精品解析：四川成都市龙泉驿区师一中学校2026-2027学年九年级上学期半期数学试卷

九上半期数学试卷 A 卷（100 分） 一．选择题（每小题 4 分，共 32 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列函数，其中y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 3. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 4. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列说法错误的是（ ） A. 若，四边形是菱形 B. 若，四边形是矩形 C. 若且，四边形是正方形 D. 若，四边形是正方形 6. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 它的图象位于第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 当时， D. 当时，有最小值为 7. 据统计，某专卖店一特产第三季度的总销售量为万件，其中月份的销量为万件，设，月份销量的月平均增长率为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题 4 分，共 20 分） 9. 若，则的值为______． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 11. 如图，函数和函数的图象相交于点，，则关于的不等式 的解集为_______________________ ． 12. 点C是线段的黄金分割点（），若，则_______ 13. 如图，在中，，．以点为圆心、适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线；分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，交于点，则的面积为______． 三．解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分） 14. 解方程： （1） （2）． 15. 为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，川师实验学校每天开设一节体育课．为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，针对以下4种体育项目：A．足球；B．乒乓球；C．篮球；D．游泳．随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图） 请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人；并补全条形统计图； （2）在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于 度； （3）学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 16. 为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测 量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F 处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上． （1）直接写出 ； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度． 17. 在中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）点是上一点，连接交于点，且．若，， ①求的长． ②若，求的面积． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）当时，求点的坐标； （3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂美四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂美四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． B 卷（50 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分． 请将答案填在答题卡上相应的位置） 19. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 20. 如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则______． 21. 如图，是菱形的对角线，点、是的三等分点，记和菱形的面积分别为、，则的值为______． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，两点．以为边在右侧作平行四边形，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，线段与反比例函数的图象交于点，若，则的值为_________ 23. 如图，在等腰中，，，于点O，点D为射线上的一点，连接，以为腰作，点H，点F分别为的中点，当时，则_________． 二、解答题（共30分） 24. 某商场有，两款电器，已知每台款电器的售价是每台款电器售价的倍，顾客用元购买款电器的数量比用元购买款电器的数量少台． （1）求每台款电器的售价为多少元？ （2）经统计，该商场每月卖出款电器台，每台款电器的利润为元，为了尽快减少库存，商场决定“双”采取适当的降价措施，调查发现，每台款电器的售价每降低元，那么平均每月可多售出台，商场要想每月销售A款电器的利润达到元，每台款电器应降价多少元？ 25. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数，，其中均为负数． （1）若，点在第二象限的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，与的图象交于点和点，如图1所示，，求的值； （2）如图2，在（1）的条件下，点是轴正半轴上一动点，过点作轴垂线，分别与，的图象交于点和点，点在的图象上，且轴，是否存在点，使得和相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，已知，点，过点的直线交的图象于点和点，点在图象上，若四边形为矩形，求的值． 26. 按要求完成下列各题： （1）发现：如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．求证：； （2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交直线于点P，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九上半期数学试卷 A 卷（100 分） 一．选择题（每小题 4 分，共 32 分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 下列函数，其中y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义即可判断． 【详解】解：A、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； B、是反比例函数，故此选项符合题意； C、不是反比例函数，故此选项不合题意； D、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意； 故选B． 【点睛】此题主要考查反比例函数的识别，解题的关键是熟知反比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做反比例函数． 2. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得， 而，即． 所以k的值为． 故选A． 3. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：a的值为； 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 4. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 5. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列说法错误的是（ ） A. 若，四边形是菱形 B. 若，四边形是矩形 C. 若且，四边形是正方形 D. 若，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，再结合矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 当时，则平行四边形是菱形，故A说法正确； 当时，则平行四边形是矩形，故B说法正确； 当时，平行四边形是菱形，当时，菱形是正方形，故C说法正确； 当时，平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D说法错误． 6. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ） A. 它的图象位于第一、三象限 B. 随的增大而减小 C. 当时， D. 当时，有最小值为 【答案】B 【解析】 【分析】由可知反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数的图象位于第一、三象限，A正确． ∵反比例函数的增减性仅在每个象限内成立，跨象限不满足随的增大而减小， ∴B错误． 当时，随的增大而减小， 当时，；当时，， ∴当时，，C正确． 当时，满足，则随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，D正确． 7. 据统计，某专卖店一特产第三季度的总销售量为万件，其中月份的销量为万件，设，月份销量的月平均增长率为，则可列方程为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，月份销量的月平均增长率为，根据第三季度的总销售量为万件，列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设，月份销量的月平均增长率为，则可列方程为 故选：B． 8. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，，垂足为点E，F是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，即可求证为等边三角形，进而得出点E为中点，根据中位线定理得出，易得，求出，即可得出矩形的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴点E为中点， ∵F是的中点，若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴矩形的周长， 故选：D． 【点睛】矩形主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，中位线定理，解直角三角形，解题的关键是掌握矩形的对角线相等，等边三角形三线合一，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及解直角三角形的方法和步骤． 二．填空题（每小题 4 分，共 20 分） 9. 若，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，将分式化成含有的形式，再代入的值计算即可，将分式转化为含已知值的形式，利用整体代入法是解本题的关键． 【详解】解：． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，函数和函数的图象相交于点，，则关于的不等式 的解集为_______________________ ． 【答案】 或 【解析】 【分析】先利用一次函数解析式求出交点的横坐标，再根据函数图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 解得， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得， ∴两函数图象交点的横坐标分别为和， 观察图象可知，当或时，函数的图象在函数的图象上方 ， ∴关于的不等式的解集为或． 12. 点C是线段的黄金分割点（），若，则_______ 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查黄金分割，根据黄金分割的概念把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割． 【详解】解：由题意得：， ∵，， ∴， 解得：，负值已舍去． 故答案为． 13. 如图，在中，，．以点为圆心、适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线；分别以点，为圆心、大于的长为半径作弧，两弧交于，两点，作直线交于点，交于点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，设与交于点，根据作图痕迹得出是的平分线，是线段的垂直平分线，则，即，，，证明，所以，即，得出，再证明是等边三角形，求出和的度数，结合平行线性质判定为等腰三角形，通过作高利用勾股定理求出高，进而计算面积． 【详解】解：如图，连接，设与交于点， 由作图可知，平分，垂直平分， ∴，即，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交的延长线于点， 在中，，， ∴， 由勾股定理得， ∴． 三．解答题（本大题共 5 个小题，共 48 分） 14. 解方程： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 15. 为了帮助学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质、健全人格、锤炼意志，川师实验学校每天开设一节体育课．为了更好地开展体育课，了解学生最喜欢的体育活动项目，针对以下4种体育项目：A．足球；B．乒乓球；C．篮球；D．游泳．随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图（如图） 请回答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人；并补全条形统计图； （2）在扇形图中，扇形“C”所对应的圆心角等于 度； （3）学校决定成立“足球”“乒乓球”“篮球”“游泳”四个兴趣社团．若小亮、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【答案】（1），补全条形统计图如下： （2）108 （3） 【解析】 【分析】（1）用B组的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，然后再求出C组的人数，最后补全条形统计图即可； （2）乘以C组所占的比例即可； （3）先列表确定所有等可能结果数和满足题意的结果数，然后运用概率公式计算即可. 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为：（人）， 则C组的学生数为：（人）． 【小问2详解】 解：扇形“C”所对应的圆心角等于． 【小问3详解】 解：画出树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中符合要求的有4种， 故. 16. 为了测量学校旗杆的高度AB，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测 量方案如下：如图，首先，小红在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行1.8米到D处时，恰好在镜子中看到旗杆顶点A的像，此时测得小红眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小明在F 处竖立了一根高1.6米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和旗杆顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.4米，DF为3.3米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上． （1）直接写出 ； （2）请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度． 【答案】（1）；（2）学校旗杆AB的高度为25米． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件推出△ABC∽△EDC，即可求解； （2）根据已知条件推出△HGF∽△HAB，即可求解． 【详解】解：（1）∵∠ABC=∠EDC=90°，∠ECD=∠ACB， ∴△ABC∽△EDC， ∴， ∵CD=1.8米，ED=1.5米， ∴=； 故答案为：； （2）设AB=x，则BC=， ∵∠ABH=∠GFH=90°，∠AHB=∠GHF， ∴△HGF∽△HAB， ∴， BH=BC+CD+DF+FH=+1.8+3.3+2.4=+7.5，GF=1.6米，FH=2.4米， ∴， 解得：x=25． 答：学校旗杆AB的高度为25米． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 17. 在中，是的中点，连接并延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）点是上一点，连接交于点，且．若，， ①求的长． ②若，求的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，，然后根据平行线的性质，利用可证，得到，从而证得结论； （2）①先根据平行线的性质和已知等角，结合等角对等边可推出，然后易证，根据相似三角形对应边成比例可推出，从而求得的长度； ②过点H作于点M，则，利用含30度角直角三角形的性质和勾股定理求得，从而求得的面积，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ②如图，过点H作于点M，则， ∵，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 由①可知，相似比为， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交于，两点，为反比例函数图象第四象限上的一动点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）当时，求点的坐标； （3）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂美四边形”．设点D是平面内一点，是否存在这样的C，D两点，使四边形是“垂美四边形”，且？若存在，求出C，D两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为 （2）点的坐标为或 （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）根据直线与反比例函数的图象交于，两点，可计算的值，并确定的值，联立一次函数和反比例函数的关系式建立方程，解方程可得点的坐标； （2）首先依据求出的面积，再设，分情况讨论点C的位置，利用等腰直角三角形的性质列一元二次方程求解t的值，即可得到点C的坐标； （3）过点B作轴于点N，过点A作轴，过点C作于点M，设与的交点为I，直线与y轴交点为P，证明，根据正切的定义可得，可得的解析式为，列方程可得点C的坐标，证明是等腰直角三角形，可得也是等腰直角三角形，则，根据列方程求解，可得点D坐标． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴点， ∵点在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， ∵直线与双曲线的交于，两点 ∴， 解得：，， ∴当，， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与x轴交于点E，连接， 令，得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 此时点C分情况讨论： ①当点C位于直线左侧时： 如图，过点C作交延长线于点F，过点F作轴交y轴于点G，过点C作交于点H， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴； ②当点C位于直线右侧时： 如图，过点C作交延长线于点F，过点F作轴交x轴于点J，过点C作交于点K， ∵，， ∴，即， ∴， 又∵， ∴在第二、四象限的角平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴，均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 【小问3详解】 解：如图，过点B作轴于点N，过点A作轴，过点C作于点M，设与的交点为I，直线与y轴交点为P，与y轴交点R， 在中，当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是“垂美四边形”， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：， 将点B的坐标代入得：， ∴， ∴的解析式为， ∴， 解得：或（舍）， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设的解析式为， ∴，解得， ∴的解析式为， 设， ∵， ∴， 解得：，（舍）， ∴． B 卷（50 分） 一、填空题（每小题 4 分，共 20 分． 请将答案填在答题卡上相应的位置） 19. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用方程根的定义整体代换得到的值，再用根与系数的关系求出，整体代入代数式计算． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得， ∴ 20. 如图，矩形中，，，点是的中点，垂直平分且分别交的延长线于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作，交的延长线于点，由四边形是矩形，得，，，然后证明四边形是矩形，所以，，再根据线段垂直平分线的性质可得，设，表示出、、的长，在中利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接，过点作，交的延长线于点，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则，，， 在中，， 根据勾股定理，得，即， 解得， ∴． 21. 如图，是菱形的对角线，点、是的三等分点，记和菱形的面积分别为、，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形性质得，则，所以，又点，是的三等分点，故有，，则，可得，即为中点，再利用三角形面积公式及高之比求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵点，是的三等分点， ∴，， ∴， ∴，即为中点， 设点到的距离为， ∵为中点， ∴点到的距离为， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，两点．以为边在右侧作平行四边形，点在轴负半轴上，点在反比例函数的图象上，线段与反比例函数的图象交于点，若，则的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与反比例函数解析式求出、两点坐标，设点坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质表示出点坐标，构造相似三角形利用线段比例关系表示出点坐标，最后根据点、均在反比例函数图象上列方程求解． 【详解】解：联立， 得， 整理得 ， 解得 ， 当时，，当时，， 由图可知在右侧， ，， 设， 四边形是平行四边形， 平行且等于， 点的横坐标比点大，纵坐标比点大 ， ， 过点作轴的平行线，过点、作的垂线，垂足分别为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 点、都在反比例函数的图象上， ， 解得， ． 23. 如图，在等腰中，，，于点O，点D为射线上的一点，连接，以为腰作，点H，点F分别为的中点，当时，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质求出，通过构造直角三角形利用勾股定理求出的长；由及中点性质证得，进而推出，利用相似比建立 与的关系求解.  【详解】解：，， ， ， 为中点， ， 过点作交的延长线于点，连接， ， ， ， 在 中，， ∴， ∴，， ， 在  中，， ， ，， 为中点，为中点， ，， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， . 二、解答题（共30分） 24. 某商场有，两款电器，已知每台款电器的售价是每台款电器售价的倍，顾客用元购买款电器的数量比用元购买款电器的数量少台． （1）求每台款电器的售价为多少元？ （2）经统计，该商场每月卖出款电器台，每台款电器的利润为元，为了尽快减少库存，商场决定“双”采取适当的降价措施，调查发现，每台款电器的售价每降低元，那么平均每月可多售出台，商场要想每月销售A款电器的利润达到元，每台款电器应降价多少元？ 【答案】（1）每台款电器的售价为元； （2）每台款电器应降价元． 【解析】 【分析】设每台款电器的售价为元，则每台款电器的售价为元，由题意得，然后解方程并检验即可； 设每台款电器降价元，此时每台款电器的利润为元，每月销售量为台，即台，由题意得，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：设每台款电器的售价为元，则每台款电器的售价为元， 由题意得， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解，且符合题意， 答：每台款电器的售价为元； 【小问2详解】 解：设每台款电器降价元，此时每台款电器的利润为元，每月销售量为台，即台， 由题意得， 整理得， 解得，， ∵要尽快减少库存，需每月销售量尽可能大， ∴选择更大的降价幅度，即， 答：每台款电器应降价元． 25. 在平面直角坐标系中，已知反比例函数，，其中均为负数． （1）若，点在第二象限的图象上，过点分别作轴和轴的平行线，与的图象交于点和点，如图1所示，，求的值； （2）如图2，在（1）的条件下，点是轴正半轴上一动点，过点作轴垂线，分别与，的图象交于点和点，点在的图象上，且轴，是否存在点，使得和相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，已知，点，过点的直线交的图象于点和点，点在图象上，若四边形为矩形，求的值． 【答案】（1）， （2）存在，点K的坐标为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点C在上，结合、的长度确定A、B的坐标，再利用A、B在上列方程求解； （2）设点K的坐标为，根据题意列出点D、E、F的坐标表达式，再分情况讨论和相似，利用相似三角形的对应边成比例列方程即可求得点K的坐标； （3）设的表达式为，联立，利用一元二次方程根与系数的关系得出和，由矩形的性质可推出点N的坐标为，得出，过点M作y轴的平行线，分别过点P，Q作该线的垂线，垂足分别为S，T，利用相似三角形的判定与性质得出，列方程即可求得c的值，从而得到n的值． 【小问1详解】 解：∵点C的坐标为，，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵点A，B在的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∵点C在第二象限的图象上， ∴，． 【小问2详解】 解：设点K的坐标为， 由题可知：，，， 要使和相似，此时分情况讨论： ①当时， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 综上所述，点K的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵过定点， 设的表达式为， 联立，得， ∴，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵点M的坐标为， ∴点N的坐标为， ∵点N在的图象上， ∴， 如图，过点M作y轴的平行线，分别过点P，Q作该线的垂线，垂足分别为S，T， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， ∴． 26. 按要求完成下列各题： （1）发现：如图①所示，在正方形中，E为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于G点．求证：； （2）探究：如图②，在矩形中，E为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于G点，延长交边于点H，且，求的长． （3）拓展：如图③，在菱形中，，E为边上的三等分点，．将沿翻折得到，直线交直线于点P，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将沿翻折到处， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和折叠的性质，即可利用证得； （2）先根据矩形的性质和折叠的性质，在中，利用勾股定理建立方程，求得，从而得到、的长度，然后易证，从而求得的长度，接着延长交的延长线于点，先由，求得，进而由，可求得，即可解答； （3）分两种情况讨论：①当时，延长交于，过点作于点，设，，，由，可得；然后由翻折的性质和角平分线的性质定理，利用三角形面积的关系推出，得到；最后利用含30度直角三角形的性质表示出、，利用勾股定理在中建立方程，即可求得的值，进而求得的长；②当时，延长交于，过点作于点，同①可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵矩形， ∴，，，， 由翻折可知，，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵菱形，， ∴，， ①如图，当时，延长交于，过点作于点， 设，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∴是的角平分线， ∴点到、的距离相等，设这个距离为， ∴， ∴，即， ∴； ∵， ∴在中，，， ∴， ∴，， 在中，， 即， ∴， 解得，（舍去）， ∴； ②如图，当时，延长交于，过点作于点， 设，，， 同理可得，，即， ∴， 同理可得，， ∴由，得， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $