上海市南洋模范中学2026-2027学年第一学期高三年级期中考试数学试题

2026学年第一学期南模中学高三年级期中考试 数学学科 (本次考试时间120分钟，满分150分，命题人：高俊翔，审题人：顾成) 一、填空题（本大题共有12题，4*6+56=54'） 1.己知集合A={-1sx≤1}，B={川y2-1,则AnB= (用描述法表示) 2.不等式x+4 >-1的解集为 x-3 3,直线1：xtan二+y-5=0的倾斜角a= 7 4.在正方体ABCD-ABCD中，点E为校DD的中点，则异面直线AE与BC所成角的大 小为 5.已知少为常数，若y=人 e 2 (其中·是自然对数的底数)在区间[1，+∞)上是严格减 √2π 函数，则P的取值范围是 6.我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一； 冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸，意思是：二十四个节气可以通过特定标记的日 影长度来确定，每相邻两个节气之间的日影长度差为99一分：“冬至”时日影长度最大，为 6 1350分，“夏至时日影长度最小，为160分.则“立秋时日影长度为 分 附：二十四节气表 立春 雨水 惊蛰 春分 清明 谷雨 立夏 小满 芒种 夏至 小暑 大暑 立秋 处暑 白露 秋分 寒露 霜降 立冬 小雪 大雪 冬至 小寒 大寒 7.帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为 视风风速视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中 船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反左图给出了部分风力等级、 名称与风速大小的对应关系已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速 对应的向量如右图所示（线段长度代表速度大小，单位：s),则该时刻的真风的名称为 级数 名称 风速大小（单位：ms) 3 税岚风通 y 轻风 1.6-3.3 3 徽风 3.45.4 船速 ·4 和风 5.5-7.9 劲风 8.0-10.7 3 8.如图所示，容器的底部是1×1的正方形，顶部是3×3的开放正方形，还有四个全等的梯 形侧面开始时容器是空的，用一根水管以恒定速率向容器中注水，需要35分钟才能将水注 满至梯形侧面中线的高度问还需要 分钟才能将容器的刹余部分注满. 9.函数y=s如(+p叭(w>0网←引的图像记为曲线F,如图 所示A,B,C是曲线F与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲 线F的图像交于点M,若直线M的斜串为k,直线BM的斜 串为飞，≠2k,则直线AB的斜率为 (用k, 表示) 10.已知随机变量X,Y均服从伯努利分布，且X,Y的取值为 0或1若P(X=-=P(Y==3,且P(==l,则 P(X=Y)= 11.古语云：“积善之家，必有余庆扇是扇风的，有“风 生水起走好运之意，“扇”与“善字谐音，佩戴扇形玉佩， 有行普积德之意.一支考古队在对某古基进行科考的过程 中，发现一枚扇形玉佩，但因为地质原因，此扇形玉佩 己经碎成若干块，其中一块玉佩碎片如图1所示，通过 测量得到数据AC=√2-1，BC=V3,AB=2.(图1中破 碎边级呈锯齿形状)，另一块玉佩碎片如图2所示，其三 边长分别为号，号，1，且该三角形碎片有两边是原扇形 图2 边界的一部分，考古队员通过复原该扇形玉佩求得其面积为」 12.己知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与x轴、)轴、z 轴重合，顶点A与坐标原点重合，点C是正方体底面中与A相对的对角 顶点，点C在点C的正上方，点P在线段AB上（不含端点）.当正方 B 体绕直线AC旋转一周时，点P运动轨迹会经过k个空间卦限，则k的所 有可能的值为 二、选择题（本大题共有4题，4*2+5*2=18) 13.为纪念红军长征胜利90周年，某校组织高一和高二两个年级的学生去甲、乙两个红色 教育基地进行研学，每位学生选择其中一个基地参加.已知该校高一学生人数多于高二学生 人数，若选择甲基地的学生人数多于选择乙基地的学生人数，则( A.选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高一学生人数 B.选择甲基地的高一学生人数多于选择乙基地的高二学生人数 C.选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高一学生人数 D.选择甲基地的高二学生人数不多于选择乙基地的高二学生人数 4.已知P(4U-品P(=名P()=子则事件A与B的关系是() A.A与B互斥但不对立B.A与B对立 C.A与B相互独立 D.A与B既互斥又相互独立 15.已知函数f(x)的定义域为R,对任意1∈R,定义M=|f(x)<),则“f(x)是偶函 数"是“任意的1∈R,对x∈M,都有-xeM”的（) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 16.若曲线y=2s如二的两条互相垂直的切线交于点P,则点P的坐标不可能是（) A.(r,π) B.(3π，-π)C.(5r,-π) D.（7π，-π) 三、商答题（本大题共有5题，143+18◆2=78) 17、某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产 方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人， 将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第 第一种生产方式第二种生产方式 一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，完 31612355789 成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优 5221 7 0022478 秀”，否则为“合格”根据工人完成生产任务的工作 4432218477 时间（单位：分钟）绘制了茎叶图： 44322110901 (1)求40名工人完成生产任务所孺时间的第75百分 位数： 小频率/组距 (2)独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出 的两个人均为优秀的概率： (3)为了解该工厂职工的基本信息，从工厂中抽取了 100个职工的体重数据，发现全部介于45公斤到75 b 公斤之间，现将100个体重数据分为6组：第一组 [45,50),第二组[50,55)，…，第六组[70,75)，得 9 到如图所示的频率分布直方图其中第一组有2人， 45505560657075体重（公斤） 第二组有13人，求之与a的值. 18.如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OP2区域（含边界)是一蔬菜种植园，其 中P、Q分别在射线0A和OB上.经测量得，扇形oPQ的圆心角（即∠Po0为号、半径 为1千米.为了方便菜农经营，打算在扇形OP?区域外修建一条公路MN,分别与射线OA、 OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点 /B S.设∠POS=α（单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽 略不计. (1)试将公路MW的长度表示为α的函数，并写出α的取 值范围： M (2)试确定a的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值. 19.已知四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，∠PBA=∠PBC=a (T<a<). 2 (I)证明：平面PBD⊥平面ABCD: Q若PB=4,a=子，求DP的长及：AP与平面PCD所成角 的余弦值. D 20.已知A、F分别是双曲线y:x2-y=入（常数2>0）的右顶点和右焦点.记Y过一、三 象限的渐近线为。. (I)设1=1，求双曲线Y的离心率和渐近线方程： (2)设2=2，卫是。上一点，若线段F2的中点P在双曲线Y上，求点Q的坐标： (3)设入=1，过A作两条相互垂直的直线与双曲线Y交于M、N两点(M在第一象限)，若直 线AM、AN分别与，交于C、D两点，且△AN与aACD的面积之比为2，求直线AM的 方程. 21.设函数f(x)的定义域为R,若对任意实数x,恒有f(f(x)+f(x)=2x成立，则称函 数具有“性质Ω”， (1)若一次函数f(x)=ax+b具有性质2，其中a>0,求实数a,b的值： (2)若函数f(x)具有性质2，且∫(x)在R上严格增，证明：∫(x)=x: (3)若具有性质2的函数∫(x)满足：存在常数M>0,使得对任意x∈R,都有 f(x)-x≤M,证明：具有该性质的函数f(x)是唯一的，并写出其解析式