精品解析：安徽省宣城市第六中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

2025～2026学年度第一学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目的一项． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 在同一平面内，不相交的两条直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 互补的角是邻补角 5. 已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 已知一次函数和，函数和的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 8. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知点在y轴上，则点P的坐标为________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是________． 13. 若关于x、y的二元一次方程组：无解，则a的值为_________. 14. 函数是y关于x的一次函数，则_____． 15. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于______． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，AH，BD分别是△ABC高和角平分线，点P为边BC上一个点，当△BDP为直角三角形时，则∠CDP＝_____度． 17. 如图，是的中线，G是上的一点，E，F分别是，的中点，若的面积是24，则阴影部分的面积为___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为______． 三、解答题（本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． （1）在图中画出平移后的； （2）求的面积． 20. 在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． （1）求a的值． （2）设这条直线与y轴相交于点D，求的面积． 21. 如图，已知是的外角的平分线，且交的延长线于点D． （1）如果，求的度数． （2）求证：． 22. 如图，已知直线l1：y1＝﹣2x﹣3，直线l2：y2＝x+3，l1与l2相交于点P，l1，l2分别与y轴相交于点A，B． （1）求点P的坐标． （2）若y1＞y2＞0，求x的取值范围． （3）点D（m，0）为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交l1和l2于点E，F，当EF＝3时，求m的值． 23. 某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同． （1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大， A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 24. 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，、分别是邻三分线和邻三分线，，请求出的度数．（用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期中考试 八年级数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，选出符合题目的一项． 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限点的坐标符号规律判断所在象限即可． 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， 又∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于， ∴点在第二象限． 2. 在平面直角坐标系的第四象限内有一点M，到x轴的距离为4，到y轴的距离为5，则点M的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，正确掌握第四象限点的坐标特征是解题的关键． 直接利用点的坐标特点进而分析得出答案即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系的第四象限内有一点，到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点的纵坐标为：，横坐标为：， ∴点的坐标为： ∴D选项符合题意． 故选：D． 3. 下列式子中，能表示y是x的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应． 【详解】解：根据函数的定义可知： 只有函数，当x取值时，y有唯一的值与之对应． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的知识，熟练掌握函数的定义是解题的关键． 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 在同一平面内，不相交的两条直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 对顶角相等 D. 互补的角是邻补角 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线和对顶角的性质及邻补角的定义即可判断． 【详解】A. 在同一平面内，不相交的两条直线平行，说法正确，不符合题意； B. 内错角相等，两直线平行，说法正确，不符合题意； C. 对顶角相等，说法正确，不符合题意； D. 邻补角是两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，说法错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了命题的真假，涉及到平行线的性质及邻补角的定义，熟练掌握性质及定义是解题的关键． 5. 已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个． 【详解】解： 解不等式①，可得x＜2a， 解不等式②，可得x≥4， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴a＞， 又∵存在以3，a，5为边的三角形， ∴2＜a＜8， ∴a的取值范围是3＜a＜8， ∴a的整数解有4、5、6、7共4个， 故选：B． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 6. 已知一次函数和，函数和的图象可能是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图形的性质，结合题意和，即可得到答案. 【详解】①当，、的图象都经过一、二、三象限 ②当，、的图象都经过二、三、四象限 ③当，的图象都经过一、三、四象限，的图象都经过一、二、四象限 ④当，的图象都经过一、二、四象限，的图象都经过一、三、四象限 满足题意的只有A. 故选A. 【点睛】本题考查一次函数图像，解题的关键是熟练掌握一次函数图像的性质. 7. 如图，点、的坐标分别为、，点是第一象限内直线上一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（ ） A. 逐渐增大 B. 逐渐减少 C. 先减少后增大 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据点、的坐标求出所在直线解析式，进而得出两直线平行，即可得出是定值，是定值，到直线的距离是定值，进而得出答案． 【详解】解：连接， 点、的坐标分别为、， 设所在直线解析式为：， ， 解得：， 所在直线解析式为：， 将直线：向上平移1个单位即可得直线， 两直线平行， 点是第一象限内直线上的一个动点， 到直线的距离是定值， 是定值，是定值，到直线的距离是定值， ∴是定值， ∴是定值， 当点的横坐标逐渐增大时，四边形的面积不变． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行的关系以及三角形面积求法等知识，根据一次函数的平移得出已知两直线平行是解题关键． 8. 如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，再根据三角形内角和定理求出，最后由邻补角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图∠3的顶点用F表示，∠2的顶点用E表示，根据AB∥CD，得出∠1=∠A=30°，根据领补角互补得出∠AFE=180°-∠3=180°-150°=30°，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：如图∠3的顶点用F表示，∠2的顶点用E表示， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠A=30°， ∵∠3+∠AFE=180°， ∴∠AFE=180°-∠3=180°-150°=30°， ∵∠2是△AEF的外角， ∴∠2=∠A+∠AFE=30°+30°=60°． 故选择A． 【点睛】本题考查平行线性质，领补角互补性质，三角形外角性质，掌握平行线性质，领补角互补性质，三角形外角性质是解题关键． 10. 明明和亮亮都在同一直道A、B两地间做匀速往返走锻炼．明明的速度小于亮亮的速度（忽略掉头等时间）．明明从A地出发，同时亮亮从B地出发．图中的折线段表示从开始到第二次相遇止，两人之间的距离y（米）与行走时间x（分）的函数关系的图象，则下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用．观察函数图象，逐一分析四个选项的正误即可． 【详解】解：第一次相遇两人共走了2800米，第二次相遇两人共走了米，且二者速度不变， （分），所以C正确； 当时，出现拐点，显然此时亮亮到达A地，路程为2800米， 亮亮的速度为（米分）， 两人的速度和为（米分）， 明明的速度为（米分）， ∴，所以A正确； 第三个拐点处应为明明到达B地，此时所用时间为（分），所以D正确，此时，所以B错误， 故选：B． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 11. 已知点在y轴上，则点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】点在y轴上的坐标特点是横坐标为0，据此解答即可． 【详解】因为点在y轴上， 所以，即， 所以点P的坐标为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标轴上的点的坐标特点，属于应知应会题型，熟知在y轴上的点的横坐标为0是解答的关键． 12. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查求函数自变量取值范围，根据分式有意义和二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且 13. 若关于x、y的二元一次方程组：无解，则a的值为_________. 【答案】-10； 【解析】 【分析】利用加减消元法消掉未知数x得到关于y的一元一次方程，再根据方程组无解，未知数的系数等于0列式计算即可得解． 【详解】， ②-①×2，得 ay+10y=19， ∴(a+10)y=19， ∵无解， ∴a+10=0， ∴a=-10. 故答案为：-10. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，消元得到关于y的方程是解题的关键，难点在于明确方程组无解，未知数的系数等于0，而常数项不等于0． 14. 函数是y关于x的一次函数，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义，需要注意x前面的系数不能为0．根据一次函数的定义求出m的值． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且， ∴． 故答案是：． 15. 一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解． 【详解】当时，，所以与轴交点为， 当时，，解得，所以与轴交点为， 三角形的两条直角边长度分别为和， ∴， 所以， 经检验， 符合题意． 故答案为：． 16. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，AH，BD分别是△ABC高和角平分线，点P为边BC上一个点，当△BDP为直角三角形时，则∠CDP＝_____度． 【答案】40或20． 【解析】 【分析】直接根据三角形内角和定理得∠ABC＝40°，由角平分线的定义得∠DBC＝20°，当△BDP为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，∠C＝50°， ∴∠ABC＝90°﹣50°＝40° ∵BD平分∠ABC ∴∠DBC＝＝20° 当△BDP为直角三角形时，有以下两种情况： ①当∠BPD＝90°时，如图1， ∵∠C＝90°， ∴∠CDP＝90°﹣50°＝40°； ②当∠BDP＝90°时，如图2， ∴∠BPD＝90°﹣20°＝70°， ∵∠BPD＝∠C+∠CDP， ∴∠CDP＝70°﹣50°＝20°， 综上，∠CDP的度数为40°或20°． 故答案为：40或20． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，需要分情况讨论，熟练使用三角形内角和，外角定理进行角度计算，是解题的关键． 17. 如图，是的中线，G是上的一点，E，F分别是，的中点，若的面积是24，则阴影部分的面积为___________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积逐步求解即可． 【详解】如图所示．连接 ∵的面积是24，是的中线 ∴的面积为12 ∵点D是的中点 ∴是的中线 ∴的面积＝的面积 ∵E，F分别是，的中点 ∴， ∴ ∵E是的中点 ∴， ∴阴影部分的面积． 故答案为：6． 【点睛】此题考查了三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质． 18. 如图，在平面直角坐标系中，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用，，，，…表示，则顶点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的规律，根据坐标点的变化找到变化规律是解答本题的关键． 根据正方形的性质，找到点的坐标，根据坐标变化规律，，，（为自然数），算出的坐标即可． 【详解】解：观察发现：，，，， ，，，，，， ，，，（为自然数）， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点是的边上任意一点，经过平移后得到，点的对应点为． （1）在图中画出平移后的； （2）求的面积． 【答案】（1） 由于在平移后的对应点为，故平移方式为向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度， 作图如下： （2）7 【解析】 【分析】本题考查坐标系中图形的平移，作差法求坐标系中图形的面积，根据点P的对应点坐标，找到平移方式是解题关键． （1）根据点的坐标，找到平移方式，再根据平移方式画出图形即可； （2）通过作差法，用大长方形面积减去三个小三角形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由图可知，， 故的面积为7． 20. 在平面直角坐标系中，一条直线经过，，三点． （1）求a的值． （2）设这条直线与y轴相交于点D，求的面积． 【答案】（1）a＝7 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答解析式即可； （2）得出直线与y轴相交于点D的坐标，再利用三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为y＝kx＋b，把A（−1，5），B（3，−3）代入， 可得：， 解得：， 所以直线解析式为：y＝−2x＋3， 把P（−2，a）代入y＝−2x＋3中， 得：a＝7； 【小问2详解】 由（1）得点P的坐标为（−2，7）， 令x＝0，则y＝3， 所以直线与y轴的交点坐标为D（0，3）， 所以△OPD的面积＝×3×2＝3． 【点睛】此题考查一次函数问题，关键是根据待定系数法求解析式． 21. 如图，已知是的外角的平分线，且交的延长线于点D． （1）如果，求的度数． （2）求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）由，根据三角形外角的性质，可求得的度数，又由角平分线的定义，求得的度数，又由三角形外角的性质，求得的度数； （2）同（1）的方法，利用三角形的外角的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 22. 如图，已知直线l1：y1＝﹣2x﹣3，直线l2：y2＝x+3，l1与l2相交于点P，l1，l2分别与y轴相交于点A，B． （1）求点P的坐标． （2）若y1＞y2＞0，求x的取值范围． （3）点D（m，0）为x轴上的一个动点，过点D作x轴的垂线分别交l1和l2于点E，F，当EF＝3时，求m的值． 【答案】（1）点P的坐标为（﹣2，1）；（2）﹣3＜x＜﹣2；（3）m＝﹣3或m＝﹣1． 【解析】 【分析】（1）联立两直线解析式得到关于x、y的方程组，解之即可得； （2）求得直线l2：y2＝x+3与x轴的交点，然后根据图象即可求得； （3）根据题意表示出E、F的坐标，得到关于m的方程，解之可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 解得：， ∴点P的坐标为（﹣2，1）． （2）在直线l2：y2＝x+3中，令y＝0，解得x＝﹣3， 由图象可知：若y1＞y2＞0，x的取值范围是﹣3＜x＜﹣2； （3）由题意可知E（m，﹣2m﹣3），F（m，m+3）， ∵EF＝3， ∴|﹣2m﹣3﹣m﹣3|＝3， 解得：m＝﹣3或m＝﹣1． 【点睛】本题主要考查的是两直线相交或平行问题，解题的关键是掌握两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解． 23. 某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多10元，用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同． （1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？ （2）由于需求量大， A、B两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A款保温杯的销售单价不变，B款保温杯的销售单价降低10%，两款保温杯的进价每个均为20元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元 （2）进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元 【解析】 【分析】（1）设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元，根据用480元购买B款保温杯的数量与用360元购买A款保温杯的数量相同列分式方程解答即可； （2）设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个，根据题意求出0< y≤40，设总销售利润为W元，列出一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A款保温杯的销售单价是x元，B款保温杯的销售单价是（x+10）元， ， 解答x=30， 经检验，x=30是原方程的解， ∴x+10=40， 答：A款保温杯的销售单价是30元，B款保温杯的销售单价是40元； 【小问2详解】 B款保温杯销售单价为40×（1-10%）=36元， 设购进B款保温杯数量为y个，则A款保温杯数量为（120-y）个， 120-y≥2y， 解得y≤40， ∴0< y≤40， 设总销售利润为W元， W=（30-20）（120-y）+（36-20）y=6y+1200， ∵W随y的增大而增大， ∴当y=40时，利润W最大，最大为6×40+1200=1440元， 进货方式为购进B款保温杯数量为40个，A款保温杯数量为80个，最大利润是1440元． 【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 24. 如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图②，在中，，，若邻三分线交于点，则　　； （2）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数； 【延伸推广】 （3）在中，、分别是邻三分线和邻三分线，，请求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得的三分线，然后利用三角形内角和定理求解即可； （2）分别是邻三分线和邻三分线及，可得，进而可求的度数； （3）根据题意作出相应图形，然后利用三分线得出，，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵是“邻三分线”时， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴ 又∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴， ∴ ∴ 在中， ∴ （3）如图所示， ∵分别是邻三分线和邻三分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理的运用．解决本题的关键是理解三等分线及三角形内角和定理的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $