奥数培优专题——列方程解应用题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学小升初复习讲义聚焦列方程解应用题专题，覆盖和差倍、年龄、行程、工程等小升初核心题型，通过知识精讲梳理设元技巧与等量关系查找方法，结合基础到进阶分层练习，帮助学生系统掌握列方程解题的完整流程。 亮点在于针对小升初高频难点设计突破策略，如用间接设元简化复杂问题（例奶糖占比问题），通过不变量找等量关系（年龄差、溶质不变）培养数学思维与模型意识，练习涵盖基础题到压轴题，助力学生建立方程思维，教师可精准把握学生薄弱点，提升复习针对性。

小升初奥数培优专题讲义：列方程解应用题 姓名： 用时： 评价： 知识精讲 （一）核心定义 列方程解应用题，是用字母（通常为x、y）代替题目中的未知量，根据题目中蕴含的等量关系，列出含有未知数的等式（方程），通过解方程求出未知量，从而解决实际问题的奥数解题方法。该方法可以规避算术法逆向思维的难点，思路正向、清晰，是小升初奥数应用题、分班考、择校考的核心必考题型。 考点梳理 1.审题：通读题目，梳理已知条件、未知条件，厘清题目中的数量关系，区分多余条件和核心条件，明确题目所求问题。 2. 设未知数：分为两种设元方法，是奥数解题的关键技巧。 ✅ 直接设元：题目问什么就设什么，适用于简单和差、倍数、基础行程、工程问题。 ✅ 间接设元：不直接设所求量，设题目中的中间变量，适用于复杂分数、比例、盈亏、多人多量问题，可大幅简化方程计算难度。 3. 找等量关系：这是列方程的核心依据，方程左右两边表示同一个数量。 4. 列方程：根据等量关系，代入已知数和未知数，列出规范的一元一次方程（小升初奥数主流）。 5. 解方程：利用等式的性质，逐步化简方程，求出未知数的值。 6. 检验：将解得的数值代入原题，验证是否符合所有已知条件，排除增根、错解。 7. 作答：规范书写答句，对应题目问题给出完整答案。 （三）常见等量关系查找技巧（奥数高频） 1. 根据基础数量公式找等量 行程问题：路程=速度×时间；相遇路程=速度和×相遇时间；追及路程=速度差×追及时间 工程问题：工作总量=工作效率×工作时间（常设工作总量为单位1） 买卖问题：总价=单价×数量；利润=售价-成本 和差倍问题：和=大数+小数；差=大数-小数；大数=小数×倍数±差值 2.根据题目不变量找等量（奥数重难点） 年龄问题：两人年龄差始终不变 浓度问题：稀释、浓缩、混合过程中溶质总量不变 调配问题：物资总数量、总人数保持不变 3. 根据题目关键语句找等量 抓取“比、是、等于、一共、剩余、多、少”等关键词，直接翻译为等式。例：甲比乙多5 → 甲=乙+5；甲乙总和为100 → 甲+乙=100。 例题讲解 1. 基础题型：和差倍问题、年龄问题、平均数问题 2. 进阶题型：盈亏问题、行程问题、工程问题、浓度问题、调配问题、分数百分数应用题 易错指引 1. 设未知数漏写单位，作答不对应问题； 2. 等量关系找反，出现左右数量颠倒； 3. 复杂题型盲目直接设元，导致方程繁琐难解； 4. 解方程计算失误，未检验结果合理性； 5. 忽略题目隐藏条件（年龄同增同减、溶质不变等）。 考点练习 基础篇（1-10题） 1. 和差问题 甲乙两个数的和是88，甲数比乙数大12，求甲乙两数各是多少？ 详解：设乙数为x，则甲数为(x+12)。根据两数和为88列方程： x + (x+12) = 88 2x + 12 = 88 2x = 76 x = 38 甲数：38+12=50 答案：甲数50，乙数38 2. 和倍问题 果园里苹果树和梨树共120棵，苹果树的棵数是梨树的2倍，两种树各有多少棵？ 详解：设梨树有x棵，则苹果树有2x棵。 x + 2x = 120 3x = 120 x = 40 苹果树：2×40=80（棵） 答案：梨树40棵，苹果树80棵 3. 差倍问题 甲数是乙数的3倍，甲数比乙数多48，甲乙两数各是多少？ 详解：设乙数为x，甲数为3x。 3x - x = 48 2x = 48 x = 24 甲数：3×24=72 答案：甲数72，乙数24 4. 基础年龄问题 今年爸爸36岁，儿子6岁，几年后爸爸的年龄是儿子的4倍？ 详解：设x年后爸爸年龄是儿子的4倍。年龄差始终不变，x年后儿子(x+6)岁，爸爸(36+x)岁。 36 + x = 4(x + 6) 36 + x = 4x + 24 3x = 12 x = 4 答案：4年后 5. 平均数问题 5个数的平均数是32，前4个数的平均数是30，求第5个数是多少？ 详解：设第5个数为x。5个数总和=前4个数总和+第5个数 30×4 + x = 32×5 120 + x = 160 x = 40 答案：40 6. 基础盈亏问题 把一些糖果分给小朋友，每人分4颗，剩余12颗；每人分6颗，缺少8颗。有多少个小朋友？多少颗糖果？ 详解：设小朋友有x个，糖果总数不变。 4x + 12 = 6x - 8 2x = 20 x = 10 糖果：4×10+12=52（颗） 答案：10个小朋友，52颗糖果 7. 购物价格问题 妈妈买3千克苹果和2千克香蕉，一共花34元。已知每千克苹果8元，每千克香蕉多少元？ 详解：设每千克香蕉x元。 3×8 + 2x = 34 24 + 2x = 34 2x = 10 x = 5 答案：每千克香蕉5元 8. 简单工程问题 一项工程，单独做甲需要15天完成，乙每天可以完成这项工程的1/10。两人合作，多少天可以完成？ 详解：设两人合作x天完成，工作总量为1。甲效率：1/15，乙效率：1/10。 (1/15 + 1/10)x = 1 (2/30 + 3/30)x = 1 1/6 x = 1 x = 6 答案：6天 9. 基础行程相遇问题 甲乙两车从相距360千米的两地相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米，两车同时出发，几小时后相遇？ 详解：设x小时后两车相遇。相遇路程=速度和×时间 (50+40)x = 360 90x = 360 x = 4 答案：4小时 10. 调配问题 甲班有45人，乙班有39人，从甲班调多少人到乙班，两班人数相等？ 详解：设从甲班调x人到乙班。调配后两班人数相等。 45 - x = 39 + x 2x = 6 x = 3 答案：调3人 进阶篇（11-20题） 11. 复杂和倍问题 甲乙丙三个数的和是180，甲数是乙数的2倍，丙数比乙数多20，求三个数各是多少？ 详解：设乙数为x，则甲数2x，丙数(x+20)。 2x + x + x + 20 = 180 4x = 160 x = 40 甲数：80，乙数：40，丙数：60 答案：甲80，乙40，丙60 12. 进阶年龄问题 哥哥今年18岁，弟弟今年10岁，多少年前哥哥的年龄是弟弟的3倍？ 详解：设x年前哥哥年龄是弟弟3倍。 18 - x = 3(10 - x) 18 - x = 30 - 3x 2x = 12 x = 6 答案：6年前 13. 复杂盈亏问题 学生分组植树，如果每组植5棵，还剩13棵；如果每组植7棵，还缺21棵。一共有多少组学生？多少棵树苗？ 详解：设一共有x组学生，树苗总数不变。 5x + 13 = 7x - 21 2x = 34 x = 17 树苗：5×17+13=98（棵） 答案：17组，98棵树苗 14. 行程追及问题 甲乙两人在同一条路上同向行走，甲每分钟走60米，乙每分钟走45米，乙先走10分钟，甲多久能追上乙？ 详解：设甲x分钟追上乙。追及时两人路程相等。 60x = 45(x + 10) 60x = 45x + 450 15x = 450 x = 30 答案：30分钟 15. 分数应用题（奥数高频） 一本书，第一天看了全书的1/4，第二天看了全书的1/5，两天一共看了90页，这本书一共有多少页？ 详解：设全书共x页。 1/4 x + 1/5 x = 90 9/20 x = 90 x = 200 答案：200页 16. 浓度基础问题 现有浓度为20%的盐水100克，加水稀释成浓度为10%的盐水，需要加水多少克？ 详解：设需要加水x克，稀释前后盐的质量不变。 100×20% = (100+x)×10% 20 = 10 + 0.1x 0.1x = 10 x = 100 答案：加水100克 17. 复合型工程问题 一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成。甲先做5天，剩下的由甲乙合作，还需要多少天完成？ 详解：设还需要x天完成，工作总量为1。甲效率1/20，乙效率1/30。 1/20×5 + (1/20+1/30)x = 1 1/4 + 1/12 x = 1 1/12 x = 3/4 x = 9 答案：9天 18. 多人调配问题 甲仓库有粮食120吨，乙仓库有粮食90吨，从甲仓库运多少吨粮食到乙仓库，能让乙仓库粮食是甲仓库的2倍？ 详解：设从甲仓库运x吨到乙仓库。 2(120 - x) = 90 + x 240 - 2x = 90 + x 3x = 150 x = 50 答案：运50吨 19. 行程复合型问题 甲乙两车从相距450千米的两地相向而行，甲车每小时行70千米，乙车每小时行80千米，甲车先出发1小时，乙车再出发，乙车出发几小时后两车相遇？ 详解：设乙车出发x小时后相遇。甲车总行驶时间(x+1)小时。 70(x+1) + 80x = 450 70x +70 +80x =450 150x = 380 x = 38/15 答案：38/15小时（2小时32分钟） 20. 奥数综合压轴题 有一堆糖果，其中奶糖占45%，再放入16块水果糖后，奶糖占25%。这堆糖果中奶糖有多少块？ 详解：本题用间接设元，设原来糖果总数为x块，奶糖数量始终不变。 45%x = 25%(x + 16) 0.45x = 0.25x + 4 0.2x = 4 x = 20 奶糖数量：20×45% = 9（块） 答案：9块 学科网（北京）股份有限公司 $