小升初奥数培优11：质数与合数（讲义）-2026-2027学年六年级数学上册（人教版）

小升初奥数培优11：质数与合数 学习目标 1. 熟练掌握质数、合数、1 的定义，熟记常用质数； 2. 掌握奇偶性结合质数的核心考点（唯一偶质数 2）； 3. 学会分解质因数，利用质因数解决乘积、分组、最值问题； 4. 会判断大数是不是质数，掌握质数相关综合推理。 知识精讲 1. 基本概念 (1) 质数（素数）：一个大于 1 的自然数，如果只有 1 和它本身两个因数，这个数叫做质数。例：2、3、5、7、11…… (2) 合数：一个大于 1 的自然数，如果除了 1 和它本身之外，还有别的因数，这个数叫做合数。例：4、6、8、9、10…… (3) 特殊数字 1：1 既不是质数，也不是合数。 (4) 最小的质数是 2，同时 2 是唯一的偶质数；其余所有质数都是奇数。 (5) 最小的合数是 4。 口诀：大于 1 分两类，质合看因数；1 最特殊，不算质不算合；质数里面只有 2 是偶数。 2. 百以内质数表（必须熟记） 2、3、5、7；11、13、17、19；23、29；31、37；41、43、47；53、59；61、67；71、73、79；83、89；97。一共 25 个。 3. 判断一个数是不是质数的方法（试除法） 要判断自然数 （）是不是质数： (1) 先估算，找到不大于 的最大整数； (2) 用小于等于这个整数的所有质数依次去除 ； (3) 如果都不能整除， 是质数；只要有一个能整除，就是合数。 例：判断 127 是不是质数。，只用试除 2、3、5、7、11。127 除以它们都不能整除，所以 127 是质数。 4. 分解质因数 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。这几个质数叫做这个合数的质因数。 书写标准形式：（ 都是质数）。 例：。常用方法是短除法。 ⚠️ 注意：分解质因数，因数必须全是质数，不能出现 1 和合数。 5. 质数 + 奇偶性核心规律（进阶高频考点） 奇数 ± 奇数 = 偶数；偶数 ± 偶数 = 偶数；奇数 ± 偶数 = 奇数。 两个质数相加 / 相减，结果是奇数 → 一定有一个质数是 2（唯一偶质数）。 两个质数相加 / 相减，结果是偶数 → 两个质数都是奇数（除 2 以外质数都是奇数）。 6. 拓展：因数个数公式（进阶） 若 （ 为不同质数），那么 的全部因数个数： 例：，因数个数 个。 7. 常见题型方向 (1) 根据和、差、积的条件求质数； (2) 分解质因数，拆数分组； (3) 已知乘积，求满足条件的自然数； (4) 质数的最值问题； (5) 判断较大数是质数还是合数。 例题讲解 典型例题 1 两个质数的和是 39，求这两个质数的乘积是多少？ 【详解】 两个数相加等于 39，39 是奇数。根据奇偶性：奇数 = 偶数 + 奇数。质数里只有 2 是偶数，所以其中一个质数一定是 2。 另一个质数：。检验：2 和 37 都是质数。 乘积：。 【答案】 74 跟踪训练 1 两个质数的和是 25，这两个质数的积是多少？ 【详解】 25 是奇数，奇数 = 偶数 + 奇数，质数中唯一偶数是 2。 另一个质数：，2 和 23 都是质数。 乘积：。 【答案】 46 典型例题 2 三个不同质数相加，和等于 40，求这三个质数分别是多少？ 【详解】 40 是偶数。三个数相加为偶数有两种情况：偶 + 奇 + 奇，或者偶 + 偶 + 偶；质数只有一个偶数 2，不可能三个偶数。所以一定包含质数 2。 剩下两个质数之和：。 找两个不同质数相加等于 38：；（相同，舍去）。 所以三个质数是：2、7、31。 【答案】 2，7，31 跟踪训练 2 三个不同质数的和是 30，求这三个质数。 【详解】 30 是偶数，三个质数相加为偶数，必有偶质数 2。 剩余两质数和：。 找不同质数和为 28：，。 所以有两组答案：2、5、23 或 2、11、17。 【答案】 2、5、23 或 2、11、17 典型例题 3 分解质因数：1001，并填空 （三个质数）。 【详解】 用短除法试除： ，。7、11、13 都是质数。 所以 。 备注：1001 是奥数经典数，记住 。 【答案】 跟踪训练 3 把 182 分解质因数。 【详解】 182 是偶数，先除以 2：。 ，2、7、13 都是质数。 所以 。 【答案】 典型例题 4 两个连续自然数的乘积是 210，求这两个自然数。 【详解】 先把 210 分解质因数：。 重新组合质因数，凑成两个相邻自然数： ，，14 和 15 是连续自然数。 ，符合条件。 【答案】 14 和 15 跟踪训练 4 两个连续自然数乘积是 132，求这两个数。 【详解】 分解质因数：。 组合：，11 和 12 连续。 。 【答案】 11 和 12 典型例题 5 判断 197 是不是质数。 【详解】 先估算：，只需要试除小于等于 14 的质数：2、3、5、7、11、13。 197 是奇数，不能被 2 整除； ，17 不是 3 的倍数，不能被 3 整除； 末位不是 0 或 5，不能被 5 整除； ； ； 。 都不能整除，所以 197 是质数。 【答案】 197 是质数 跟踪训练 5 判断 169 是质数还是合数。 【详解】 估算：，试除质数：2、3、5、7、11、13。 ，可以整除。 所以 169 是合数，。 【答案】 合数 典型例题 6 一个合数有 8 个因数，写出一个满足条件的合数，并写出它所有因数。 【详解】 因数个数公式：。 或 。 方案①：，最小 。 方案②：，取最小质数 2、3：。 分解：，因数个数 。 24 的因数：1、2、3、4、6、8、12、24，一共 8 个。 【答案】 合数 24；因数：1、2、3、4、6、8、12、24（答案不唯一） 跟踪训练 6 一个合数有 6 个因数，请写出一个符合条件的合数，并且列出全部因数。 【详解】 因数个数： 或 。 选 ，取 。 ，因数个数 。 因数：1、2、3、4、6、12。 【答案】 合数 12；因数：1、2、3、4、6、12（答案不唯一） 奥数练习 第1题 一个四位数恰好有 3 个因数，这样的四位数最小是多少？ 【详解】 恰好有 3 个因数的数一定是某个质数的平方 。 要求四位数且最小：，即 。 最小的质数 ，（31²=961 仍是三位数）。 验算：1369 的因数只有 1、37、1369，共 3 个。 【答案】 1369。 第2题 两个质数的乘积是偶数，且它们的差是 21，求这两个质数。 【详解】 乘积是偶数，则两个质数中一定有一个是 2（唯一偶质数）。 两个质数之差 21 是奇数，说明两个质数一偶一奇，偶数只能是 2。 另一个质数：。两个质数是 2 和 23。 【答案】 2 和 23。 第3题 已知质数 p、q 满足 ，求 的值。 【详解】 把 323 分解质因数：。 17 和 19 都是质数，所以 p、q 为 17 和 19。 它们的和：。 【答案】 36。 第4题 三个不同的质数，它们的和是 30，且其中两个质数相差 6，求这三个质数。 【详解】 30 是偶数，三个质数和为偶数，必含质数 2。 剩余两个质数之和：，且它们相差 6。 较大数：；较小数：。 2、11、17 都是质数，和 ，符合条件。 【答案】 2、11、17。 第5题 一个两位数恰好有 4 个因数，这样的两位数最小是多少？ 【详解】 恰好有 4 个因数，有两种情况：质数的三次方 ，或两个不同质数的乘积 。 ：最小 （一位数），（两位数）。 ：最小 （一位数），（两位数）。 最小的两位数是 10，且 ，因数 1、2、5、10 共 4 个。 【答案】 10。 第6题 自然数 n 的平方 恰好有 9 个因数，求 n 的最小值。 【详解】 9 个因数：9=9 或 9=3×3。 情况①：，则 ，最小 。 情况②：，则 ，最小 。 比较得 n 最小为 6。验算：，因数个数 。 【答案】 6。 第7题 已知质数 p、q 满足 ，且 ，求 的值。 【详解】 73 是奇数，两个质数和为奇数，则两个质数一偶一奇，其中一个是质数 2。 另一个质数：，71 是质数。 乘积：。 【答案】 142。 第8题 偶数 50 可以表示成两个质数之和，一共有多少种不同的表示方法（两个质数交换顺序算同一种）？ 【详解】 50 是偶数， 是合数，所以不含质数 2，两个质数都为奇数。 从小到大枚举奇质数对： 3+47、7+43、13+37、19+31，其余组合均出现合数。 验算：3、47、7、43、13、37、19、31 都是质数，共 4 种。 【答案】 4 种。 第9题 一个两位数，它的个位和十位都是质数，且这个两位数本身也是质数。这样的两位数一共有多少个？ 【详解】 个位、十位都只能是 2、3、5、7。 组成的两位数共 16 个，逐一判断是否为质数： 质数有：23、37、53、73，共 4 个（22、25、27、32、33、35、52、55、57、72、75、77 均为合数）。 【答案】 4 个（23、37、53、73）。 第10题 两个相邻奇数的乘积是 255，求这两个数。 【详解】 分解质因数：。 15 和 17 是相邻的奇数，且 。 【答案】 15 和 17。 第11题 一个两位数恰好有 6 个因数，这样的两位数最大是多少？ 【详解】 6 个因数：6=6 或 6=3×2，即 或 。 从最大的两位数 99 开始检验：，因数个数 。 99 已经是最大的两位数，且恰好有 6 个因数，符合条件。 【答案】 99。 第12题 （n 为正整数）是四位数，这样的 n 一共有几个？ 【详解】 依次计算：、、、，都是四位数。 是三位数， 是五位数。 所以 n 可取 10、11、12、13，共 4 个。 【答案】 4 个（n=10、11、12、13）。 第13题 自然数 n 的因数个数是奇数，且 n 能被 9 整除，n 是两位数。这样的 n 最大是多少？ 【详解】 因数个数是奇数，说明 n 是完全平方数。 两位完全平方数：16、25、36、49、64、81。 其中能被 9 整除的有 36 和 81，最大的是 81。 验算：，因数个数 ，是奇数。 【答案】 81。 第14题 两个质数的乘积是 119，这两个质数的和是多少？ 【详解】 把 119 分解质因数：。 7 和 17 都是质数，它们的和：。 【答案】 24。 第15题 已知质数 p、q 满足 ，且 ，求 p、q 的值。 【详解】 把 299 分解质因数：。 23 和 13 的差是 10，且都是质数，所以 p=23，q=13。 【答案】 p=23，q=13。 第16题 用数字 1、3、5、7 组成两位数（数字不重复），其中是质数的有多少个？ 【详解】 由 1、3、5、7 任取两个组成的两位数共 12 个：13、15、17、31、35、37、51、53、57、71、73、75。 其中是质数的有：13、17、31、37、53、71、73（15、35、51、57、75 均为合数），共 7 个。 【答案】 7 个（13、17、31、37、53、71、73）。 第17题 一个三位数恰好有 8 个因数，这样的三位数最小是多少？ 【详解】 8 个因数有三种情况：、、。 从最小的三位数 100 开始检验： 100 有 9 个因数，101 是质数有 2 个因数； ，因数个数 ，符合。 所以最小的三位数是 102。 【答案】 102。 第18题 三个不同的质数，它们的和是 32，且其中两个质数相差 8，求这三个质数。 【详解】 32 是偶数，三个质数和为偶数，必含质数 2。 剩余两个质数之和：，且它们相差 8。 较大数：；较小数：。 2、11、19 都是质数，和 ，符合条件。 【答案】 2、11、19。 第19题 在 1~100 中，个位数字是 7 的质数有哪些？一共有多少个？ 【详解】 1~100 中个位是 7 的数有：7、17、27、37、47、57、67、77、87、97。 其中是质数的有：7、17、37、47、67、97（27、57、77、87 均为合数），共 6 个。 【答案】 7、17、37、47、67、97，共 6 个。 第20题 已知质数 a、b 满足 ，且 ， 的个位数字是 4。求 a、b 的值。 【详解】 49 是奇数，两个质数和为奇数，则两个质数一偶一奇，其中一个是质数 2。 由 知 ，另一个质数 。 验算：，个位数字是 4，符合条件。 【答案】 a=2，b=47。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优11：质数与合数 学习目标 1. 熟练掌握质数、合数、1 的定义，熟记常用质数； 2. 掌握奇偶性结合质数的核心考点（唯一偶质数 2）； 3. 学会分解质因数，利用质因数解决乘积、分组、最值问题； 4. 会判断大数是不是质数，掌握质数相关综合推理。 知识精讲 1. 基本概念 (1) 质数（素数）：一个大于 1 的自然数，如果只有 1 和它本身两个因数，这个数叫做质数。例：2、3、5、7、11…… (2) 合数：一个大于 1 的自然数，如果除了 1 和它本身之外，还有别的因数，这个数叫做合数。例：4、6、8、9、10…… (3) 特殊数字 1：1 既不是质数，也不是合数。 (4) 最小的质数是 2，同时 2 是唯一的偶质数；其余所有质数都是奇数。 (5) 最小的合数是 4。 口诀：大于 1 分两类，质合看因数；1 最特殊，不算质不算合；质数里面只有 2 是偶数。 2. 百以内质数表（必须熟记） 2、3、5、7；11、13、17、19；23、29；31、37；41、43、47；53、59；61、67；71、73、79；83、89；97。一共 25 个。 3. 判断一个数是不是质数的方法（试除法） 要判断自然数 （）是不是质数： (1) 先估算，找到不大于 的最大整数； (2) 用小于等于这个整数的所有质数依次去除 ； (3) 如果都不能整除， 是质数；只要有一个能整除，就是合数。 例：判断 127 是不是质数。，只用试除 2、3、5、7、11。127 除以它们都不能整除，所以 127 是质数。 4. 分解质因数 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。这几个质数叫做这个合数的质因数。 书写标准形式：（ 都是质数）。 例：。常用方法是短除法。 ⚠️ 注意：分解质因数，因数必须全是质数，不能出现 1 和合数。 5. 质数 + 奇偶性核心规律（进阶高频考点） 奇数 ± 奇数 = 偶数；偶数 ± 偶数 = 偶数；奇数 ± 偶数 = 奇数。 两个质数相加 / 相减，结果是奇数 → 一定有一个质数是 2（唯一偶质数）。 两个质数相加 / 相减，结果是偶数 → 两个质数都是奇数（除 2 以外质数都是奇数）。 6. 拓展：因数个数公式（进阶） 若 （ 为不同质数），那么 的全部因数个数： 例：，因数个数 个。 7. 常见题型方向 (1) 根据和、差、积的条件求质数； (2) 分解质因数，拆数分组； (3) 已知乘积，求满足条件的自然数； (4) 质数的最值问题； (5) 判断较大数是质数还是合数。 例题讲解 典型例题 1 两个质数的和是 39，求这两个质数的乘积是多少？ 跟踪训练 1 两个质数的和是 25，这两个质数的积是多少？ 典型例题 2 三个不同质数相加，和等于 40，求这三个质数分别是多少？ 跟踪训练 2 三个不同质数的和是 30，求这三个质数。 典型例题 3 分解质因数：1001，并填空 （三个质数）。 跟踪训练 3 把 182 分解质因数。 典型例题 4 两个连续自然数的乘积是 210，求这两个自然数。 跟踪训练 4 两个连续自然数乘积是 132，求这两个数。 典型例题 5 判断 197 是不是质数。 跟踪训练 5 判断 169 是质数还是合数。 典型例题 6 一个合数有 8 个因数，写出一个满足条件的合数，并写出它所有因数。 跟踪训练 6 一个合数有 6 个因数，请写出一个符合条件的合数，并且列出全部因数。 奥数练习 第1题 一个四位数恰好有 3 个因数，这样的四位数最小是多少？ 第2题 两个质数的乘积是偶数，且它们的差是 21，求这两个质数。 第3题 已知质数 p、q 满足 ，求 的值。 第4题 三个不同的质数，它们的和是 30，且其中两个质数相差 6，求这三个质数。 第5题 一个两位数恰好有 4 个因数，这样的两位数最小是多少？ 第6题 自然数 n 的平方 恰好有 9 个因数，求 n 的最小值。 第7题 已知质数 p、q 满足 ，且 ，求 的值。 第8题 偶数 50 可以表示成两个质数之和，一共有多少种不同的表示方法（两个质数交换顺序算同一种）？ 第9题 一个两位数，它的个位和十位都是质数，且这个两位数本身也是质数。这样的两位数一共有多少个？ 第10题 两个相邻奇数的乘积是 255，求这两个数。 第11题 一个两位数恰好有 6 个因数，这样的两位数最大是多少？ 第12题 （n 为正整数）是四位数，这样的 n 一共有几个？ 第13题 自然数 n 的因数个数是奇数，且 n 能被 9 整除，n 是两位数。这样的 n 最大是多少？ 第14题 两个质数的乘积是 119，这两个质数的和是多少？ 第15题 已知质数 p、q 满足 ，且 ，求 p、q 的值。 第16题 用数字 1、3、5、7 组成两位数（数字不重复），其中是质数的有多少个？ 第17题 一个三位数恰好有 8 个因数，这样的三位数最小是多少？ 第18题 三个不同的质数，它们的和是 32，且其中两个质数相差 8，求这三个质数。 第19题 在 1~100 中，个位数字是 7 的质数有哪些？一共有多少个？ 第20题 已知质数 a、b 满足 ，且 ， 的个位数字是 4。求 a、b 的值。 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $