精品解析：安徽宣城市皖东南初中期中联考2026-2027学年八年级上学期11月期中数学试题

宣城十二中2026-2027学年第一学期八年级阶段性评价 数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 3cm、4cm、2cm B. 12cm、5cm、6cm C. 1cm、5cm、9cm D. 5cm、2cm、7cm 3. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 如果，都是正数，那么 B. 如果，那么 C. 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 D. 同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 4. 关于的一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点坐标是 C. 点和点都在该函数图象上，则 D. 图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象 5. 在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是 C. 方程的解是 D. 关于的方程组的解是 8. 已知两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在人工智能产业持续发展的今天，智能警用机器人已逐步投入使用．图是警用机器人小安与小满，他们从甲地出发，前往同一直线上相距米的乙地开展巡逻工作．小安先行且速度恒定，小满出发一段时间后提速至原速的倍．小安警官和小满警官行走路程（米）与行走时间（秒）之间的关系如图所示，下列说法正确的有（ ）个． ①线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系； ②小满警官提速前的速度是米/秒； ③线段所在直线的函数关系式是； ④当时，小安警官和小满警官之间的距离不超过米的总时长是秒． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数的自变量的取值范围是_____． 12. “同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是_________． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）．当时，函数有最大值12，则的值为_________． 14. 在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在中，，是上的动点，点是的中点，、相交于点． ①若为的中点，如图2所示，则四边形的面积是________； ②若，如图3所示，则四边形的面积是________． 三、解答题（本大题共9题，第15-19每题8分，第20-22每题12分，第23题14分，共90分） 15. 已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数表达式． （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 16. 已知点P（8–2m，m–1）． （1）若点P在x轴上，求m的值．（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标． 17. 如图，在平面直角坐标系中三个点、、，是的边上一点，经平移后得到，点的对应点为． （1）画出平移后的；写出点、的坐标； （2）求四边形的面积． 18. 如图，直线l对应的函数表达式为，在直线l上，顺次取点，，，，……，，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为；；；…… 猜想并填空： （1）______； （2）______（用含n的式子表示）； （3）______（用含n的式子表示，要化简）． 19. 如图，在中，于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比的周长小，求的长． 20. 涟水外卖市场竞争激烈，美团、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，具体方案如下：每月不超出750单，每单收入4元；超出750单的部分每单收入m元． （1）若某“外卖小哥”某月送了500单，收入　 　元； （2）若“外卖小哥”每月收入为y（元），每月送单量为x单，y与x之间的关系如图所示，求y与x之间的函数关系式； （3）若“外卖小哥”甲和乙在某个月内共送单1200单，且甲送单量低于乙送单量，共收入5000元，问：甲、乙送单量各是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式． （2）若点在轴上且．求此时点的坐标； （3）若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 22. 已知：在中，平分，相交于点O． （1）如图①，若，，，求的大小； （2）如图②，若平分，且，求的大小； （3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 23. 某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. （1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ （2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣城十二中2026-2027学年第一学期八年级阶段性评价 数学学科 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点坐标分别判断出横坐标和纵坐标的符号，从而就可以判断改点所在的象限． 【详解】解：， ，， 满足第二象限的条件． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点的坐标以及象限知识，解题的关键在于熟练掌握各个象限的横纵坐标点的符号特点． 2. 下列长度的三条线段可以组成三角形的是（ ） A. 3cm、4cm、2cm B. 12cm、5cm、6cm C. 1cm、5cm、9cm D. 5cm、2cm、7cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系求解． 【详解】解：A．，满足题意． B．，不满足题意． C．，不满足题意． D．，不满足题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形中任意两边之和大于第三边． 3. 下列命题中，属于假命题的是（ ） A. 如果，都是正数，那么 B. 如果，那么 C. 如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 D. 同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题、有理数的相关性质、直角三角形的性质及平行线的判定，熟练掌握各个性质定理是解题的关键；因此此题可根据正负数、乘方运算、直角三角形的性质及平行线的判定可进行排除选项． 【详解】解：A、如果a、b都是正数，那么，是真命题，故不符合题意； B、如果，那么，所以原命题是假命题，故符合题意； C、如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；是真命题，故不符合题意； D、同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；是真命题，故不符合题意； 故选B． 4. 关于的一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象不经过第二象限 B. 图象与轴的交点坐标是 C. 点和点都在该函数图象上，则 D. 图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，一次函数图象经过的象限，比较一次函数值的大小，求一次函数与y轴的交点坐标，一次项系数和常数项都大于0，则一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，据此可判断A；求出自变量的值为0时的函数值即可判断B；根据一次项系数大于0得到y随x增大而增大，据此可判断C；根据“上加下减”的平移规律可判断D． 【详解】解：A、∵一次函数解析式为，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故A说法错误，不符合题意； B、在中，当时，，则图象与轴的交点坐标是，故B说法错误，不符合题意； C、∵一次函数解析式为，， ∴y随x增大而增大， ∵点和点都在该函数图象上，且， ∴，故C说法正确，符合题意； D、图象沿轴方向向上平移2个单位长度得到函数的图象，故D说法错误，不符合题意； 故选：C． 5. 在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角． 【详解】解：①： 由内角和得，解得，故为直角三角形． ②： 总份数为，最大角，故为直角三角形． ③： 变形得，则，故为直角三角形． ④： 设，则．由，解得，故为直角三角形． 综上，四个条件均成立， 故选：D． 6. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，再根据三角形内角和定理求出，最后由邻补角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与的图象交于点，则下列说法正确的是（ ） A. 不等式的解集是 B. 不等式的解集是 C. 方程的解是 D. 关于的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】由直线与 轴的交点 、与直线 的交点 ，用待定系数法求出 的解析式；再把各选项中的不等式、方程、方程组分别转化为函数值的大小比较、函数值的符号与两图象的交点问题，逐项判断． 【详解】解：∵ 直线 的图象与 轴交于点 ，与直线 的图象交于点 ， ∴ 点 与点 都在直线 上， ∴ 两式相减，得 ， 把 代入 ，得 ， ∴ 一次函数的解析式为 ． 不等式 即 ，解得 ， ∴ 不等式 的解集是 ，A 错误． 不等式 即 ，解得 ， ∴ 不等式 的解集是 ，B 正确． ∵ 两图象交于点 ， ∴ 当 时 ， ∴ 方程 的解是 ，C 错误． 方程组的解就是两图象交点 的坐标， ∴ 方程组的解是 ，D 错误． 8. 已知两个一次函数与，它们在同一平面直角坐标系中的图象可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，由于a、b的符号均不确定，因此分①，，②，，③，，④，四种情况，判断出和所经过的象限，即可求解． 【详解】解：分四种情况： ①当，时，和的图象均经过第一、二、三象限，不存在此选项； ②当，时，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合此条件； ③当，时，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，不存在此选项； ④当，时，和的图象均经过第二、三、四象限，不存在此选项． 故选：B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1，进而求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1 ∴点的坐标为． 10. 在人工智能产业持续发展的今天，智能警用机器人已逐步投入使用．图是警用机器人小安与小满，他们从甲地出发，前往同一直线上相距米的乙地开展巡逻工作．小安先行且速度恒定，小满出发一段时间后提速至原速的倍．小安警官和小满警官行走路程（米）与行走时间（秒）之间的关系如图所示，下列说法正确的有（ ）个． ①线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系； ②小满警官提速前的速度是米/秒； ③线段所在直线的函数关系式是； ④当时，小安警官和小满警官之间的距离不超过米的总时长是秒． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意知小安先行，则线段表示小安警官行走路程与时间之间的关系，故说法①正确； ，小满警官提速前的速度是1米/秒，不是米/秒，故说法②错误； 由题意知，小满警官提速后的速度是2米/秒， ，， ∴， 设直线所在直线的函数关系式是， 将，代入得，，解得， ∴线段所在直线的函数关系式是，故说法③正确； 第一阶段：小满警官出发前，时长为60秒； 第二阶段：(小满警官出发但未提速，此时二者速度一致，始终有90米的距离，不符合题意)； 第三阶段：小满警官出发提速后相遇前，， 小安所在直线解析式为，，则，∴； 第四阶段：小满警官出发提速后相遇后，， ∴，则，∴； 第五阶段：小满警官到达终点，小安继续前进，小满与终点相距小于等于60米，则，∴； 总时长(秒) ，故说法④正确． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 函数的自变量的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键． 【详解】解：由题意，得且， 解得且， ∴自变量的取值范围是且， 故答案为：且． 12. “同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是_________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【详解】解：原命题“同位角相等，两直线平行”的题设为同位角相等，结论为两直线平行． ∴ 根据互逆命题的定义，交换原命题的题设与结论即可得到它的逆命题． ∴ 所求逆命题为两直线平行，同位角相等． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数（为常数，且）．当时，函数有最大值12，则的值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】一次函数的增减性由一次项系数的符号决定，给定的取值范围为，需根据的正负判断函数取最大值时对应的取值，代入函数表达式列方程求解即可． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， ∴在的范围内，x取最大值5时，y取得最大值12， 将，代入得， ，解得，满足的条件， 当时，y随x的增大而减小， ∴在的范围内，x取最小值时，y取得最大值12， 将，代入得， ，解得，满足的条件， 综上，的值为或. 14. 在一节数学习题课后，同学们知道了：三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，如下图1所示，随后宋老师对其进行变式：在中，，是上的动点，点是的中点，、相交于点． ①若为的中点，如图2所示，则四边形的面积是________； ②若，如图3所示，则四边形的面积是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，利用面积的转化即可求解； ①根据三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形，可得四边形的面积是其中2个三角形的面积，即可求解； ②连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，根据题意设，则，进而表示出，根据得出，即可求解． 【详解】解：①如图2所示，连接交于点， 则是边上的中线， ∵三角形的三条中线把三角形的面积分成个面积相等的小三角形， ∴四边形的面积是； 故答案为：4； ②如图所示，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵是中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9题，第15-19每题8分，第20-22每题12分，第23题14分，共90分） 15. 已知与成正比例，且当时，． （1）求与之间的函数表达式． （2）若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题综合考查了正比例的定义，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据正比例的定义设，然后把，代入计算求出k值，再整理即可得解； （2）将点代入（1）中所求的函数的解析式求a的值． 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， ∵当，， ∴， 解得， ∴，即； 【小问2详解】 解：点在函数的图象上， ∴， 解得：． 16. 已知点P（8–2m，m–1）． （1）若点P在x轴上，求m的值．（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】(1)直接利用x轴上点的坐标特点得出m-1=0，进而得出答案； (2)直接利用点P到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案． 【详解】解：点在x轴上， ， 解得：； 点P到两坐标轴的距离相等， ， 或， 解得：或， 或． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中三个点、、，是的边上一点，经平移后得到，点的对应点为． （1）画出平移后的；写出点、的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 所作图形如下： ， （2）14 【解析】 【分析】本题考查了平移作图及平行四边形的面积，解答本题的关键是能通过点平移前后的坐标得出平移规律，注意规范作图． （1）根据P点平移前后的坐标，可得出平移是按照：向右平移6个单位，向上平移2个单位进行的，找到各点的对称点后，顺次连接可得，结合直角坐标系，可得出点、的坐标； （2）根据，进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴可得平移规律为：向右平移6个单位，向上平移2个单位， 结合图形可得：点的坐标为，的坐标为； 【小问2详解】 解：． 18. 如图，直线l对应的函数表达式为，在直线l上，顺次取点，，，，……，，构成的形如“7”的图形的阴影部分面积分别为；；；…… 猜想并填空： （1）______； （2）______（用含n的式子表示）； （3）______（用含n的式子表示，要化简）． 【答案】（1）；（或12） （2）；或 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知、，再借助矩形面积公式计算即可； （2）分别求出、、、的表达式，找出规律，根据规律解答即可； （3）根据、、、、……、的表达式的规律，相加后进行化简计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知、， ∴， 故答案为：；（或12） 【小问2详解】 由题意可知： ， ， ， ， …… ， 故答案为：；或 【小问3详解】 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及用代数式表示图象的变化规律问题，根据点的坐标变化找出阴影部分面积的变化规律是解题关键． 19. 如图，在中，于点，平分交于点． （1）若，，求的度数； （2）若是的中线，，，的周长比的周长小，求的长． 【答案】（1）的度数为； （2）的长为． 【解析】 【分析】（1）由三角形的内角和定理，结合角平分线的定义，可得，由直角三角形的两个锐角互余，可得，即可得的度数； （2）由已知可得，可得，结合与的周长之间的关系，即可得的长． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长比的周长小， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 涟水外卖市场竞争激烈，美团、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，具体方案如下：每月不超出750单，每单收入4元；超出750单的部分每单收入m元． （1）若某“外卖小哥”某月送了500单，收入　 　元； （2）若“外卖小哥”每月收入为y（元），每月送单量为x单，y与x之间的关系如图所示，求y与x之间的函数关系式； （3）若“外卖小哥”甲和乙在某个月内共送单1200单，且甲送单量低于乙送单量，共收入5000元，问：甲、乙送单量各是多少？ 【答案】（1）2000；（2）y＝5x﹣750；（3）甲送250单，乙送950单 【解析】 【分析】（1）根据题意可以求得“外卖小哥”某月送了500单的收入情况； （2）分段函数，运用待定系数法解答即可； （3）根据题意，利用分类讨论的方法可以求得甲、乙送单量各是多少． 【详解】解：（1）由题意可得， “外卖小哥”某月送了500单，收入为：4×500＝2000元， 故答案为：2000； （2）当0≤x＜750时，y＝4x 当x≥750时， 当x＝4时，y＝3000 设y＝kx+b，根据题意得， 解得， ∴y＝5x﹣750； （3）设甲送a单，则a＜600＜750， 则乙送（1200﹣a）单， 若1200﹣a＜750，则4a+4（1200﹣a）＝4800≠5000，不合题意， ∴1200﹣a＞750， ∴4a+5（1200﹣a）﹣750＝5000， ∴a＝250， 1200﹣a＝950， 故甲送250单，乙送950单． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的应用以及二元一次方程组，从函数图象中找出有用的信息是解此题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． （1）求一次函数的表达式． （2）若点在轴上且．求此时点的坐标； （3）若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 【答案】（1） （2）或． （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数是解题关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据一次函数的解析式，得到点B的坐标，再根据，以及三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （3）设点P的坐标为，利用数形结合及的面积为10，以及三角形的面积公式进行列式计算，解得m的值，即可得出点P的坐标． 【小问1详解】 解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 即点C坐标为． ∵一次函数经过、点， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数与y轴交于点B， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设， 则， 解得， 即， 故， ∴或． 【小问3详解】 解：∵点在轴左侧的直线上，且由（1）得直线的表达式为； ∵，， ∴， ∴点在第三象限， ∴设P的坐标为，且，连接 ∵的面积是10，，且由（2）得， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为． 22. 已知：在中，平分，相交于点O． （1）如图①，若，，，求的大小； （2）如图②，若平分，且，求的大小； （3）如图③，若在的外角内，且，，试探究：与的数量关系． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的性质求出，进而求出的大小； （2）根据三角形的内角和定理得到，求出答案即可； （3）设，则，根据题意求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解： 平分， ； 【小问2详解】 解：平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ∴； 【小问3详解】 解：， 设， ， 平分， 设，则， 是的外角， ， ， 是的外角， ， 即， ， ， ， ． 23. 某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. （1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ （2）若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 【答案】（1）甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； （2）①；② 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则甲种型号头盔购进了个，根据题意得到，求出，根据一次函数的性质进行解答即可；②列出一次函数解析式，分情况进行解答即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元， 则， 解得 答：甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； 【小问2详解】 ①设甲种型号头盔购进了个，则乙种型号头盔购进了个， ∴， 由题意可得， 解得， ∵，其中，， ∴随着x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为． ②由题意可得，， ∵， ∴当即时，随着x的增大而增大，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得， 当即时，随着x的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $