小升初奥数培优09：整除特征与判定（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优09：整除特征与判定 学习目标 1. 熟练掌握 2、3、5、4、8、9、7、11、13 的整除判定特征，理解判定原理。 2. 能够灵活运用整除特征判断一个数能否被指定数整除。 3. 会根据整除特征补全数字、求符合条件的多位数，解决分组、最值类奥数问题。 4. 掌握多个整除条件叠加的综合分析方法，学会分步拆解条件。 知识精讲 （一）基础整除特征 1. 能被 2 整除：个位数字是 0、2、4、6、8（偶数）。 2. 能被 5 整除：个位数字是 0 或 5。 3. 能同时被 2、5 整除：个位数字一定是 0。 4. 能被 4 整除：一个数的末两位组成的两位数能被 4 整除，原数就能被 4 整除。 例：1236，末两位 36，36÷4=9，所以 1236 可以被 4 整除。 5. 能被 8 整除：一个数的末三位组成的三位数能被 8 整除，原数就能被 8 整除。 例：45104，末三位 104，104÷8=13，45104 能被 8 整除。 规律：4 看末两位、8 看末三位。因为 100 是 4 的倍数，1000 是 8 的倍数，百位及更高位都是 100、1000 的倍数，不影响除以 4、8 的余数。 6. 能被 3 整除：各位数字之和能被 3 整除，原数就能被 3 整除。 7. 能被 9 整除：各位数字之和能被 9 整除，原数就能被 9 整除。 区分：3 是数字和÷3；9 是数字和÷9，不能混淆。 例：2025，数字和 2+0+2+5=9，9 可以被 3、9 整除，所以 2025 同时被 3、9 整除。 （二）7、11、13 的整除特征（小升初高频） 1. 原理：1001 = 7 × 11 × 13，所以从右往左，每三位一截，用奇数段的和 − 偶数段的和，差能被 7/11/13 整除，原数就能被 7/11/13 整除；差为 0 也满足。 2. 截取方式：从个位开始，向左每 3 位分一段。 3. 特别：11 还有简易判定法（优先记这个，考得最多）： (1) 能被 11 整除：奇数位数字之和 与 偶数位数字之和的差（大减小）是 0 或者 11 的倍数。 (2) 奇数位、偶数位：从右往左数数位！ 例：121，从右：第 1 位（奇位）1，第 2 位（偶位）2，第 3 位（奇位）1；奇位和 = 1+1 = 2，偶位和 = 2；差为 0，可以被 11 整除。 （三）整除的几条重要性质（解题核心） 1. 如果 a | b，a | c，那么 a | (b ± c)； 2. 如果 a | b，b | c，那么 a | c（传递性）； 3. 如果 a | b，c | b，且 a、c 互质，则 a × c | b。 重点应用：同时被 4 和 9 整除，4、9 互质，等价于被 36 整除；同时被 8 和 9 整除等价于被 72 整除。 注意：不互质不能直接相乘，如同时被 4 和 6 整除，不能直接看成 24，最小公倍数是 12。 （四）解题常用思路 1. 优先看个位约束（2、5、4、8），范围缩小； 2. 再看数字和约束（3、9）； 3. 最后处理 11、7、13 的奇偶差 / 分段差； 4. 多条件叠加：转化为被它们的最小公倍数整除。 例题讲解 【典型例题 1】 判断下面各数能否被 4、8、9 整除： 3124、6120、7008 【跟踪训练 1】 判断：4316、5013、9136 能否被 4、8、9 整除。 【典型例题 2】 四位数 能被 9 整除，方框里可以填几？ 【跟踪训练 2】 五位数 能被 3 整除，方框里最大可以填多少？ 【典型例题 3】 四位数 能被 11 整除，求方框中的数字。 【跟踪训练 3】 六位数 能被 11 整除，方框填几？ 【典型例题 4】 一个三位数，同时能被 4 和 9 整除，这个三位数最小是多少？ 【跟踪训练 4】 一个四位数，同时被 8 和 9 整除，求最小的四位数。 【典型例题 5】 从 0、2、4、7 中选出 3 个数字，组成一个能同时被 2、3 整除的三位数，写出所有符合条件的数。 【跟踪训练 5】 从 1、3、5、0 中选 3 个数字，组成同时被 3、5 整除的三位数，全部写出来。 【典型例题 6】（7、13 拓展） 判断 1001 能不能同时被 7、11、13 整除。 【跟踪训练 6】 判断 2002 能否被 7、11、13 整除。 奥数练习 第 1 题 五位数 能同时被 9 和 11 整除，求这个五位数。 第 2 题 用 1、2、3、4、6 五个数字各用一次组成一个能被 11 整除的最大五位数，求这个数。 第 3 题 六位数 （a、b 为数字，a≠0）一定能被哪些数整除？ 第 4 题 四位数 能同时被 8 和 9 整除，求这个四位数。 第 5 题 求能同时被 4、9、11 整除的最小五位数。 第 6 题 在 1~300 中，能被 2、3、5 中至少一个整除的数共有多少个？ 第 7 题 一个数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，这个数最小是多少？ 第 8 题 用 0、1、2、3、4、5 六个数字组成没有重复数字且能被 3 整除的四位数，共有多少个？ 第 9 题 求能被 9 整除、且各位数字互不相同的最大五位数。 第 10 题 求能被 7 整除、且各位数字之和等于 11 的最小四位数。 第 11 题 四位数 能同时被 11 和 25 整除，求 ab 的值。 第 12 题 在 1~2024 中，能被 7 或 11 整除、但不能同时被 7 和 11 整除的数共有多少个？ 第 13 题 一个四位数各位数字互不相同，前两位组成的两位数能被 3 整除，后两位组成的两位数能被 4 整除，这样的数最小是多少？ 第 14 题 一个三位数各位数字完全相同，且能同时被 6 和 9 整除，求这个三位数。 第 15 题 一个四位数能被 11 整除，且各位数字之和等于 12，这样的四位数中最大的是多少？ 第 16 题 从 0、1、2、3、4、5、6 中选出四个不同数字组成能被 5 整除、也能被 3 整除的四位数，共有多少个？ 第 17 题 判断 654654 能否同时被 7、11、13 整除，并说明理由。 第 18 题 在 1~200 中，能被 2 或 3 整除、但不能被 6 整除的数共有多少个？ 第 19 题 一个三位数，百位数字与个位数字相同（如 ），且能被 7 整除。这样的三位数共有多少个？它们的和是多少？ 第 20 题 一个四位数能同时被 2、3、5、7 整除，且各位数字互不相同，这样的四位数中最大的是多少？ 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优09：整除特征与判定 学习目标 1. 熟练掌握 2、3、5、4、8、9、7、11、13 的整除判定特征，理解判定原理。 2. 能够灵活运用整除特征判断一个数能否被指定数整除。 3. 会根据整除特征补全数字、求符合条件的多位数，解决分组、最值类奥数问题。 4. 掌握多个整除条件叠加的综合分析方法，学会分步拆解条件。 知识精讲 （一）基础整除特征 1. 能被 2 整除：个位数字是 0、2、4、6、8（偶数）。 2. 能被 5 整除：个位数字是 0 或 5。 3. 能同时被 2、5 整除：个位数字一定是 0。 4. 能被 4 整除：一个数的末两位组成的两位数能被 4 整除，原数就能被 4 整除。 例：1236，末两位 36，36÷4=9，所以 1236 可以被 4 整除。 5. 能被 8 整除：一个数的末三位组成的三位数能被 8 整除，原数就能被 8 整除。 例：45104，末三位 104，104÷8=13，45104 能被 8 整除。 规律：4 看末两位、8 看末三位。因为 100 是 4 的倍数，1000 是 8 的倍数，百位及更高位都是 100、1000 的倍数，不影响除以 4、8 的余数。 6. 能被 3 整除：各位数字之和能被 3 整除，原数就能被 3 整除。 7. 能被 9 整除：各位数字之和能被 9 整除，原数就能被 9 整除。 区分：3 是数字和÷3；9 是数字和÷9，不能混淆。 例：2025，数字和 2+0+2+5=9，9 可以被 3、9 整除，所以 2025 同时被 3、9 整除。 （二）7、11、13 的整除特征（小升初高频） 1. 原理：1001 = 7 × 11 × 13，所以从右往左，每三位一截，用奇数段的和 − 偶数段的和，差能被 7/11/13 整除，原数就能被 7/11/13 整除；差为 0 也满足。 2. 截取方式：从个位开始，向左每 3 位分一段。 3. 特别：11 还有简易判定法（优先记这个，考得最多）： (1) 能被 11 整除：奇数位数字之和 与 偶数位数字之和的差（大减小）是 0 或者 11 的倍数。 (2) 奇数位、偶数位：从右往左数数位！ 例：121，从右：第 1 位（奇位）1，第 2 位（偶位）2，第 3 位（奇位）1；奇位和 = 1+1 = 2，偶位和 = 2；差为 0，可以被 11 整除。 （三）整除的几条重要性质（解题核心） 1. 如果 a | b，a | c，那么 a | (b ± c)； 2. 如果 a | b，b | c，那么 a | c（传递性）； 3. 如果 a | b，c | b，且 a、c 互质，则 a × c | b。 重点应用：同时被 4 和 9 整除，4、9 互质，等价于被 36 整除；同时被 8 和 9 整除等价于被 72 整除。 注意：不互质不能直接相乘，如同时被 4 和 6 整除，不能直接看成 24，最小公倍数是 12。 （四）解题常用思路 1. 优先看个位约束（2、5、4、8），范围缩小； 2. 再看数字和约束（3、9）； 3. 最后处理 11、7、13 的奇偶差 / 分段差； 4. 多条件叠加：转化为被它们的最小公倍数整除。 例题讲解 【典型例题 1】 判断下面各数能否被 4、8、9 整除： 3124、6120、7008 【详解】 1. 3124 被 4：末两位 24，24÷4=6，能被 4 整除； 被 8：末三位 124，124÷8=15……4，不能被 8 整除； 被 9：数字和 3+1+2+4=10，10 不是 9 的倍数，不能被 9 整除。 2. 6120 被 4：末两位 20，20÷4=5； 被 8：末三位 120，120÷8=15； 被 9：数字和 6+1+2+0=9，9÷9=1。 3. 7008 被 4：末两位 08 即 8，8÷4=2； 被 8：末三位 008 即 8，8÷8=1； 被 9：数字和 7+0+0+8=15，15 不是 9 的倍数。 【答案】 3124：能被 4，不能被 8、9； 6120：能被 4、8、9； 7008：能被 4、8，不能被 9。 【跟踪训练 1】 判断：4316、5013、9136 能否被 4、8、9 整除。 【详解】 1. 4316：末两位 16÷4=4；末三位 316÷8=39……4；数字和 4+3+1+6=14，不是 9 的倍数。 2. 5013：末两位 13÷4 余 1；末三位 013÷8 余 5；数字和 5+0+1+3=9，是 9 的倍数。 3. 9136：末两位 36÷4=9；末三位 136÷8=17；数字和 9+1+3+6=19，不是 9 的倍数。 【答案】 4316：能被 4，不能被 8、9； 5013：不能被 4、8，能被 9； 9136：能被 4、8，不能被 9。 【典型例题 2】 四位数 能被 9 整除，方框里可以填几？ 【详解】 能被 9 整除：各位数字之和是 9 的倍数。 数字和：2 + 7 + □ + 4 = 13 + □ 13 + □ 是 9 的倍数，□ 是 0~9 的一位数字。 9 的倍数：9、18、27…… 13 + □ = 18 → □ = 5； 13 + □ = 9 不可能；13 + □ = 27 时 □ = 14，不符合一位数。 所以方框只能填 5。 【答案】 5 【跟踪训练 2】 五位数 能被 3 整除，方框里最大可以填多少？ 【详解】 数字和：3 + □ + 6 + 1 + 5 = 15 + □ 15 本身是 3 的倍数，所以 □ 只要是 3 的倍数即可； □ 为 0~9，可选：0、3、6、9，最大是 9。 【答案】 9 【典型例题 3】 四位数 能被 11 整除，求方框中的数字。 【详解】 被 11 判定：从右数，奇数位和、偶数位和，差为 0 或 11 的倍数。 ，从右数： 第 1 位（奇位）：3；第 2 位（偶位）：□；第 3 位（奇位）：2；第 4 位（偶位）：5。 奇位和：3 + 2 = 5 偶位和：□ + 5 差：|(□ + 5) − 5| = |□| 差要等于 0 或 11 的倍数，□ 是 0~9，只能 □ = 0。 验证：5203，奇和 = 5，偶和 = 5，差 0，可被 11 整除。 【答案】 0 【跟踪训练 3】 六位数 能被 11 整除，方框填几？ 【详解】 从右数： 位 1（奇）：7，位 2（偶）：2，位 3（奇）：4，位 4（偶）：□，位 5（奇）：3，位 6（偶）：1。 奇位和：7 + 4 + 3 = 14 偶位和：2 + □ + 1 = 3 + □ 差：|14 − (3 + □)| = |11 − □|，为 0 或 11 的倍数。 |11 − □| = 0 → □ = 11（舍去）； |11 − □| = 11 → 11 − □ = ±11。 11 − □ = 11 → □ = 0； 11 − □ = −11 → □ = 22（舍去）。 方框填 0。 【答案】 0 【典型例题 4】 一个三位数，同时能被 4 和 9 整除，这个三位数最小是多少？ 【详解】 4、9 互质，同时被 4、9 整除 → 被 36 整除。 找最小的三位 36 的倍数： 36 × 1 = 36（两位数），36 × 2 = 72（两位数），36 × 3 = 108（三位数）。 检验：108，末两位 08 能被 4 整除；数字和 1+0+8=9 能被 9 整除，满足。 【答案】 108 【跟踪训练 4】 一个四位数，同时被 8 和 9 整除，求最小的四位数。 【详解】 8、9 互质，公倍数 72，找最小四位 72 的倍数。 最小四位数 1000，1000 ÷ 72 ≈ 13.89，向上取整 14。 72 × 14 = 1008。 检验：末三位 008 ÷ 8 = 1；数字和 1+0+0+8=9，满足。 【答案】 1008 【典型例题 5】 从 0、2、4、7 中选出 3 个数字，组成一个能同时被 2、3 整除的三位数，写出所有符合条件的数。 【详解】 条件①：被 2 整除 → 个位是 0、2、4； 条件②：被 3 整除 → 三个数字之和是 3 的倍数。 可选数字组合： 1. 0、2、4：和 = 6，是 3 的倍数； 个位 0：240、420； 个位 2：402； 个位 4：204。 2. 0、2、7：和 = 9，是 3 的倍数； 个位 0：270、720； 个位 2：702。 3. 0、4、7：和 = 11，不是 3 的倍数，排除。 4. 2、4、7：和 = 13，不是 3 的倍数，排除。 汇总：240、420、402、204、270、720、702。 【答案】 204、240、270、402、420、702、720 【跟踪训练 5】 从 1、3、5、0 中选 3 个数字，组成同时被 3、5 整除的三位数，全部写出来。 【详解】 被 5 整除：个位 0 或 5；被 3 整除：数字和为 3 的倍数。 ① 个位 0：数字和为 3 的倍数： 1+5+0=6 ✔ → 150、510； 1+3+0=4 ✘； 3+5+0=8 ✘。 ② 个位 5：剩下两数和 + 5 是 3 的倍数： 1+3+5=9 ✔ → 135、315； 1+0+5=6 ✔ → 105； 3+0+5=8 ✘。 符合：150、510、135、315、105。 【答案】 105、135、150、315、510 【典型例题 6】（7、13 拓展） 判断 1001 能不能同时被 7、11、13 整除。 【详解】 方法 1：1001 = 7 × 11 × 13，所以可以同时被三者整除。 方法 2（分段法）：从右三位一截：001 和 1；奇数段和 1，偶数段和 1，差 = 0，0 是 7、11、13 的倍数。 【答案】 能同时被 7、11、13 整除。 【跟踪训练 6】 判断 2002 能否被 7、11、13 整除。 【详解】 2002 = 2 × 1001 = 2 × 7 × 11 × 13，因此可以被 7、11、13 整除。 【答案】 能被 7、11、13 整除。 奥数练习 第 1 题 五位数 能同时被 9 和 11 整除，求这个五位数。 【详解】 设五位数为 ，从右往左数位：b（奇位）、7（偶位）、2（奇位）、a（偶位）、3（奇位）。 被 9 整除：各位数字和 是 9 的倍数。 被 11 整除：奇位和 ，偶位和 ，差 为 0 或 11。 a、b 均为数字（0~9）， 只可能为 0，得 。 代入数字和： 是 9 的倍数，取 18，得 ，，。 验证：奇位和 ，偶位和 ，差 0；数字和 ，符合。 【答案】 32274 第 2 题 用 1、2、3、4、6 五个数字各用一次组成一个能被 11 整除的最大五位数，求这个数。 【详解】 五个数字总和为 。 被 11 整除：奇位和与偶位和的差为 0 或 11。 设奇位和为 、偶位和为 ，则 。 时 ； 时 或 2.5，均不成立。 所以奇位（第 1、3、5 位）三个数字之和为 8，只能取 ；偶位（第 2、4 位）为 。 为使数最大，奇数位依次放 4、3、1，偶数位依次放 6、2，得 46321。 验证：奇位和 ，偶位和 ，差 0，可被 11 整除。 【答案】 46321 第 3 题 六位数 （a、b 为数字，a≠0）一定能被哪些数整除？ 【详解】 分解：。 所以 ，一定能被 3、7、13、37 整除。 （验证：如 252525 除以 3、7、13、37 均能整除。） 【答案】 一定能被 3、7、13、37 整除 第 4 题 四位数 能同时被 8 和 9 整除，求这个四位数。 【详解】 设四位数为 。 被 8 整除：看末三位 须是 8 的倍数。 被 9 整除：数字和 是 9 的倍数，即 是 9 的倍数。 检验 ：a=1、b=8 时末三位 可被 8 整除，得 ；a=9、b=0 时末三位 可被 8 整除，得 。 验证：7128 末三位 128÷8=16、数字和 18；7920 末三位 920÷8=115、数字和 18，均符合。 【答案】 7128 或 7920 第 5 题 求能同时被 4、9、11 整除的最小五位数。 【详解】 4、9、11 两两互质，同时被三者整除等价于被 整除。 最小五位数为 10000，，向上取整为 26。 。 验证：末两位 96 可被 4 整除；数字和 可被 9 整除；奇位和 、偶位和 ，差 0，可被 11 整除。 【答案】 10296 第 6 题 在 1~300 中，能被 2、3、5 中至少一个整除的数共有多少个？ 【详解】 用容斥原理： 能被 2 整除： 个； 能被 3 整除： 个； 能被 5 整除： 个； 能被 6 整除： 个； 能被 10 整除： 个； 能被 15 整除： 个； 能被 30 整除： 个。 所求 = （个）。 【答案】 220 个 第 7 题 一个数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 4，这个数最小是多少？ 【详解】 设这个数为 。 由 ，设 。 代入 ：，即 ，得 。 取 得 ，但 余 0，不合； 取 得 。 检验：53 除以 2 余 1，除以 3 余 2（53=51+2），除以 5 余 3（53=50+3），除以 7 余 4（53=49+4），符合。 【答案】 53 第 8 题 用 0、1、2、3、4、5 六个数字组成没有重复数字且能被 3 整除的四位数，共有多少个？ 【详解】 六个数字总和为 15，是 3 的倍数。要选 4 个数字使其和是 3 的倍数，等价于去掉的 2 个数字之和是 3 的倍数。 可去掉的数字对：{0,3}、{1,2}、{1,5}、{2,4}、{4,5}，共 5 组。 去掉 {0,3}，剩下 1、2、4、5，可组成 个； 去掉其余 4 组均含 0，首位不能为 0，每组可组成 个。 总数 = （个）。 【答案】 96 个 第 9 题 求能被 9 整除、且各位数字互不相同的最大五位数。 【详解】 首位尽量取 9，则剩余 4 位数字和 应满足 是 9 的倍数，即 是 9 的倍数。 剩余取 中 4 个，和最大的 9 的倍数为 18（如 8+7+3+0）。 逐位取最大：第 2 位取 8，第 3 位取 7，第 4 位取 3，第 5 位取 0，得 98730。 验证：数字和 是 9 的倍数，且各位互不相同。 （经检验 9876x、9874x 等更大数均不满足和为 9 的倍数。） 【答案】 98730 第 10 题 求能被 7 整除、且各位数字之和等于 11 的最小四位数。 【详解】 从最小四位数 1000 起逐项检查 7 的倍数，并核对数字和是否为 11： 1001（和 2）、1008（和 9）、1015（和 7）、1022（和 5）、1029（和 12）、1036（和 10）、1043（和 8）、1050（和 6）、1057（和 13）、1064（和 11）。 1064 是 7 的倍数（），数字和 ，符合。 【答案】 1064 第 11 题 四位数 能同时被 11 和 25 整除，求 ab 的值。 【详解】 被 25 整除：末两位 是 25 的倍数，只能为 25 或 75，故 或 7。 被 11 整除：从右数，奇位和 ，偶位和 ，差为 0 或 11。 ① 时，，得 ，数为 7425； ② 时，，得 ，数为 7975。 两者均符合（7425、7975 均可被 25、11 整除）。 【答案】 ab 为 42 或 97（对应 7425、7975） 第 12 题 在 1~2024 中，能被 7 或 11 整除、但不能同时被 7 和 11 整除的数共有多少个？ 【详解】 能被 7 整除： 个（余 1）； 能被 11 整除： 个； 同时能被 7 和 11 整除，即能被 77 整除： 个。 只被其一整除（不含交集）= （个）。 【答案】 421 个 第 13 题 一个四位数各位数字互不相同，前两位组成的两位数能被 3 整除，后两位组成的两位数能被 4 整除，这样的数最小是多少？ 【详解】 要使数最小，前两位尽量小且为 3 的倍数：前两位取 12。 后两位组成的两位数能被 4 整除，且不能与前两位数字重复： 可取 04、08。其中 04 更小，故后两位取 04。 得 1204，各位数字 1、2、0、4 互不相同。 验证：12 可被 3 整除，04 可被 4 整除。 【答案】 1204 第 14 题 一个三位数各位数字完全相同，且能同时被 6 和 9 整除，求这个三位数。 【详解】 同时被 6 和 9 整除，等价于被 整除，故该数必为偶数且各位数字和为 9 的倍数。 各位相同的三位数有 111、222、333、444、555、666、777、888、999。 为偶数：222、444、666、888； 数字和 是 9 的倍数，须 为 3、6、9，即 333、666、999。 交集为 666。验证：，。 【答案】 666 第 15 题 一个四位数能被 11 整除，且各位数字之和等于 12，这样的四位数中最大的是多少？ 【详解】 设四位数为 ，从右数，奇位和 ，偶位和 ，且 。 被 11 整除需 为 0 或 11，因和为 12，只能 。 为使数最大：千位取最大 6，则 ；百位取最大 6，则 ，得 6600。 验证：奇位和 ，偶位和 ，差 0，可被 11 整除；数字和 。 【答案】 6600 第 16 题 从 0、1、2、3、4、5、6 中选出四个不同数字组成能被 5 整除、也能被 3 整除的四位数，共有多少个？ 【详解】 被 5 整除，个位为 0 或 5，分两类： 个位为 0：其余三位从 1~6 中选，其和是 3 的倍数。满足的组合共 8 组，每组 个，计 个。 个位为 5：其余三位从 0、1、2、3、4、6 中选，其和加 5 是 3 的倍数，即三位和须余 1。满足的组合共 7 组； 其中含 0 的 4 组，首位不能为 0，每组 个，计 16 个； 不含 0 的 3 组，每组 6 个，计 18 个。 总数 = （个）。 【答案】 82 个 第 17 题 判断 654654 能否同时被 7、11、13 整除，并说明理由。 【详解】 654654 具有 的形式。 ，而 。 所以 。 因此 654654 一定能同时被 7、11、13 整除。 【答案】 能同时被 7、11、13 整除 第 18 题 在 1~200 中，能被 2 或 3 整除、但不能被 6 整除的数共有多少个？ 【详解】 能被 2 整除： 个； 能被 3 整除： 个； 同时能被 2 和 3（即被 6）整除： 个。 能被 2 或 3 整除： 个； 其中还要去掉能被 6 整除的 33 个，（个）。 【答案】 100 个 第 19 题 一个三位数，百位数字与个位数字相同（如 ），且能被 7 整除。这样的三位数共有多少个？它们的和是多少？ 【详解】 设数为 ，即 。 因 ，，所以 。 被 7 整除需 ，即 或 14。 ：a 取 1~7，对应 b 为 6~0，得 7 个数：161、252、343、434、525、616、707； ：a 取 5~9，得 5 个数：595、686、777、868、959。 共 个。 和 = 。 【答案】 共 12 个，它们的和为 6923 第 20 题 一个四位数能同时被 2、3、5、7 整除，且各位数字互不相同，这样的四位数中最大的是多少？ 【详解】 2、3、5、7 两两互质，同时被整除等价于被 整除。 找最大的四位数 210 的倍数： ，而 已是五位数。 9870 各位数字 9、8、7、0 互不相同，且可被 2、3（数字和 24）、5、7 整除，符合。 【答案】 9870 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $