解：　(1)原式=4-1+1=4. 解：(2)原式=+1+1=. a0 = 1（ a ≠ 0 ） 2.已知 ，求 的值. 解： ， ， ， ， . 拓展提升 拓展提升 3.木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?  解：由题意得： (1.90×1024)÷(5.98×1021) =（1.90÷5.89）×1024-21 ≈0.32×1000=320 答：木星的质量约为地球质量的320倍 拓展提升 4.阅读材料:多项式除以多项式一般可用竖式计算,例如:计算(6x4-7x3-x2-1)÷(2x+1),可用竖式计算,如图:所以6x4-7x3-x2-1除以(2x+1)，商式为3x3-5x2+2x-1,余式为0. 请根据阅读材料回答下列问题: (1)(x3-4x2+7x-5)÷(x-2)的商式是　　　　,余式是　　　　;  (2)若x3-x2+ax+b能被x2+2x+2整除,求a,b的值 解：(1)(x3-4x2+7x-5)÷(x-2) 列竖式计算如图: 所以(x3-4x2+7x-5)÷(x-2)的商式为： x2-2x+3,余式为1. x2-2x+3 1 拓展提升 3.阅读材料:多项式除以多项式一般可用竖式计算,例如:计算(6x4-7x3-x2-1)÷(2x+1),可用竖式计算,如图:所以6x4-7x3-x2-1除以(2x+1),商式为3x3-5x2+2x-1,余式为0. 请根据阅读材料回答下列问题: (1)(x3-4x2+7x-5)÷(x-2)的商式是　　　　,余式是　　　　;  (2)若x3-x2+ax+b能被x2+2x+2整除,求a,b的值 (2)由题意列竖式计算，如图, ∵x3-x2+ax+b能被x2+2x+2整除, ∴a-2=-6，b=-6, 解得a=-4,b=-6. x2-2x+3 1 真题感知 1.（2026•云南）下列计算正确的为（　　） A．a3•a5＝a4 B．a4÷a2＝a C．3a﹣a＝2a D．（2a）3＝a3 解：A、a3•a5＝a8，故此选项不符合题意； B、a4÷a2＝a2，故此选项不符合题意； C、3a﹣a＝2a，故此选项符合题意； D、（2a）3＝8a3，故此选项不符合题意； C 真题感知 2.（2026•泸州）下列运算正确的是（　　） A．2a+3a＝5a2 B．（a3）2＝a5 C．2a6÷a2＝2a3 D．a2•a4＝a6 解：2a+3a＝5a，则A不符合题意， （a3）2＝a6，则B不符合题意， 2a6÷a2＝2a4，则C不符合题意， a2•a4＝a6，则D符合题意， D 3.［2026上海普陀区期中］先化简，再求值： xy(x3y－6x2y3＋3xy4)÷(－3x2y2)，其中，x＝2，y＝1. 解：原式＝÷(－3x2y2) ＝x4y2÷(－3x2y2)－6x3y4÷(－3x2y2)＋3x2y5÷(－3x2y2) ＝－x2＋2xy2－y3. 当x＝2，y＝1时， 原式＝－×22＋2×2×12－13＝－1＋4－1＝2. 真题感知 课堂小结 知识点总结 （1）同底数幂的除法性质： am÷an=am-n（a≠0，m、n都是正整数，m＞n）。 （2）零指数幂：a0=1（a≠0）， 即任何不等于0的数的0次幂都等于1。 （3）单项式除以单项式的法则： 把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 （4）多项式除以单项式的法则： 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 课堂小结 方法思想总结 （1）类比思想： 由数的除法类比得到整式的除法，由同底数幂的乘法类比得到同底数幂的除法。 （2）转化思想： 多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，单项式相除又归结为系数与同底数幂的运算，体现了化未知为已知、化复杂为简单的策略。 （3）归纳方法： 从特殊到一般、由具体到抽象，通过计算实例归纳出运算性质与法则 课堂小结 易错提醒 （1）底数必须满足a≠0：除数不能为0，否则除法无意义；由底数中含字母的式子确定字母取值范围时要特别留心。 （2）同底数幂相除，指数是“相减”，而不是“相除”。 （3）底数可以是单项式，也可以是多项式，运算时应把它看作一个整体（如(ab)3）。 （4）单项式相除要“三看清”：系数要相除、同底数幂要分别相除、只在被除式里含有的字母不能漏写。 （5）多项式除以单项式不要漏项，商与原多项式项数相同；除以一个负数时各项符号要正确处理。 （6）整式混合运算要按“先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号”的顺序进行，连除须从左到右，不随意调换 课后练习 教材P110~P111 4．计算： (a3)2÷(a2)3；　 (2) (ab2)3÷(-ab)2； (3) (25a3b2)÷(5ab)2；　 (4) (14m2n)2÷(7m2)÷(7m)； (5) (-5a3b5c+35a2b3c2-abc)÷(-abc)； (6) (-81xn+5+15xn+1-3xn-1)÷(-3xn-1)。 解：(1) 原式 = a6÷a6 = a0 = 1 (2) 原式 = a3b6÷[(–1)2·a2·b2] = a3 – 2 b6 – 2 = ab4 (3) 原式 = (25a3b2)÷(25a2b2) = (25÷25)a3 – 2 b2 – 2 = a (4) 原式 = (196m4n2)÷(7m2)÷(7m) = (196÷7÷7)·m4 – 2 – 1n2 = 4mn2 课后练习 教材P110~P111 4．计算： (5) (-5a3b5c+35a2b3c2-abc)÷(-abc)； (5) 原式 = (–5a3b5c)÷(–abc) + 35a2b3c2÷(–abc) + (–abc)÷(–abc) = 5a2b4 – 35ab2c + 1 (6) 原式 = (–81xn+5)÷(–3xn–1) + (15xn+1)÷(–3xn–1) + (–3xn–1)÷(–3xn–1) = 27x6 – 5x2 + 1 (6) (-81xn+5+15xn+1-3xn-1)÷(-3xn-1)。 课后练习 教材P110~P111 5．计算： (1) (-3x2y)2·(-xyz)÷(xy2)； (2) (-4ab3)(-ab)-(ab2)2； (3) (x-3)(x-2)-6(x2+x-1)； (4) (-4ab3+8a2b2)÷(4ab)-(2a+b)(a-b)。 解：(1) 原式=9x4y2·(-xyz)÷(xy2) =-6x5y3z÷(xy2) =-8x4yz；　 解：(2) 原式=a2b4-a2b4 =a2b4；　　 解：(3) 原式=x2-5x+6-6x2-6x+6 =-5x2-11x+12； 解：(4) 原式=(-b2+2ab)-(2a2-ab-b2) =-b2+2ab-2a2+ab+b2 =-2a2+3ab。 课后练习 教材P110~P111 6．计算： (1) (5a4·a2-(3a3)2)÷(2a2)2； (2) (ab+1)(ab-1)-2a2b2+1)÷(-ab)2。 解：(1) 原式=(5a6-9a6)÷(4a4) =-4a6÷(4a4) =-a2； 解：(1) 原式=x-x3+x3-x2+x2+x =2x。 当x=2时， 原式=4。 解：(2) 原式=(a2b2-1-2a2b2+1)÷(a2b2) =-a2b2÷(a2b2) =-1。 解:(2) 原式=a2-2ab-b2-(a2+2ab+b2) =-4ab-2b2。 当a=，b=-1时， 原式=-4××(-1)-2×1=2-2=0。 7．先化简，再求值： (1) x(1-x2)+x2(x-1)+x(x+1)，其中x=2； (2) (a2b-2ab2-b3)÷b-(a+b)2，其中a=，b=-1。 课后练习 教材P110~P111 8．已知3x-4y=3（x，y为正整数），求27x÷92y。 解：27x÷92y =(33)x÷(32)2y =33x÷34y =33x-4y。 ∵3x-4y=3， ∴原式=33=27。 底数不同，先逆用幂的乘方法则将其改为同底数幂 同底数幂相除，底数不变，指数相减 课后练习 教材P110~P111 10．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，制成一个高为a cm的长方体形状的无盖纸盒。如果纸盒的容积为4a2b cm3，底面长方形的一边长为b（b＜4a）cm，求原长方形纸板的长和宽。 解：无盖纸盒的高为a cm， 由容积＝底面积×高，得 　　底面积=4a2b÷a=4ab， 底面另一边长=4ab÷b=4a（cm）。 四角切去的正方形边长等于盒高a cm， 则原纸板的长： 4a+2a=6a（cm）， 原纸板的宽： b+2a（cm）。 答：原长方形纸板的长为6a cm，宽为(b+2a) cm。   b a 谢谢聆听 $